Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 57
Текст из файла (страница 57)
1п вСиду1пд СЬе веаЫ11Су оЕ ечо1иС1опа1 дЕЕЕегепсе ргоЫеав ие арр11ед сЬе вах1вив рг(пс1Р1е, епегру 1перыаЫс1ев, вреосга1 ег1гег1а, ав ие11 ав оСЬег рг1по1Р1ев. 1п а11 СЬеве арргоаеЬев ие ывед, 1ар11с1с1у, сЬе врео1а1 всгиесыге оЕ сЬе ечо1ис1опа1 д1ЕЕегепсе всЬеае, 1п иЫпЬ сЬе (Ь) во1ис1оп и 1в 51чеп оп опе ог вечега1 1п111а1 с1ве — 1ече1в оЕ СЬе пес, апд 1в СЬеп еа1си1агед егер-Ьу-егер оп виссеед1п5 С1ве-1ече1в. Неге ие и111 ехргевв сЬе 1ауегед сЬагаегег оЕ СЬе ечо1ыс1опа1 д1ЕЕегепое веЬеае д1гесс1у 1п игдс1п5 сЬе всЬеае, весс1пд ир в соггевропдспд 11пеаг орегасог, Н, иЫоЬ асса Со еЕЕесс сЬе сгапв1с1оп, Егов СЬе а1геаду-Ьпоип во1ис1оп оп Ь' а 51чеп 11ве-1ече1, со вс111 ипхпоип ча1иев оЕ сЫв во1ис1оп оп спе пехс 1ече1. ТЫв орегасог аау Ье оЬовеп 1п чаг1оив иаув.
Не и111 сопвсгисс ЕС 1п висЬ а Еогв сЬас СЬе всаЫ11су оЕ СЬе д1ЕЕегепее воЬеве Сыгпв оис со Ье еви1ча1епс со сЬе Ьоипдедпевв оЕ сЬе погав оЕ 1св роиегв. ТЫв арргоасЬ и111 регв11 ив со 1оос ас сЬе в1геаду-епооипсегед весЬодв Еог всиду1п5 сЬе всаЫ11су оЕ ечо1ис1опа1 д1ЕЕегепсе Ьоипдагу-ча1ие ргоЫевв Егов а ып1Е1ед ро1пс оЕ чсеи, ге5агд1п5 сЬеа ав аесЬодв Еог вгиду1п5 сЬе ргорегг1ев оЕ сЬе орегасог Н; 1с рега1гв ыв а1во Со Еогви1асе сЬе сопсерг оЕ сЬе вреоггив оЕ а Еаа11у оЕ д1ЕЕегепое орегагогв, влд а вреосга1 ог1гег1оп Еог сЬе всаЫ11су оЕ а поп-ве1Еад)о1пс д1ЕЕегепсе Ьоыпдагу-ча1ые ргоЫеа.
СЬарсег 13 Сопвсг»сс1»п оЕ сЬе Тгапв111оп Орегагог 392 СЬароег 13 сопвсгпсс1оп ое сье тгапв111оп Орегасог $40. !.аче1 вггвсс»ге оЕ сЬе во1»с1оп оЕ ечо1»с1опа1 ргоЫевв !и а11 СЬе асоче ехавр1ев оЕ ечо1»гтопа1 НЕЕегепсе всЬевев „(Ь) (Л) Ь »е чете В1чеп СЬе ча1»е оЕ сЬе во1»с1оп»( оп опе ог вечега1 тп(с1а1 Еече1в оЕ сЬе пег ° ТЬе ча1»е оЕ» оп сЬе Ео11о»1пК 1ече1в чав (Ь) десегв(пей, втер Ьу втер, Егов сье е9»ас1опв сопвс1с»с1пк МЕееегепсе Ьо»»дату-ча!»е ргоЫев (1). Ву сЬе сего "1ече1" ве веап сЬе сога11су оЕ а11 ро1псв оЕ сЬе пес В 1у1»К оп сЬе 11»е (ог р1апе) с = сопвс, Ке1оч ве Ь »1!1 авв»ве СЬаг 41ЕЕегепсе всЬеве (1), »пает со»в!Магог!»п Ьеге, Ьав СЬе 1»31»асей 1ече1-всг»сс»ге ° Кхавр1е !.
Сопв1Ьег сЬе д1ЕЕегепсе вспеве т гхх»щ + ф(хв, +! М Ф2( р+1) ' » =Ф(х ), (2) в О, 1, ..., М; р О, 1, ° ° ° , (ТУт)-1, арргох1вас1пр СЬе Ьеаг"соей»сс1»п ргоЫев 2» д㻠— = — + ф(х,с), гг Зхг О<х<1,0<С<Т, »(О,с) = Ф (с), »(1, с) Ф (с), »(х,О) Ф(х), 1 ' ' 2 О<х< 1 ° (3) кпо»1»к сье ча1»е оЕ сье во1»с1оп» ас сье ро1псв оЕ сье 1ече1 с ср = (Ь) рт, 1.е. Ьпо»1пу сЬе пес Е»псг1оп »Р = (»Р), в = О, 1, ..., М, оЕ агр»вепс в че сап са1с»1асе, вес»епс1а11у, сЬе ча1»ев »Е сЬе пес Е»псг1опв »Р = (» ], »Р , его., »в1»К СЬе е9»аг1опв +1 р+! +2 »р = (1 — 2г)»р + г(»р + »р ) + тф(х , с ). (3) в в в-1 в+1 в 140 393 Ьече1-Кггиссиге оЕ СЬе Кчо1ис1опа1 Бо1ис1оп Тпе пег Еипсг1оп и = )и ) = )Ф[х )) 1в К1чеп. ТЬив СЬе во1иг1оп и( ), деЕ1пей ап СЬе сио-бсввпвсопа1 пег [х, с ) =(вЬ, рт), в О, 1, ...,М; р О, 1...,, [Т/т] (б) в 1т 1п сЬе х-с р1апе Ьав, 1а х чету пасига1 иау, вр11с 1псо 1ауегв, Ьачтпб Ъееп гер1асед Ьу СЬе ве9иепсе оЕ Еипсг1опв ио и~, ..., ыр, р = [Т/т], ))и)) = вах)и (К) М ,1/г ))и)) = ~ Ь 1 )и )2) в=О Р1К.
51. 1п с1те деЕ1п111оп оЕ всаЫ11су апд сопчегбепсе опе епсоыпгегв сЬе поги ))и( ')) , оЕ сЬе во1иг1оп оЕ 61ЕЕегепсе Ъоипдагу — ча1ие ргоЫев (Ь) 1 ' ' О (1). Яе ы111 иве оа1у высЬ потев ) )и ) ) ыЫсЬ саКе 1псо ассоипс сЬе Ь (Ь) 1ече1-сЬагассег оЕ СЬе во1ис1оп и, ваге врес1Е1са11у СЬове Еог ыЫсЬ ) )и(Ь)) ) = ) )ир) ), (9) ОЛ р ыЬеге р СаСев оп СЬе ча1иев р О, ], ..., [Т/т], 1,е. а11 СЬове ча1иев Еог ыЫсЬ СЬе геК1оп оЕ йеЕ1п111оп оЕ сЬе пес Еыпсг1оп ир = ]ир) Ье1опрв Со сЬе (Ь) в сыо-61вепв1опа1 дова1п оЕ беЕ1п111оп оЕ СЬе во1ис1оп ы Кхавр1е 2. Сапе(бег сЬе 01ЕЕегепсе е9иаг1оп и - 2ир + ы~ рв) — 1 в в в ир — 2ыр + иР в+1 в в-1 Ь2 а т (10) а - О, 41, ...,; р = 1, г, ..., [Т/т]-1, деЕЕпед оп опе-61вепв1опа1 песа, ТЬе опе-бсвепв1опа1 песа„оп ыЬссЬ спе и Р аге де(спей Еог р = О, 1, ..., р, аге СЬе ваве Еог а11 р (Р19.
51,а), во сбас опе вау сапа(бег сбев ав чаг1оив ехеар1агв ос опе апй сЬе ваге пес. ТЫв опе й1аепв1опа1 пес 1в гергевепсед 1п Р19. 51,Ь. Сапа(бег СЬе 11пеаг врасе, О , аЕ Еипсс1опв де(1пед оп сЬе опе-бсвепв1опа1 пес оЕ Р1д. 51,Ь. ТЬе пес Еипсс1опв и Р р О, 1, ..., р, тп рагС1си1аг, Ье)опк Со СЫв врасе. Ме аввиае сЬас сЬе 11пеаг врасе тв погвед. Рог ехавр1е СЬе поги оЕ СЬе е1евепг и " )и, и, ..., и ) в1КЬС Ье 0' 1' ' М Рт Х1чеп Ьу апе оЕ сЬе е9иас1опв СЬареег !3 Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог 594 иЬЕпЬ 1в сЬе й1ЕЕегепее апа)орое оЕ сЬе 41ЕЕегепг1а! е9иаг1оп Зги Зги — — ф(х,г), 0 < С < Т, < х < (11) ЗС2 дх2 1п сопсгавс со ехащр1е 1, СЬе во1ис1оп и оЕ сЫв 41ЕЕегепсе (Ь) ериас1оп 1а пос десегщ1пед Ъу Есв ча1иев ас сЬе пес-ро1пгв оЕ опе 1ече1 с рт.
Неге 1с !в песеввагу со Кпои СЬе ча1иев и ас СЬе пес-ро1псв оЕ сщо (Ь) 1ече1в! с = рт апЬ с = (р+!)т, 1.е. ча!иеа оЕ сЬе чеесог-Еипсс1оп (Р12. 52„а) ") Р и Р Р Р "* и-! иа Ргощ СЬе ча1иев оЕ ир, СЬгоиНЬ иве оЕ ЕО. (!0), опе сап деЕ!пе, вериеп- р+! р+2 С1а11у, ир, ир, еСе. 1п ассогНапсе и1СЬ СЬеве аопв14егвг1опв ие сасе, ав враге О „сЬе враге оЕ чепсог— Ь" Еиппс(опв (Р12. 52,Ъ) у "° Ъ! ЪО Ъ! °" ттв Т и1сЬ воще поги и и!!. Сопсегп1пН сЫв поги ие васе сЬе Ео!!ои1пН гещагКв. ТЬе во1ис1оп оЕ НЕЕЕегепг1а! еоиас1оп (!1) 1в Несегщ1пей Ъу сио Еиппс1опв: ЪР ь) и(х, с ~ апН Эи(х,г) иЬове д1ЕЕегеппе апа!ариев аге, геврепс1че1у, сЬе пеС Еиппс1опв Р Р Р и-!' иО' и!' ап4 †! -! 0 0 ! 1 т т т ТЬегеЕоге апу пагига1 поги 1п арапе Н щивс дерепд оп ЬоСЬ сЬеве пег Ь Еипег1опв.
Не пщу, Еог ехащр1е, гасе ЯАО Ьече1"Ясгипсиге ос СЬе Ечо1ис1опа1 Яо1иг1оп 395 (Ь вЂ” а ) )н) ) вир)а ) + вир~ ог ,1/г ))и)( = ~Ь )()а ) + — )Ь вЂ” а ) )~ а АЕсег сье 1псгодиос1оп о( а пога 1а арапе н ве аисоаас1са11у еес а поги, ч1а ЕН. (9), сп СЬе вРасе, О , ос пеС ЕипсС1опв Ве11пед оп СЬе СвоЬ' 61аепв1опа1 иег; ))и )) = аах))и )).
Ь Неге р гиии сигоияЬ сЬове ча1иев р = О, 1, ° ° °, (Т/с), Тог мЫсЬ сЬе геЕгоп ос Ве11п1С1оп ос СЬе пес чессог-Типсг1оп Ье1опЕв Со сЬе сао — д1аепв1опа1 Воаа1П оЕ йеяспаг1оп ой СЬе пеС Еиппг1оп и (Ь) 81псе, Ьу СЬе сопчепс1оп ве'че адорсей, а11 оиг погав аивг Ье оЕ Тога (9), СЬе 1пеоиа11гу вЫпЬ, Рог а 11пеаг орегасаг Ь в1ЕП111ев всаЫ11су, св еНП1ча1епг Со СЬе 1пеооа11Су ))и )) < оиЕ ))Р Рог а11 сЬове р Рог аЫоЬ сЬе Типсс1оп ор 1в Ве(1пей. ТЫв сигпв оис со Ье оопчеа1епг Тог СЬе всиВу ой всвЫ11гу.
РЕОВЬЕМЯ 1. Ое(1пе сЬе арапе Н сог сЬе д11(егепсе всЬеае Ь г хх"ап уу"Вп 9' В' Уи' р)' и О, ив 9(х , у ), ВП!Т ВП а' п В, а = !, 2. .. ° , М-1; МЬ 1, р = О, 1, ..., (Т/г)-1; Сопвггиес1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегвсог СЬаргег 13 39б р+1 и — и Р и — и вп ап Л и т уу вп' и ! = и ~ О, нв - Ф(х , у ), р ) ~Г Г в' п в, п= 1, 2, ° ° ., И-1; НЬ = 1; р О, 1, ...„(Т/т)-11 Г 1в сЬе 1асегв1 Ьоипдагу ой сЬе рпгп11е1ор1ред О < х, у < 1, О < с < Т. $41 Зсасевепс оЕ сЬе Нсййегепее фонти)агу-еа1ие ргобйеа сЬе йога и"' = к ир + трР 1.
Сапоп1па1 йога. Не е111 иг1ге СЬе б1ййегепсе всЬеве ир -и ир ф р = О, 1, ..., [Т/т)-1, в в* Еог СЬе ргобйев и — и = ф(х,г), с х н(х,О) = ф(х), О<с<Т, <х< 1п СЬе Гога и = ((1 - г)и + ги ~ + тф р+ 1 нв = ф, г т/Ь. в в 11 ее вес ир+ = (1 — г)ир + гир в в в+1' Рр Фр, (2) ЕН. (1) сап Ье геиг1ссеп 1п сЬе Еога неге (х , у , с ) (вь, пь, рт), апд Г сопв1всв ой сьове пес †ро1п вьйоь а' п' р 11е оп СЬе 1всега1 Ьоипбпг1ев оЕ сЬе рпга11е1ор1ред О < х, у < 1, О < с < Т. 2. ОеЕ1пе сЬе арапе О' Еог сЬе дсййегепее-вр11сс1пН-всбеве Ь ВгаСеаепс оЕ О1ЕЕегепсе Воипдагу — На1ие РтоЫеа 397 -,Р +СР +1 +1 цо ТЬе сета ч 1в соар1есе1у десета1пе6 Ьу ир = (и ~.
во сЬас ие аау иг1се р+1 «Р~~ Р ир «Ьеге К. 1в ап орегасог «МСЬ аарв еаеЬ пеС Еипсс1оп о 1п В 1пго а пес и Ь ЕипоС1оп ч 1п О ч1а 29. (2). 1п сМв посас1оп В9. (1) гасов СЬе Еога Ь ир К ир + трр +1 Ь (3) и" 61«еп. 1п сЫв весс1оп ие вЬои а1во Ьу оСЬег ехаар1ев Ьои опе сап гедиое ап ечо1ис1опа1 61ЕЕегепее Ьоипбагу-часов ргоЫеа — Е( Ь (4) со Сота (3). РигсЬег, ие евсаЫ1вЬ СЬас СЕ, 1п СЫв гебиос1оп, сегса1п пасига1 геои1геаепСв аге ваг1вЕ1ед, сЬеп всаЫТЕсу оЕ ргоЫеа (4) оп СЬе 1асегча1 0 < С < Т 1в е9и1ча1епс Со Еи11111аепс оЕ сЬе 1пеоиа11су ))Кр~~ < К, р = 1, 2, ° ° , (Т/т ) (5) Р)! < ИЕ(Ь)(( Ь (6) Врео111са11у, Ес иав вЬоип СЬас всаЫ11су 1в е9и1ча1епс Со сЬе ех1всапое оЕ а пиаЬег с, 1пдерепдепс оЕ Ь ап6 Е 1п Р, висЬ сЬас 1пе9иа71су (6) 1в (Ы вас1вЕ1е6 Еог а11 р, р = 1, 2, ..., (Т/т) ° Мои ие аес оис со 1ар!еаепг СЬе ргоровав р1вп, агагс1пв «СсЬ ап ехаар1е оЕ сЬе гебисс1оп оЕ а 61ЕЕегепсе всЬеае со Еога (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
