Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 52
Текст из файла (страница 52)
С й Ю (!О) апд (11) сепд со сего ав М > Р16. 46. ТЬе ргооЕ аЕ сЬеагевв 3 апй 4 1в Ьавед оп сЬе Ео11ои1пд 1еааа. ъеааа. Оирроее суас п(х,у) ва Еп у, апй а(в) > ор > О. тАеп ые юау ыг(се *Ае уо11оыйпд (пеоиаИсуг / / пгдхйУ < В (/ / ~/д- ) ) + / — "/ )дхдУ + / о(в)а~да/. (12) П 0 ду Г Неге В 1» а сопвсапс ыЬове на1ие 1в соар1есе1у йе11пед Ьу сЬе доаа1п 0 апд сЬе пиаЬег о0, апй доев пос дереад оп сЬе Гипс<.1оп п(х,у) 1п Я. Не ргоие 1пеоиа11су ( 12) ипдег сЬе аддсс(оп>1 аввиирс1оп сЬас еасЬ 11пе у = оопвс спсегвессв сЬе Ъоипйагу Г оЕ- доаа1п 0 1п ас аавс гио ро1псв.
ТЬЕв аввиврс1оп 1в 1п по иау еввепс1а1, Ьис сопвЫегадгу вЬогсепв СЬе ргоаЕ. Яирраве х апд у аге ро1псв 1псег1ог со доаа1п 0 (Р16. 46). ТЬеп п(х,у) п(х',у) + / ' дс. дп(с,у) (13) Ъес ив пои вс(иаге ЬосЬ вЫев оЕ 1пециа11су ( 13) апд иве сЬе оЪн1оив 1пессиа11су 2АВ < Аг + В", на1ы еог апу сыо пиаъегв А апй Вс 23 пг(х,у) < 2 и (х ,у) + 1 — 6-' — дс) ~ 2 с дп(с,у) х' (14) ыуеге >в вове оопвсапс оотргесе1у йесегесйпес( Ьу еуе уогпс оу сЪе доха<и О> апй по* йерепй(пд оп ЬЪе ~ивах<оп и тьеогев 4. Вес ы Ье ап агь>с>игу уипосйоп (п у.
ГАеп 63В Чвгсас1апа1 апй Рго)асс!оп МесЬойв 363 Яе пае арр1у сЬе ВопуаСочвСУ 1пепоа11су* х ~~П(х,у)~ х (15) СаиЪ(п1пВ (!4) апй (15) ее Вес. х пв(х,у) < 2(п~(х',у) е (ь — а) > ( — 2 — ' ) йх~. (16) х 1псергас1пЕ ЬасЬ вЫев ор (!6) очег х Ггаа х = х' х (у) са х = х х" (у), апй ов1пх сЬе (асс сЬас сЬе г(ЕЬс Ьапй в1йе йоев пос йерепй оп х: х х ! ( ,у) * < 2( " - >1 2( ,у> + (Ъ вЂ” > > ~ЮРУ)3 1 < х х' вх 2(Ъ вЂ” а)!П'(х',У) + (Ъ вЂ” а) ! ( — д' ) 3 вх х / !с псйхйу < 2(Ь вЂ” а)[> п2(х',у)йу + (Ь вЂ” а) > > (2 †) йх йу). (!В) Π— $х С1еаг1у й пс(х,у)йу < > пс(в)йх < — > о(в)пхйв; с Г О Г (19) > Л Васс,„ „ > >~(2п)' , (Вп)с~й„ ,„ (20) Ргое ( 1В) «пй ( 19) 1с Ро11оев СЬаг *Овоа11у са11ей "ЯсЬеагв'в 1пе9оа11су" 1п ЕпЕ11вЬ.
(Тгапв1асог'в посв.) Мое юе 1псехгасе ЬосЬ в1йев ас 1пепоа11су (!7) очег у, (гое у с со у й апй Вес 344 уаг1ас1опа1 апй Рга)ес»1оп Ме»Ьойв СЬарсег 12 ! ! Пх йх йу < О < 2(ъ — а)[ — ! апгйв + (ь — а)! [([2-] + [2-] ]йх йу] < 1 2 Зп 2 Эп 2 О Г О < 2(Ь вЂ” а)пах[ †, Ь вЂ” а] 1 О [! [[[ †] е [2 †] ]йх йу + ! о(в)пгйв], ап 2 эп 2 а» Г 1пЕегепсе. Мирраве Е(х,у) йв сл у, апй 4] О. ТЬвп СЬе РгсейгсоЬв Г специа(ЕСР ! ! (2йхйу < о ! ! [[~~] + [24] ]йх йу, 3! Э'у Ев иа(йй у»14 а = 2(Ь-а)2. (21) РгаоЕ.
Бес о в аО 1/(Ь-а). Рог а Еипсс1ап 4(х,у) в п(х,у) 1п И, вас1в(у1пй сЬе аих111агу сопй1с1оп Е] у] О, 1пе4иа11су (12) васев сЬе Г Г Еога (2!), вЬеге а В = 2(Ь-а) РгооЕ оЕ ТЬеогеа 3. Гог еасЬ Еипсс1оп в 1п И, и] 4(в), сЬе Еипсс1ап ( в — и вас1вЕ1ев сЬе сопй111апв мЫсЬ а11ом ив со йейисе ЕП. (21) ав ап 1пЕегепсе Егоа сЬе 1еааа. ТаЫпй ассоипс оЕ (4) ! [[ -] + [.~-] ]йх йу 1(и) - 1(и), (4 ) опе сап вг1се ЕО. (21) 1п сЬе йога [„! (и — и)ейх йу < а[1(в) — 1(и)).
(21") Айй1пй 24. (4 ) со 1пейиа11су (21") опе Месв Кв. (10), в1сЬ а а + 1. ТЬеогеа 3 1в рговеп. иЫсЬ 1», 1п Расс, 1пееиа11су (12) и11Ь В сасеп ав В 2(Ъ-а)пах[(1/о ),Ъ-а] Чаг1ас1опа1 апй Рго)есс1ап ИесЬойв 365 РгооЕ ой ТЬеогев 4. Раг апу йипсс1оп и 1п Я, и в — ч вас1вЕсев сЬе сопй1с1апв ой сЬе 1евва, апй сЬив а1ва 1пе9иа11су (12). Та81п8 1ыо ассаипс Ес. (8) / ! [[ 2) + [ и) )йх йу + / о(в)пгйв " 3(и) — З(ч), (8 ) Г Есиас1оп (12) сап Ье иг1ссеп 1п сЬе Еогв / / (в — «)сйх йу < 3[2(и) — З(ч)!. О (12 ) Айййп8 (8 ) апй (12 ) сегв Ьу сегв, апй 81всагй1пЕ йгов сЬе 1ейс"Ьапй в1йе сЬе поп-пейас1че вега' ! о(в )пййв, ие Еес 1пеоиа11су ( ! ! ) «1сЬ сЬе сопвсапс Г 8 В + 1. ТЬеагев 4 1а ргочеп.
3. ТЬе чаг1агхопа1 веспой ой Ейся. Рсоа сЬеагевв 3 апй 4, Ьу чсгсие ой 1печиа11с1ев (10) апй (11), 11 Го11авв сЬас опе вау сайе, ав арргох1вас1опв со ва1ис1опв и апй ч ай Ьаипйагу-ча1ие ргоЫевв (А) апй (8) сЬове йипсс1опв иИсЬ, авоп8 а11 айа1вваЫе (в сп я апй ч)Г ф(в) йог ргоЫев (А) апй и 1а Я йог ргоЫев (8)), Есче со сЬе Еипсс1опа1в 1(ч) апй 3(и) ча1иев с1ове со сЬе а1п1ва, 1(и) апй Э(и), ачег сЬе саггеврапй1пЕ с1аввев ой а11оиаЫе йипсс1опв. >в (х,у), в (х,у). .. в (х,у)> Я М М (22) вас1вйу1пЕ сЬе сопййс1оп (23) п!Г ви Сопв1йег, поч, сЬе М-81вепв1апа1 11пеаг врасе, РГ, ой а11 ровв1Ые 11пеаг совЫпас1опв оЕ йипсс1опв (22) М в (х, у, а , ..., а ) 1 а в М пп' п 1 иЬеге а1, ..., ар аге агЫсгагу геа1 пивЬегв, Раг сЬе ассиа1 йесегв1пас1оп ой арргох1аасе во1иссопв 81ся ргоровей, 1п 1908, а весЬай иЫсЬ ие ргевепс, Е1гвс, ав арр11ей со ргоЫев (А).
Рог сопчеп1епсе 1п ргевепсас1оп че и(11 аввиае сЬас, 1п сЬе Ьаипйагу сапй1ссоп оГ А, ф(в) = О, во сЬас и)Г = О. ТЬе 8«пега1 саве, ф(в) Е О, гейисе* со сЫв опе йй че Еа очес со а печ ипхпоип Еипс>1оп й> и и + Ь, вЬеге Ь(х,у) 1в апу си1се 81ЕЕегепс1аЫе йипсс1оп вас1вйусп8 сЬе Ьоипйагу сопй1с1оп Ь)Г ф(в). ТЬе Еогва1 всЬеве Еог Е1пй1п8 ап арргах1васе во1ис1оп Ьу сЬе 81сх веСЬой сопв1всв ой сЬе Ео11оч1аЕ всерв. Оев18пасе Ьу И сЬе 11пеаг врасе оЕ а11 йипсс1апв ч 1п )[ вас1вйу1п8 сЬе Ъоипйагу сопй1с1оп и)Г = О. СЬоове а ров1с1че 1псейег М, аай апу М 11пеаг1у спйерапйепс Еипс>1оп Чаг1ас1опа1 апй Рго)есс1оп МесЬойв СЬарсег 12 366 Ме пов вееК, 1п р1асе оЕ а Еипсс1оп и в и в1п1а1в1пМ сЬе Еиптс1опа1 о 1(и) ачег сЬе арапе М, а Еипсс1оп м (х, у, а, ..., а ) а1п1в1в1пМ сЬе М ' ' 1 и о Еиптс1апа1 1(и) оп сЬе вес оЕ а11 Еипсс1опв 1п сЬе М-61аепв1опа1 враге М 1с 1в сЫв Еипсс1оп в (х, у, а, ..., а ) в й (х,у) вЫсЬ ие и111 тасе ав М ' ' 1' ' М М сЬе арргох1пасе во1ис1оп Еог сЬе Мсчеп оЬо1се оЕ М Ъав1в Еипсс1опв (22).
ТЬе ргоЫеп оЕ йесегп1п1пй сЬе Еипсс1оп в (х,у) 1в 1псоарагаЫу в1пр1ег М сЬап сЬас оЕ еча1иас1пМ сЬе йев1гей ехатс ва1ис1оп и(х,у). 1п Еасс (а " М~ 12 ~ М + и- !. а и / ~ йх йу + 2 ! ! Е ) а ю йх йу, у 1 п п О 1 (24) ! 4 а ш ~ йх йу < О п 1 / м 42 т м ~2 <е!! — 4таш+ — )аыйхйуО, Егоа вЫсЬ сс Еа11оив, йевр1се сЬе 11пеат 1пйерепйепсе оЕ сЬе ю 'в, М, п сЬас М ам(х,у) и О. п п сЬе ргочеп ров141че-йеЕ1п1сепевв (24) Ьав а ип1ссие а1п1пип. ТЫв а , п 1. .. ° , М, Еог иЫсЬ п' 211иМ(х, у, а» .*., аМ)] Ва О с п Весаиве оЕ оЕ сЬе Чиайгас1с Рота а1п1виа 1в асса1пей Еог сЬаве ехртевв1оп ча1иев а п п 1, ..., М.
(26) апй ве аге пов 1ооК1пй Еот М пиаЬегв а, ..., а, вЫсЬ п1п1п1ве сЬе Еипс- 1' ' М' с1оп 1!и (х, у, а1, ..., аМ)) оЕ М чаг1аЫев. Ме вЬав пехс сЬас висЬ а вес оЕ пиаЬегв а1, ..., а ех1всв. ТЬе Е1гвс сета ап сЬе г1МЬс-Ьапй в1йе оЕ ехргевв1оп (24) 1в а с(иайгас1с Еогв сп а1, ..., а .
1п ч1еи оЕ сЬе 11пеаг 1пйерепйепсе оЕ Еипсс1ап вувсеп (22), сЫв Еага Еог а Е О вивт Ье *сг1сс1у ров1с1че, в1псе 1п сЬе сопсгагу саве 1с вои16, Еог вове вес аЕ е т О, Ъе М епиа1 са вето апй ие вои1й паче, Ьу ч1тсие оЕ (21) Езв Чаг1ас1апа1 апй Рго)есс1оп МесЬойв 367 1а йеса11, сЬе 11пеаг вувсеа оЕ е9нас1оив (25) Еог сЬе пнпЬегв а, °... а сап Ье вг1ссеп 1п сЬе Гога М М ~Эю Эя Зш Зв 1 1 х х у у а / / ~-~ — + 9 — З вЂ” йх йу - - / / Ею йх йу, М В (26) п = 1, ..., М. Зо ав го вЬЬгечсасе посас1оп, апй Еог сопчеп1епое Ье1оя ве соив1йег, а1апх в11Ь сЬе погаей враге М, сЬе 11пеаг враге Я сопв1вс1пМ оЕ сЬе ваап Енпсс1опв ав 1п М, Ьнс в1сЬ сЬе вса1аг ргойнсс (я , в ) (я ,в ) - =/ / ф- -~~~ — + ~~ — -~Š†)йх йу + / о(в)в я йв, О х х у у Г (27) мЬеге о(в) > о > О 1в вове 61чеп Енпсс1оп.
ТЫв вса1аг ргойнсс 1пйнсев а пега )(в!) 1и сЬе враге М ч1а сЬе ехргевв1оп М М М М а (ю , ш ) = — / / Ею йх йу, п 1, ..., М. (29) 1! 1 1' и О п Мосе сЬас сЬе аасг1х оЕ вувсеа (29) М М) / М М) 1в сЬе Сгаа васг1х оЕ а вувсеа оЕ 11пеаг1У 1ийерепйепг Енисс1опв (22). Ргоа а всапйагй сонгве 1п 11пеаг а)МеЬга ме Сиоп сЬас сЬе йесега1папс оЕ сЫв еасг1х 1в 61ЕЕегепс Егоа вего.
с ТЬе во1нс1оп а а, и 1, ..., М, аЕ вувсеш (29) пов ргоч1йев сЬе и п' Енпсс1оп в (х,у) я (х, у, а , ..., а ) вЫсЬ опе васев ав гЬе арргох1аасе во1нс1оп. ТЫв Енпсс1ап м а11омв а М в1ар1е Меоаесгсс 1пгегргесас1ап. ~~„~~г / / (26) о М Ме йев1Мпасе Ьу М сЬе внЬврасе оЕ Енпсс1опв в 1п М ваг1вЕУ1пМ сЬе сапй111оп я!Г = О ° АЕсег сЬе 1исгойнс11ап оЕ сЬе вса1аг ргойнсс вуясеа (26), сЬапсв со сЬе сопй111оп в ~ -- О, саСев сЬе Еога М! !Г СЬарсег 12 368 Оаг1ас1опа1 апй Рго)есс1оп МесЬойв Ргов (4) апй (27) ве Ьаче 1(и ) - 1(и) (в - и, в — и), М М М РигсЬег 1(и ) - 1(и) в1п (1(в) — Ци)) М ОМ в 1п М в1п(в-и,и-и)=(в — и,в-и) ° О М ' М и 1пМЕ ТЬив в 1в сЬас е1евепс оЕ сЬе 11пеаг М й1вепв1апа1 враге и вЫсЬ, оЕ а11 М е1евепсв егессей ап сЬе Ьав1в (22) (1.е. 1п сЬе "арап" оЕ сЬе Ьав1в Еипсс1опв), йеч1асев 1еавс (гав и 1п сЬе аепве оЕ поги (28), 1.е.
в 1в сЬе О М рго)есс1оп оЕ сЬе во1оссоп и апса сЬе виЪврасе Я 1п сЬе вепве аЕ сЬе вса1аг ргойисс (27). Ас сЫв ра1пс ве Ьаче савр1есей аиг Еогва1 ргевепсас1ап оЕ сЬе Мссс всЬеве Еог йесегв1п1п8 арргах1 песе са1ис1апв. Вес ив пов вее вЬас йесегв1пев Ьаи с1ове сЬе арргох1васе во1ис1оп "М "М(х У а1. ' " . аМ) соврисей Ьу сЬе Юсв весЬой, сопев со сЬе ехасс *о1ис1оп оЕ ргоЫев (А), 1п вЫсЬ ве Ьаче айорсей сЬе аввиврс1ап сЬас ф(в) О. Масига11у сЬе Оиапс1су )(в — иИ йерепйв ироп сЬе сЬо1се оЕ Ьав1в Еипсс1опв (22).
ТЕ, Еаг М в ехавр1е, сЬе Ьав1в Еипсс1опв (22) Ьай Ьееп сЬовеп 1п висЬ а вау (Ьу ап 1вргаЬаЫе асс1йепс) сЬас сЬе Еипсс1оп о сигпей аис со Ье апе оЕ сЬе ОМ Еипсс1опв оЕ сЬе М 81вепв1оаа1 врасе М 1у1оМ 1п сЬе арап оЕ сЬе Ьав1в (22), сЬеп сЬе арргох1васе ва1ис1оп, в, вои18 со1пс1йе в1сЬ сЬе ехасс М' во1Ы1оп и. Еп Еасс 1(в ) — 1(и) = в1п (1(в) - 1(и)) = 1(и) — 1(и) = О М О М вспМ апй Ьу сЬеагев 3 )(в - и Й < а(1(вМ) - 1(и)) О. Вис сЬе Еипсс1оп и 1ч саМпамтс са ив, апй ие Опав оп1у сегса1п аЕ 1св ргорегс1ев, ргарегс1ев пас реси11аг са 14 а1опе Ьис со а чЬо1е с1авв О оЕ Еипсс1опв. Вирраве, Еог ехавр1е, ве Спев сЬас сЬе веса гй йег1часйчев оЕ сЬе Еипсс1оп и аге сопс1пиоив, апй Ьоипйей Ьу сЬе сопвсапс М. ТЬеп сЬе с1авв О саав1всв оЕ а11 св1се-сапсспиоив1у-81ЕЕегепс1аЫе Еипсссапв сЬе весапй йег1час1чев оЕ чЫсЬ йоп'с ехсеей М, апй вЫОЬ вас1в(у сЬе сопй1с1оп и) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
