Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ТЬегеГоге 1)п )11 < с11Е )11 О РЬ (12) ппй сЬе всЬеве се есеЬ1е. 2 ° 1ар11еЕС МЕЕЕегеасе всЬеае Мое 1ег па сопеЫег сЬе свр11ссс 41ЕЕегепсе есЬеае п+1 п+1 п+1 = Ф[ ., и), -2п +и Ьх стс1 п и и - пс[х т в и Ф[х в О а "О Ф1[ )* М 2[ и) Ь Ь п Ь п+1 п 1п огс(ег со соарпсе сЬе и, псчеп и, в О, 1, ..., М, опе впес ео1че в в сЬе ргоЬГев п+1 п+1 п+1 по1 п и — - пх[х, с ) = — + Ф[, с ), в' п Ь2 т в' п (14) пе1 "О Ф1[ "и 1) М 2[ п+1) АЕсег ЬосЬ вЫев оГ сЬе пЬоче МЕЕЕегепсе еОпес1оп Ьече Ьееп ап111р11ед Ьу т сЬЕе ргоЬТев спЬее сЬе Гога е ч 1 + Ь ч + с ч а в-1 в в а иН-1 в' в=1,2, ° ° °,М1, ч 8 М СЬарсег 8 Вове ВаЫс МесЬодв Еог сЬе Яса)у оЕ ВсаЫ11су 290 а = атттх , С )г, а а' п ч и а а с=ат(х,г)г, а а* п Ь -2аг(х, С )г - 1, 16 а' и -и - тФ'(х, с ), а а а' п а=9(с в - 92(с „).
ТЬе сое111с1епсв а, Ь, с вассе(у сЬе сопд1ссоав а > О, с > О, )Ь 1 > а + с + 9 (6 > 0). ТЬеге(оге, ав вЬоии 1п Ц4 апд 5, сЬе ргоЫеа Ьав а «п19ие во1ис1оп и+1 пч1 и+1 О' 1' ' М) ~ О ' 1 ' ' М вЂ” - тФ(х п+1 ВиРРове, Еог сЬе ваКе оЕ деЕ1п1гепевв, СЬаг и е > О. вйде оЕ сЬ1в еоиас1оп сап Ье Ьоипдед сЬивс ТЬеп сЬе 1еЕс-Ьапд га (х е, с )и (1 ч 2га (х е, с ))й„ е га (х е, с )и „ ТЬегеуоге -и , > -и - тФ(х „, С ), и+1 п а* — а* а*' и иЬ1сЬ сап Ье соарисед Ьу РВВВ. То ргоче всаЫ11су ие аивс ас111 деаопвсгвсе сЬе ча11й1су оЕ 1пеоиа11су (12).
рог сЫв ригрове ие 11гвс ргоче 1пеоиа11су (5) (сЬе аах1аиа рг(пс1р1е), Егоа иЫсЬ Ьоипдв (10) апд (12) аау Ье дег1чед ехасс1у, аогй Еог иогд, ав 1п сЬе саве оЕ ехр11с1с всЬеае (2). п+1 ! и+1) ОЕ а11 сЬе Оиапс1с1ев, и , еоиа1 1п аоди1ив со аах)» ), ве1есс сЬас опе иЬове 1пйех, а, Ьав сЬе ваа11евс ча1ие а = а*. 11 а* = 0 ог а* М сЬеп, 1п чтеч оЕ (8), сЬе ча1161су оЕ 1пе9иа11су (5) 1в оЬч1оив. Виррове а* в 0 апд а* в М. Вес ив иг1се оис 89. (14) Еог а а*с 291 Иах1шпш Рг1пс1р1е шах)п ~ п „ ( )» „ + тФ(х в, с )) ( < шах!и ~ + т аах)фттх , С )) ° а( а' п ш ш,п 3.
Ссшраг1воп оЕ СЬе ехр11с1С аеЕ Ешр11с1С й1ЕЕегепсе всЬешев. ТЬпв ие Ьаче ргочеп 1пе9па11ту (5), апй а1во СЬе шах1шпш рг1пс1р1е 1ар11ей Ьу (5). Ас СЬе ваше с1ше ие Ьаче а1во ргочеп СЬе всаЫ11су оЕ 1ар11с1с й1Е" Еегепсе всЬеше (14) 1п потев (4). уе всгевв СЬе еввелс(аХ Щавелевое Ъесиввл СЬе евра(осс алИ илр21осс всуешев (2) алт( (ЕЕ). ТЪв С'сгвс гедисгев Еог всаЪИССу СЪе всер-втае Ил<рассол т< Ь2, 2 шах а2(х, с) иуусЬ Ъесошев оегу гевсгссстое С| СЬе ооеуутоселс аг(х, И СаИев ол Халде оа2иев воел сл Суе втаП лесуЪЬогуосс( оу воле вслд(е рохас, Туе ввсолт(, сшрХЕотС, Щ~егелсе всуеше гвшатлв втаЫе чог алу а»Ъссгалу гв(астап Ъесиеел СЪе всер-атаев Ъ алт( т.
П1ЕЕегепсе всЬешев чЫсЬ, 11Ье СЬе 1шр11с1с всЬеше (14), геша1п всаЫе Еог апу агЫсгагу ге1ас1оп Ьесшееп пес всер" в1вев аге са11ей ауво(исе(у всаЫе ог илсолЖСсола22у вСаЫе. Ххр11с1с всЬеше (2) 1а пос ппсопй1- с1опа11у всаЫе. СЬарсег 9 ЫЕЕегеаее Зпьевв Сопеерсв 1п сье Соарпсас1оп оЕ Свпега11вей Зо1исдопв $29 ТЬе Сепега11хей Зо1ис1оп 1п а11 сЬе ехаар1ев во Еаг сопв1дегед ие Ьаче аввивед сЬас сЬеге ех1всед "виЕЕсс1епс1у ваоосЬ" во1ис1опв оЕ сЬе д1ЕЕегепс1а) Ъоипдагу-ча1ие ргоЫеа, апд Ьавед сЬе сопвсгисс1оп оЕ д1ЕЕегепсе всЬеаев оп сЬе арргох1- аасе гер1асеаепс оЕ дег1час1чев, 1п а д(ЕЕегепс(а1 е9нас1оп, Ьу д(ЕЕегепсе ге1ас1опв.
Вис д1(Еегепс1аЫе Еипсс1опв йо пос виЕЕ1се Еог сЬе девпг1рс1оп оЕ папу рЬув1св ргосеввев. ТЬив, Еог ехавр1е, ехрег1вепсв вЬоч сЬас сЬе д1всг1Ьис1опв оЕ ргеввиге, депв1су апд севрегасиге 1п сЬе вирегвоп1с 11ов оЕ а поп-ч1всоив Зав аге девсг1Ьед Ьу Еипсс1опв ч1сЬ диар-й1сопс1пи1<1вв, д1всопс1пи111ев са11ед "вЬос1с иачев." 01всопс1писс1ев аау дече1ор, 1п сЬе соиг*е оЕ с1ве, ечеп Егоа ваоосЬ 1псс1а1 сопй1с1опв.
ТЬе соггевропд1пд д1ЕЕегепс1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеав до пос Ьаче ввоосЬ во1ис1опв. 1с и111 Ье песеввагу Еог «в со Ьгоайеп сЬе сопсерс оЕ а во1ис1оп апд, 1п вове пасига1 иау, со 1псгодисе Зепега11вед во1ис1опв иЫсЬ сап Ье д1всопс1пиоив. ТЬеге аге сво Ьав1па11у д1ЕЕегепс чаув со йо сЫв. ТЬе Е1гвс арргоасЬ 1в со иг1се сЬе рЬув1са1 сопвегчас1оп 1авв (сопвегчас1оп оЕ вава, воаепсиа, епегду, есс.) пос 1п д1ЕЕегепс1а1, Ьис 1п 1псе— Вга1 Еогв. ТЬеп сЬеу аге веап1пЗЕи1 ечеп Еог Ивсоп<1пиоив Еипсс1опв иЫсЬ саппос Ье д1ЕЕегепс1асед Ьис сап Ье 1псезгасед. ТЬе весопд сопв1всв 1п сЬас опе агс111сса11у 1псгодисев 1псо сЬе д1Е— Еегепс1а1 епиас1опв сегвв висЬ сЬас сЬе геви1с1ад е9иас1опв ч111 Ьаче ваоосЬ во1Ы1опв.
ТЬеве агс111с1а11у 1псгодисед сегав аау, 1п сЬе паве оЕ Вав дупав1св ргоЫевв, Ье 1псергесед ав вва11 ч1всов1су сегвв иЫсЬ ввоосЬ сЬе д1всопИпи111ев 1п сЬе во1ис1оп. Вчепсиа11у сЬе соеЕЕ1с1епсв оЕ сЬеве "ч1всоив" сегав сепй со сего, апд сЬе 11в1с арргоасЬед Ьу сЬе во1ис1оп 1в сагеп со Ье сЬе Зепега11вед во1ис1оп оЕ сЬе ог1З1па1 ргоЫев. Сге с1аг1Еу сЬе де11п1с1оп оЕ сЬе Зепега11вед во1ис1оп, апд сЬе соврисас1опа1 аесЬодв вЫсЬ вау Ье пеедед со соарисе сЫв во1ис1оп, ч1а сЬе ехавр1е оЕ сЬе Ео11оч1пд СаисЬу ргоЫев аи аи — + и — 0 Эс ах 0<с<Т,-<х< ( х ( «(х, О) у(х), СЬарсег 9 ТЬе Соарисас1оп оЕ Сепега11гей Во1ис1опв 294 исссЬ 1в сЬе в1ар1евс аойе1 Вав йупаа1св ргоЬЕеа ааопВ а11 сЬове 1п исссЬ й1всопс1пиоив во1ис1опв йече1ор Егоа ваоосЬ 1п11(а1 Наса. 1, иесЬеп1ви депегаг1пН й(всопг1аи111ев.
Ьес ив аввива, Е1гвс, сЬас ргоЬТеа (1) Ьав сЬе ваоосЬ во1ис1оп и(х, с). Ргаа сЬе 11пев, х х(с), йе(1пей Ьу сЬе есиас1оп — " и(х, с). йх йс (2) ТЬеве 11пев аге са11ей оЬагаосегсвгъов оЕ сЬе епиас1оп и е ии О. х 919 29. РЕН. 29. и(х, с) - исх(с), с~ = и(с).
С1еаг1у йи Эи Эи йх Э» Эи — = — + — — = — + и — О. йс дс дх йс дс Эх г1вс1с сЬе во1ис1оп 1в сопвсапс, и(х, с) (2), 1с Ео11оав Егоа и сопвс сЬас еасЬ 11пе х ис + х . Неге х 1в СЬе аЬвс(вва оЕ О О ссе ссагассег1вс(с еаесйев, апй и = 91х ~ 1в О сЬе сапйепс оЕ сЬе ап91е иЬ(сЬ 11 ааСев и1сЬ сЬе с ах1в. ТЬе авв1Впаепс оЕ 1п1сса1 ча1иев и(х, О) 9(х) сЬие йесега1пев, 1п а ааппег еав11у ч1виа11вей, ЬосЬ сЬе рассегп оЕ ссагассег1вс1св, «пй ссе ча1ие оЕ СЬе во1иг1оп ас еасЬ ротпс оЕ сЬе Ьас(-р1апе с > О (Р19. 29). 2' Ьес ив посв ас опте сЬас, ипйег сЬе аввиарс1оп сЬас сЬеге ех1всв а ваоосЬ во1ис1оп «(х, с), сЬе сЬаг- ТЬеге(оге а1опН еасЬ сЬагассе сопвС. Виг, Ьу ч(тсие оЕ Вп.
спатвссетсвссс 1в а всга1дсс сЬе ро1пс (х , О~ Егоа иЬ(сЬ О' 22 РЕН. ЗО. А1опй еасЬ сЬагассег1вс1с х х(с) сЬе во1ис1оп и(х, с) аау Ье сопв1йетей а Еипсс1оп оЕ с а1опе: 295 ТЬе Сепега11»ей Бо1пс1оп ассегсвс1св сапаос 1псегвесс; осЬегчсве еасЬ еЬагассег1вс1с чоп1й Ь»1па со сае 1псегвесс1оп ро1пс 1св очп во1пссоп ча1пе, апй сЬе во1пссоп чоп1й пос Ье а в1па1е — ча1пей Еппсс1оп, Рог а аопосоп1са11у 1псгеав1па Еппсс1оп Ф(х) сЬе апа1е а спсгеавев вссЬ 1псгеав1пз х, апй сЬе сЬагассег1вс1св саппос 1псегвесс (Рса. 29). Впс сп сЬе саве чЬеге Ч(х) йесгеавев в1сЬ 1псгеав1пх х сЬе сЬагассег1»с1св еопчегйе апй вовс 1псегвесс, геаагй1евв оЕ сЬе ваоосЬпевв оЕ Ф(х).
А ваоосЬ во1пс1оп оЕ ргод1еа (1) сеавев со ех1вс ас сае аоиепс с = с, вЬеп ас 1еавс сео сЬагассег1вс1св спсегвесс (Р1Р. ЗО). 1 СгарЬв оЕ сЬе Еппсс1опв и п(х, с) ас с = О, — с апй с аге вЬочп 1п Р1Р. 31. Р1а. 31 ° 2. ОеЕЕпсссоп оЕ сЬе депега11»ей во1пс1оп. ссе геса11 Сгееп'в Еогап1», еЫсп че ч»11 «ве со йесега1пе сЬе Оепега11»ей ва1ес1оп оЕ ргоЫеа (1). Ьес О Ье ап агЫсгагу гец1оп, ч1с!с Ьоппйагу Г, оп сае хс р1апе„апй внррове сЬас Ф (х, с) апй Ф (х, с) Ьаче, 1п сей(оп О, рагс1а1 1 2 йег1час1чев чЫсЬ аге сопс1поопв «р со сЬе Ьоппйагу.
ТЬеп опе сап йег1че сЬе Ео11ов1пв еопас1оп авг1 Г ~~ — ' — ',] ° ° =ж(Ф'- ° ], О(зс а ) Г 1 г йае со сгееп. тье ехрге*в1оп ]ав Еас) + ]аФ Еас) 1» сье пепегдепсе ае сье Т 1 чессог Ф = (Ф, Ф ) . Сгееа'в Еогаа1а (3) *свеев сЬас сае 1псехга1 оЕ сЬе 1* 2 й1чегаепсе оЕ сЬе чессог Е1е1й Ф очег сЬе ге»1оп О 1в еопа1 со сае спггепс оЕ чессог Ф асговв сЬе Ьоппйагу, Г, оЕ сЬас геа1оп. Ое Зо оп, поч, со йеЕ1пе сЬе сопсерс оЕ а аепега11»ей во1пс1оп. Р1гвс ае в111 чг1се сЬе й1ЕЕегепсса1 евоас1оп оЕ ргоЫеа (1) 1п йсчегхепсе Еогвс ап а — + — ( — ]=О. дс ах 2 (4) 1псеагас1пй ЬоСЬ в1йев оЕ Рс). (Ф) очег апу агЫсгагу гей1оп, О, 1у1пх 1п сЬе Ьа1Е-р1апе с > О, че аес О - ] / ( — е — ( †]]й» йс = Ф(а й» вЂ” — йс]. ап з „г ТЬпв еасЬ йЕЕЕегепс1аЫе во1пс1оп оЕ ЕВ. (4) васЕвЕ1ев сЬе 1псеага1 ге1ас1оп ТЬе Соарнсас1оп оЕ Сепега11мей Яо1нс1опв 296 СЬарсег 9 н2 Дн йх — — йс) О, Г 2 (5) чЬеге Г 1в ап агЫсгагу сопсанг 1у1пя 1п сЬе Ьа11-р1апе с > О.
ВВнас1оп (5) ехргеввев а сегса1п сопвегчас1оп 1ачс с.е. сЬе снггепс оЕ сЬе Т чессог (н, н~/2~ асговв апу с1овей сопсонг чап1вдев. Ьес нв поа ргоче спас, сопчесве1у, 11 э вааосЬ Енпсс1оп вас1вЕ1ев сЬе 1псеяга1 еопвегчас1оп 1ач (5) Еог ечегу сопсонг Г, сЬеп ас еасЬ ро1пс (м , с ), с > О, Во. (4) 1в вассвЕ1ей. Аввнае сЬе сопсгагу апй внррове, О'О'О Еог сЬе васе оЕ йеЕ1пссепевв, сдас ас вове ро1пс (х, с ) ан а нг — + — ( — )~ >О. ас ах г х = х О' О ТЬеп Ьу сопсспн1су опе сап ЕЕпй а с1гс1е О, ч1сЬ сепсег ас (х, с ) апй О' рег1аесег Г, вав11 епонВЬ во ЕЬас ечегучЬеге ч1сЫп 1с и + (н~!2) > О.
с х ТЬнв О = 9(н йх — — йг) = ) ) ( — + — [ †)]йх йг > О. нг дн а нг 2 О дг дх 2 ТЬе сопсгай1ос1оп О > О ргочев сЬас, Еог а ваоосЬ Еипос1оп н(х, с), (5) 1ар11ев (4), во сЬвс (4) апй (5) аге еон1ча1епс. Вне 1п с1се саве оЕ а 61всопс1пионв Еипос1оп н(х, с) сЬе йсЕЕегепс1а1 е9нас1оп (1) ог (4), оп а 11пе оЕ й1всопс1пи1су, ч111 1ове 1св аеап1пя, вЫ1е сЬе 1псеяга1 сопй1ссоп (5) ч111 пос.. ТЬегеЕоге апу р1есеч1ве-йсЕЕегепс1аЫе Енпес1оп вЫсЬ вас1вЕ1ев сопй1с1опв (5), Еог ечегу агЫсгагу оопсонг Г 1п сЬе Ьа1Е-р1апе с > О, а111 Ъе са11ей а "яепега11мей во1Ы1оп" оЕ ВО.
(4). 3. Сопййс1оп оп а 11пе оЕ ййвпопс1пн1гу оЕ а во1нс1оп. Янррове сЬас, ч1сЫп а геясоп вЬеге ие вееС а во1нс1оп, ЕЬеге 1в а 11пе х в м(с), оп чЫсЬ сЬе яепега11мей во1иЫоп Ьав а г Е1гвс-огйег 61всопс1пнссу. Варроне сЬас, оп арргоаоЫпя Егоа сЬе 1еус ог г1ВЬс че яес оп сЫв Нпе, гевресссче1у, «(х, с) = н Ес(х, с), и(х, с) = н Ь (х, с). г я с д Р1Я. 32. 1с снгпв онс сЬаг СЬе ча1нев н1 Ес(х. с) апй и ° Ьс(х, с) апй сЬе вРеей, х = йх/йг, ч1сЬ вЫсЬ а ро1пс оЕ 61ваопс1пн1су ночев саппос Ье агЫсгагус сЬеве чаг1онв Онапс111ев аге 1псегсоппессей Ьу сегса1п ге1ас1опв. Варроне Ь 1в сЬе 11пе оЕ ВЕвсопс1пн1су (р1я. 32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
