Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рог сь1в рпгрове че посв сЬас М"1 М-1 / Ява 1 г / 11ча/М -11ча/М) сов — — ~ ~е + е ш О М г ш О 11ч „Ясч 1 1-е 1 1-е 2 ссч/М 2 -1сч/М 1 - е 1 - е О, 1111вечепапйО<Я<2М, 1, 1Е Я 1в оОО ° Яс ео11оав сьас, еаг ь в г М М-1 (Ф, Ф ) 2Ь Я в1п — в1п — 2Ь ~ в1п — в1п— () (г) Ьчш гчш Ьва гва М М О а=О ш О М-1 М"1 (Ь - г)чш Ь с сов М ш О (Ь + г)чш сов ш О Ме 1пггодпое, 1п СЬе арапе ппдег сопвЯОегаг1оп, а вса1аг ргодпог йеЕ1пей Ьу сЬе ге1ас1оп ОЬаргег В Ваше Вав1с месЬойв Еог сЬе Вспйу оЕ ЯсаЫ11су 274 чЫ1е Еог Ь г (Ф(, Ф ) Ь ( саво-Ь ( сов — ЬМ-Ь О 1.
(Ь) (Ь) 2сгш ш 0 а 0 М Ов1пВ СЫв агсЬопогша1 Ъав1в апу пес Еппсс1оп ч (ч, ч, ..., ч ) М шау Ье ехрапйей 1п СЬе впш ч с р + ... + сМ р (1) (М-1) ог М 1 ч «2 4 с в1п— Мва и сс М (4) чЬеге (Ь) М с (ч, Р )=ГЬЬ (' ч в1п— М>ш Ь =0 01еаг1у, Ьесапве оЕ сЬе огсЬопогаа11су оЕ сЬе Ьав1в (2) (ч ч) сс + сс е е сг 1 2 М 1 0 < пЬ < 1, 0 < пЬ < 1, у пЬ> п х «Ь ш пЬеге Ь 1/М, Еог М а ров111че 1псесег. ТЬе вес оЕ а11 геа1 Еппсс1опв, ч (ч (, йеЕ1пей аС сЬе ро1псв оЕ сЬе пег апй чап1вЫпВ аг ро1псв 1у1пВ шп оп сЬе Ъоппйагу оЕ СЬе вОпаге, Еогпв а сспеаг врасе. 1псгойпсе, 1п сЫв врасе, сЬе вса1аг ргойпсс М М (ч, ч) Ь 4 4 ч ш п 0 п=О шп шп 1п СЬе В1чеп 11пеаг врасе оЕ й1пепв1оп (М-1) сЬе вувсеп оЕ Еппсс1опв Ь 1, 2„ ..., М 1, 1 1, 2, ° ° ° , м 1, Ф ' 2 в1п — в1п —, (1«, 1) Ьче свп М М (охав ап огСЬопогша1 Ьав1в 1с 1в впш (4) пЫсЬ 1в сЬе Е1п1се Ропг1ег ехрапв1оп оЕ сЬе пес Еппсс1оп ч (ч (, апй (5) 1в сЬе ехасс апа1оВ оЕ сЬе Рагвеча1 еспвс1оп 1п сЬе огйспагу сЬеогу оЕ Ропг1ег вег1ев.
1п ехасг1у СЬе ваше вау опе сап сопвсйег сЬе 11пссе Ропг1ег вег1ев Еог Еппсг1опв оп а вспаге пег. ОеЕ1пе СЬе пеС Р1п1се Ропг1ег Иег1ев 275 О, Еог Ь и г ог Я и в, (Ф 1, Еог Ь г апд Я в. ТЬЯв Ео11овв Егоа (3) 1Е ае посв сЬас М (Ф ' , Ф ' ) = 2 с в1п — в1п — 2 (Ь,Я) (г,в) / ° Ьпш гпасс / м м(~ ш О АпУ ЕппоС1оп, ч = (ч )и шЬЕоЬ чап1вЬев оп СЬе ЬоппдагУ оЕ СЬе вбпаге шп шау Ье ехрапдед 1п а Е1п1се, сво-дсшепв1опв1, Ропг1ег вег1ев М-1 Ьсш Япп ч 2 Е с в1п — в1п — , шп Ь ЬЯ И М с~- (б) шбеге ° -(-, ""), ЬЯ апд СЬе соеЕЕ1о1епсв вас1вЕу рвгвеча1'в еопаг1оп М71 (ч, ч) 1 о Ь,Я-1 (7) 1п а11 сЬе ехашр1ев оЕ д1ЕЕегепсе Ьоппдагу-ча1пе ргоЬЕешв вЬове во1пг1опв ше ч111 шг1се пв1пс Е1п1се Ропг1ег вег1ев ве епсоопсег СЬе ехргевв1оп Л ч в — (ч - 2ч + ч ), ш 1, 2, ..., М"1.
1 (8) хх а а+1 а ш-1 ЬЯ мосе сЬас Ьпа 1 Ьп(а + 1) 1спа Ьп(а - 1) Л в1п СБЯп - 2 в1п — + в1п хх М 2 М М М 2 г Ьп ° Ьпш Спш — (сов — - 1) в1п — р в1п —, ш 1, 2. .. ° , И 1, 2 ( И ) И С М сопв1всв оЕ е18епсппос1опв оЕ сЬе ореге- (ч ~ Егош сье арапе оЕ Еппсс1опв Епйсс1опв оЕ ЯЬе ваше арапе ч1а СЬе ч — (ч - 2ч + ч ), ш 1, 2, ..., И-1. 1 2 а+1 а ш-1 То ЯЬе е18епЕппос1оп Ф /2 в1п(спа/М) ооггевропдв сЬе е18епча1пе (Ь) вЬеге и -(4/ЬЯ) в1п (Ьп/2М). 1п осЬег чогда СЬе Ьев1в (2) сог Л , абсоЬ шаре Еппос1опв ч чап1вЬЯпс вс ш О апд ш = М 1псо ге1ас1опв М Япп вппс в1п — в1п— — О ~Ф(Ь) (~)~(Ф(Я) (в)~ 5оае 8вв1с месЬойв Еог сЬе 5сцйу оЕ НсвЫ11су СЬврсег 8 276 4 2сч ц - - — вспг — , « - 1, г, ..., М !. (9> гм ' 2.
Вергевепсас1оп оЕ сье во1ас1опв оЕ 81Ееегеппе веьешев Еог сье ьеас е9паг1оп оа ап 1пгегчв1. Ав в Е1гнс ехвар1е 1п чЫоЬ опе свп гергевепс сЬе но1цс1оп 1п в Е1п1се Роцг1ег вег1ен, сопв1йег сЬе в1шр1евс 8111егепое воЬеше ц ц ц -2ц +ц р+1 Р ш а ш+1 ш а "1 О, Ьг ш 1, 2, ..., М"1, р О, 1, ..., [Т/т) 1, (!0) о м ц" - ч(шЬ> Еог сЬе Ьевс е9цвссоп оп вп 1псегчв1 ц - ц О, 0 < С < Т, 0 < х < 1, (о, с) ц(1, с) о, 0<с<Т, ц(х, 0) = Ф(х), 0<х<1.
РгоЫеа (10) шеу Ье гечг1ссеп сЬцнт цр+ цР + тЛ цР (К + тЛ ~цР р+1 в ш хк ш хх а ц = Ф(шЬ). (12) Л(Р в ЛР[т2 в1п — ~. >т )т М 5цьвс1сцс1п8 сыв ехргевв1оп 1псо сье е9цвс1оп, 81ч181п5 Л <2 в1п (пча/м) оцг оЕ ЬоСЬ в1йев, впй шаЬ1п8 цве оЕ (9), це Нег СЬе Ео11оц1п5 ехркевв1оп Еог Л 4т г >тч Л 1+то ! — в1п )т 2 2М' !т=1,2, °...М! ° Неге Е 1в сЬе 18епс1су сгвпнЕогшвс1опт нц = ц, вы1е е + тй 1в сье Р Р а р+1ш' хх орегагог еЕЕесс1п5 сгвпн1с1опв Егош ц со ц , 1.е.
сЬе 1ече1"со-1ече1 сгвпв111оп орегвсог. Ав ге8вгйв сме пес Ецпос1опв цр - =(ц~~ оЕ вг5цшепс ш че вввцше сЬвс, Еог еасЬ Е1хей р, сЬеу Ье1оп8 со СЬе врасе цп8ег сопн18егеС1оп, 1.е цр ор О. 0 Не ц111 1ооЬ Еог а во1цс1оп оЕ 59, (!2) 1п сЬе Тога Р1п1ге Ропг1ег Бег1ев 277 Весаове ой сЬе 11пеаг1су ой Ее. (12) ссе ехргеввсоп (13) св а во1осйоп йог апу агсйсгагу сопвсапгв с . Рог р О ае Мес 1с М-1 ссв 2 с (с72 в1п е™). ш с М сес ов СаСе, ав сЬе сопвсапсв с, СЬе соейй1ссепсв 1п сЬе ехрапв1оп ой к' ссе В1неп йопсс1оп п" Ф(шЬ) 1п а Е1п1Се Роог1ег вег1ев, 1.е. вес М с (Ф, Р ) = Ь ), Ф(шЬ)(Р2 всп — „ш) ° ТЬеп сЬе во1пссоп ( 13), М-1 4т , 2 пС'сР— Спш о ), с 1 — — всп — (сс2 в1п — ), ш С 1 )с1 Ьа 2М) М (14) ш111 вас1вйу спе М1чеп 1п111а1 соп41с1оп п" Р(шЬ). Вспас1оп (14) сЬеп йв 11се гесп1геа гергевепсаг1оп ой сЬе во1ос1оп ой ссйв ргосйеш сп а 11п1се Ропг1ег вегсев.
Рог ййхес р, ссе соейй1с1епсв, и , ой ссе ехрапв1оп (р) (р) (Ь) ш ой СЬе йпасС1оп о Р, ой агвпаепС ш, сп СЬе огСЬопогша1 Ьав1в ЕппсС1опв ф Ч2 в1п(Спш(М), Ьаче СЬе йога Ос) с "сЛР. с к ТЬегейоге, сасйпМ посв ой Рагвена1'в еспа11су, ее Ьаче < аах (Л )2 ) )сс Л ~ аах )Л )ас(п, о — ь,,~с4 (и, и ) ( (пр, сср]. (15) ТЬе ров111че-Вей1п1ге спайгаг1с йога '(пР пР ) 1 )с(Р ~ 1 )с ЛР ) < Ь 1 1с=1 р+! р+1 аЬеге, ео еонег, сЬе всг1сс ееоа11су (о , о ) асса1пе4 11, ав по, опе сасев сьас р йог аьйсь (1с) 11 шах )Х )2 С 1, СЬеп шах 11 12(о , пР) 1а 1с 11 ) 1в Мгеагевг. 278 СЬаргег 8 Ноше Навсс и сЬоав еог сье Нсиау ое Нсаысссу (Аи , и ), вЬеге А 1в а вциаге шагг1х, Ьг1псв со ш1пй сЬе ехргевв1оп Еог епег8у 1п сЬе есиаг1опв оЕ шасЬешас1са1 РЬув1св.
ТЬегеЕоге ап 1пеаиа11су оЕ сЬе Еогш )Аиуе , и~ ) < (Аиу, иР) Еог сЬе во1ис1оп оЕ а 81ЕЕегепсе Ьоипдагу-та1ие ргоЫеш 1в сошшоп1у са11ей ап вше»ру сшвдиаЕЕСР. ТЬив Ьоипд (15) 1в сЬе в1шр1евс епег8у 1пеНиа11су. реп вове вогг оЕ епег8у 1песиа11гу ех1вов 1С 1в пагига1 со ге1асе сЬе посшв ! ! ' ! ! апд О ! ! ' ! ! со сЬе Еогш (Аир, ир) апй, 1п рагс1си1аг, со саСе ! )и ! ! (Ь) Ь 1/2 и шах(Аи , иР) . НисЬ потап аге са11ей "епег8у погшв". Р ТЬе 1песиа11су вих(Л ! < 1 1в вассвЕ1ей, ав опе еав11у сап все, 1Е (с т 1 г — < — .
Ь 2 — 2 Рог 1 г сопвс )— 2 апй Еог вша11 епоиНЬ Ь, сЬеге в111 Ье а Л Еог аЫсЬ )Л ! > 1. Не саппос * СЬеп Ьаие вгаЫ11Су Еог апу геавопаЫе сЬо1се оЕ погшв ° Сопв1йег сЬе 81ЕЕегепсе всЬеше оЕ шоте Непега1 Еогш р+1 р ((1 а)Л иР + аЛ и~ ) = О, т хх хх и" Ф(шЬ) Еог СИв ваше Ьеас-сопдист1оп ргоЫеш (11). Неге а 1в вове Егее рагашесег. Ие 1оо1с Еог а во1ис1оп оЕ сЬе Еогш *5ее т15 ° ~27 У1пссе Уоогтег 5ег1ев 279 /г всп— Р Р Ьха а с М Ь 1, 2, ..., М-1, вЬеге гева1пв Со Ье ЯпЬвг1гетспН СЬЕВ еепаг1оп вЬЕеЬ 1 вовс К йегегв1пеа. ехргев1оп 1псо сЬе 41ЕЕегепсе ечпас1оп ве Нес ап вас1вЕу 1 1 + т(1 - о)П + таХ П Ь Ь* ТЬов 4(1 - о)т 2 Ьх 1 в1п Ьг 2М Ь 1, 2, .
° ., М-1. 4от 1 + — в1п 2М Ав Ьеуоге т(п, и ) < аах 11 ! (о, о ). НпегНу спеопе11гу (15) 1в ваг1вЕ1ей 11 авх)Л ( < 1 ог 1 - 4(1 - о)г в1пв — ~ < ~1 + 4ог в1пе — ~ 1тх ) 2М~ 2М!' ап аеп аап 'Ес Эхе ауе О < х < 1, О < у < 1, (16) п(х, у, О) Р(х, у), п(х, у, с))„ О, О < С < Т. Неге Г 1в СЬе 1агега1 вегуасе оЕ сЬе рагв11е1ор1рей О < х, у < 1, О < с < Т. 1с 1в е1еаг сЬас Еог 1 > о > 1/2 сЬ1в 1пеНоа11су, апд а1во епегНу 1пеОпв11гу (15), аге ваг1вЕ1ей Еог апу г.
1Е о О СЬе 41ЕЕегепсе веЬеае свсев сЬе Гога оЕ сЬе ехр11с11 веЬеее, а1геайу сопв1йегей аЬоее вп4, ав ве Ьаче вееп, 1Е епегНу 1пецпв11су (15) 1в сЬеп со Ье вас1вЕ1ей Еог а11 Ь 11 1в песеввагу сЬат г < 1/2. 3. Вергевепсас1оп оЕ сЬе во1ас1оп оЕ Н1ЕЕегепее веЬеаев Еог сЬе саой1аепв1опа1 Ьеас"еопйпес1оа ргоЬТеа. Ие пов еопв14ег СЬе Сао-61аепв1опв1 Ьеас-сопАпес1оп ргоЬТеа гло лоше Вав1с месЬойв Еог сье бсийу о( бсаЫ11су СЬарсег 8 Ие сопвсгисс сЬе пес (х , у с ) (шЬ, пЬ, рт) а1сЬ Ь 1/М Еог вове в п р ров111че 1пгелег М. Ав сЬе вес ОЬ ае сесе сЬове ро1псв об сЬе пес 1пв1йе апй оп сЬе Ьоипйагу об сЬе рвгв11е1ор1рей О < х, у < 1, О < с < Т. ьес ив поа 1псгойосе сЬе посас1оп и -2и +и р в+1 и ап а-1 и и хх ап Ьг и -2и +и р ш и+1 вп а,и-1 и уу вп Ьг ТЬе орегвсогв Л апй Л вге регуесс1у впа1олоив, ехсерс сЬас сЬе 11гвс хх асса оп СЬе оаг1аЫе в, а1сЬ п апй р сгеасей ав рагввееегв, аЬ11е сЬе весопй ассе оп п, 1п 1св сиги сгеас1пл а апй р вв рвгавесегв.
ТЬе в1шр1евс 8111егепсе всЬеае Еог ргоЫеш (18) 1в р+1 р + л т хх ап уу ап' О < ап, пЬ < 1, и Ф(шЬ, пЬ), вп а< рт<Т-, (17) и ~ О. Г мосе сЬвс л Ф( ' ) л (Ф( Ф( ) Ф л Ф( и Ф Ф и Ф хх хх а п хх л (" ) л (()(1))- уу уу а и ТЬегесоге ае 8еС, Гог Л„, СЬе ехргевв1оп Ьл (Ь) (1) ог Лт к г Ьх 2 св, Л 1 "— (в1п — + влп Сс Ьг 2М 2М ТЬе во1ис1оп Ие а111 1оос бог во1ис1опв ос СЬе 8111егепсе ебиас1оп, ипйег сЬе сопй111аа и ~ О, оЕ сЬе Еога р ап Г р Лр ( ~1) вп Ьл шп ~22 Р1псге Роиг1ег Бег1ев 281 иР 1 с ЛР ч( ЛЯ ЬЯ (18) вас1вЕ1ев СЬе соп8111опв оп сЬе Лесега1 Ъоипйагу Еог апу сЬо1ие оЕ сЬе сопвсапсв е„я. Рог р О СЬ1в во1иС1оп сасев сЬе Еопп Л е р(~' ЬЯ 1Е СЬе 1п111а1 соп81С1оп и" Р(аЬ, пЬ) С с Ф (Ь,Я) ап ЬЯ ап 1в со Ье вас1ве1ей, сЬеп сЬе с аивс ъе саьеп со Ье сЬе Роиг1ег соеЕЕ1- ЬЯ е1епсв оЕ сЬе Еипсс1оп р(аЬ, пт), 1.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
