Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Вы 1с 1в Еаг Есош есопош1са1. То са1сн1аге гЬе нп)гпонпв (нр ) опе Ьав со во1че а сошр11сасей +1 шп (поп-верагаЫе) вувгеш оЕ 11пеаг еБнас1опв. Ав ше (гпоч Егош сЬе апа1ув1в оЕ пншег1са1 шесЬойв, ЕМв геБн1гев ЕЬас не регЕогш аншег1са1 орегас1опв шЬове пншЬег 1в ргорогс1опа1, пос го сЬе Е1гвс рошег оЕ сЬе пншЬег оЕ нпНпонпв ав 1п есопош1са1 всЬешев, Ьнс со сЬе снЬе оЕ сЬе пншЬег оЕ «пСпонпв, 1Е опе наев вове вогс оЕ е11ш1паг1оп шегЬой.
а, -г- Уу и О, УУУУ и О, УУ впй, сЬеге(оге, 1с Ео11оав Егов сЬе 61ЕЕегепс1в1 еОивс1сп сЬвс в1во и О. ххуу Моа 1ес ив ргосеей со сопвсгисс в 611(егепсе-вр11сс1и8-всЬеае Еог ргоЫев (1). 1п рагв11е1 а1СЬ ргоЫеш (1), оп сЬе 1псегив1 с с с ( с ае рове сЬе сао ргоЫешв р — — р+1 Ът 82 а' и)=О,и(х,у,с)и(х,у,с), Г Р Р аа 82„ Ос ах У ч(х, у, с ) и(х, у, с ). Р р+1 (6) а) О, Г ТЬе пег Еипсс1оп и ~ = О Г и=(и), (Ь) шп и" р(х, у), а111 Ье йесега1пей, веОиепс1е117, Егоа сЬе евиис1опв р и - и ап вп и ш, п = 1, 2, ..., М 1 т хх вп' (7) и ! О; р+1 вш ап р+1 Л и т уу ап в, п 1, 2. ..,, М-1, (8) О. РгоЫеш (7) 1в вив1о8оив со ргоЫеа (5), иЫ1е (8) 1в впв1о8оив со (6), Неге р р+1 а и и ап ап вп' р+1 р+1 и и вп шп Р ир ап шп' Ов1п8 (7) впд (8) опе Е1гвс соврисев сЬе вих111вгу Еипсс1оп й Егош +1 р+1 шп ир (ир ) епй сЬеп, Егоа (8), соармев «Р (ир шп ап Моте СЬвг 611(егепсе всЬеше (7) Еог й, Еог евсЬ 11хей и, и 1, шп М-1, ехвсс1у со1ис1йев а1сЬ сЬе 1шр11с11 61ЕЕегепсе всЬеае 316 ТЬе Сопсерс оЕ 81ЕЕегепсе МсЬевев а1сЬ МР11сс1п8 СЬврсег 10 117 Есопоа1са1 О11(егепсе ЯсЬешев чр - чр Л т хх ап Ь «( ) Е( Ь (9) Рог сЫв ригрове че вес р+ 1 и - и ап в«с р+ 1 — Л и в, п 1, 2.
..,, К-1, т уу вп (Ь) Ь (10) «« ап' «Ьеге и 1в сЬе во1«с1оа оЕ сЬе аих111агу ргоЫев шп и — и р ап ап т Л и , ш, и 1, 2, ..., М-1, хх вп и ~ О. 1« сЫв саве ие вивт сЬеп саСе, ав Е( а, п 1, 2, ° ° ° , М-1, (х, у) 1«Р, О, (Ь) (12) р(х, у) ° Ав в посв 1п О че саСе Еог сЬе опе-61шепв1«па1 Ьеас еоиас1оп оп сЬе 1псегча1 О < х < 1, 1п шЫсЬ у епсегв оп1у ав а рагавесег.
О11(егепсе ргоЫев (7), Еог еасЬ 11хей п„ 1в во1«ес) Ьу РЕВЯ 1п сЬе й1гесс1оп оЕ сЬе х ах1в. 1п ргес1ве1у сЬе ваше иау й11(егепсе всЬеше (В), Еог еасЬ 11хед ш, 1в в«1чет( Ьу РЕВЯ 1п сЬе 61гесс1«п оЕ сЬе у ах1в. Ве посв сЬас, Ьу ч1гсие оЕ сЬе ргорегс1ев оЕ сЬе РЕВЕ а1яог1сЬш, сЬе соса1 пиаЬег оЕ аг1сЬвес1с орегас1опв ге9«1гед Еог сЬе соарисас1оп ир = [ир +1 +1 шп сигпв сис со Ье ргорогс1опа1 со сЬе пишЬег оЕ «их«о«ив, 1.е. 611(егепсе всЬеве (7), (В) 1в есопов1са1. Яо ав са Еогши1асе сЬе сопсерсв оЕ арргох1шас1оп апй всаЫ11су ехасс1у ие чг1се 61ЕЕегепсе всЬеше (7), (В) 1п сЬе Еогв ае Ьаче сараи ав всапйагс) сЬго«ЕЬоис сЫв ЬооС, )(и (( шах )и Ь ш,п,р 2!ешепсв 1п р и111 Ьаче сЬе Еога Ь НР ап' (Ы О, 9 шп апд сЬе попа 1п р ю111 Ье йе(1пед Ьу сЬе е9иас1оп и М )) = шах )ф ! + шах (Ь) ! р а,п,р а,п 91гвс 1ес ив деаопвсгаге сЬе ипсопдсс1опа1 всаЫ11су оЕ д1ЕЕегепсе всЬеше (9), йе(1пед Ьу М9в ° ( 10) апд (12), апй арргох1шаг1оп ш111 Ье ргочеп 1агег.
Еп ч1еи оЕ сЬе 11пеаг1су оЕ дсЕЕегепсе всЬеше (9), со ргоче всаЫ11су опе е111 Ьаче со вЬое сЬас сЬе ргоЫеш Ь в( ) М( ) Ьав а во1ис1оп Еог Ь апу К( (Ь) К О р 1п Р апй, шогеочег, йс Й ( сйй ))р Ь Ь аЬеге с доев пос дерепд оп Ь, 1,ес ив пои иг1се сЬе ргоЫеш Ь х( 1п ехрапдед йога: Ь р+1 шп ви р+! р+! х чр , ш, п 1, 2. .. ° , М-1, т уу шп шп гп вР О, +1 +1 Оп Мп шЬеге в 1в сЬе во1ис1оп оЕ сЬе аих111агу ргоЫеш шп -вр шп шп " Л в , ш, и 1, 2, ..., М 1, т хх шп' (!4) ЗЕВ ТЬе Сопсерс оЕ О1ЕЕегепсе ЯеЬешев е1СЬ ЯР11сс1пй СЬарсег !О Зга ТЬе Сопсерс оЕ ОЕЕЕегеасе ЕсЬешев а1сЬ Зр11сс1пд СЬарсег 10 и111 соаросе сЬе гев1йиа! ЛЕ( ), Ь (и) Е ' + ЛЕ (Ь) (Ь) (Ь) Ь Ь иЬеп (и) 1в виЬвс1сисей 1псо сЬе !еус"Ьапс) в!де оЕ ЕО.
сЬас [(аЕ ) (р 0(т + Ьэ). Ь(! ) Ь Ву сЬе йе(1п1с1оп оЕ ЬЬ ае Ьаче т уу а' п' р+1 еЬЕсЬ Вече!орв (9), апй вЬоа а, и 1... ° , В-1, ЬЬ( )Ь (15) 0 ас ро1псв оп Г и(х , у , О), ш, и 1, ..., В-1, ш п иЬеге и 1в сЬе во1ис1оп оЕ сЬе аих111агу ргоЬТеш шп а, п " 1, 2, и ! О. ТЬе во1иг1оп й оЕ аих111агу ргоЬ!еа (!В), ав ве ш111 ап Еога вЬош Ье1ош, Ьав сЬе и и(х,у, с )+тд и(х, у, с) +О(т~], ш, п 1, 2, ° ° ° , М-1, и ( и(х, у, с )[ О. 1пвегс1пд сЬЕв ехргевв1ои Еог й 1псо (!5) ше Вес ап т уу ш' и' р+1 -1 и(х,у,г ) уу ' а' п' р+1 т и(х. у, с ) "А и(х „у, с ) +0(т) хх а' и' р уу а" и' р+1 !Эи д'и д~и 1 + 0(т + Ьг) 0(т + Ьд).
дхс дуг ш' и' р и(х, у, с ) — [и(х, у, с ) + тд и(х, у, с ) + 0(тг)) 172 Есопош1са1 01ЕЕегепсе Яобешев 321 ТЬпв 0 + 0(т + Ь~ ) (Ь) (Ь) 0 + О Ф(х,у)+О в а шЬе ге ОтСт + Ьс) ас ро1псв оп т(х, у в' п' р О, р - О, 1...„(Т/т)-1„ О, ш, п 1, 2, ..., 17-1 ° ТЬегеуоге (Ь) ~~Р 0(т + Ьв). 1с геша1пв Еог ав со рвоте сЬе врргох1ввсе гергевепсас1оп (17) Еог сЬе во1пс1оп и, оЕ ргоЫев (16). Р1гвс ее Ьг1пр опс вове Ьеиг1вс1с сопв1йегшп' ас1опв впббевс1пр гергевеасас1оп (17). 1с 1в с1еаг сЬас, Еог вша11 т, ее шау шг1се сЬе арргох1васе еоиас1оп ТЕ, оп сЫв Ьав1в, сп БО.
(16) ее веге со гер1асе сЬе ехргевв1ои Л и Ьу кх тв сЬе ехргеввсоп Л п(х, у, с ), ее еоп16 Рос сЬе еппвс1оп хх ш' п' р и-и — - Л и О, т хх Егов еЫоЬ Ео11оав сЬе еопас1оп и и + тЛ и, шЫсЬ ЖЕЕегв Егош (17) оп1у хх 1п сЬе геша1пйег сегв О(тг), бес ив аош ргосеей со рвоте гЬе ча1161су оЕ (17). Р1гвс, со совр1есе сЬе деЕ1п111оп оЕ Л п(х , у , с ), ае вес Р Л и! О. Яибвс1сис1пР хх !Г шеи(х,с,с)+сбит(х,у,с ви в' и' р хх в' и' р 1п р1асе оЕ а, 1псо ЯО. (1б) ше бес ви 522 ТЬе Сопсере оЕ 01ЕЕегепсе ВсЬеаев ш1сЬ 5р11сг1п8 СЬаргег 10 - Л ш т хх аи (и(х, у, с ) + тЛ и(х, у, с )) - и(х, у ш п р хх а' п' р а' и' -Ли(х,у,с)-тЛ Ли(х,у,с) хх а' и р хх хх а' п' р -тЛ Л и(х,у,с).
хх хх а' п' р Авеиш1иВ сЬас д" и/дхе 1в сопг1пиоив ап6 Ьоипбе6, ап6 саС1пВ 1пго ассоипс сЬас — О, 1с 1в еаву со вее сЬас Л Л «(х, у, с ) 1в Ьоипбе6. д'и( 4 хх хх ш' п' р ТЬегеЕоге Г ш -и(х,у, с) т хх ап ш 5иЬсгасс1п5 ВО. (16) сета Ьу сета Егоа СЬеее ееиас1опв ие Вес, Еог сЬе 61ЕЕегепсе х = и - и ап ап та' в - тЛ в 0(тг), шп хх ап (18) ог 1п ехрапбе6 Еогш гс - 2(с + †)в + гв ш 0(т ), 1 г ш-1,п 2 ап ш+1,п а, и 1, ° ..„ 5-1, (!8 ) с =в =О, г=т/Ьд Оп Мп Вис сЬЕв ргоЬТеа Еог (в ) Ьае сЬе Еога шп а и + Ь и + с и 5 , ш = 1 ..., М-1 а а-1 а ш ш а+1 ш' и и О, 0 М а>О,с>0,(Ь)>а+с+6,6ш1. Еп %4 1с шав вьошп с1тас, 1п висЬ а саве 133 323 ВР11Сс1пВ ЬУ РЬУв1са1 Рвигогв шах )и ( < с аах)5 вЬеге с йерепдв оп1у оп 6. Т(тегесаге х 0(тг), 1,е.
шп и а -в а +0(тх) шп шп шп шп = и(х, у, с ) + тЛ и(х, у, с ) + 0(тв). ш' п' р хх ш' п' р вЫсЬ со1пс1дев в1сЬ гергевепсас1оп (17), ав шав со Ье ргочеп. РВОВЬВМВ 1. Рог СЬе д1ЕЕегепг1а1 ЬоипВагу-ча1ие ргоЫеш (1), ге1ас1п5 Со СЬе ргораВас1оп оЕ Ьеас 1п сЬе в9иаге герсоп 0 < х, у < 1, ргорове апй 1пчевс15асе а НЕЕ(агапов-вр11сс1пВ-всЬеше, апа1оВоив со сЬе ехр11и1с вр11сс1пВ вс)геше (В) оЕ 131 Еог сЬе СаисЬу ргоЫеш. 2, Рог сЬв ВЕЕЕегепс1а1 Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеш (1) ргорове а 41ЕЕегепсе всЬеае апа1оВоив со сЬе а1сегпас1пВ-61гесс1оп всЬеше (12) оЕ 131 ° Ргоче сЬас арргох1шас1оп 1в оЕ огйвг 0(т + ЬЗ). 3.
То во1чв сЬв ргоЫеш Зи Зхи ЗЗи + О < С < Т, (х, у) Еп О, З' Зу' «(х, у, с)/ = 9(х, у, с) и(х, у, 0) р(х, у) Г 1п сЬе саве оЕ а ге51оп, В, и1сЬ сигчей Ьоипйаг1ев, ргорове а й1ЕЕегепсе воЬеше апа1оВоив со сЬе с(1ЕЕегепсе-вр11сс1пВ-всЬеше иопвИегед Еог ргоЬ1еа (1) 1п сЬе аЬоче сехс. %33. ВР11ссспВ Ьу РЬув1оа1 Еаесогв ТЬе ЕВеа оЕ вр11сс1пВ 1в иве4 пос оп1у ав а Ьав1в Еог йече1ораепс оЕ есопаш1са1 апд аЬво1исе1у всаЫе всЬешев. 5ошес1шев опе вр11св а сошр11- сасед ргоЫеш 1псо в1шр1ег ргоЫеав во ав со верагасе, 1п еаиЬ вша11 с1ше1псегча1 с < с < с 1, сЬе асс1оп оЕ чаг1оив Еассогв вЫсЬ 1пЕ1иепсе сЬе р+ 1 ргосевв ипдег всиНу, Рог сЬе геви1с1пВ, ге1ассче1у в1шр1е, ргоЫеш 1с сЬеп Ьесошев еав1ег со сопвсгисс вас1вЕассогу д1ЕЕегепсе всЬешев аЫоЬ, сохесЬ- ег, сопвс1сисе а З1ЕЕегапсе — *р11сс1пх — ьсЬеше Еог сЬе епс1ге ргоЫеш.
Ву шау оЕ ехаар1е ае и1се сЬе шесЬсх) оЕ порет-рагс1с1ев, дече1оред Ьу О. М. Ве1освегсочвЬ11 ап4 Ти. М. Пач(Воч (0.5,5.К. Совр. МасЬ. ап4 МасЬ. РЬув. 11, У1 ( 1971)) 1псепНес( Еог сЬе соарисас1оп оЕ Вав Е1ов а1<Ь всгопВ деЕогшас1оп оЕ сЬе шей1иш апд 1агхе депв1су овс111ас1опв. ТЫв шесЬос), 11Ье Наг1аи'в рагс1с1е-1п-се11 шесЬсх) сап, ав ро1псед оис Ьу М. М. Тапеюйсо, Ье сгеасед ав а сегса1п д1ЕЕегепсе-вр11сс1пВ-воЬеше Еог сЬе Вав-дупаш1ив евиас1опв. ТЬе шЬо1е аед1иа 1в вр11с ир, Ьу а пес оЕ всас1опагу 11пев (апВ Згс ТЬе Сопсерс оу 0111егепсе 5сЬешев ш1сЬ 5Р11111п5 СЬарсег 10 1с вЬоп15 Ье посесС сЬас ше аге сопв15ег1пр, Ьеге, сЬе сшо 61шепв1опа1 ргоЫеш), 1псо се11в. ТЬе аасег1а1 сопса1пед 1п а се11 ас с1ше с 1в а Р "впрег-рагс1с1е".
То 11 1в авсг1Ьед а аошепспа апд соса1 епегру. Кепс оае сопвсгоссв а 5111егепсе всЬеше шоде11п5 сЬе сЬапре 1п ореад, шоаепспш апд соса1 епегру оу сЬе впрег-рагс1с1ев побег сЬе 1п11пепсе оЕ ргеввпге а1опе, ш11Ьопс са1с1пр 1псо ассоппс сЬове Сегшв, 1п сЬе вувсеш оу 5ав дупае1св е5пас1опв, аЫсЬ девсг1Ье сЬе сгапврогс оу шассег, шошепспш апд епегру. ТЫв 1в сЬе 11гвс всер 1п сЬе 5111егепсе-врИссспр-всЬеше, 1п сЬе весопд веер опе гесошрпсев 1псегшед1асе ча1пев, гевп1с1п5 Тгош сЬе 11гвс всер, Ьу а 411йегепсе всЬеше аЫсЬ сгеасв сЬе геша1п1п5 сегшв 1п сЬе 5ав-дупаш1св еспас1опв, 1,е., сгеасв оп1у сЬе 11ош оЕ ишссег Егош еасЬ се11 со 1св пе15ЬЬогв, апд СЬе соггевропд1п5 11ош оЕ вюшепспш апд епегру.
ТЬпв опе ргодпсев впрег"рагс1с1ев, ш1сЬ сЬе1г соггевропд1пр шошепспш апд епегру, ас с1ае с с + г. р+1 р 323 СЬарсег 11 НисрЫс Ргоые 534. 31ар1евс НЕЕЕегепсе всЬеае Еог сЬе ОЕг1сЫес ргоЫеа Неге че а111 со»Е1га сЬас сЬе в1ар1евс 41ЕЕегепсе всЬеше (13) $24 арргох1аасев сЬе О1г1сЫес ргоЫеа (12) $24 со весопд огрех 1п Ь, а»Ь 1в всаЫе, во сЬас 1с аау Ье »чей Еог сЬе арргох1шасе сошрыас1оп оЕ сЬе в»1»с1оп оЕ сЬе О1г1»Ыес ргоЫеш. ТЬе О1г1сЫес ргоЫеш Еог сЬе Ро1ввоп еоиас1»п 1п сЬе ваиаге гер1оп О = (О < х, у < 1), а11Ь Ъоипйагу Г, ч111 Ъе шг1ссеп 1п сЬе Еогш а'» а㻠— + — 4(х, у), ахг ауг О (х, у (1, и) р(в), Г „(Ы Е(Ы Ь (2) че пою чг1се 1п сЬе Еога (х, у) 1ир (3) 1п ГЬ, хх |вп уу шп 4( в' и =р(в ), (х,у) ь (Ы Ь чЬеге р(в ) 1в сЬе ча1»е оЕ сЬе Еипсс1оп р(в) ас сЬе ро1пс (, у ) шп -ш' п Ъе1опа1пр Со Г вЬеге в 1в сЬе агс 1епасЬ а1опа сЬе Ъоипдагу Г, апй сЬе Еиасс1опв 4(х, у) а»4 Р(в) аге 31чеп.
ТЬе вес оЕ пес-ро1псв (х , у ) = (аЬ, пЬ) (Ь 1/М, М а ров1с1че в' п 1псеаег) Еа111пН 1п сЬе па»ага ог оп 1св Ъоипдагу ч111 Ъе Непосед Ьу ОЬ. ТЬе ро1псв оЕ О 1у1пН всг1сс1у 1»в13е сЬе вс(иаге О ч111 Ъе сопв14егед Ь "1ыегпа1 ро1псв" оЕ сЬе пес-во»ага О„г сЬе вес оЕ а11 1псегпа1 ро1псв ее са11 О". ТЬе ро1псв оЕ ОЬ 1у1па оп сЬе Ъоипдагу Г оЕ ваиаге О ш111 Ъе соп»14егед "Ъоипс(агу ро1псв" оЕ аес-геа1оп О , а»4 сЬе вес оЕ Ъоипдагу ро1псв ш111 Ье Непосед Ьу Г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
