Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 51
Текст из файла (страница 51)
ТЬе геви1св оЕ сЬеве 1сегас1опв аге сЬеп 1псегро1асей опто сЬе пехс си1се-ав-Етпе песс сЬгоиКЬ иве оЕ сЫв 1псегро1асед .Еипсс1оп, опе -( Ис-2 >* > геЕ1пев сЬе всогей соггесс1оп, Ч, регса1п1пй со сЫв пес, регЕогав вечега1 1сегас1опв, апй сагг1ев оис сЬе пехс 1псегро1ас1оп. Оп сЬе пехссо-1авс веер, аЕМ т соггесс1пй Ч* апй 1сегас1пК, опе Меся сЬе соггесс1оп Ч*, еЫсЬ 1в сЬеп 1псегро1асей опсо сЬе ог1К1па1 пес.
ТЬеп, регЕогв1пК вове 1сегас1опв (2) оп О-У, сЬе Е1па1 геви1с 1в оЬса1пей. СЬарсег 12 ТЬе Сопеерс оЕ раг1ат1оаа1-РЕЕЕегеапе ввд ргоДеет1оа-РЕЕЕегеаее БеЬеаев 1п сИв еЬарсег ше ргевепс а шесЬод Еог сопвсгисс1пй 81ЕЕегепсе всЬешев, Ъавед оп сЬе иве оЕ опе ог апосЬет чат1ас1опа1 ог ртодесс1че Еогши1ас1оп оЕ сЬе Ьоипдагу"ча1ие ргоЫеа аЬове ко1ы1оп ае и1вЬ со еча1иасе пишег1па11у. ТЫв аесЬод, вошес1аев са11ед сЬе Еспссе е1еаепс аесЬод, а11ошв опе со сопвсгиес еууесс1че 81ЕЕегепсе всЬнаик оп 1ггейи1аг пеев, апд ш1сЬ а ш)п1аиа оЕ авкиарс1опв ав со сЬе ваьосЬпевв оЕ сЬе йев1гед во1ис1оп, ог оЕ сЬе соеЕЕ1и1епсв оЕ сЬе еииас1оп. ТЬапсв со сЬе геви1сспй Егеедош 1п оиг сЬа1ие оЕ пеев сЬе пес-ро1псв аау Ъе дйвсг1Ъисед шоте депве1у 1п сЬоке рагсв оЕ сЬе доша1п оЕ деЕ1п1с1оп оЕ сЬе дев1гед Еипис1оп шЬеге 1св Гога 1в рагс1еи1аг1у сошр11свсей, ог чЬеге ше аге 1псегевсед 1п сЬе Е1пег деса11в оЕ 1ск ЬеЬач1от.
Сит аЫ11су со 81всг1Ьисе ро1псв арргорг1все1у а11оав ив со асса1п а дев1гед асеигасу а1сЬ в а1п1аив пишЬег оЕ пес-ро1псв. ТЬе шесЬод оЕ Е1п1се е1ешепсв аау Ье 1псегргесед ав опе оЕ сЬе ровв1- Ые геа11хас1опв оЕ сЬе е1авв1са1 чаг1ассопа1 аесЬодв Еот сЬе во1ис1оп оЕ Ьоипйату-ча1ие ргоЫешв. Рог сЫв геавоп ае Ье81п (538) ш1сЬ а девсг1рс1оп оЕ сЬе е1авв1иа1 чаг1ас1опа1 апй ргодеес1оп ч-схода, апд сЬеп ($39) 81киивв чаг1ас1опа1-811 Ее ге псе ксЬеае в . 138. Чаг1ат1опа1 впд ргоДепт1оа аеСЬойв 1. Раг1вт1оаа1 Еотши1ат1оа оЕ Ъоипдагу-ча1ае ргоЫеаа. Сйапу 811- Еегепс1в1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫешв оЕ шасЬешас1са1 рЬув1ив шркйс пасига1 чат1кс1опа1 Еогши1ас1опв.
Уе 11а1с оигве1чев со а сопв1йегас1оп оЕ счо в1шр1е ехаар1ек оЕ висЬ ргсЫекш апд сЬе1г чвг1вс1опа1 Еогви1ас1опв шЫпЬ, Ьоаечет, 111ивсгасе шЬас 1в еввепс1в1 Ьеге. 1п сЬеве ехавр1ев ше ш111 Ъе 81веивв1пй чаг1оив Ъоипдвгу-ча1ие ргоЫешв Еог сЬе Ро1ввоп еЬоас1оп 1п а иегса1п Ъоипйей доша1п Р оЕ сЬе ху р1апе, а1сЬ в р1есеа1ве-вшоосЬ Ьоипдату Г. Ре йев18пасе Ьу У сЬе 11пеат арапе оЕ а11 Еииес1опв сопс1пиоик 1п йоша1п Р апд оп 1св Ьоипйагу Г апй роввевв1пй, 1п адд1с1оп, Ьоипйед Е1гкс детсчвс1чев иМсЬ аау Ьаче 81веопс1пи1с1ев оп1у оп а 11п1се вес оЕ 11пев (а вес аЫеЬ аау Ье 81ЕЕегепс Еог еапЬ оЕ сЬе Епсис1опв, и(х,у), 1п красе у).
Не а111 1пстодисе а пота, 1п арапе У, весс1пй Наг1ас1опв1 апй Рго)есс1оп МесЬойв СЬарсег 12 358 1/2 Й 13„ - [С С 'йхйр + 1ОЛЯ + СУ"-Э 1йх йу] Еог еасЬ оЕ 1св аеаЬег Еппсс1опв и. Соар1ес1оп оЕ сЬе врасе И 1еайв со сЬе соар1есе 5оЬо1еч врасе И . ! Ьес пв пое спгп со а сопв(йегас1оп оЕ ехаар1ев. Ехаар1е 1. Сопв1йег сЬе Е1гвс Ьоппйвгу-ча1пе ргоЫеа (сЬе О1г1сЫес ргоЫеа) Э со Эсп — + — Е(х, у), (х> у) 1п О, Эх' Эу' "!Г - Ф(в) (А) е! А(в), (2) сЬе во2и*ъоп и(х,у) оу' ргоЫет (й! дспев со ЕЬв вхргеввсоп (ог вУипоС(опа(в) 1( ) -=! )'((Э:-) + ф) + 21 )йхйу (3) '5х '5'у (зв аппетит питвзсса1 васев. РгооЕ.
Ьес и(х,у) 1п И, и~ Э(в), Ье вове 51чеп 11хей Еппсс1оо, 1псгойпсе сье посас1оп ((х,у) в и(х,у) — п(х,у), во сьас ч(х,у) п(х,у) + 1(х,у). Я1псе п(х,у) Ьав сопс1ппопв весопй йег1час1чев, апй и(х,у) 1в 1п СЭ, сЬеп а1во Е(х,у) 1в 1п И апй, аогеочег, 1) О. Ие пои ргоче сЬас Г 1(и) в 1(п + 1) = 1(п) + ( /~(5-3 + (5-) !йхйу. ЭЕ " ЭЕ О У иЬеге в 1в сЬе агс-1епдсЬ а1опд сЬе Ьоппйагу Г оЕ йоаа1п О. РпгсЬег, Е(х,у) апй ч(в) аге Э1чеп Еппсс1опв, Еппсс1опв вас1вЕУ1пд а11 сопй1с1опв иЫсЬ аге пеейей со аввпге сЬас сЬе во1пс1оп, п(х,у), оЕ ргоЫеа (А) и111 Ьаче сопс1ппопв весопй йег1час1чев ечегуиЬеге 1п О, апй оп 1св Ьоппйагу Г. ЭЬеогеа 1. Атопд САе Гипсзйопв, и (п и', вазъвуу(пд СЬе Ьоипйапу сопс(111оп дзв Чаг1ас1опа1 апа Рго)есс1оп МесЬоав 359 Егоа иЫсЬ сЬе сЬеогеа Ео11оив в1псе, 1п сЬе саве ч(х,у) В о(х,у), сЬе Еопсс1оп Е(х,у) аоевп'с чап1вЬ 1аепс1саПУ, во сЬас сЬе весопа сега оп сЬе г1ЭЬс-Ьапа в1ае оЕ 29.
(4) 1в всг1сс1у ров111че, апа 1(ч) > 1(п). С1еаг1У цо + () в ! )[(~- е э-) + ~э — + д — ) + 21(п + ())ахау а„ а( ' эп ЭЕ ' 1(о) + ! !((~) + (~) )ахау + нх Эу + 2 ! ! ! „ + - — + ЕС)ахау. дп а( дп э( Ес геша1пв со ье «ьочп сьас сье сыга вега оп сье г1аьс-ьапа в1ае чап1вЬев. 1п Еасс> Егов сЬе оЬч1опв 1аепс1с1ев Эп Э( Эп ЭЕ Э Э» Э дп Эх 'дх 'ду 'ду 'дх ~ 'дх) 'Эу ! "Эу) — С( — '"+ — '") =- ~~(Е ф) + ~~ — !1~9) — ЕЕ г Э г х х (5) 1с 1011оив сЬас ! ! ( — — + — .Э- + ЕЕ)ахауЭп Эс ао Э( ах ах ау у 'Гд — (Е Э-"-) +,д — (6 Эао))ахау = ! Е,до ав О, х х у у Г п (6) дач дач — + — Е(х,у) аха дуа (х, у) Еп О, (в) дч — + о(в) ч) д(в) дп Г иЬеге Е(х,у), Ф(в) апа о(в) > оО > О аге д1чеп Еппсс1опв, апа Эч/Эп 1в сЬе аег1чаг1че а1опд СЬе 1пиага-асгессеа погва1.
иЬеге Эп/дп 1в сЬе аег1час1че а1опд сЬе 1пиага-а1гессеа погаа1. 1п сье пехс-со-1авс 11пс Еп сье сьа1п ое еэоас1опв (б) ие пвеа сье сЬеогев оЕ чессог апа1ув1в чЫсЬ всасев сЬас СЬе 1псевга1 оЕ сЬе аснегнепсе оЕ а чесгог Е(е1а очег а гед1оп 1в еооа1 со сЬе 11пх оЕ гЫв чессог Е1е1а асговв сЬе гед1оп-Ьоппаагу. 1п сЬе д1чеп саве сЫв Е1пх ! Е(дп/Эп)ав чап1вЬев, в1псе (~ = О. ТЬе сЬеогеа 1в ргочеп. Г ТЬпв ргоЫеа (А) ааа1св сЬе Ео11ои1пд час1ас1опа1 Еогап1ас1опс асвопд аП сдв Гипс*(опв оу с1авв (у во*Ее/уъпр оспа(с(сп /2), /апа сде опе Эдас лппавпаев *де уипс*сопа1 Х/и/, ае/(пеа Ьу ЕО.
(Э). Ехаар1е 2. Сопв1аег сЬе сЫга Ьоппаагу ча1ое ргоЫее Чаг1ас1опа1 апй Рго3есс1оп МесЬойв СЬарсег 12 360 дтолд а11 /илес(олв и Ел р ЕЬе во1ивсол о оу ргоЬЕвт (о) влл(т1авв Саче уилосйола1 3(и) В / / [[ †"] + [ †"] + гуе]йхйу + + ! [о(в)е' - 2ф(в) ]йв Г Ргооу. Ьес и 1п у Ье вове п1чеп Еппсс1оп, иЫ1е П(х,у) в и(х,у) - ч(х,у). Уе пое ргоче сЬе елоа11су ,1(и) в 3(ч + п) + 3(ч) + /[[ и] + [ и] ]йхйу е / о(ч)„2йв] Г (8) Егоа еЫпЬ 1с Ео11оив сЬас Еог е У ч, 1.е.
и Е О, ее Ьаче сЬе 1пелпа11су 3(и) ) 3(ч), иЬове ча11й1су 1в аввегсей 1п сЬе спеогеа. С1еаг1у, 3(и) = 3(ч + и) ! / [[У- + вх] + [2 в + в-] + 21(ч + П)]йхйУ Е Зч Зп ' Зч Зп ' + / [о(в)(ч + п)' — 2ф(в)(ч + п)]йв- Г 3(ч) + [! / [[Еп] + [Зп] ]йхйу + / о(*)пгйв] + 'Ех 'Эу Г + 2[/ / [Зч Эп + Зч Эп + Еп]йхйу + / [о(в)ч — ф(в)]пйв] ° дх Зх Зу Зу (9) / / [ — + З- л- + Еп]йхйу + / [о(в)ч — ф(в)]пйв 'Зх Эх 'Зу '5у — пйв + / [о(в)ч — ф(в)]пйв ! и[ — + оч — ф]йв О, Эч З ° Г Г Зп 1с гееа1пв Еог пв со вЬои сЬас сЬе ехргевв1оп оп сЬе г12Ы-Ьапй в1йе оЕ (9), 1п сЬе весопй рв1г оЕ паг1у ЬгаеЬесв, чап1вЬев.
1п Еапс сгапв(ога1пй сЬе йопЫе 1псейга1 1п сЫв ехргевв1оп ав 1п (б) ее хес ФЗВ 361 Чаг1ас1опа! апй Рго)еос1оп МесЬойв в1псе Зч/Эп + оч) в Ф. ТЬе сЬеогее Ьав Ьееп ргочеп. Г ТЬив сЬе сЫгй Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеа Еог Ро1ввоп ес(иас1оп (В) а11омв сЬе Ео11ом1пд чаг1ас1опа1 Еогаи1ас1опс спвопд а11 уипофйопв м сп у, !'Епй сдас опв мьйоЬ ахи(атаев *Не уииоссопа! ч(м) 1псгойиоей 1п ее. ()).
Уе й1гесс сЬе геайег 'в ассепс1оп со сЬе Расс сЬас сЬе й1ЕЕегепое Ьесмееп сЬе чаг1ас1опа1 Еогаи1ас1оав оЕ Ьоипйагу"ча1ие ргоЫеев ( А) апй (В) 11ев пос ап1у 1п сЬе й1ГЕегепсе Ьесмееп сЬе Еипсс1опа1в 1(м) апй 3(м). 1п а1п1а1в1пд сЬе Еипсс1опа1 3(м) ме аге а11омей, ав сг1а1 Еипсс1опв, а11 Еипсссопв м 1п М, мЫ1е 1п а1п1е1в1пд сЬе Еипос1опа1 1(м) сг1а1 Еипоссопв аге айп1вв1Ь1е оп1у 11 сЬеу вас1вЕу сЬе Ьоипйагу сапйсс1оп, м) Ф(в), оЕ Г ргоЫеа (Л) ° 1с 1в Ьесаиве аЕ сИв й1ЕЕегепсе сЬас опе са11в сЬе Ьаипйагу сопй1с1оп оЕ ргоЫеа ( В) "пасоса!": 1п сЬе чаг1ас1апа1 Еогаи1ас1оп 1с 1еровев по 11а1сас1ап оп сЬе с1авв аЕ айе1вваЫе Еипсс1опв.
2 Сопчегдепое оЕ м1п1мсв1пд вепиеппев. ТЬе ехасс во1ис1оп аЕ ргоЫее (А), ав ме Ьаче вееп, 1в гЬас Еипос1оп м(х,у) =- и(х,у) мЫсЬ, ааопд а11 а1(оыаЬ(е Еипсс1опв (1.е. Еипсс1опв м 1п Н вас1в(у1пд сЬе сапй111оп м) = Ф(в), е1п1е1вев сЬе Еипсс1опа1 1(м).
ТЬе пиаег1са1 ва1ис1оп оЕ сЬе ргоЫеа оЕ Е1пйспд и(х,у) сопв1всв сп сЬе сопвсгисссоп аЕ а Еипсс1оп, м 1п Н, м ф(в), мЫсЬ д1че с!се Еипсс1опа1, 1Е пас 1св а1п1аиа ча1ие, сЬеп ас 1еавс а ча!ие "с1ове" со сЫв а1п1еии. Ноге ргес1ве1у, Еаг соаршаг1опа1 ригровев опе еивс йев1дпасе а еесЬой Еаг сопвсгисс1пд сЬе сегев аЕ а вес(ивисе оЕ айа1вваЫе Еипсс1опв, м (х,у) 1п М, м ! Ф(в), Еог мЫпЬ М Г 11е 1(м ) = 1(и) Мч ВисЬ а вееиепсе оЕ а11омаЫе Еипсс1опв 1в са11ей а "а1п1п1х1пд вес(пеппе". СЬоов1пд а сепв, м (х,у), оЕ сЬе а1п1а1с1пд ведиепсе м1сЬ 1агде епоидЬ М, М опе сап асса1п а Еипсс1опа1 ча1ие, 1(м ), ав с1ове ав опе 11Сев со 1(и) . Сопр1еге1у апа1одоив1у, Еог сЬе чаг1ас1опа1 Еогеи1ас1оп оЕ ргоЫее ( В) а а1п1а1с1пд вес(ивисе оЕ а11омаЫе Еипсг!о м 1в апу вееиепсе оЕ Еипсс1опв, мд(х,у) 1п Н, Еог мЫсЬ 1са и(м ~ !(ч) ° М М ИесЬойв Еог сопвсгисс1пд а1п1а1х1пд вес(иепсев Еог чаг1ас1опа1 ргоЫеав (сЬе М1сс аесЬой, апй чаг1ас1опа1 й1ЕЕегепое воЬееев) м111 Ье роспсей оис, Ье1ам, 1п сЬ1в оЬарсес.
Неге ме м111 ргоче ап1у СЬас а1п1а1х1пд вециепсев сопчегде 1п сЬе аеап-вс!иаге вепве, содесдег м1сЬ СЬе1г Е1гвс дегсчас1чев, са сЬе во1ос1опв и апй ч оЕ сЬе гевресс1че чаг1ас1опа1 ргоЫеев, ва сЬас сЬе1г сегив аау Ье сопв1йегей ав арргох1еас1апв со сЬеве ва1ис1апв. Маге ргео1ве1у, ме м111 ргоче сЬе Ео11ом1пд смо аввегс1опв. ТЬеогее 3. яиррове СЬас м св йп Ас, и~Г Ф(в) ° ТЬеп СЬарсег 12 Наг1ас1опа1 апй Рго)еос1ап МесЬойв 362 ((и — и))г < «с(1(ы) — 1(и)], (10) )(и " ни < В[й(и) — 3(и)/, ЫЪЕГЕ ЕЪЕ ООПВСаи* В > О йЕРЕПйе ОП1У ОП СЪЕ УОПП ОУ ЕЬЕ йеыаЕП Р, аид ОП ЕЪе диапг(гу впп о(й) ао > О, ЬиС пов оп ы У Впиас1опв (10) апй (11), 4(У с1еаг1у, 1ар1у сЬе оопнегуепге аЕ а1п1а1в1пд веоиепгев, Еог СЬе иаг1ас1опа1 Еагаи1ас1оп оЕ Ьоипйагу" Фу) (хйй ча1ие ргоЪТеав А апд В, со сЬе1г "С) во1ис1опв, и апд в гевресс1не1ус иЬеп и 1в гер1аоед Ьу а аеаЪег и оЕ сЬе соггевропдЫВ а1п1а1а1пд С веаиепсе, сЬе г1ВЬс- апй сЬеге(оге >1>о сЬе 1еЕс-Ьапй в1йев оЕ ЕНв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
