Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Месбобв Еог сЬе ехасс во1«с1оп аЕ ргоЫеш (1), сараЫе оЕ О«пег«11«ас1ап со сЬе иаве оЕ чаг1аЫе соеЕЕ1с1епсв апд с(ош«1пв ч1сЬ иигч111пеаг Ьоипйаг1ев (11Ье сЬе Свив« е11шспас1оп шесбас() Еаг М ас а11 1«гае Ьесоше зету 1исопчеп1еис, апЬ свис( пос со Ье ивед. Уе ргевепс, Е1гвс, вове 1«сгобиисогу, ог1епсас1«па1 иоп«1дегас1опв.
ТЬе во1ис1оп и(х,у) оЕ ргоЫеш (2) иап Ье с«Ь«п со Ье сЬе с1ше 1«пер«обе«с сешрегасиге ас ро1пс (х,у) оЕ а р1асе 1п сЬегша1 еии111Ъг1«ш. Типис1опв Е(х,у) апс( р(в) аге 1п сЫ« иа«е, гевреис1че1у, сЬе «1«сг1Ъис1опв оЕ Ьеас ваигсев аис( сЬе сешрегасиге оп сЬе бои«с)агу. Сои«сбег сЬе аих111агу попвсас1оаагу Ьеас-Е1ош ргаЫеш аО а"О атО = — + — - Ф(х,у), ис Эха ауа О! $(в), Г (3) О(х,у,О)=Р(х,у), О чЬеге Ф аиб Р аге сЬе ваше ав 1« ргоЫеш (2), апб Р (х,у) 1« «гЫсгагу. О 51«се сЬе 41«сг1Ъис1оп оЕ Ьеас воигсеа Ф(х,у), аи4 сЬе бои«Лагу сешрегасиге 1(в), аге с1ше-1«с(ерепдепс, 1с 1« пасога1 со ехресс сЬас сЬе во1«с1оп, О(х,у,с) ч111 иЬ«пае шоте ап4 шаге в1ои1у ш1сЬ с1ше, апи' сЬас сЬе сешрегасиге 41«сг1Ъис1ап О(х,у,с), 1« сЬе 11ш1г ав с , ч111 ечо1че 1псо сЬе еии111Ьг1«ш сешрегасиге 31«сг1Ъис1оп и(х,у) еЬ«гаисег1«еб Ьу ргоЪ1еш (2).
ТЬеге(оге 1««Сеид оЕ вгас1опагу ргоЬ1еш (2) опе сап ва1че попвсас1опату ргоЬ1еш (3) аис са сЬе Ыше, с, шЬеп сЬе во1иссоп асар« «Ь«па1«а и1сЫп сЬе аииигаиу ие геии1ге ТЫ« 1« сбе 1иеа Ъ«Ыпа СЬе «о1ис1оп оЕ всас1опагу ргоЪ1ешв Ьу сЬе "шесЬ«д аЕ с1ше-дече1оршепс". 1п аисог4апсе ч1сЬ сЬеве иопв(бегас1опв ие и111 во1че рг«Ыеш (3) 1«все«с( оЕ (2), апд 1пвсеад оЕ «1ЕЕ«пеппе в«Ьеше (1) Еог ргоЫеш (2), че иоп«1с(ег апд сошраге сЬгее йЕЕЕегепс с(1ЕЕегепсе виЬешев Еаг ргаЬ1еш (3). 554 2111рг1с РгоЬ1ешв СЬарсег 11 Р1гвс ае а111 гапв1дег сЬе в1ар1евс ехр11с1с 41ЕЕегепое всЬеше о - о ап ап 4 оР +Л Р -Ф(, у т хх вп уу ап " а' п)' и ! ( ап)' (4) о" Ф (х , у ). ап О в а ТЬеи ее ехаш1пе а1во сЬе в1шр1евс 1ар11с11 61ЕЕегепсе воЬеае ша вп р+1 р+1 т о +4 о" -Ф(х, у) хх шп уу ап ш' и оРФ) = Ф(в ), вп ' (5) о" Ф(х, у). шп 0 ш п Р1па11у ее а111 вводу сЬе а1сегпас1пР-с)1геос1оп воЬеше (12) Ф31с о о т 2 (~ " + ~уу" Ф(х Уп))) и - о ап шп 1 РФ1 т 2 ( хх шп уу шп Ф( ш' Уп))' (6) вп О( а' уп) 1с ш111 Ье аввоае4 сЬас Ф (х , у ) 1в во деЕ1пед сЬас оп сЬе Ьооп)агу 0 а п Ф,( - Ф( .п).
ТЬе оошросвс1оп оЕ о " (о ), а1оеп оР = (оР ), 1в аоооар11вЬед 1и р+1 -+1 шп шп воЬеше (4) Ьу сЬе ове оЕ ех(о11о1С ео(оас1апв. ТЬе совросвс1оп оЕ ор (ор+ ), 21чеп ор = (ор ), Ьу воЬеше (5) шп ап геоо1гев сЬе во1ос1ап аЕ сЬе ргоЬ1еш 335 %35 Иесбой оЕ Т1ше-Оече1аршепс Р+1 Р р+! р+1 шп и и Л, 44 и — — -Ф(х,у) — —. вп хх шп уу еп ш' п т = Ф(в и) ° ТЫв ргоЫеш 1в 1п по вау в1шр1ег сЬап сЬе ог1Р1па! РгаЫеш (!).
ТЬегеЕоге 1с шаЬев по вепве со иче сЫв всЬеше Еог сЬе «рргох1шасе во1ис1ап оЕ (1). Рспа11у, сЬе сошрисасйоп оЕ ир = (иР ) Егош х1чеп ир = (и ) ч1а всЬеше р+! р+! Р-(Р пат шп (6) 1в ассошр11вЬей Ьу сЬе РРВ5 шесЬай овей, Е1гвс, Еп сЬе й1гесс1оп оЕ сЬе х ах1в Еог сЬе во1ис1оп )и ) аЕ опе-й1шепв1опат. РтоЫешв Еог еасЬ Е1хей п, вп р+11 апй сЬеп 1п сЬе у й1гесс1оп Еог сашрисас1ап оЕ сЬе ва1ис1ап !и ! оЕ опешп й1шепв1опа1 ргаЬ1ешв Еог еасЬ Е1хей ш. ТЬе пишЬег оЕ агтсЬвес1с орегас1апв 1в сЬеп ргарогс1опа1 са сЬе пишЬег аЕ ипЬпоипв.
Рог еасЬ оЕ сЬе счо всЬешев, (4) апй (б), вЫсЬ ве вес авЕйе Еаг ЕигсЬег всийу, ве в111 сапа!бег сЬе й1ЕЕегепсе В и - и Р— Р шп шп шп Ьесвееп сЬе пес Еипсс1оп ир = (и ) апй сЬе ехаос ва1ис1оп, и (и ), аЕ еп шп ргоЫетп (!), шЬове ех1всепсе вав йешопвсгасей 1п $34.
'ве вт11 йесегш1ае ипйег вЬас сопйсс1опв сЬе еггог ср 1п сЬе во1ас1оп ир оЕ сЬе попвсас1опагу ргаЫеш сепйв со сего в1сЬ 1псгеав1пр р, апй а1во сЬе сЬагассег оЕ сЫв сопчегвепсе сошагйв вето; ве сЬеп сЬоове ап орс1ша1 т апй еча1исе сЬе то!иве оЕ сошрисастапа1 васс геои1гей со йесгеаве сЬе пате аЕ сЬе аг1рспа! еггог вв = Ф (х , у ) — и шп О ш п шп Ьу а 41чеп ашоипс, 2. Апа1ув1в ое сье ехр11е1с с1ше-йече1оршепс веьеше.
тье во1ис1оп (и ) оЕ ргоЬ1еш (!), обч1оив1у, вас1вЕ1ев сЬе еоиас1апв и — и шп шп Л и +Л и -Ф(х,у т хх еп уу шп ' ш' и)' и ~ =Ф( ), и и шп шп боб!гесс!ар сЬеве е4иас1опв Егош 24, (4) сегш Ьу сегш, ве Хет Еог сЬе еггог, вр , СЬе Ео11ов1пй й1ЕЕегепсе ргоЫеш: шп' Яигрссс Р Ыешв. СЬарсег 1! 336 ре),р шп ш"=А вР +А вР т хх шп уу шп' ,р+ ~ = о (9) в=9(х,у)-и шп 0 ш п шп Мосе сЬас сЬе пес Рипсс1оп с Рог еасЬ р, р сЬе ра1псв оу Г. ТЫв Еипсс1ап шау Ье сапе!с(егеМ врасе аЕ Еипсс1опв, де(!пей ап сЬе пес (х, у ) ш' п М, апд вап1вЫпМ ап Г. А погш 1п сЫв врасе 527, Ьу сЬе е9иас1оп ))Е )) ( ) )Е ( ) 1п 127 ие агг1аед ас а гергевепсас1оп аЕ сЬе ва1ис1оп оЕ ргоЫеш (17) 1п сЬе Еогш ау а 11п1се Раиг1ег вег1ев.
ТЫв ргоЫеш 0111егв Ггош д111егепсе всЬеше (9) Рог сЬе еггог в (в~ ) оп1у 1п ЬЬе йев1рпас1оп о1 шп сЬе ипсповп Еипсс1оп. ТЬегеЕоге Р - 1 ( Лр,)р("'. гв гв г,в (10) вЬеге сЬе с аге соей(1с1епсв 1п 1!те ехрапв1оп о1 сЬе 1п111а1 еггог, гв вв (ве ), 1п а 11п1се Роиг1ег вег1ев, апс) сЬе Л аге М1меп Ьу сЬе шп гв ехргевв1оп Л 1 — — (в1пг — + в1п — ). 4т ° гв 2 гв 1,2 2М 2М в с Л аге сЬе сое111с1епсв 1п ехрапв1опв оЕ сЬе гв гв 1п Раиг1ег вес1ев и1сЬ сЬе агсЬопагаа1 Ъав1в 9 с (12) С1еас1у, сЬеп, с.и†)а- < )шах)Л Йво)) г в (!3) РигсЬег, опе сап а1иаув сЬоове ап вв висЬ сЬас всг1сс е9иа!1су 1в асса!пад.
Раг сЬ1в ригрове опе пиес) оп1у сесе вв Р ' , вЬеге (г в ) ТЬе сиапс111ев с гв еггог, вр = )вр шп ТЬегеЕаге О, 1, ..., иапгвЬев ап ап е1евшпс аЕ сЬе 11пеаг (шЬ,пЬ),ш,п0,1, и111 Ье Ме11пед, ав 1п МВГЬос аЕ Т1ше-Рече1ораепс (г ,в ) 1В ГЬас ра1г оЕ 1п81сев Еог аЫГЬ швх)Л ) - )Л Гв Г В Г,в ТЬив, 1Е ИВ~И/))ВО)) 1В со сепй со сесе ав р, 1Г 1в песевьагу сЬас аах)Р ) < 1. Г.,в ТЬе еггос а!11 десгеаве Вовс гар161у 1Е т 1в во ГЬовеп ГЬас аах)Л ) ч111 г,в Г В гасе оп 1гв вав11евс роввЛЫе на1ие. Ргаш 84.
(11) че Е1пд Ые 1еЕГ"вовс апд г18ЬС-аовг ро1псв Гв 8т гт Л 1 - — сов 1еЕГ ьг гм' Л. 1 — — в1п 8т Лв г18ЬГ гм (Р18. 44). Епсгевв1п8 т, всагс1п8 Егош т О, ие саиве а 1ВЕгаагй вЫЕГ аЕ ЬогЬ ГЬеве ро1псв. Рог ГЬвс чв1ие оЕ т Еог чЫГЬ ГЬе ро1пгв аге вушшесг1са11у р1есес и1ГЬ гевресс со ГЬе ро1пс Л О, )чй!6НТ (14) Р18. 44, -Л Л 1еЕГ Г18ЬГ' 2 шах~1 ~ = ! — 2 в1п Гв Г,в ГЬе ог181па1 еггог св )во ) Ьу а Еассог ап пиаЬег, р, ос веере оЕ 1сегас1че ргасевв ТЬегеЕоге, со гедеса ГЬе погш оЕ е 1Г 1В песеввагу са свггу аот а (4), висЬ сЬас в (! 2 В1пг 2-) < е ТЬегеЕоге 1 2М2 р>- сп(! — 2 В1пг †) 2 2М апу ЕигсЬег 1псгеаве 1п т 1В ЬагшЕи1. 1п Еасг 1Е т Гпсгеавев ЕигсЬег ГЬе Г18ЬГ-Ьапд ро1пг, Л „ , ш111 сопг1пие со арргоасЬ сего, Ьис Гп гегигп сЬе г18ЬГ' 1еЕГ (аЫсЬ Ъесааев 1агсевт 1п ао8и1ив, аех)Л ) = -Л ) аачев ЕигГЬег гв 1еЕГ Егош сего.
Рог ГЬас т Еог шЫсЬ Л "1, апд Еог 1агмег т'в, ГЬе еггог ВР ч111 1еЕГ пос сеид Со сего аг в11. ТЬив ГЬе орг1шиш т Ьг/4 1в Месега1пе8 Егаш сопд1с1оп ( 14). Могеочег ззв 2111рс1с РгаЫеав СЬарсег !1 вес ив пош езс1аасе Ьоч папу аг1сЬшес1с орегас1опв вге геви1геЬ са гевисе р+ 1 сЬе еггаг Ьу е. Рог еасЬ сгапв1с1оп Егоа иР са иР апе пеева сМ аг1сЬаес1с орегассопв. ТЬегеуоге сЬе соса1 пиаЬег 1в срМ 0(М").
3. ТЬе аЛСегпаг1аВ"61геос1оп веЬева. Юе поа сигп со а всиву оЕ сЬе ЬеЬач1ог аЕ сЬе еггаг зР ]вР ] Гог всЬезш (6). ап Ав Ье(оге че Е1пв ссас сЬе еггог, з , 1п сЫв сазе 1в десега1пев Ьу сЬе 61ЕЕегепсе ЬоипВагу-ча1ие ргоЫеа г — з вр т77 хх шп уу ап' р+1 в — з Л А хх ззт уу в|п (15) Ф(х, у)-и зш 0 ш п ап ТЬе во1ис1оп оГ ргоЫеш (15) чав чг1ссеп оис 1п сЬе Гога оЕ а Е1п1се Роиг1ег вег1ев 1п 627. Ав а1во Еог ргоЫеш (9), 1с Ьаз Еога (10).' зр- ]]с Лр)р"', гв гв еЬеге сЬе с аге ооеЕЕ1с1епсв гп сЬе ехрапв1ап аЕ сЬе 1п1с1а1 еггог гв зо ]с гв 1п а Е1п1се Раиг1ег вег1ев, Ьис сЬе 9оапс1с1ев, Л, Ьу шЫсЬ сЬе (Г,з) гв Ьагшоа1св ф ' аге аиЛс1р11ев 1п сЬе сгапв1с1оп Егош з со з, аге пач 61ГГегепсс (1 — 2тМ2 з1пс 2~)]1 — 2тМГ вгпс гМ] Л (16) (1 + 2тМ2 з1пс зг](1 + 2тМ2 вспс 2М 2М Аз 1п сЬе апа1уз1з оГ спе сопнегхепсе оЕ зоЬеше (4), 29. (13) гв вас1вЕ1ева И вр!! < [аах)Л и сз]]— апд, шогеочег, евиа11су 1в зсЫечео Еог поше врес1а1 сЬо1се оЕ вз ]во шп Рсоа ехргевв1оп (16) Еос Л апе сап вее сЬаС, Еог апу т, сЬе соп61- гв с1оп ]Л ] С 1 1з взс1в(1ев зпВ, сопвевиепс1у, ] ]зр] ] сепВв со сего гз РигсЬег, Л Л Л, евеге гз г з %35 Магма«! оЕ Т1ше-Оече1оршепс 339 1 — 2тмс в1п 2 Л 2М !с 1, 2, .
° ° , М-1 ° 1 + 2тмс в1п 2 2М ТЬегеЕаге шах )Л ) 1в асса!па«) Еог г в = г, аЬеге г 1в сЬе 1п«)ех Еог г,в гв вЫсЬ !Л ! 1в вшх1шиш. 01еаг1у ЯЬе Еипсс1ап Л (1 — х)/(! + х) 1в г шапогоп1с. ТЬегеЕоге пв 2М ! - 2тмс в1пс в 1 + 2тмс в1п!— вв 2М 11ев Ьесаееп сЬе ро1псв и 2М 1 — 2тмс сов!в 1еЕс 1 + 2тИ2 иов2— х 2М ап«! Д гтМ' вЕп'— 2М гтМ' вспс — ' 2М в сЬе ро1псв Л апт) Л со сЬе !еЕс ЯМЬс ш111 Ъе вша11евс Еог сЬе т Еог шЫсЬ 1 Л г1МЬс + оп сЬе геа1 ах1в.
1псгеав!пМ т вЫЕс 1еЕс. ТЬегеЕоге сЬе «(иапс1су шах!Л в в -Л Л се, Еог т !//7вм. 1еЕЯ НМЬс' 1п сЫв саве «2ч /1 шах (Л ) = 1 — — + 0 гв М 'Лм / то тала сьв ло»ш о/ сьв е»»о» ! (в ~ ( ию22в» ьу а /посо» е сьап сьв Р о»соспа! в»»о»-па»ш ) (в ~ ( сьа пишьв» оу всврв, р, вшвс васев/ц сьв о ооп<НСсоп (! — '(в~2/М)))р < е, во Сйав И р - — - о(м). в 2 Магм сгаЪв1с1ап Егоа иР со и ге«)и!гав сМ аг1сЬшес1с орегаг1опв. «1 2 ТЬегеЕоге сЬе соса1 пишЬег оЕ аг1ЯЬшес1са1 орегас1опв ге«(и!гад со «Еесгеаве сЬе еггог е с1шев 1в 0(М ), ап«) сЬе пишЬег оЕ орегас1опв пеейео' са «!есгеаве сЬе егсог Ь с1аев 1в 0(мв Яп Ы .
Ие вее сЬас, Еот 1вгпе И, ЯЬе весапМ оЕ сЬе с1ше-«!ече1оршепс ргосеввев сапе!«Ееге«) Ьеге, ив1пМ сЬе а1сегпас1па «!1гесс1апв всЬеше, у1е!«)в а ргевсг1Ъед «)есгеаве 1п еггаг ас а ваа11ег совс 1п аг1ЯЬшес1г орегас1опв сЬап сЬе с1ше-«)ече!оршепс шесмо«! Ъаве«( оп сЬе иве аЕ сЬе в1шр1евс ехр11г1с всмеше ((4): Еог виЕЕ1с1епс1у 1агхе ча1иев оЕ М (Я,е. Еог Е1пе пега) сЬе а!сегпас1пМ «(1гесс1опв всЬеше сигпв оис со Ъе сЬе шоте еЕЕ1с1епс оЕ сЬе ОЬарсег 11 340 2111рс1с РгоЫеав 4. СЬо1се оЕ аоеигасу.
Не пош шаде воше гешагдв оп 1Ье ассигасу шЫсЬ шиве Ье асса1пед 1п во1ч1пд ргоЫеа (1) Ьу с1ше-дече1араепс, ог вове осЬег аесЬод у1е161пд а ведиепсе о( арргох1аас1опв, и1, и2, ..., иР. 01ЕЕегеасе всЬеае (1) арргох1шасев ргоЫеа (2) оп а ваоосЬ во1ис1оп и(х,у) са огдег ЬТ 1/МЕ. ТЬеге(оге сЬе ехасс во1и<1оп и оЕ ргоЫеа (!) (Ь) ЛЕЕЕегв Егоа сЬе дев1гед саЫе [и) Ьу а оиапс1су аЕ агдас 1/МЛ. ТЬив (Ь) шадев по вепве со са1си1асе сЬе во1и11оп и оЕ ргоЫеа (1) е1сЬ апу дгеасег ассигасу. ТЕ ае виррове сЬас сЬе вегоесЬ арргох1шас1оп и = $ 1в 0 д1чеп а1сЬ ап еггог оЕ огЛег 1, сЬап сЬе пишЬег, Ь, Ьу аЫсЬ ае шапс со десгеаве сЬе поги оЕ сЬе еггог вЬои16 Ье садеп оЕ огнев М . То Лесгеаве сЬе ог161па1 еггаг Ьу шоге сЬап 0(М ) аои1Л Ье а иве1евв ехрепд(сиге оЕ сошрыас1опа1 еЕЕогс. 1п сошрисвс1апв ап а врес111с, Е1хед, пес опе 1сегвсевр 1п ргас<1се, опс11 сЬе веоиепсе оЕ арргох1аас1опв иР, и~, ..., асора сЬвпд1пд а1сЫп р+1 ргевсг1Ьед 11ш1св оЕ ассигасу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
