Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ТЬе 1псеяга1 2 (н йх — — н йс) оп сье сопсоиг АВсОА, ав оп апу осьег сопсоиг, АВСРА чап1вЬев. реп сЬе веяаепсв ВС апй ОА вЬг1пс со сЬе ро1псв В апй р, ТЬе Сепега11веа 5о1ие1оп 297 гевресс1че1у, сЬе 1псеага1в а1опа сЬеве веааепсв чап1вЬ апа че 8ес сЬе еоиае1оп иг ([и)ах — ( — 1ае) О, 1, 2 ог / ([) — е-(ф)а -О, ах иг чЬеге [х) = х 1 Ьс — г) Ес 1в сЬе веер-)иар 1п сЬе ча1ие оЕ г а1опа сЬе гас ес 11пе оЕ а1воопс1пи1су, апа Ь 1в ап агЫегагу веааепс оЕ сЫв 11пе ° 1п ч1еи оЕ сЬе агЫегаг1певв оЕ веааепс Ь че попс1иае сЬас, ас еасЬ роспе оЕ 11пе Ь, еЬе 1псеагапав 1п еЬе аЬочв еоиас1опв виве чапсвЬе [и) — — ( — ~ = О. ах иг ах 2 ТЬегеЕоге и2 и2 н + и — — 1 ас ег 1 ге — и г г18Ьс 1е Ее во сЬас и + и ас 2 1Е че Ьаа иг1сееп сЬе еаиас1оп и + ии = О 1п апосЬег а1чегаепсе Еога, с х ела ° а и2 а иа — ( †) + †( †) = о ае г а, з (7) и2 и Г 9( — ах — — ае) -О, (8) апа со апосЬег сопа1с1оп оп сЬе 11пе оЕ а(всопс1пи1еуе иг + и и .
+ иг ах 2 1е(с 1е(с г1 Ьс г1 Ы ас 3 и + и 1есе г18ЬС (9) тье в1оре (9) оЕ сье а1всопс1пи1еу 11пе (ог сье врееа ое сье вьосс чаче) аоев пое со1пссае ч14Ь сЬе в1оре (б), соггевропа1па со еЬе Е1гве 81чегаепсе Еога (4). ТЬив сс 1» с1еаг сЬас сЬе пасиге оЕ сЬе аепега11хеа во1ис1оп аерепав оп ргес1ве1у чЬас сопвегчас1оп 1ач ипаег11ев сое 81ЕЕегепе1а1 еаиас1оп (1). 1п сЬе ргоЬ1еав оЕ аасЬеаас1са1 рЬув1св сЬе сопвегчаЫоп 1ач* Ьаче а регЕесс1у ие11 ае(1пеа рЬув1еа1 аеап1п8. рог *аоосЬ Еипсс1опв и а11 11че ехргевв1опв че иои)а Ьаче агг1чеа, Ьу а вйв11аг попсе, са апосЬег 1пееага1 ге1ас1оп, 1п сЫв саве ео грв ТЬе Соаросас1оп оЕ Сапе»»11»ей Во1ы1опв СЬарсег 9 ап ап — + о — О, Эс дх ап а ег — + — ( — ) О, Эс Эх 2 — Т вЂ” ) + — ( — ) О, д «2 д пд ас г Э» З п2 ~ ~о йх — — Вс) = О, Г 2 и' ( Вх — — Вс) О г аге едо1ча1епс.
Ве1оч, 1п 61всов»1пд СапсЬу ргоЫеа (1), ае а111 Ье аввоа1па 1пседга1 сопвегчас1оп 1ав (5), апй й1всопс1по1су сопй1с1оп (6) мЫсЬ Е1овв Егоа сс. 4. Оесау оЕ ап агЫсгагу Ндвеоас1па(су. Воррове че аге 21чеп сЬе й1всопс1паоов 1п111а1 сопй111опв 2Еог »<О и 1 Еог х > О.
ТЬе во1Ы1оп сопев»посей Егоа сЬеве 1п111а1 соп6111опв 1в вЬочп Еп р1В, 33. ТЬе в1оре оЕ сЬе 11пе оЕ й1всопс1по1су (йх/йс) = (2 + 1)/2 = 3/2 1в сЬе аг1сЬаес1с ачегаае оЕ сЬе в1орев оЕ сЬе сЬагассег1»с1св оп е1сЬег всде оЕ 1с. Не поч ав»1Вп сп1с1а1 сопй111опв а1сЬ а 61ЕЕегепс В1»сопс1пе1сус 1 Еог х ( О, е 2 Еог х > О. угоа р1В. 34 опе веев сЬас 1с 1в поч ровв1Ые со соп*сгпсс во1ес1опв 1п сво ваув. ТЬе Е1гвс В1чев «в а сопс1поопв во1пс1оп, вЫ1е сЬе весопй УЕН.
ЗЗ. у1е1йв а во1цс1оп Вдвсопс1ппоев Еог с > О. Неге 1с 1в песеввагу со В1че ргеЕегепсе со сЬе сопС1аоопв во1пс1оп. 1п Еачог оЕ сЫв сопс1о»1оп опе аау агапе ав Ео11очв. ЕЕ сЬе 1п1с1а1 сопй1с1опв аге в11ВЬс1у сЬапаеВ, во сЬас че аге В1чеп ТЬе Сепега11хей до1пссоп 299 1 Еаг х < О, 2 Еог х 5 с, 1 + х/с Еог 0 < х < *, сЬеп сЬе во1ас1оп п„вЬовп 1п 91д. 35, 1в йесеге1пей пп19пе1у.
Ав с сепйв со сего сМв во1пс1оп доев очаг со сЬе сопс1поопв во1ас1оп йгаап 1п р1д. 34а. ТЬе 1аровв1Ы11су оЕ сЬе во1пссоп йер1ссей 1п 34Ь, Ьесааве оЕ с' <у ,у) Р1д. 34. 1св спвсаЬс11су е1сЬ гевресс со регспгЬас1опв 1п 1п1с1а1 сопй1с1опв, св апа1одопв са еде 1аровв1Ы1ссу оЕ гаг111сас1оп вЬосС хаеев 1п сЬе аасЬеаа<1са1 йевсг1р<1оп оЕ сЬе Е1ое оЕ 1йеа1 дааев.
5. ОсЬег йеЕ1п1с1оп оЕ сЬе депега11вай во1ас1оа. Опе еау Еогап1асе сЬе депега11сей-во1пс1оп сопсерс сЬгопдЬ сопв1йегас1оп ос сЬе апх111агу ргоЫеа Эп Эп Эсп Эс Эх Эх' п(х, О) 9(х) (!0) Неге сЬе йсЕЕегепсса1 едпас1оп 1в по 1опдег ЬурегЬо11с, Ьпс оЕ рагаЬо11с суре. 1с'в во1пс1опв рсевесве в~воосспевв 1Е 9(х) 1в а ваоосЬ Еппсс1оп: Р1д. 35.
апй 1Е п(х, 0) св 41всопс1ппопв, сЬеп сЬе й1всопс1па1су 1в ваоосЬей. ТЬе рагааесег р > 0 р1аув сЬе вахе го1е Ьеге ав ч1всов1су 1п дав йупаа1св. Ав и О <Ье во1пс1оп оЕ ргоЫеа (10) сепйв со а 11а1< еЫсЬ ее сап саде со Ье сде депега11сей во1пс1оп оЕ ргоЫеа (1). Опе сап вЬом сЬас, Еог ргоЫеа 300 ОЬарсег 9 ТЬе Соврпсас1ап оЕ Оепегассхей Яо1пс1опв (1), сЫв 1ассег йе(1п1с1оп оЕ сЬе Оепега11кей во1пс1оп 1в ейп1ча1епс со сЬе йе(1п1с1оп Ьавей оп сопвегчас1оп 1ач (5). 930. ТЬе еопвсгиес1оп оЕ й1ЕЕегепое веЬевев Сес пв ргосеей, пов, со ййвспвв сЬе сопвсгпсс1оп оЕ й1ЕЕегепсе веЬевев Еог сЬе ргоЫев до Зп — +п =0„ ас ак п(х, О) 9(х).
Ие в111 аввпве, Еог сЬе ваСе оЕ йеЕ1п1гепевв, сЬас ф(х) > О. ТЬеп п(х, с) > О. 1с вау веев паспга1, ас Е1гвс к1апсе, со гопв1йег сЬе пве оЕ сЬе й1ЕЕегепсе воЬевев п — п и — и в в + ор в в 1 = О, р - О, 1. .. т в Ь в = О, е 1, (2) и = 9(х ) ° Ргеех1пй сЬе соеЕЕ(с1епг и аС СЬе Ро1пг в = в че вее СЬас, Еог СЬе Р в 0 гевп1с1пе е9пас1оп ч1сЬ сопвсапс ооеЕЕ1о1епсв, 1п сЬе сгапв1ссоп со сЬе 1ече1 с (р + 1)т сЬе вах1впа рг1пстр1е 1в Еп1Е111ей 1Е сЬе всер-в1хе, т т , 1в сЬовеп во ав со вас1в(у сЬе сопй1с1оп Р Ь 1 век~ар~ п2 9 (и йх — — йс) = О, Г 2 (3) оаппос Ье ехреосей оп апу геавопаЫе Огоопйв. 1пйеей, по 1п(огвас1оп Ьав Ьееп Ьп11с 1псо сЬе ргоровей й1ЕЕегепсе воЬеве (2) ав со 3пвс вЬас вогс оЕ сопвегчас1оп 1ач ((8) 929, ог (3)„ ог регЬарв вове осЬег) че Ьаче саСеп ав а Ьав1в Еог сЬе депега1(хей во1пс1оп.
ТЬеге(оге 1п сопвсгпос1пй а й1(уегепсе всЬеве опе вовс пве е1сЬег сЬе 1псейга1 сопвегчас1оп 1ав соггевропй1пк со сЬе йев1гей вепега11кей во1пс1оп, вау 1ав (3), ог сЬе е9пас1оп ч1сЬ агс111оса1 чйвсовссу (10) $291 ТЬпв ве вау екресс всаЫ11су. 1Е сЬе во1пс1оа оЕ ргоЫев (1) 1в ввоосЬ, сЬеп сЬеге 1в 11сс1е геавоп со йооЬс сЬаг ргоЫев (2) арргок1васев ргоЫев (1). Апй, 1п (асс, 1п сЫв саве ехрег1вепса1 соврпсаЫопв оЕ во1пс1опв Споеп, ЬеЕогеЬапй, со Ье ваоосЬ соа(1гв сопчегйепсе.
уовечег, 1Е ргоЫев (1) Ьав а й(всопс1ппопв во1пс1оп, сЬеп оопчегйепсе со сЬе йепега11хей во1пс1оп йесега1пей, 1ес пв вау, Ьу сЬе 1псейга1 оопвегчас1оп 1ав 13О Сопвсгисс1оп оЕ П1ЕЕегепсе ЗсЬеаев 301 (4) и + ии = Ри с х хх' чЫсЬ «ссовр11вЬев, ав и ч О, сЬе ве1есс1оп оЕ сЬе вепега11вей во1и11оп еЬ1сЬ 1псегевсв ив. 1. ЗсЬеаав аЕСЬ агс111с1а1 ч1всов1су.
Ьес ив ро1пс оис ас опсе сЬас сЬе й1ЕЕегепсе всЬеве ч1сЬ агс121с1а1 ч1всов1су р+1 р Р Р и - и и - и а ш р в в-1 т 'ив Ь и -2и +и Р Р Р в-1 ш в+1 Ь2 ио Ьав а во1ис1оп, и Ги ~ чЫсЬ, Еог виЕЕ1с1епс1у вша11 т т(Ь, и), (Ь) р сопчегйев ип1Еогв1у ав Ь О со ГЬе йев1гей хепега11хей во1ис1оп оигв1йе апу ргевсг1Ьей пе12!тЬогЬоой, Ьочечег вша11, оЕ сЬе 11пе оГ й1всопс1пи1су оЕ сЫв во1ис1оп.
1с вивт Ье аввивей, Ьеге, сЬас Р = и(Ь) сепйв со сего виЕЕЕс1епс1у в1оч1у. Чаг1оич всЬешев ив1пй агсП1с1а1 ч1всовтсу аге арр11ей виссеввуи11у (п йае йупаш1св са1си1ас1опв. ТЬе1г чеаКпевв 1в сЬе вшеаг1пв оГ й1всопг1пи11тев. Че сиги поч го сопв1йег, 1п йеса11, сЬе сопвсгисс1оп оЕ й1ЕЕегепсе всЬевев Ьавей оп сопвегчас1оп 1ач (3). 1с 1в ровв1Ые со й(вс1паи1вЬ счо арргоасЬев. 1п ЕЬе Е1гвс опе ивев, пас оп1у сЬе сопвегчас1оп 1ач (3) тсве1Е, Ьис а1во сЬе йгвсопс1пи1су сопй1- стоп йс 2 (5) Зи Эи — + и — = О. Чс Зх чЫсЬ сЫв 1ач тар11ев.
1п сЬе весопй ГЬе Ывсопс1пи1с1ев аге пос в1пв1ей азс, апй сЬе совриса11оп 1в хочегпей Ьу сЬе ваше еЧиас1опв ас а11 ро1псв оЕ с!те сошрисас1опа1 пес. 2 ТЬе аесЬой оЕ сЬагассег1вс1св. ТЬе Ейеа оЕ в1п211пх оис сЬе й(всопсгпи1су 1п сошрис1пй сЬе вепега11хей во1ис1оп 1в евЬойтей гп 1св с1еагевс Гога 1п ГЬе весЬой оЕ сЬагассег1вс1св, чЫсЬ шау Ье сопвййегей ав опе оЕ сре чаг1апсв оЕ сЬе Е(п1се йГЕЕегепсе весЬой.
ТЬе йече1ораепс оЕ й1всопс1пи111ев Ьт ГЬе соигве оЕ сЬе соврисас1оп, 1.е. ч1сЬ 1исгеав1пй 41ше с, 1в севеп 1псо ассоипс Гв врес1а1 ечиас1опв, ааЫпд иве оЕ ге1ас1оп (5) оп сЬе йтвсопс1пигсу. Ачау Егош сЬе й1всопс1пи1су всасевепсв оЕ сЬе й(ЕЕегепС1а1 еииаг1опв 1п а11 ГЬе Еогшв че Ьаче епсоипСегей аге еди1ча1епг. Т!тегеГоге, 1п сопвсгисс1пв сошрисас1опа1 Еогши1ав ас ро1псв чЬеге сЬе во1истоп 1в ввоосЬ, че шау гасе ав оиг всагс1пх ро1пс сЬе сопвегчас1оп 1ач Еп ИЕЕегепс1а1 Еогв, Е.е.
сЬе й1ЕЕегепсга1 еЧиас1оп ТЬе Соарысас1оп оу Сепега11вед Зо!ис1опв 302 СЬарсег 9 !п 1св аа1п оос11иев опе оЕ сЬе чаг1апгв оу сЬе аесЬод об сЬагассег- Ргоа сЬе ро1м О че дгач сЬе д1всоы1- пи1!у 11пе ир со 1св 1пгегвесс1оп ч1сЬ сЬе 11пе с с ° ТЬе «1оре оу гЬе р+2 д(всопс1пшсу 11пе 1в де!!пей Ьу сЬе р р От дтег Р10. 36. д1всопс1пи1су спид!с!оп и + и ии ав Гап а= 2 Ргоа !Ье ро1пс оу 1пгегвесс1оп оу сЬе д1всопг1пи1су 11пе ч1сЬ с с че дгач сЬагасгег1вс1св ЬасК со сЬе1г 1псегвесс1опв ч1сЬ сЬе !!пе р+2 01ч1пд сЬеа сбе в1орев и апд ы сЬе ча1иев оЕ и авв1йпед р+1' !еуг г1НЫ, ас сЬе ргентоив 1ече!.
Ас сЬе ро1псв оу 1псегвесс1оп оу сЬеве сЬагассег1вс1св ч1сЬ сЬе 11пе с с че 1(пд ча1иев о( и Ьу 1псегро1ас1оп 1п х, апд р+1 гасе сЬеае ав сЬе 1еус- апд г1ибс-Ьапд ча1иев о1 сЬе во1ис1оп ас сЬе рохас оЕ д1всопс1пи1су !у1пр оп сЬе 11пе ! . 1п сЫв чау че сап поч деЕ1пе а р+1 1вг1св, а чаг1апг арр11саЫе со оиг ехаар1е, аау Ье всессЬед ав Ро11очв.
МагК оис оп сЬе х ах1в сЬе ро1псв х = аЬ. Ме ч111 аввиае, Рог сЬе васе оЕ де(1п1сепевв, сЬас сЬе 1Ыс1а1 сопд!1!оп, и(х, 0) Ч(х), 1в Р!чеп Ьу сЬе ваоосЬ Рипсс1оп р(х). Ргоа еасЬ ро1пс (х , 0) дгач а сбагассег1вс1с о( сЬе аспас!оп и + ии О. с х Яыррове, 1п огдег по! со соар11сасе аиг ргевепсас1оп, сЬас Рог сЬе Р1чеп Риис!!оп, Р(х), опе сап сЬоове висЬ а ваа11 т ЬЬаг диг1пд апу 11ае 1псе гча1 об !епдсЬ т а сЬагассег1вс1с сап 1псегвесс по аоге гЬап опе оу 1гв пе1РЬЬог1па сЬагассег1вс1св.
Бе!есс высЬ а т апд дгач сЬе !1пев г = с рт. Ьосасе сЬе ро1псв оу 1псегвесс1оп оу сЬе сЬагассег1вс1с еаегд1пд Рсоа гЬе ро1пс (х , 0) ч1сЬ сЬе 11пе г = т, апд сгапв1асе со сЬеве ро1псв, а!оий сЬе сЬагассег!вс(св, сЬе ча!ыев оЕ сЬе во1ис1оп ы(х , 0) = Ч(х 11, 1п сЬе 1псегча1 0 < с < т, по сио сЬагассег1вгтсв Ьаче 1псегвесгед ие гасе сЬе Ро!!оч1пр втер; че ехсепд сЬе сЬагассег1вс1св ир со сЬетг 1псегвесс1опв ч1сЬ сЬе !1пе с 2т апд сгапв1асе сбе во1ис1оп ча1ыев а!опд сЬе сЬагасгег1вг1св, Со сЬе ро1пев о( 1псегвесг1оп. !Р, диг1пй СЬе С1па т < с < 2т, ЬЬеге 1в ада!и по 1псегвесс1опв о( ЬЬе сЬагасгес1вг1св че гасе сЬе Ео!!оч!пр всер, есс., ипс11 оа вове ведаепг с < и < г ! сво сЬаг- Р р+1 ассег!вссов, еаегд1пд Рог ехаар1е Егоа гЬе ро1псв (х, 0) апд (х, 0), Ьаче 1псегвессей (Р10.
Зб). ТЬеп сЬе а1дро1пс о( сЬе ведаепс а+1 ' р+!' р+1 и111 Ье сасеп ав сЬе ро1пс Ргоа чЫсЬ а д1всопс1пийсу ог121- а+1* п р+! р+! пасев. ТЬе ро1псв О апд О чг11 Ье а а+! ~в~ сер1асед Ьу СЬе в1пд!е ро1пг О, Со чЫсЬ че авсг1Ье счо во1ис1оп ча!иев, и 1еЕс апд и , саг1ид Рог сЬеве пиапс1г1ев г1КЬг г г сЬе ча1ыев р у Езо Сопвсгисстоп оЕ О1ЕЕегепсе ЯсЬевев 303 //У/чет // шесЬоо оЕ сЬагассег1вс1св 1в сЬас 1с а11ошв опе со сгасс (у/+РеЯ д//ЕУтР+ 1Ье дтвсопсЕпитсу апд со соврете 1с ассигасе1у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
