Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 64
Текст из файла (страница 64)
ТЬеве еооас1опв веге доссеп Егои (1) Ьу иоч1пд сЬе 1еЕс Ьоопдагу со, вв 1п41сасей Ьу сЬе посас1оп Еог сЬе орегасог." К. Е)яяч /у иУЛ ЙАЧ- рли Лу Р1д. 54. Уе вее сЬвс сЬе орегвсогв К, К, апй К йо пас дерева оп Ь. ТЬе йоиа1пв оЕ йеЕ1п(с1оп оЕ сЬе Еппсс1опв и = (и ) Еог орегасогя (1), (3), (4) апд (5) аге йер1ссей 1п Р12. 54. 1с и111 Ъе вЬоип СЬаг Суе ввС оу а11 в(двппа1ивв оу аП СЬгвв орвгасогв оопвСЕСисвв СЬе врвосляп оу СЬе уои((у оу' орегасогя (К ~. ТЬе е1вепча1оев оЕ сЬе орегасогв К, К апй К Ьаче а1геайу Ъееп соирпсей 1п 126, Ьпс ие гергойпсе СЬЕВ соирпсас1оп Ьеге Ьесапве, ЬеЕоге Ко1пу оп со а ргооЕ оЕ сЬе аЬоче аввегс1оп, ие иове паче с1еаг1у 1п и1пй сЬе всгосспге оЕ сЬе е1уеп(ппсс1опв оЕ сЬе орегасогв К, К, апд К.
Р1гвс оЕ а11 ие ехаа1пе сЬе паспге оЕ сЬе вес оЕ ро1псв, Л, 1п сЬе соир1ех р1апе, Еог иЬЕсЬ сЬе еппас1оп Ко-Ли=О Ьав а Ъоппдед во1ис1оп о = (о ~, и = О, +1, ... ТЬеве ппиЪегв Л аге ргес1ве1у сЬе е1Кепча1пев оЕ сЬе арегасог К. 1п опг ехаир1е СЬе еопас1оп Ко - Лп = О Ьав СЬе Роги (1 - г - Л)п + гп = О, и = О, +1, и и+1 ЯсаЫ11су оЕ Мопве1Еай)о1пс РгоЫевя СЬарсег !4 ЕасЬ во!пс1оп оЕ сЫв огй1пагу ЕЕгвс-огйег 61ЕЕегепсе е9пас1оп, ав Ео!1овв Егов 61, сап й1ЕЕег оп1у Ъу а сопвсапс Еассог Егов сЬе пес Еппсс1оп п 9 , в = О, +1, ..., вЬеге 9 1в а гоос оЕ обе сЬагассег1яс1с е9оас1оп (1 — г - 1) + г9 = О.
ТЬе ге1ас1оп Ьесвееп ! апй 9 сап а1во Ъе вг1ссеп 1п сЬе Еогв ! = ! - г + г9. ТЬе во1пс1оп 9 = 9 1в Ъоппйей аь в +" апй в ч оп1у 1Е )9) = 1, 9 = ехр(1а), О < а < 2ч. ТЬегеЕоге сЬе вес оЕ сЬове ча1пев оЕ Л Еог чЫсЬ сЬе во!ос1оп п = 9 1в Ьоппйей вау Ъе оЬса1пей Егов сЬе ехргевв1оп 1а Л 1 — г + гп 1 - г + ге чЬеп 9 = ехр(1а) вочев очег сЬе чЬо1е с1гсовЕегепсе оу сЬе с1гс1е )9) =- ! 1п обе совр1ех р1апе. ТЬе ро1пс ! сЬеп вочев агоппй сЬе с1гс1е Л, в1сЬ гай1пя г апй сепсег ас ! — г (Р1Е. 26а, р. 269).
бес пв поч соврые сЬе е1Еепча1пев оЕ сЬе орегасог Е, 1.е. сЬове Х Еог еЫсЬ сЬе еппас1оп Ео — Лп О Ьав сЬе во1пс1оп п (и, и, ..., и, . ° .) сепй1пй со О ав в ч я О' !' ''*' в' ТЬе е9оас1оп Еп — Л О вау Ье вг1ссеп 1п ехрапйей Гога ав Ео11овв: о (1 — г — А)п + го = О, в О, 1, в в+1 1св во!пс1оп п = 9 , в = О, 1, ..., сепйв со О ав в + 1Е )9) < !.
ТЬе соггевропй1пЕ е12епча1пев ! ! - г + г9, 1п сЫв саве, !111 сЬе 1псег1ог оЕ сЬе с1гс1е 4, оЕ гай1пв г, сепсегей ас ро1пс (1 — г) (Р1Е. 26,Ь). ТЬе а1Еог1сЬв Гог соврпс1пЕ сЬе е1Еепча1пев оЕ сЬе орегасог Е 1в апа1ойопв со сЬас Гог соврос1пй сЬе е1йепча1пев оЕ Й. ТЬе ероас1оп Е 1в вг1ссеп ехрапйей: (1 - г - !)п + го = О, в = ..., -1, О, 1, ..., М ! (б) -Лп = О М ЕасЬ пес Гппсс1оп и )о ), в = М, М-1, ..., вас1вЕу1пй сЬе Е1гвс оЕ сЬеве ге1ас1опв, со в1сЫп а сопвсапс Еассог Ьав, ав Ьеуоге, сЬе Гога и в а , м1сЬ ! апй 9 вс111 соппессей Ъу сЬе епоас1оп Л ! — г + г9.
ТЬе во!пс1оп о 9, в М, М-1, °... сепйв со сего ав в 1Е )9) > !. ТЬе весопй оЕ Ерв. (6), 1.е. сЬе еппас1оп -Ло = О, 1вровев оп сЬе во1пс1оп в М=М и -9 сЬе апх1Иагу геро1гевепс -Ло = -19 - О, ог ! = О. 1Е сЬе ро1пс в М ! О !1ев опсв1йе сЬе с1гс1е оЕ гай1пв г апй сепсег ас 1 - г (яЬочп 1п А1Ког1сЬа Еог сЬе Соарисас1оп оЕ Врессга ~)КЬи — ЛО,)) < Я))и)) (7) Ьав а яо1ис(оп, и, Еаг а11 виЕЕЕсгепс1у ваа11 ров1с1че ча1иея оЕ Ь. ТЬе во1ис1оп и (и, и, ..., и ) а1КЬс Ъе са11ей а "пеаг"е1Кепчессог" оЕ сЬе О' 1' орегагог К, 1пяо(аг ая сЬе во1ис1оп оЕ сЬе есиас1оп К„и — Ли = О 1в, Ь' 1п 11пеаг а1КеЬга, соааоп1у са11ей ап "е1Кепчессог". ТЬе сопвсгисс1оп ивед 1п сЬе ргооЕ дерепйв оп сЬе вес, Л. Л, ог Л, со чЬЕсЬ сЬе ро1пс Л Ъе1опКя.
Лес ив ЪеК1п ч1сЬ сЬе саве Л 1п Л. Ке ч111 вЬоч сЬас, Еог апу Я > О апй а11 виЕЕ1с1епс1у ваа11 Ь, 1пеоиа11су (7) Ьав а во1ис1оп и. Уе сигп, поч, со сЬе сопясгисс1оп оЕ сЬ1я Еипсс1оп и = (и, и), и ). Ву йе(1п1с1оп оЕ сЬе вес Л сЬеге ех1всв а К, )К ) = 1, висЬ сЬас Л (1 — «) + гр, апй сЬе еоиас1оп (1 — г - Л )ч + гч О, О О' О а а+1 О а О, +1, ..., Ьав сЬе Вопившей во1ис1оп ч о , а = О, +1, ... Уе ч111 а О' сопя(Лег сЬЕв яо1ис1оп оп1у Еаг а О, 1, М, геса1п1пК сЬе йев1Кпас1оп ч. ТЬе чессог а) ч-(ч,ч,, ...,чМ)-(1,О, ...,ц), г1еаг1у, вои!Л вас1яуу сЬе еииаг1оп К ч - Л ч О, чЬЕсЬ 1п ехрапдей Тога Ь О сопв1ясв оЕ сЬе ге1ас1опя (1 — г — Л )ч + гч = О, О а ае1 а О, 1, ° ° ., М-1, О Р1К.
26с) 1.е. 1Е г < 1/2, сЬеп со сЬЕв Л сЬеге соггевропйв а О яисЬ сЬас > 1. ТЬе аес, Л, оЕ сЬове Л'в Еог чЬЕсЬ сЬе есиас1оп Ки - Ли О Ьая а во1ис1оп сепАЕпК со О ая а -, сопв1вся оп1у оЕ сЬЕя ро1пс Л О. 1п сЬе саве г > 1/2, ав Ео11ачя Егоа сЬе ргесей1пК апа1ув1в, сЬе еаиас1оп Ки — Ли = О Ьав по во1ис1ап Сепй1пК са вега ав а Еог апу соар1ех (ог геа1) Л. ч ТЬе ип1оп оЕ е1Кепча1иев оЕ сЬе орегасогв К, Х, апй К 1в вЬояи Еог сЬе саяе г < 1/2 1п Р1К. 27,а; апд Еог сЬе саве г > 1/2 1п Р1Кв. 27Ь апд 27с.
Ке поа ргосеей со ргоче сЬас сЬе врессгиа оЕ сЬе Еаа11у оЕ орегасогв )В ) со1пс1йев м1сь сье ип1оп, л, ое сье веса л, л, апй л, ое сье е1кепча1иея оЕ сЬе аих111агу орегасогя К, К, апд К. Ке пеед со вЬои сЬас еасЬ ро1пс Еп Л Ъе1опКв со сЬа врессгиа оЕ сЬе Еаа11у оЕ ЛЕЕЕегепсе орегасогв (КЬ], апд сЬас сЬе ярессгиа сопса1пв по осЬег ро1псв. Лес ив вЬои ЕЕгвс сЬас еасЬ ро1пс Л 1п Л Ъе1опКв со сЬе врессгиа оЕ сЬе Еаа11у оЕ ЛЕЕЕегепсе орегасогв. Раг сЬЕв ригрояе 1с 1в яиЕЕ1с1епс со еясаЪ11вЬ сЬаг, Еог апу Я > О, сЬе 1пециа11су 446 ЯсаЫ11су оЕ Мопве1Еай!о1пс РгоЫеав СЬарсег 14 1Е пос Еог сЬе Еасс сЬас сЬе 1авс оЕ сЬеве ге!ас1опв 1я ч1о1асей. ТЬе ге1ас1оп -Л ч = О аау Ье сопв1йегей ав а Ьоипйагу соай1с1оп Еог сЬе во1ис1оп оЕ сЬе осйЕпагу й1ЕЕегепсе еоиас1оп [1 — г — Л )и + ги О, О а ач! а О, 1, ° ° ., М-1 ° То вас1вуу сЫя Ъоипйагу сопй1с1оп ас а М, 1.е.
ас сЬе г1РЬс епй оЕ М сЬе 1псегча1 О < х < 1, ие "соисЬ-ир" сЬе чессог ч [1, Ч , ..., ОО). аи!с1р!Р1пй еасЬ оЕ 1св сааропепсв, ч , Ьу сЬе Еассог (М - а)Ь. ТЬе чессог а а сЬив оЬса1пей ве са!1 и, и [и, и, ..., и ), и (М - аЛЬР О' !' 1и 816. 55 ве Ьаче р1оссей сЬе Еипсс1оп ч (ч ) апй и (и ) 1п сЬе саве и = -1. ТЬе пога оЕ сЬе чессог и 1в еоиа! со опе: О ))и)) аах)и ) аах)(М - а)(х! ) МЬ 1 ° Ьес ия пов еча1иасе сЬе пога оЕ сЬе чессог ч [в , а1, ..., а ), йеЕ1пей Ьу сЬе еоиас1оп в В КЬи — Л и. Рог сЬе соогй1пасев оЕ сЬе чессог в ве Рес сЬе Ео1!оч1пй ехргеяв1опя: )ч ) )[! - - Л )(М вЂ” а)ЬО + г(м — а " !>Ьо а О О О = )[[! — г — Л ) + го )(М - а>Ьо' - Ьпае!)- О О О О )О ' (М вЂ” а)ЬΠ— гЬП ) = гЬ, а О, 1, ..., М-1, а а+1 О О )и ) О - Л ' О О.
М О тЬия Ес Ев с!еаг сЬас ) )в) ) гЬ, апй Еог Ь < в/г сЬе 1пеоиа!1су ) )в) ) ) )КЬ» " Лри) ) < с) )и) ) 1в вас1вЕ1ей. ТЫв соар1есев сЬе ргооЕ сЬас сЬе ро1пс ЛО Еп А Ъе1опйв со сЬе врессгиа оЕ сЬе Еаа11у оЕ орегасогв [Я Моа ие вЬов сЬас, 1Е сЬе ро1пс Л Ъе!апйв со опе оЕ сЬе веса 4 ог сЬеп 1с 1я а ро1пс оЕ сЬе врессгиа оЕ сЬе Еаа11у оЕ орегасогв )Р 5иррове, Еог сопсгесепевв, сЬас Л 1я 1п 4. ТЬеп Ьу йеугп1с1оп оЕ сЬе яес 4 сЬе апиас1оп Кч - Л ч О, вЫсЬ 1п ехрапйей Рога сопв1ясв оЕ сЬе О ециас1опя [1 - г - Л )ч + гч О, а О, 1, 2, О а а+! Ьав сЬеяо1ис1опч о, )О ) <1, а=О, 1, а О' о Ие и111 сопвЕйег сЫя во1ис1оп оп1у Еог а О, 1, ..., М, весс1пй 44) А18ог1сЬа Еог сЬе Соарысас1оп оЕ Крессга О' 1' '*'' М) ( ' 90' '''' 9О)' М апд а111 са1еы1асе, Еог сЫв пес Еипос1оп и, еЬове КгарЬ 1п сЬе саве 9 1/2 1в вЬочп 1п Р18.
56, сЬе поги оЕ сЬе чессог ы в КЬы — Аоы. Ргоа сЬе еоывС1оп ( „) - 1() - — 1 )9 + 9 ( = О, = О, 1, ..., М-), 1.„) - )90(м Р18. 56 ~)КЬ О )( — (~ )(' (8) ТЬеп Еог в < А сЬе 1пеоыа11су ))К ы — Л ы)( < в))ы)) Ьав по во1ис1оп, впй сЬе ро1пс Ло доев пос 11е 1п сЬе врессгиа. 1Е ае йе<1пе Е в Р ы — Аоы, 1пеоыа11су (8) евсее сЬе Еога )(Е() > А((ы)(. (9) 1с 1в сЫ* 1пеоиа11су ыЫсЬ ае и111 йег1че. ТЬе еоыас1оп Р ы - 1 ы = Е 0 ы111 Е1гвс Ье ыт1ссеп 1п сЬе ехрвпйей Тога (1 - г — 1 )ы + гы Е , а О, 1, ..., М 1, 0 а а+1 а' 0 М М (!0) Уе а111 геКага сЬеве ге1ас1опв аь еоыас1опв Еог ы, апд сЫпК оЕ Е ав в 81иеп г18Ьс"Ьвпй в1йе. Кехс ее чг1се сЬе во1ис1оп и = (ы ) 1п сЬе Рога оЕ в выа, ее с с 1пК ы о + 8, а = О, 1, ° ...
М, 1с Ео11оив сЬас )(ч) ( = )Ч ) )9 ) ° 1Е Ь 1в во ваа11 сЬас Ч < с, М 1/Ь 1/Ь сЬеп Им(( ()К ы — 1 ы(( < в в)(ы) (, в1псе ((ы) ( = 1. ТЬыв 1с Ьвв Ьееп вЬоап сЬас, 1п оыг ехаар1е, а11 сЬе ро1псв оЕ сЬе весе А, А апд А Ье1опК со сЬе врессгыа оЕ сЬе Еаа11у оЕ 61ЕЕегепее орегасогв. Ьес ыв вЬое поа сЬас впу ро1пс пос Ье1оп81пК со сЬе весе Л, А ог А доев ра пос Ье1опК со сЬе вреесгыа оЕ сЬе Еаа11у (К) ). Крес111са11у, ее а111 вЬое сЬаг сЬеге ех1всв а пыаЬег А ) О, пос дерепд1пК оп Ь, высЬ сЬас, Еог впу Еыпсс1оп гу ы (ы , и , ..., и ), ае аау вг1се сЬе 1пеоыа11су 448 Всаъс!1су о( мо е11ай)оспе Р 61е СЬарсег 14 аЬеге сЬе а аге сЬе соаропепсв оЕ сЬе Ьоппйей во1ос1оп а (а ) о1 сЬе а а Ео!1оч1пВ е9пас1оп! (! — г - Л ]а + га = Р О а а+! а 0,11а<О Е, 11 а О 1, ..., М-1, М' и О, 1!а>М.
(12) ТЬеп, Ьу ч1гспе о( 11пеаг1су, сЬе чессог В (В ), чЬове соаропепсв епсег 1псо 69. (11), 1в сЬе во1ос1оп о1 сЬе есоас1оп (1 — г — Л )В + гВ = О, а О, 1, ..., М-1, О а а+! -Л6 Г +Ла ОМ М ОМ (13) То ргоче Ьоапй (9), чЬссЬ Рог сЬе 81чеп сЬо1се оЕ пога сап Ье чг1ссеп 1п сЬе Еога о < (пах)1 ) ]/А 1с 1в во161с1епс (в1псе о = а + 6 ) со евса611вЬ Ьоапйв оЕ сЬе Рога )а ) < А аах )1 ), )В ) < А2 пах )Е (14) (15) чЬеге А! апй А2 аге сопвсапсв. Вес ов Ье81п ч1сЬ Ьоопй ( 14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
