Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 46
Текст из файла (страница 46)
О1ЕЕегепсе всЬеае ( 13) 124 2111рссс Р Ы СЬарсег 11 326 1. АрргохЕааг1оп. ТЬе г16Ьс-Ьапб в16е, Е( ), оЕ 61ЕЕегепсе всЬеше (2) Ьав сЬе Еогш Ф(х, У ), (х, У ) 1п ОЫ а' п ш' и Е (4) Р(в ), (х, у) 1пГ Лввиш1ир сЬас сЬе во1ис1оп, и(х, у), оЕ ргоЫеш (1) Ьав Ъоип6е6 ЕоигсЬ 6ег1час1чев опе сап, в11Ь сЬе а16 оЕ Тау1ог'в Еогаи1ав, Лег1че сЬе епиас1оп ЛишЛ и+Л и Ь хх уу ," й'д~а.'.
В Л), Си [ва г.шС), (5) д„д 2 '27 ТЬегеЕоге Еог сЬе во1ис1оп и(х, у) оЕ ргоЫеш (1) ве шау вг1се (6) ЛЕ , вЫсЬ Лече1орв вЬеп [и! 1в висвс1сисе6 1псо сЬе (Ь) Ь 61ЕЕегепсе всЬеше (2) Ьав С!се Еогш ТЬив сЬе гев16иа1 1еЕс-Ьапб в16е оЕ 0(ЬЕ), (х, у ) 1п В", (Ь) 2 О, (х, у) 1пГ (7) 1п сЬе враге Р, соарове6 оЕ е1еаепсв оЕ сЬе Еога Ф, (х, у) 1пр", () ап' ш' п Ф, (х, у) 1пГ ши' а' и Ь' ше 1исгобисе сЬе пога ))Е( )) аах [Ф [ + аах )р ).
(8) Ь (шЬ,пЫ 1п ОО (аЬ,пЬ) 1п Г ТЬеп ))61 )) 0(Ь2) ° РЬ Е(х, у ) + О(Ь2), ЪЬ[и)Ь = Р(в ) +О, (х, у ) Еп О'"„, (х, у) 1пГ Б1шр1евс 01ЕЕегепсе БгЬеае Еог сЬе 01г1сЬ1ес РгоЫеш 327 ТЬив й1ЕЕегепое Ъоипйпгу-че1ие ргоЪ1еа (3) врргох1аесев 01г1оЫес ргоЫеа (1) со вепопд огйег в1сЬ гевресс со Ь. 2. ЗгвЫ11гу. Вес ив йеЕ1пе в поги Еп сЬе враге, О, оЕ Еипос1опв Всчеп оп сЬе пес ОЬ, весс1пВ Йн )) авх )и Ь (шЬ,пЬ) 1п ОЬ (9) То ргоче всвЫ11су оЕ 01ЕЕегепсе вспеае (3), пв 1в оиг ргевепс Вов1, ее и111 Ьвче со евсвЫ1вЬ сЬас, 1п вссогдвпсе и1сЬ ХЬе деЕ1п111оп оЕ всаЫ11су, ргоЫеа (2) Ьев в ип19ие во1ис1оп Еог апу вгЫсгвгу г1ВЬХ "Ьппй всйе Е( ) (в ргорегсу иЫгЬ Лаев пос Вереей оп гЬо1се оЕ погав), впй сЬвс ))и Й < о))Е )), Ь Ь иЬеге с йерепйв пе1сЬег оп Ь пог оп Е (Ь) Вешав 1.
$иррове ХЬаХ ХЬе Лилов(ол ч = ~(ч ] св йеу"Елей ол ХЪе (Ь) ап лес ОЬ алй ас слсвсла1 роси*в, (х, у ) (аЬ, пЬ) сл ОЬ, вассвусев ХЬе а' п оолйхсйол (10) Л ч( > О, (шЬ, пЬ) "! (аЬ, пЬ) сп О ЛЬч (Ь) (ВЬ, пЬ) (ч - ч ) + (ч - ч ) + (ч - ч ) + (ч - ч ) ( О, а+1,п ап ш,п+1 шп а-1,п ап ш,п-1 шп в1пге, 1п ХЬе пиаегвсог, ХЬе Е1гвс ехргевв1оп 1п рвгепсЬевев 1в пеВес1не, впй сЬе осЬегь аге поп-ров1сгче.
Вис сЫв иопг1ив1оп сопсгай1ссв ( 11). Лешев 2, Биррове ХЬе уилосхол ч = (ч ) хв йе71лей ол ХЬе ле* (Ь) О ап ОЬ алй, ас слсегсог рослсв (аЬ, пЬ) хл ОЬ, восйвухев ХЬе оолй(ссол Л ч(Ь)) < О, (аЬ, пЬ) 1п ОВ (аЬ, пЬ) (12) ТЬвл *Ье чксхстит оу' ч ооег ХЬе вес ОЬ хв ох*а(лей ас оле ог топе роси*в (Ь) оу ГЬ.
Ргоо(. Аввиае сЬе орровссе. СЬоове, ашопр сЬове ро1псв оЕ ОЬ ес иЫсЬ ч ессв1пв 1с'в вшх1аиш, впу в1п01е ро1пс (х, у ) Ьвч1пр ХЬе (Ь) 1вгВевс вЬс1ввв. Ву оиг еввпарс1оп (х , у ) 1в вп 1псегпа1 ро1пс впд, а' п ЕигсЬег,ч 1в ыг1ос1у 1вгВег сЬпп ч 1 . Ас ро1пс ш,п сЬеп ие Ьвче шп ш+1, п 8111рЫ«ргоЫеав 328 СЬарсег 11 тьеп сьв аепфшиа оа1ив ое ч оп гьв пас Оь св са)гвп оп ас гвавс ас оие (Ь) росио оу' сЬв Ьоип«(агу. ТЬе ргооЕ аЕ Ьешша 2 1в апа1оропв со сЬас оЕ Оеааа 1. Тиеогеа ("шах1аиш рг1п«1р1е"). Еоегу вогигсоп оу' СЬв г(ЦГвгепсв вешав(оп ВЬч (Ь)! О, (аЬ, пЬ) 1п О О (! 3) (шЬ, ~Ь) авва«па сгв пошипит апс( аппсшиа иагивв ав роспвв ор Г А ргооЕ шау Ье «опвсги«сед Ьу «ошЫп1пд иЬас 1в авва«сед 1п Овевав 1 апд 2.
ТЫв ргорегсу ор сЬе во1Ы1ап оЕ 41ЕЕегеп«е ецпа«1«п (13) 1в апа1«8оив со сЬе «оггевроп81п8 ргорегсу ор сЬе в«1«с1оп, ч(х,у), оЕ сЬе Ьар1а«е еепас1«п ч + ч = О, а во1и«1оп иЫ«Ь а1во самее оп 1св 1еавс ап4 хх уу ргеасевс ча1пев оп сЬе Ьоппдагу аЕ сЬе Ооаа1п шЬеге 1с 1в ОеЕ1пед, Рсоа сЬе еах1шпш рг1п«1р1е 1с Еа11оив сЬас сЬе ргаЬ1еш ЛЬч( О, (шЬ,ПЬ) (аЬ,пЬ) 1п ОО, (Ы Ь (Ь) (аЬ,пЬ) ! (шЬ, пЬ) 1п Г Ьав оп1у сЬе чап1вЫпд в«1пс1ап и О, в1п«е сЬе Огеасевс ап4 вша11евс ча1пев оЕ сЫв во1п«1оп аге сасеп оп ас ра1псв аЕ Г, иЬеге и = О. Ь' шп ТЬегераге сЬе Ьесега1папс «Е сЬе вувсеа аЕ 11пеаг ег(па«1«пв (3) 1в 41ЕЕегепс Егоа сего, апд 61(Еегеп«е Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеа (2) Ьав а пп1«Спе во1пс1оп Еаг апу агЫсгагу «18Ьс-Ьапд всде Е (Ь) Ьес пв пои Оо оп со а ргооЕ оЕ Ьоппд (10). Ву Ыгспе оЕ Ео, (5), Еог ечесу ро1упаш1а1 Р(х,у) «Е ве«оп4 (ог ечеп сЫгд) «где« Р(х,У) " ах + Ьху + «у + йх + еу + Е ие Ьаче сЬе ециа11«у ИР= — + —, дгр дгр Ь дхг дуг (15) в1п«е «Ье Еоог«Ь де«с«а«счев оЕ Р(х,у), чЬ1«Ь арреаг 1п сЬе геаа1пдег «агав аЕ 88, (5), а11 чап1вЬ.
Ов1пр сЬе Епп««1опв ф апд ф иЫ«Ь Гога сЬе «18Ьс-Ьапс( в18ев аЕ вувсеа (3), апд саЫпд 8 5 гг, ее «опвсги«с сЬе аих111агу Еип««1ап р (х, у) (Кг -(хг е уг)] аах ]ф ] е аах ]ф (Ь) 1 2 г (аЬ,пЬ) 1п О (аЬ,пЬ) 1п Г $3Л 51шр1евс 01ЕЕегепсе ВГЬеше Еог сЬе 01с1оЫес РгоЬ1еш 325 чЫГЬ че ш111 сопвЕбег оа1у ас сЬе ра1псв оЕ 0 . ТЫв 1ассег Расс 1в Ь'(Ь) 1пб1сасеб Ьу СЬе ворегвсг1рс Ь 1п сЬе посас1оа Р (х,у), Ргош (15) че вее СЬаг, аг а11 ро1пгв оЕ ОО Ь Л Р )[ в - шах !Ф <, (Ь)! Ь х шЬ, (ГЬ,вЬ) 1п Ов ГВ у-пЬ <ШЬ,ПЬ) 1п 0".
ТЬеге(оге, ас сЬе ра1асв оЕ О", ГЬе б1ЕЕегепсе Ъесшееп ГЬе во1пс1оп п( (Ь) оЕ ргоЫеш (3) апб ГЬе Еопос1оп Р вас1вЕсев ГЬе ге1ас1опв Л [и " Р ) = Л и - Л Р = Ф + шах [Ф [ > О. Ь Ь Ь шп гв Г,В Ву 1ешвш 1 ГЬе б1ЕЕегепое п - Р васев оп 1св Вгеасевс ча1пе оп сЬе (Ь) (Ь) Ьоппбагу Г . Впс ГЬеге ГЫв б1ЕЕегепсе Ь <Ь) <Л) [Ф (Ь)) Г шп шп [Ф - шах [Ф )[ + ~[[х2 + у2) " Н") шах !Ф <ГЬ,вЬ) Еп ГЬ (ГЬ,вЫ 1п О"„ (Ь) (Ь) п-р)<О, (Ь) < Р(Ы ог 51ш11аг1у, Еог ГЬе Еппсс1оп п( ' + Р' ' ас ГЬе ро1псв оЕ О" че Ьаче Ь ЛЬ[п + Р( ) < О, апб ас ГЬе ро1псв оЕ Г сЬе вош и( ' + Р 1в поп-пеВас1че.
Ву 1ешша 2, (Ь) (Ь) Ь ечегушЬеге оп 0 Ь Р(Ь) < (Ь) п +Р )О, ТЬпв, ечегучЬете аа О [ < [Р< )[ < ч 52 шах [Ф ! + шах [Ф ), (Ь) 1 (гЬ вЬ) 1п Оч (гЬ вЬ) 1п Г Егош чЫГЬ че Вес 1пеопа11су (10): 1в попров1с1че в1пое, ечегучЬеге 1п Ьгагсесв оп сЬе г15ЬГ-Ьапб всбе аге оЕ и - Р 1в попров1Г1че, сЬеп (Ь) (Ь) вОпаге О, х + уг < К~ апб ЪасЬ вопаге поаров111че. 51псе сЬе Вгеасевс ча1пе ечегучЬеге оп О Ь СЬарсег 11 ЗЗО 2111рг1с РгоЫешв шах)о ! ]]и !! < с]]Е (Ь) (Ь) шп ОЬ РЬ = ! шах !Ф ! + шах )р !), (гЬ,вЬ) 1п Р" (гЬ,вЫ 1п Г шЬеге рд с шах] 1, чв-], сошр1ес1пд сЬе ргооЕ оЕ всаЬ111су.
1п сЬе саве оЕ сЬе Р1»1сЫес ргаЫеш Еог сЬе е111рс1с еопас1ап ч1сЬ чаг1аЫе соеЕЕ1с1епсв д дп д дп — ]11(х у) д — ] + 3 ]Ьд(хгу) 3 ] = Ф(х~у) (х, у) 1п О, о! = Ф(в), Г еЬеге Ь (х,у) апд Ь (х,у) аге ров1с1че, вшоаСЬ ЕопсС1опв 1п сЬе гессапд1е 1 2 Р, опе сап сопвггпсс с(1ЕЕегепсе еооас1опв апа1адопв1у. Кер1ас1пд сЬе дег1час1чев 3/дх(Ь дп/Эх) апд 3/Эу(Ь дп/Эу), ас 1псег1ог ро1псв оЕ сЬе 1 2 пег Р~Ь, Ьу ЬЕЕЕегепсе ехргевв1опв ч1а СЬе арргах1шаг1опв 3 — ]Ь (х,у) — у — ' — ] 1 о(х,у) д ( +, / ) о(» + Ь, у) - о(х,у) Ь Ь о(х,у) - п(х " Ьу)] †]Ь (х,у) ' ] Л п(х,у) в д д (,,у) ду 2 ' ду уу 1с п(х, у Е Ь) - о(х,у) фд2(хю у + Ь/2) (. Пд — ' п(х,у) " п(х, у " Ц ве дес а ЭЕЕЕегепсе всЬеше (2) оЕ сЬе Еогш Я1шр1евс ОЕЕЕегепсе ОсЬеше Еог сЬе О1г1сЫес РгаЬ1еш 331 А и +А и =Ф(шЬ, пЫ, хх )у (Ь) Ь и и) ч(в ), (шЬ, пЬ) 1п Г Ь Ь (шЬ, пЬ) 1п О", Ов1пй Тау1ог'в Еогши1а опе сап сопч1псе опеве1Е сЬас арргах1шас1оп 1в оЕ аесопй агйег.
1с 1в ровв1Ь1е со ргоче всаЫ11су оЕ сЫв всЬеше а(сег очегсош1пй ваше айй1с1опа1 й1ЕЕ1си1С1ев чМсЬ йо пос арреаг 1п сЬе в1шр1ес ехашр1ев ее Ьаче сЬавеп са сопв(йег. 1п ргасс1се 1п сгеас1пй вресЬ(1с ргоЫешв опе 11ш1св опеве1Е, огй1паг11у, го вегу Еипйашепса1 сЬеагес1са1 сопвсйегас1опв, Ьавей оп сЬе апа1ув1в аЕ шойе1 ргоЬ1ешв 1ОХе сЬове аЬоче. Сопсгесе еггаг евс1шасев аге оЬса1пей, ав а ги1е, пос Егаш сЬеогес1са1 Ъоипйв, Ьис Егаш 1псегсошраг1вап аЕ сЬе геви1св оЕ сошрисас1опв сагг1ей оис ч1сЬ чаг1оив всершсйсЬв, Ь. АЕсег а й1ЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеш, арргах1шас1пй а К1чеп й11(егепс1а1 рсоЫеш, 1в сопвсгиссей опе вс111 пеейв со врес1Еу а шесЬой оЕ ва1иссап вЫсЬ 1в пос "соо й1ЕЕ1си1с".
АЕсег а11, Еог вша11 Ь ргоЫеш (2) 1в а вувсеш оЕ вса1аг еКиас1опв оЕ вегу ЫКЬ огйег. 1п сЬе ехашр1е ве Ьаче сЬовеп сЬе во1ис1оп оЕ сЬе йЬЕЕегеасе еоиас1опв 1в а сошр1ех апй 1псегевс1пК ргоЫеш, Ьис ее йеуег сопв1йегас1оп оЕ сЫв ргоЫеш со Б35, 36. РКОВЬЕИЯ 1. ЯЬош сЬас 1Е, ас сЬе 1псег1аг ра1псв оЕ йоша1п О, сЬе Еипсс1ап (Ь) Ь' и( вас1в(1ев сЬе ейиас1оп Л и ) = О, ш, и = 1, 2, ..., И 1, (Ь) Ь (шЬ,ПЬ) сЬеп е1сЬег и саЬев оп, ечегучЬеге 1п ОЬ, опе апй сЬе ваше ча1ие, ог сЬе (Ы Кгеасевс апй 1еавс ча1иев оЕ и аге пос асса1пей ас апч 1псег1аг ро1пс оЕ (Ы сЬе вес О (сЬе "всгепйсЬепей шах1шиш рг1пс1р1е"). 2. 1Е, ас а11 1псегпа1 ро1псв оЕ сЬе йо~ва1п О, сЬе сопй1с1оп (Ь)' Ь' и ) О 1в вас1вЕ1ей апй, еогеочес, всг1сс 1пециа11су Ьо1йв ас 1еавс ас (Ы опе ро1пс, сЬеп и йоез пос асса1п 1сз шах1шиш ас апу 1псег1ог ро1пс.
3 ° Сопв1йег а й1ЕЕегепсе всЬевш Ь и = Е оЕ СЬе Еогш (Ь) (Ь) Ь ззг СЬарсег 11 2111рс1с РгоЫеав о + и и о - 4» ш+1,п ш,сН.1 ш"1,п ш,и-1 ши (шЬ, пЬ) 1п Оа, Ь' 4(шЬ,пЬ), (Ь) ЬЬо " ° Р !в ) оп Г (1) а - и ) Ь 2 п = 1, ° ° °, СЦ"1. ТЫ» 41ЕЕе ивисе всЬеше арргох1шасев сЬе ргоЫеш (все Р1и. 43) агп ага — — Ф(х,у) ах' ау' (х, у) 1п С, (х,у) 1п Г (1), ( ,у)1 ( ) р (в), Г до! 3») Рг(') г(г) (х, у) спг (2) а) Ргоче сЬас Еог апу ~(шЬ,»Ь~, Ц~ (в ) апй Р (пЫ сЬе ргоЬ1еш 1 и ' = Е ' Ьав а 2 Ь о»14»е ва1ос1оп.
Ь) Ргоче сЬвс 11 4(шЬ,»Ь) 1» поп-пер»с1че, ап4 $ (в ) »пд Р (пЫ аге поиров111че, сьеп 1 ап и 1в иаира»1с1че. с) Ргоче сЬас Еог апу 4, Ф а»4 Р сЬеге 2 ех1всв в Ьоо»4 оЕ Еогш Р13. 43. авх 1» 1 < с(шах!4 1 + аах 14 (в )1 + шах!4 (пЬ)1), а,п ш,п (шЬ,пЬ) 1п Г п чЬеге с 1в ваше сои»свис иос дереп41»д ап Ь. Саврасе с. й35. НеСЬой оЕ исае "сЕече1ораеаг 1. удав оЕ сие аесиод оЕ с1ше-дече1ораеаг. Та св1с»1»се сЬе во1»11оив оЕ шапу оЕ сЬе всас1опагу ргаЫеав аЕ шасЬешас1са1 РЬу»1св, девсг1Ы»р чаг1оив еи»111Ьг1»ш всасев, опе сап»14»гв сЬеве »4»111Ьг1» ав сЬе гев»1св оЕ сЬе аррга»сЬ-со-вгеайу-»саге оЕ ргосеввев Йече1ар1»д 1п с1ае, чЬове соарасас1апа1 сгеасаепс 1в »1ар1ег сЬап сЬе аЕгесс са1с»1ас1ап оЕ сЬе ес»ШЬг1»ш всвсе 1све11.
Сце 111»всгасе сЬе иве аЕ сЬе аесЬод оЕ 11ше-меч»1ораепс ч1» сЬе ехвшр1е аЕ ап »1дог1сЬш Еаг сЬе сошросас1опа1 во1»11аи оЕ сЬе 01г1сЬ1ес ргаЫеш 335 333 Месбод аЕ Т1ше-Оече1аршепс Л и + Л и " ф(х , у ~, ш, п " 1, 2, ..., М 1, хх шп уу шп ш п и 1 ~)~в ), 1 шп арргох1шас1«а сЬе б1ЕЕ«гепс1«1 О1г(«Ыес ргоЫеш ааи Эх, — + — = Ф(х,у), О < х, у < 1, аха ауа (2) и! ч(в). Г 1п сЬе саве оЕ ргоЫеш (1)„чЫиЬ че ч111 сап«сбег Ьеге, сс ш111 Ье ров«1Ые со саггу ом а сЬеогес1«а1 апа1у«1в оЕ чаг1оив с1ше-иече1оршепс «1аог1сбшв ч1сЬ сЬе аси оЕ Е1п1се Раиг1ег вет1ев, Маге сЬас, Еог сЬе во1ис1ап оЕ е111рс1о с(1ЕЕ«тапсе ргоЫешв 11Ь« ргоЫеш (1), шииЬ шоте еЕЕеис1че стегав(че шесбадв Ьаче Ьееп с(еч«1оред. Бове оЕ сЬеве ч111 Ье с(евсг1Ь«4 сп 333б, 37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
