Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ТЬе соар1ех111ев оЕ воЬеае (13) ате еввепссз1 со сЬе ргоЫеш, а а а а а а Тп сопс1ив1оп че всгевв ада1п ЕЬаг сЬе Соигапс-рг1едг1сЬв-сечу сопд1с1оп 1в пос а виее1с1епс сопд111оп еог всаы11су. 1п в25 ие в111 вЬоч, 1п рагг1ои1аг, СЬаг СЬе д1ЕЕегепсе всЬеше п+1 п и и ш ш п п ш+1 ш-1 ф(аЬ, пт), (Ь) Ь „о 1в ипвСаЫе Еог апу г т/Ь сопвг. ргоЬ1еш ТЫв всЬеше арргох1шасев сЬе СаиоЬу и "и ф(х, С), с х и(х, 0) ф(х), еее Еог иЬ1сЬ ше Ьаче а1геаду попа(детей вечега1 оСЬег воЬешев.
1с 1в ваву со чег1Еу сЬас, Еог г < 1, 1С а1во вас1вЕ1ев сЬе пепеввагу сопд1с1оп Еог всаынсу. Тп огйег со до сЬ1в че ада1п сопв1дег, Еог сЬе васе оЕ деЕ1п1сепевв, сЬе ро1пс (О, 1) 1п сЬе х,с р1апе, аввишспм сЬас 1с Ье1опмв го сье пег О Еог а11 Ь, во сЬас Мт 1 шЬеге М 1в ап 1пседег. ТЬе ча1ие и 1в сошрисед М М-с М-( М-1 Егоа СЬе ча1иев и, и апд и . ТЬеве СЬгее ча1иев аге сЬеп соарисед Егош Е1че ча1иев ас СЬе ргесед1пд 1ече1 С (М-2)т, есп.
01с1швсе1у и 1в М 0 сошрисед, СЬеп, 1п сеген оЕ сЬе ча1иев ии ф(шЬ), ш -М, -М+1, ..., -1, О, 1„ ..., м, оп сЬе пес ро1псв мЫсь ье1опм со сЬе 1псегна1 "1/г < х < 1/г оЕ сЬе х ах1в. 1Е г т/Ь < 1, сЬеп СЫв 1пгегча1 сопса1пв сЬе ро1пс х 1 иЬеге СЬе во1ис1оп ча1ие 1в деуспед Ьу и(0,1), и(0, 1) ф(1). ТЬив Еог г < 1 СЬе Соигапс"чтседтссЬв-с.ечу сопд1с1оп 1в ваг1в(1ед.
гзв МесЬ»св Еог Сопвсг«сс1оп ой 01Ейегепсе ВсЬеаев СЬврсег 7 РВОВ! ВМВ 1. ТЬе во1«с1оп ой сЬе Ьевс-сопд«со!оп рговйеа «« с хх' с х ( , с > 0 Ьвв сЬе йога (х-Е)2 «(х, с) = — ) — «(Е, 0) е 1 1 сс с(. 2УР -- У-, Ооев сЬеге ех1вс в сопчегвепс 41ййегепсе всЬеае врргох1авс1пВ сЬйв рг»Ь!еа, впв Ьв»1«В СЬе йога р+1 р « - « — (о «Р + а «Р + а «Р + а «Р -2 а-2 -1 а-! О а ! а+1 Ь и "г» +г) Р а а. — — О, ас ах с > О, (х ( »(х, 0) = Ф(х), в(х, 0) = Ф(х) Ьвв в во1«с1оп ой сЬе Еога (х - с) + Ф(х у(х, с) - с) + Ф(х + с) - Ф(х + с) Ф(х — с) в(х, С) = + Ф(х — с) " Ф(х + с) + (х + с) Свп сЬеге Ье в соп»егсепс Вйййегепсе всЬеае оЕ сЬе йога а а а+1 а О, р > О, а = О, +! т Ь р+! ът е »с = Ф(х ), во Ф(х )? п| а ' е а Сопрете сЬе доав1« ой 1пй1«епсе ой всвгС1пв»в1«ев йог сЬе В1ййегепсе впо' С1ййегепс1в! Рг»Ь!еав.
(»Ьеге сЬе а вге сопвсвпгв) 1й т Ь? 1 2. ТЬе вувсеа ой всо«вс1с ео«вс1опв ав ач — + — О, ас ах Р а+1 Ь Р О 324 Сопгапс "Рг1ейг1сЬв"Севу Сопй111оп 239 3. ТЬе СапсЬу ргоЫее — — О а» ап тО, -=т х ас а» 1 1 ох п(х, О) е (х( Ьав СЬе во1пс1оп 1пС 1пх п(х, С) е е ТЬе соггевропй1пй йЕЕЕегепсе всЬеее пр " п пр - п +" - О, р - О, 1, т Ь а ЕпЬв и е а О, +1, Ьав сЬе во1пс1оп пР )1-гвге ~ е 1пЬ Р 1оЬв высь, еог р с/т, в х/ь, сепйв со сье во1ос1оп ое сье й1ееегепс1а1 ргоЫеа ав Ь е О, вЬагетег СЬе ргеаав1йпей, Ейхей, па1пе оЕ г = т/Ь.
МечегСЬе1евв Еог г > 1 СЬе йЕЕЕегепсе веЬеее йоев поС вассвуу сЬе Сопгапс" Рг1ейг1оЬв "Ьепу сопй111оп. Ехр1а1п сЫв аррагепс рагайох. 241 СЬаргег 3 зове Вав1е несЬофв еог сье Зсшфу оЕ ЗсаЫ11су $25. Зреесга1 апв1ув1в оЕ сЬе СапеЬу 61ЕЕегепее ргоЫеш й й пр пр ш+1 ш фр, р О, 1... (т(т) "1 Ь й (1) (Ы 1 и пп ш О, е1, Зессспс фР, р О, 1, . ° °, (т(с) ф, ш О, +1, че шг1Се ргоЫеш (1) 1п СЬе Еогш (Ы (Ы Ь (2) Не в111 деуспе СЬе погшв ((и !! впд ЦЕ (( ч1а сЬе еппвг1опв (Ь) (Ь) ОЬ УЬ ((п !! шах йах (и ~ , 1~Е (~ аах !ф ~ + шах (Ы р( (Ь) ОЬ й РЬ й й й Ь ш й р тЬе всаь111су соп4111оп Еог ргоЫеш (2) < ~н( )~~ Неге ее Нече1ор сЬе Уоп Непшапп шесЬод, пвесп1 1п в есфе гвпсе оЕ с1гспавсвпсев Еог сЬе вгофу оЕ 61ЕЕегепсе ргоЫешв еЕСЬ 1п1С1а1 соп41- с1опв.
1п сЫв весс1оп ве 11й11 опг фсвппвв1оп со сЬе саве оЕ сЬе СвппЬу НЕЕЕегепсе ргоЫеш е11Ь сопвсвпс соеЕЕ1с1епсв, апф 1п 126 ее рагс1а11у ехсеп4 аог гевп1св со сЬе саве оЕ чаг1аЫе соеЕЕ1п1епсв. 1. ЗсаЫ11су шссЬ гевреес со всагсспз ча1пев. Ав сье в1шр1евс ехаар1е оЕ а СапсЬу 41ЕЕегепсе всЬеше ее саСе сЬе ргоЫеш, оссеп попв14егеф аЬоче, СЬарсег 8 242 Роше Вавсс иессодв Еог ссе Всиду оЕ ВсаЫ11су сьеп сасев сье Рога аах ~и~~ < с(вах !Ф ~ + шах )ф )], р О, 1, ..., (Т/т], (4) шЬеге с доев пос йерепд оп Ь (пот оп т гЬ, г сопвс), Сопдсс1оп (4) шивс Ье вас1вЕЕед Еог агЫСгагу (Ф ~ апд (ф ~. 1п рагс1си1аг, Еог всаЬ(11Су 1с 1в песеввагу сЬас 1с Ье Еи1(111ед Еог агЫсгагу ~Ф )апй ф в О, 1.е.
сьас сье во1ис1оп оЕ сЬе ргоЫеш ирг~ ир ир ир = О, О, 1, ..., (т(т]"1, и" Ф, ш О, +1, ш а' вас1всу сЬе сопд1с1оп шах ~и ~ < с шах ~ио~, р О, 1, ..., [т(т), р! (6) Еог апу агЫсгагу, Ьоипдед, Еипсс1оп и Ф Ргорегсу (6), песеввагу Еог сЬе всаЬ111су (4) оЕ ргоЬ1еш (1), 1в са11ед вСаЬЕЕЕСР о(' р»оЫвш (7) ВЕСЬ»еврвод Со рв»пи»Ьавтолв тл веа»вдлд иаЕвев. 1с 1пд1сасев сьас а регсигьас1оп Еп (и ~, сье всагс1п8 ча1иев ое ргоЫеа (1), 1пдисев а регеигЬас1оп 1п ~и ~, сЬе во1ис1оп оЕ ргоЫеа (1) высь, Ьу н1гсие ое (6), 1в по Вгеасег сЬап с с1вев Вгеасег сьап сье регсигЬаг1оп 1п вгагг1п8 ча1иев, всеге с доев пос дерепд оп Ь. 2. Весевввгу врессга1 сопд1с1оп Еог всаь111су.
Рог сЬе всаЫ11су ое ргоЫеа (1) в1сЬ гевресс со всагс1п8 даса 1с 1в песеввагу сьас сопй1с1оп (6) Ъе Еи11111ед, 1п рагС1си1аг, вЬеп (и ~ 1в апу Ьагаоп1с ив е а О +1 1 ив (7) вЬеге а 1в а геа1 рагааесег. Вис СЬе во1ис1оп оЕ ргоЫеш (5) Еог Еп1с1а1 сопй1с1опв (7) Ьав сЬе Еопв «р лр (8) шЬеге 1 1(а) 1в йесегш1пед Ьу виЬвС1сиг1п8 ехргевв1оп (8) 1псо сЬе ЬошоРепеоив 81ЕЕегепсе евиас1оп оЕ ргоЫеш (5)т Х(а) 1 - г + ге 1а т — сопев Ь (9) Рог сЬе во1ис1оп (8) ве аау шг1се пах ~и ~ " ~Л(ш)! шах (ис!.
243 5рессга1 Апа1ув1в оЕ 01ЕЕегепсе СаисЬу РгоЫеш ТЬегеЕоге, 1Е сопд1с1оп (6) 1в со Ъе вас1вЕ1ей, 1с 1в песеввагу сЬвс, Еог а11 геа1 а, ве Ьаче /Л(а)! < с, р О, 1, ..., (Т/т), ог !Л(а)! <1+с т, (10) вЬеге с 1в воще сопвсапс пос дерепй1п8 оп а ог т. Ртес1веТР сЫв 1в сЬе 1 песвввагу врвсгти2 сопЖС(оп оу' Ров увищапп зв арр11ед со сЬе ехаар1е ипдет сопв1дегассоп. 1с 1в са11ед а "вресСга1" сопд111оп Еог СЬе Ео11ов1п8 геа" воп. ТЬе ех1всепсе оЕ а во1ис1оп оЕ сЬе Еогш (8) вЬовв сЬзс СЬе Ьагаоп1с 1аш| е ! 1в з ргорег еипсс1оп ое сЬе сгапв111оп орегасог и (1 - г)» + г» р+1 ш ш а+1' ш О, +1, вЫсЬ, ассогд1п8 Со д1ЕЕегепсе е9иаС1оп (5), паре СЬе пег ЕипсС1оп !и !, ш = О, +1, ..., деЕ1пед оп 1ече1 с рт оЕ сЬе пес, 1псо сЬе Еипсс1оп р+1 Р !» ), ш О, +1 ..., де(1пей оп СЬе 1ече1 С (р + 1)т.
ТЬе пишЬег 1а р+1 Л(а) 1 - г + ге 1в сЬе е18епча1ие оЕ ЕЬе Сгапв(с1оп орегагог соггев- 1аш ропд1п8 со сЬе Ьатвоп1с [е !. ТЬе ситче девсг1Ьед 1п сЬе сошр1ех р1апе ьу сье ро1пс, Л(а), иьеп а сгачегвев сЬе геа1 ах1в, сопв1всв епс1ге1у оЕ е18епча1иев, апд 1в сЬе врессгиш оЕ сЬе сгапв1с1оп орегасот. тЬив сЬе песеввагу сопд111оп еог сье всаЫ11су оЕ (10) сзп ье всасей ав Ео11овв: сЬе врессгиа оЕ сЬе сгапв1с1оп орегасот соггевропд1п8 со д1ЕЕегепсе ргоЫеш (5) вивт 11е 1п а с1гс1е оЕ гад1ив 1 + с т 1п СЬе сошр1ех 1 р1зпе. Лп оиг ехашр1е сЬе врессгиш оЕ (9) доев пос дерепд ов т.
Рог сЫв гезвоп сопд1с1оп (10) 1в е9и1ча1епс со сЬе ге9и1гешепс сЬас СЬе врессгиш, Л(а), 11е 1пвйде сЬе ип1с с1гс1е /Л(а)! < 1. Ъес ив пои иве сЬе аЬоче "Еогши1асед сг1сег1оп Со апа1уве сЬе всаЫ11ту оЕ ргоЫеш (1). ТЬе врессгиш (9) сопвг1сисев а с1гс1е, вссЬ сепсег ат сЬе ро1пс 1 - г апд гад1ив г, 1п сЬе сошр1ех р1апе.
1п сЬе саве г < 1 т( .Е сЫв ге51оп 11ев 1пв1де сЬе ип1с с1тс1е (апй 1в сапйепт Со 1с ас сЬе ро1пс Л 1); Еог г « 1 1с со1пссдев ч1сЬ сЬе ип1с с1гс1е, апд Еог г > 1 11ев оисвйде сЬе ип1с с1гс1е (Р18. 20) ° Соггевропд1п81у сЬе песеввагу сопд111оп Еог вгаЫ11ту Р18 20. СЬарсег В 244 Моше Вавйс МесЬойв Еог сЬе ясийу оЕ ВсаЬ111су (11) 1в Еи1(111ей Еог г < 1, апй оог Еи1Е111ей иЬеп г > 1. 1п 3321 ие всий1ей сЬЕв ваше й1ЕЕегепсе воЬеше апй вЬоией сЬас, Еог г < 1, 1с 1в всаЬЛе, апй 1в ипвгаЬЛе Еог г > 1. ТЬив СЬе песеввагу Чоп Меишапп всаЬ111су сопй111оп сигав оис со Ье вепв1с1че епоиВЬ, 1п сЬЕв рагс1си1аг саве, во вв со вервгаге ргес1ве1у сЬе геВ1оп оЕ всаЬ111су Егоа СЬе геВ1оп оЕ 1пвгаЬ111гу.
1п сЬе саве оЕ СЬе Вепега1 СаисЬу ргоЬЕеа Еог й1ЕЕегепсе еЧиас1опв, ог вувгеав оЕ й1ЕЕегепсе еоиаг1опв, СЬе песеввагу Чоп Меиаапп сопй111оп Еог всвЬ111су соп»1всв 1п сЬас сЬе врессгиш Л Л(а, Ь) оЕ сЬе йШегепсе ргоЬЛеш, Еог а11 виЕЕ1с1епс1у вша11 Ь, шивс 11е 1п сЬе с1гс14 (Л! < 1 + в (12) оЕ сЬе сошр1е» р1апе по шассег Ьои вша11 сЬе ргеч1оив1у-врес111ей ров1С1че в.
мосе сЬас 1е, Еог сЬе В1чеп йШегепсе ргоЬЛеш сЬе врессгиа сигпв оис пос со йерепй оп Ь (ог оп т), сЬеп сопй111оп (12) 1» еди1»а1епс Со СЬе геии1гешепс сЬас сЬе врессгиш, Л Л(а, Ь) Л(и), шивс 11е 1п сЬе ип1с с1гс1е (Л(а)( < 1. (12 ) Ву сЬе "врессгиш" оЕ сЬе й1ЕЕегепсе ргоЫеш, геуеггей со 1п (12), 1в шеапс сЬе соса11су оЕ а11 Л Л(а, Ь) Еог иЬЕсЬ сЬе соггевропй1пВ ЬоаоВепеоив йШегепое еииас1оп (ог вувсеш оЕ еииас1опв) Ьвв а во1иг1оп оЕ сЬе Еогш и (л(а, ь)] (иое ], ш = О, +1, (13) чЬеге ив 1в а пишЬег (ип1су) 1Е ше аге йев11гВ и1сЬ а воа1вг йЕЕЕегепсе еииас1оп, апй 1в а чессог ЕЕ сЬе еииас1оп 1п Чиевс1оп 1в а чессог й1ЕЕегепсе еоиас1оп, 1.е.
а вувсеш оЕ вса1аг й1ЕЕегепсе еЧиас1опв. 1Е СЬе песевввгу Чоп Меишапп сопй1с1оп (12) 1в пос ввс1вЕ(ей сЬеп опе саппос е»ресс всаЬ111су Еог впу геавопаЬЛе сЬо1ое оЕ погшв, апй 1Е 1с 1в вас1»Е1ей опе шау Ьоре Со асЬ(ече всаЬ111су Еог вове геавопаЫу йе(1пей погшв. А в1ш11аг ро1пс геВвгй1пВ сЬе 1пй1ЕЕегепсе оЕ СЬе врессга1 всаЬ111су сг1сег1оп со сЬе сЬо1ое оЕ почав Ьав а1геайу Ьееп й1всиввей, 1п ооппеог1оп ч1СЬ йЛЕЕегапсе воЬешев Еог огй1пвгу МЕЕЕегепс1в1 еииа»1опв, 1п »13. 3. Вшвшр1ев. Ме и111 пош сопв1йег а вег1ев оЕ 1псегевс1пВ СаиоЬу й1ЕЕегепсе ргоЬЛеав, апй и111 иве СЬе Чоп Меишапп вресСга1 сг1Сег1оп Со впа1уге всаЬ111су.
Ме всагс и1сЬ й1(уегепсе всЬешев вррго»1ааС1пВ СЬе СаиоЬу й1ЕЕегепс1а1 ргоЬЛеш Ерессга1 Апа1ув1в о( 0111егепсе СаосЬу РгоЫеш 245 — — Ф(х, С), - < х < , 0 < С < 2, ао а ас ах (14) о(х, О) Р(х), - < х < Ехашр1е 1. Сопвсаег СЬе ЙШегепсе впЬеше р(Р , С ~, р 0, 1, ..., (Рт'т)-1, т Ь ш' ов Р(х), а-о, +1, -1о Л(п) 1 + г - ге 1с Ро11оов сЬас сЬе врессгош сопвс1снгев сЬе рег1шесег ой а с1гс1е, сепсегей ас сЬе ро1пс 1 + г, ш1сЬ гаасов г (Р18. 21). ТЬеге 1в по г 1ог шЫсЬ гЬе врессгнш 11ев 1п сЬе нп1С с1гс1е.
ЕсаЫ11су сг1сег1оп (12 ) 1в печет ваг1в(1ед. 1п $24 1С Ьав е1геайу Ъееп евгаЫ1вЬей сЬвс„ Рог апу г, сЬе Соогапс-Рг1ейг1пЬв-Сечу песевввгу сопй111оп Рог сопчегьеппе (апд вса- Р18 21. Ы11гу) 1в ч1о1асей. Ехашр1е 2. Сопвсаег СЬе (о11ош1па ЙШегепсе всЬеше р+1 р р а ш ~1 -1 т ~ р 2 р + р т 2Ь "ш-1 "ш "а+1 ха' р 2Ь (15) арргох1ааг1па ргоЫеш (14) со вепопй огаег 1п Ь (522). Рог сЫв всЬеше Л Л(о) 1в йесега1пей Ьу СЬе еаовс1оп 1о -1» Л-1е-е т 1о -1а — — тт— т 2Ь2 Ав Ье1оге, 1ес г т/Ь. Хос1па сЬас 1п -1п е - е в1п и, 21 -1о/2 - е а 21 > - в1п 2 1о -са т 1о(2 е -2+е е 4 5нЬвс1снс1па ап ехргевв1оп о( (ога (8) 1псо сЬе соггевропй1па Ьошоаепеонв еаоас1оп ме Еес, ассег вове в1шр1е шап1рн1ас1апв СЬаргег 8 Бове Вав1с ИесЬодв Еог сЬе 8соду оЕ 8саЫЕЕсу 246 че 8ес Л = 1 + 1г в1п и - 2гс в1пг— а 2 (16) и 2 )Л(п)(2 (1 2гсв1пс ) + г2в1п2о, 2 АЕСег ваше в1шр1е шап1рп1вС1оп (Л(2 4г2вспч (1 гг) 2 (ЛУ) ТЬе Чоп Мепшапп сопдсс1оп 1в аас1в(1ед 1Е сЬе г18Ьс-Ьапд вйде 1в поппейаг1че, г < 1, апд 1в пос вас1вЕ1ед Еог г > 1.
8хашр1е 3. Сопвсдег сЬе Ео11оа1п8 81ЕЕегепсе воЬеше (Ь) Ь (18) и Ф(х ) Еог сЬе ваше СвпоЬу ргоЫеш (14). 8пЬвс1спс1п8 ехргевв1оп (8) 1псо 84. (18), аусег вове в1ар1111саг1оп ше 8ег ап еЧпаг1оп Еаг Л; са -1п Л - 1 е - е О /а(/ т 2Ь ог т Л(а) 1 + 1(- в1п а). Ь У 18. 22 * ТЬе вреосгпа Л = Ча) Е111в а чегс1са1 вейшепс оЕ 1епйсЬ 2т/Ь, равв1п8 сЬгоп8Ь сЬе ро1пс Л 1 (818. 22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
