Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2 Ь 2 2 С1чеп сЬе 1п1с1а1 сопдсЫопв р 1аш и = е й йе Аес -р+1/2 1аш и =Пе ТЬе ча1«е о( сЬе соеЕЕсо1епс оЕ и 1п сЬе е9«ас1оп и + пп 0 Ьав Ьееп тес х -р+1/2 р1асед Ьеге Ьу «Р, апд пос Ьу «Р, во с!тас сЬе гев«1с1«0 всЬеше «Ьоп1д Ье Ипеаг ш1ЕЬ ге«реет со сЬе 9«апс1с1ев со Ье совр«сед. йехс йе 1ес Рагс 4 РВОВЬВНЗ В1ТН ТЯО ЗРАСВ УАВЕАВЬВ СЬарсег 10 ТЬе Сошсерс оЕ ВЕЕЕегепсе ЗсЬешев вйсЬ ЗР11ссспЗ 01ЕЕегепсе воЬешев ш1сЬ вр1сгсспй Ье1опй ашопй оиг 1шрогсапс соо1в Еог сошрис1пВ во1ис1опв оЕ сЬе ви1ссй1шепв1опа1 с1ше-йерепйепс ргоЫешв оЕ шасЬешас1са1 РЬув1св.
$31. Сопвссшос1оп оЕ вр11сс1пЗ воЬешев Ас а йевсг1рс1че 1ече1 сЬа сйеа оЕ сЬе сопвсгисс1оп оЕ вр11сс1пВ всЬешев шау Ье ргевепсей ав Ео11оив. Сопв1йег а ЗЕЕЕегепс1а1 ргоЫев оЕ сЬе Еогш Ои — Аи, 0 < с < Т, ос и] З1чеп„ с=О шЬеге А 1в вове орегасог 1п сЬе враге чаг1аЫев висЬ ав, Еог ехавр1е, 1" и Эси Аи в — е ах'- ау' Т!те ча1ие и(х, у, с ] сап Ье ехргеевей 1п сегвв оЕ а1геайу Споеп ча1иеь. р+ 1 и(х, у, с ), с - рт, Ьу веапв оЕ сье ге1ассоп Р Р и(х,у,с+т)=(х,у,с]+тТ вЂ” еО(тг) Зи Р Р = (х, у, с ] + тйи(х, у, с ] + 0(т~) = (З + тА)и(х, у, с ) + 0(т~).
Р Р Р (шЬеге В 1в спе 1йепс1су орегасог, Вч = ч). Зиррове сЬас сЬе г1ЗМ Ьапй всйе оЕ Зт(. (1) Ьав сЬе Еогш Аи Б А и + А и. 1 Не ш111, СЬеп, вр11С Ку. (1) 3и = А и+А и Ос 1 2 3!О ТЬе Сопсерс оЕ 01ЕЕегепсе ЯсЬешев и1сЬ АР11сс1па СЬарсег 10 1псо сЬе Ео!!ош1п» сио еОиас1опвс — А ч(х,у,с)н(х,у,г], Р Р (2) а — А2ш, с < с < с Р— Р+! н(х, у, С ) ч(х, у. С ). Р р+1 (3) Мосе сЬас ч(тх„у, с ] н(тх, у, с ) + О(тг), Р+! р+1 (4) 1п Еасс ч(х, У, С ] (О е тА )ч(х, У, С ] + 0(т ) О+1 ! ' ' р = (Е + тА ]н(х, у, с ) + 0(тг). ! ' ' р унгсЬег, саСЕпх ассоипс оЕ сЬе 1авс еонас1оп, ше Ьаче е(х, у, с ) (ЕетА)ш(х, у, с) +0(тв) р+1 2 ' ' р (Е + тА )ч(х, у, с ) + 0(т2) 2 ' ' р+! (Е + тА )(А + тА )н(х, у, с ) + 0(тг) 2 1 ' ' р (а е т(А + А )]н(», у, с.
] ч таА А ~(», у, с ) + 0(тв) р ! г ' ' р (к + тА)н(х, у, с. ] + 0(тс) о~х, у, с ] + 0(тв). Р р+1 оЕ 61ЕЕегепсе-вр!1сс1п»-всЬеше ! н( ) Е( Ь (5) Оп сЬе Ьав1в оЕ АП. (4) не сап пош, 1п еасЬ с1ше 1псегча1 с < с < во1че КОв. (2) апй (3) веОнепг1а!1у 1п р1асе оЕ ргоЬТеш (!).
р+1 ' 1п ассна11су, со во1че (2) апд (3) ше арргох1шасе сЬеве еонас1опв Ьу й1ЕЕегепсе еонас1опв оЕ вове вогс. !се сЬеп аес а 61ЕЕегепсе-вр!1сс1пввсЬеше, ! и( ) Е( ), шЬ!сЬ а1!ошв нв га гашрнс.е ир , Еп сшо всапев, Егош +! 'Ь р +! сЬе а!геайу-Спичи нп (1п сЬе Е1гвс вса»е сошрнс1п» чр Егош сЬе 01чеп чп нр апд, 1п сЬе весопй, соарес!оп нр шр Егош чу чр, нв1пр сЬе +1 +! +1 р+1 ч а!гевар сошрнсед 1п сЬе 11гвс агапе).
ТЬе аЬоче сопв1йегаг1опв аге Ьеиг1вг1с 1п сЬагасгег. АЕСег вове вогг 131 Сопвсгпсс1оп оЕ вр11111пх всЬешев 311 Еот сошрпс1пй сЬе во1пс1оп оЕ ргоЫеш (1) Ьав Ьееп сопвсгпсгей ве шпвс вс111, вошеЬош, чег11у арргох1шас1оп апй всаЫ11су. Еп сЬе саве оЕ сЬе СапсЬу ргоЫеш Еог сЬе сшо-й1шепв1опа1 Ьеас еопас1оп Э» Эе Эхп — + 0<1<7, - <х,у< п(х, у, О) = Ф(х, у) Эс Эхх Эу' (6) че шау СаСе, Еог ехашр1е, ав СЬе вувгеш (2), (3) Эч Э Эс Эхэ Э ° Э'„ Э У ч(х,у,с]п(гх,у,г), Р Р в(х, у, С ) «(х, у, С ). Р Р+1 (7) ТЫв вр11сс1па оЕ сЬе сво й1шепвсопа1 еопас1оп оЕ ргоЫеш (6) опе-й1шепв1опа1 еопас1опв (7) сап Ье 1псегргесей ав ап арргох1шасе шепс оЕ сЬе ргосевв Ьу вЫсЬ Ьеас вргеайв 1п сЬе ху р1апе, 1п с1ше < с 1, Ьу сшо ргосеввев.
!и сЬе 11гвс оЕ сЬеве, йевсг1Ьей Ьу сЬе р+ 1 Ков. (7), опе 1пггойпсев (сопсерспа11у) поп-Ьеас-сопйпсс1па 1псо сшо гер1асе" с < с Р Е1гвс оЕ реу и реу Ки,ш-у рчу чш чч/ гт „,е Е(чл"УЛ р чш"йо Р Е'ач у ту рагс1с1опв ргечепс1пй сЬе вргеай оЕ Ьеас 1п сЬе у-й1гесс1оп. ТЬеп, йпг1па 11ше-1асегча1 т, 1авсеай оЕ сЬове рагс111опв опе 1псгойпсев осЬегв ргечепг1пх сЬе вргеай оЕ Ьеас 1п сЬе х й1гесс1оп.
ТЫв вргеай оЕ Ьеас, ааа1п 1п с1ше-1псегча1 т, 1в йевсг1Ьей Ьу сЬе аесопй еппас1оп. (ге аоч сЬоове сЬе пес (х, у, с ) (шЬ, пЬ, рт). ш' п' р А й11(егепсе-вр11сс1пх-всЬеше Ьавей оп (7) сап Ье сопвсгпссей 1п типу ваув. Все сопвсйег сво ровв1Ы1111ев, 1.е., 112 ТЬе Сопсерс о( 01Е(егепсе ВгЬешев ш1сЬ ВР11111пВ СЬареег 10 р п "п ап шп Л р т хх ап' пр -п +1 шп шп = Л и т уу шп' (В) п" )(х, у] шп ш' апд и - и ап ап Л и т хх шп' ре) и и шп ап Л Р+1 т уу шп (9) пв )т(х, у ). шп ш' и 1п ЬосЬ вр11сс1пВ впЬешев ше вес р+1 р п =ч Ве шп шп шп' Ьес пв геса11 сЬас, 1п посас1оп йе(1пей еаг11ег и 2п ее Л п ш+1,п шп а-1,п «х шп Ьс и -2п +п Л п а„п+1 ап ш,п-1 уу шп Ьх ВсЬеше (В) 1в гергевепсей впЬешвс1са11у 1п 91В.
40, воЬеше (9) 1п 91В. 41 ° ТЬе вр11сс1пВ оЕ ргаЫеа (6) 1све11 1в а1во пос пп19пе ° Опе пап, Еог ехвшр1е, мгссе сЬе ргоЫеш 1п сЬе Еогш у + (6 ) п(х, у, О) Ф(х, у), с < с < с р+1' (10) ч(х, у, С ) = п(х, у, С Р Р впй сопесгосс1пх, соггевропвспВ1у, сео вувсешв: р+! р+1 и ш шп ап 1п сЬе 1псегчв1 с < с < с, сЬе Ео11ое1пх р р+1' $3! Сопвсгисс1оп оГ вр11сс1пд всЬеаев 3!3 д Где дд — + —, с <с<с С ~ 2 ~' Р Р+!' тЛд ду в(х, у, с ) ч(х, у, с ].
Р Р+ 1 ОисЬ в вр11сс1пд 1в пос в РЬув1св11у-Ьввей вр11сс1пд 11Се всЬеае (7). уе поч сЬоове в 41ЕЕегепсе всЬеае вв Ео11оев (Р18, 42): и - и Р шп шп 1 Г р т 2 ' ххпп ууап~' р+ 1 (12) ие Ф(х, у ) ап ш п то св1си1все ир Ьу а2Свгпадспд-сЕсгеорьоп воЬеше (28) опе аивс, +1 Е1гвс, Еог евсЬ Г1хей ш, во1че сЬе Еар11с11 е9ивс1оп Еог и, 1п аЫсЬ ш шп' р / оссигв вв в рвгваесег. ТЬеп со и ,оч/ +1 //' т //,„ / соприте иР сс 1в песевввгу со лт- та шп во1че сЬе весопй е9ивс1оп (12), 1шр11с1с в1ЕЬ гевресс со ир , 1п ап вЫсЬ п оссигв вв в рвгвшесег ° дсЬеае (8) сеп Ье шг1ссеп 1п Еога (5) ЕЕ опе весь й ет л-/ //Я/ /,.ч Я р+! и - и ао шп — Л и т ' у! шп' //,и /, Я ЬЬи (Ь) 918.
42. ие ап вЬеге и = ир + тс ир 1в йесегш1пей Ггош ЕЬе Е1гвс оЕ 89в. (8). ТЬеп О ш, п О, +1, ° ° °; р =О, 1, ° °, (Т/т)-! «[х„у), а,п О,е1, а" п (Ь) С/е ргорове со сЬе гевйег ЕЬеп Ье чг1се всЬеаев (9) впй (12) 1п Гога (5). Т!те геейег шеу чесс/у сЬес сЬе Ноп Меишепп врессге1 всеЫ11су сг1сег1оп (1.е. сЬе геси1гешепс сЬвс во1ис1опв оГ сЬе Гога иР ап Лрехр~1(па + Вп)) вЬои1й геав1п Ьоипйей) 1в ввс1вЕ1ей Гог всЬеае (8) в1ЕЬ впу г т/Ь < х, впй Еог всЬешев (9) впй (12) 1в ввс1в(1ей Гог впу г. Ьсе 2 1 в111 пос рееве Ьеге со всийу ЕЬе вспЫ11су сопй1с1опв„ог со ргоче врргох1швс1оп, Еог всЬешев (8), (9) впй ( 12). 314 ТЬе Соасерс оЕ ОПЕегеисе ВлЬешев в1сЬ ВР11сс1пВ ОЬарсег !О РВОВЬВМБ 1.
Оесегш1пе Еог шЫсЬ г = т/Ь~ сЬе Чап Мепшапп врессга1 сг1сег1оп 1в вас1вЕ1ей Еог й1ЕЕегепсе-вр11сс1п8-всЬешев (8), (9) апй (12), 1лсгойлсей 1п сЬе сехс аЬоте. 2, Рег11у сЬас всЬеше (8) арргох1шасев ргоЫеш (6) оп а ви(11с1епс1у вшооСЬ Ьоипйей во1Ы1оп л(х, у, С). 3. Вереас ргоЫеш 2, Ьлс Еог йЕЕЕегепсе-вр!1сс1п8-всЬешев (9) апй (12) ° $32. Влипаш1са1 й1ЕЕегепее влЬевше Ме ш111 пое соле(йег апй всийу ехашр1ев оЕ 81ЕЕегепсе"вр11сс1п8- всЬешев Еос сЬе Ьеас-сопйисс1оп ргоЫеш ал авп ав, В( 3х2 8 у~ 0 < х, у < 1, 0 < С < Т, л(х, у, 0) ((х, у), а(х, у, с)) = 0 Г 0<х,у<1, 1п сЬе гессапйп1аг ге81оп 0 < х, у < ! е1сЬ Ьоипйагу Г, ив1п8 сЬе лвиа1 пес (х , С , с ] (шЬ, пЬ, рт), ш, и = 1, 2, ..., М апй Ь 1/М.
ш' п' ТЬе й1ЕЕегепсе-вр!1сс1п8-всЬеше еЫсЬ ше пов 1псгойлсе Ьав, 1п легса1п геврессв Ьаь1с айхал!айве очес сЬе в1шр1евс ехр11с1с р+1 шп шп р р Л и + Л и т хх шл уу шп' и" = Л(х, у), шп ш п (2) апй сЬе в1шр1евс 1шр11е1с и -«! р+! шл еп Р+! Р+! Л л + Л л т хх шп ли шп и" 1(х, у ], шп ш л (3) ир ~ 0 й1ЕЕегелсе всЬешев. %32 Всопош1са1 О1ЕЕегепсе БсЬешев 315 Не посв гЬас а веагсЬ 1в пош 1п ргодгевв Еог шоте есопош1са1 шаув со во1че Бепега1 11пеаг вувсешв. Бсгаввеп Ьав ро1псей онс ап а1хог1сЬш ге- Он1г1пБ а пншЬег оЕ орегаг1оав ргорогс1опа1, пос со сЬе сМгй, Ьнс со сЬе 1оБ2(7) 'сЬ ронег оЕ сЬе пншЬег оЕ нп(гпонпв. ТЬе й1ЕЕегеасе-вр11сс1пБ-всЬеше нМсЬ не ш111 пон сопвсгнсс 1в есопош1са1 апй нпсопй111опа11у всаЫе, 1.е. 1с нп1сев сЬе айчапсадев оЕ ехр11с1С всЬеше (2) апй 1шр11с1С всЬеше (3).
Ав гедагйв сЬе во1нс1оп н(х, у, г) оЕ ргоЫеш (1), че ш111 аввнше сЬас 1г Ьав йег1час1чев сопс1пнонв г1БМ нр со ЕЬе Ьонпйагу Г, оЕ а11 огйегв геон1гей Еп сЬе сонгве оЕ онг ногМ Носе сЬас, оп сЬе Ьонпйагу Г, а11 ечеп-огйег врасе йег1час1чев (нр со а11 огйегв Еог нМсЬ сЬеу ех1вс апй аге сопС1понв) н111 чап1вЬ ~г "" ~г ""уу~г (4) в)йе х О оЕ ЕЬе Ьонпйагу Г оЕ сЬе вднаге О < х, у < 1, Зн/Зс апй дгн/Зу ЬосЬ чап1вЬ. ТЬегеЕоге, в1псе а1во н О.
Р1ЕЕегепг1аг1пБ ЕЬе епнаг1оп гш1се Ьу у не хх ТЬнв, а1опБ сЬе ЕЬе йшг1час1чев н п + н хх уу Бес дн 5ХХ н + н с ххуу уууу Внс оп ЕЬе в1йе х О оЕ Ьонпйагу Г не Ьаче СошрМас1оп Ьу ехр11с1с всЬеше (2) 1в чету в1шр1е. То ргосеей Егош сЬе а1геайу Хповп нр со сЬе нп(гпочп нр ~нр ) не шнвс ехесме аг1сЬ+1 +1 шп шег1с орегас1опв чЬове пншЬег 1в ргорогс1опа1 со сЬе пншЬег, (Н-1), оЕ нпспочпв (нР ). 1п сМв вепве сЬе ехр11с1с всЬеше 1в гЬе Ьевс ровв1Ые.
+1 шп О1ЕЕегепсе всЬешев 1п нМсЬ сЬе пншЬег оЕ аг1сЬшес1с орегас1опв 1пчо1чей 1п гЬе втер Егош сР со нР = ~нР ) 1в ргорогс1опа1 го гЬе пншЬег оЕ нпдпошпв +1 +1 шп аге са11ей "есопош1са1". Оп ЕЬе огЬег Ьапй, а1ЕЬонБЬ 1с 1в есопош1са1, сЬе ехр11с1с всЬеше 1в всаЫе оп1у нпйег сЬе чету всг1пйепс сопй1с1оп т < Ьд/4 оп гЬе г1шевсер т. ТЬе аЬоче "в1шр1евг 1шр11с1с й1ЕЕегепсе всЬеше" (3), ав не а1геайу (гпон (вее 3127) 1а вЬво1нсе1у всаЫе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
