Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 33
Текст из файла (страница 33)
иЬеге х = аЬ, с = пт, г = т/Ь, а(С) в -! " 2С. Ме ът111 вЬои СЬас СЬЕВ В п всЬеее саппос Ье сопчегдепг Еог апу всер-в1ге гаг1о г, в1псе Еог апу г 1С ч1о1асев СЬе Ооигапс-Рг1ейг1СЬв-!.ечу сопй1Ссоп. 1ес ив сасе, ав ро1пС Р. СЬе ро1пс (О 1). ТЬе пес и!11 Ье йе(1пей во сьас мт = 1. тье ча1ие ое сье во1иссоп и = и (Р) ас сье ро1пс (А) (Ь) М Р (О, 1), 1.е ° и, Ьу ч1гсие оЕ й1ЕЕегепсе еииас1оп (5), 1в Мсчеп 1п О' М-! М-1 сегпв оЕ р (О„!-т), апд 1п сегпв оЕ и, и . ТЬеве сио ча1иев, Еп О -1 ' О сигп, аге десегп1пей Ьч р ( — Ь, 1 — 2т) апй Р (О, 1-2т) апд с!тгоиМЬ СЬе М-2 М-2 О М-2 О сЬгее ча1иев и 2, и 1, апй и, есс, 1п СЬе 11па1 апа1ув1в сЬе М -2 О ча1ие и сап Ье ехргеввед 1п сегпв оЕ СЬе ча1иев оЕ сЬе Еипсс1оп Р (х, С) О О ас сЬе пес ро1псв йев1Мпасей, 1п Р16. 16, Ьу сговвеа, апй 1п сегив оЕ ссе ча1иевоеив =Р(к ), ио -Р(х ), ..., ио =Ф'(к) ое сье еипс" -М ! -М ' -М+1 1 -М+1 ' ' О 1 О С1оп р (х) ас сЬе ро1псв х, х, ..., х оп СЬе х ах!в.
ТЬив СЬе вес О (р) сопв1асв оЕ СЬе пес-ро1псв иагсей и1сЬ сговвев, апд СЬе вес (Ь) (Ь) "О О оЕ сЬе ро1псв х „, х „ , ..., х оп СЬе х ах1в (апд 1с и(11 Ье посей ! СЬас сЬеве веСа Ьаче ро1псв оп СЬе х ах1в 1п соаеоп). ОЬч1оивту апу ро1пс О оЕ СЬе вес О (Р) Ьав а пе1МЬЬогЬоой иЬ1сЬ доев пос сопса1п а ро1пс оЕ сЬе вес О (Р), по еассег Ьои впа11 ие саКе Ь. ТЬе д1ЕЕегепсе всЬепе (4) доев (Ь) Ф О пос ваС1всу СЬе Соигапс-Рг1ейг1СЬв-1ечу сопдсс1оп, песеввагу Еог СЬарсег 7 232 ИеСЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ясЬешев л~ // Х Я У/РФ РЕЯ.
17. ТЬе втер-в1хе т ч111 Ье сЬовеп со вас1вЕу сЬе сопд1с1оп Мт 1, ч1СЬ М а ров111че 1псеяег, во сьас сье ро1пс Р = (О, 1) и111 ье1опя со сье пес. (Ь) М ТЬе ча1ие оЕ сЬе во1истоп и ас сЫв ро1пс, Е,е. и, 1а ехргеввед сЬгоияЬ О М-1 М-1 Вя. (7) 1п сегев оЕ Ф(О, 1-т), апд оЕ сЬе счо ча1иев и апд и .
ТЬеве смо ча1иеа, 1п Сигп, СЬгоиВЬ (7), аге ехргеввед 1п сегев оЕ Р (О, 1-2т), М-2 М"2 М-2 М Р (Ь, 1-2т), апд аЕ сЬе сЬгее на1иев и , и , и , Р1па11у и сап Ье 0 ехргеввед 1п сегев оЕ СЬе ча1иев оЕ Ф <х, с ) ас пес ро1псв 1пд1сасед 1п Р1В. 17 Ьу сговвев, апд оЕ сЬе ча1иев и = Ф (0). и1 = Ф1<х1), и р <х ) ас сЬе ро1псв х, х, ° ..„х оЕ сЬе х ах1в ° ТЬив С (Р), о О 1 1 11 <( М 1 М О' 1' " М (Ь) < )"о 1п сЫв саве, 1в сЬе вес оЕ ро1псв еагсед Ьу сговвев, чЫ1е С (р) 1в сЬе Ф1 вес оЕ ро1птв х, х1, ..., х оп ЕЬе ах1в.
С1еаг1у, 1Е г = т/Ь > 1/2 (высь 1в пос сье саве дер1ссед 1п сье е1Виге) сье ро1пс В = (1/г, 0) 11ев со сье 1еес ое сье ро1пс А с (Р). тьегееоге сьеге ех1всв а пе1яььогьоод Ф (Ь) оЕ ро1пс А 1п чЫсЬ„ав Ь О, сЬеге аге по ро1псв оЕ С (Р).
ТЬе Ф, Соигапт-Рг1едг1сЬа-сечу сопд111оп 1в ч1о1а Сед, апд опе саппоС ехресС сопчегрепсе. яо ЕЬас 1С ч111 Ье ровв1Ые Еог всЬеее (6) со Ье сопчегяепс 1с 1в песеввагу сЬас г < 1/2. Вш сЬ1а 1в пас епоиВЬ. яиррове сЬас г < 1/2, Ьис СЬас вове ро1пс 0 оп сЬе сЬагассег1вс1с АОР 11ев аЬоче сЬе 11пе ВР, ав 1п Р1В. 17. ТЬеп, ара1п, опе саппос ехресс сопчегяепсе. ТЬе ча1ие оЕ сЬе еипсс1оп Ф (х, с) ас сье ро1пс О ехегсв ап 1пе1иепсе оп сье ча1ие «(О, 1) оЕ сЬе во1ис1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепс1а1 ргоЫее, 1.е. О Ье1опрв со сЬе вес О (Р).
Вис сье ча1ие ф (х, с) ас ро1пс 0 (11ье сье ча1иев р (х,с) оп сье чЬо1е веяеепс ОР оЕ сЬе иЬагассег1вс1с) доев пос аЕЕесс сЬе ча1ие и( (Р) 0 (Ь) оЕ сье во1ис1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепсе еяиастоп ас сЬе ро1пс Р: сЬеге ех1всв а пе1)вЬЬогЬоод оЕ ро1пг О 1псо чЫсЬ, ав Ь О, по ро1псв оЕ ЕЬе вес С (Р) ю111 Еа11. ТЬе Соигапс"Рг1едг1сЬв-Ьечу сопд1с1оп 1в пос вас1вЕ1ед. (Ь 0 1Е г Ьав Ьееп сасеп во веа11 сЬас сЬе сг1апя1е ОРВ сопса1пв, пос оп1у сье ро1пс А (2, 0), ьис а1во сье чьо1е сьагассег1ас1с АОР, сьеп 1с 1в а1геаду рова1Ь1е со ргоче сЬе всаЫ11су (апд сопчегрепсе) оЕ д1ЕЕегепсе всЬеее (б), То сЬооае г 1п сЫв чау ие поте (в1псе сЬе дЕЕЕегепт1а1 еяиа- Соогапс-Рг1ейг(сЬв-1ечу Соп8111оп 233 ! ! О<С<! т <-, Ь 3' (8) апд сЬеп сЬе соигапс-Рг1е8г1сЬв-1ечу сопд111оп ч111 Ье Еи11111ей. Ьес пв вЬоч сЬас, ипйег сопд111ои (8), ВЕЕЕегепсе всЬеее (6) чЬЕсЬ арргох1еасев СачсЬу рго81еп (3) тв всаЬВе ап8„ сопвепоепс1у, сопчег8ев.
Рог сЬ(в ригрове че деу(пе потев Ьу ееапв оЕ сЬе е8иас1опв Ио (! пах ~и ! Ь а,п !!Е (! = еах !Р (х, с )! + пах/Р 'сх )! ° е,п и Яос1п8 сьас, егоа соп8111оп (8) 21 + ! 1 + а(с )г > 1 — 3 > О, О<с <1, че Вес Егоа (7) 2С + 1 21 + ! и ~ < ~! - 3 г + 3 г аах !и ~ г т еах(Р (х, с )! а ! — 3 3 ! ! е! О и' п е е,п < вах о + т вах )Р !та, С )! !< П,! О е' п <еахо+2тпах/Ф'сх,с)!< е е,п Ьеах по + (п+ !)т пах !ф (х, с )! < е е( п,п О е* п < пах !Ф (х )! + 1 пах )Р '(х, с )! = и Е (Ь) е е,п Ь 51псе сЬе Е1па1 еооас1оп ". (<!! !1, с1оп ое сье сьагассег1вс1с 1в ах!81 = а(с)) сьас -!/а(с) = сап 8, чьеге 0 1в сЬе аи81е Ьесчееп сье х ах1в апд сЬе сап8епс со сЬе сьагассег1вс1с.
11 1в ваву са вее сЬас СЬе сЬагасгег1вс1с АОР ч111 11е 1п СЬе сг1ап81е ВОР 1Е СЬареег 7 МесЬодв Еаг Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе 5сЬееев 234 1в та11Л Еог апу а = О, +1, ... апд апу п, (и+1)т < 1, Ии И„< !(Е )! апд сЬе всаЫ11ту оЕ всЬеее (6) ипдег сопд1с1оп (8) Ьав Ьееп ргали. ТЬе Ьоппд (8) оп сЬе всер-в1се т Еог 81теп Ь, т < !/3 Ь, сап Ье меаСепед е1сЬоис ч1о1ас1п8 сЬе Соогапс-Гг1едг1сЬв"1.ечу сопд111оп 11 апе гасив т со г4// Р18.
!8. ье чаг1аЫе, с = с + т , апд оЬоовеа 11, 1п сье сгапв1с1оп Егоа с со п+1 п п и сас1п8 1псо ассоипс сье в1оре ое сье пьагапсег1вс1п с1ове со сье и31' ро1пс с = с , 1.е. сЬоовев тс Етое сЬе попдсс1оп п и Ь вЂ” !а(с ~~ 2с + 1' и и (9) п=О, 1, ТЬов под11тед, всЬеее (6) гасив сЬе Тоге и+! п и и - и и е а ~ ~ е+! т п Ь и 90~в ' с (Ь) Ь (10) "=9 Сх) а 1 а ог и = '(!+а(с )г !и = а(с )г и +т 90(х, с (11) пв = 9 /х ).
е 1'и ТЬе 11е1састаи оп сЬе веер"в1ве, т, 1аровед Ьу 89. (9) 1в 1евв ватаге и сЬаи сЬас еЫсЬ 1в гецп1гед чЬеп пв1п8 всЬеее (6) е1СЬ сопвСапс втер-в1хе. Рог веа11 и опе пеев сЬе втер-в1ве т Ь, апд оп1у еЬеп и арргоасЬев (Ь п 1 1в 1с иесеввагу со сисе т ь/3 (вее р18. 18). тЬе ргоое ое всаы11су п оЕ всЬеее (10) ппдег сопд1ссоп (9) ЛЕЕЕегв оп1у 1пв1дп111сапт1у Егои сЬе ргооЕ оЕ всаЫ11су оЕ (6) ппдег сопдсс1оп (8)! пв~п8 сЬе 1пе9иа11су 1 + а(С )г > 0 ее 8еС Етои (!!) п ив х24 Соигаис-Рг1едг1сЬв"Сечу Сопд1С1оп 235 )и"' ! < шах )и! + т авх 19О(х, с )1 < а ш,п < пик !1и !)+(т ет ) пих19(х, с )1< ш а,п < шах !(ии~ + с шах 19 (х , с )1 < 111 11 Ь 1 с Е о11 о»в сЬа с < !!Е'Ь'!! Ь Ь а12п1ЕУ1иО втаЫ11СУ.
3. Охешр1ее ое асееегепсе всьеаев еог сье Осг1сыес ргоыеа. Ьес ив по» иве сЬе Соигапс-Рг1едгссЬв-Сечу оопп)1ссоп Еог сЬе апа1ув1в оЕ С»о 411- У (ю, l) Гоп аl, С) (юз, Д ту ЕЕ) ЕЕ а) Р1д. 19 Еегепсе всЬеаев арргох1шас1пх сЬе Ео11о»1пс О1г1сЫес ргоЫеа Еог сЬе Ро1ввоп есиат1оп; О < х, у < 1, (12) (х, у) 1п 22 аги — — ф(х, у), Зхс Эус и) 9(х, у), Г 1п СЬе всиаге ге31оп О (О < х, у < 1), пес х шЬ, у пЬ, »Ьеге Ь 1/И»1сЬ а ' и пес О»е авв12п сьове ро1псв, (х, у ), а* п оп 1св Ьоипдагу. Сопв14ег сЬе Ео11о»1пв ргоЫеш (12)т »1сЬ Ьоипдагу Г. Уе сопвсгисс сЬе И ап 1псевег (Р1х.
19,а). то сье »МсЬ Еа11 1пвЕЕе сЬе в9иаге О, ог 91ЕЕагепсе асЬеае, арргох1аас1пд 236 ИесЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ ОЕЕЕегепсе ЗсЬеаев СЬарсег 7 и 2и +и и 2и +и а+1 и шп а-1 и а п+1 ап а п-1 + Ь2 (Ь) Ь 9(шЬ, пЬ), 1Е (шЬ, пЬ) 1в 1п О, (13) и Р(аЬ, пЬ), 1Е (аЬ, пЬ) 1в 1п Г. и -2и +и и -2и +и »-1,п ва а+1 п а,п+1 ап ш п-1 Ф(шЬ, пЬ), Ьг Ьг а 1,2,. ° .,И-11 п 1,2, ...,И-2, и -2и +и а-1 2 а2 а+1 2 а2 »1 »О и "2и+и + Ф(»Ь, Ь), Ьг Ь2 (Ь) ~Ь а = 1, 2, ..., М-1, и Р(аЬ, пЬ), (х, у) 1п Г. ап ОЬч1оив1у сЫв всЬеше боев арргох1»аге сЬе 41ЕЕегепс1а1 ргоЫеш, в1псе 1с 1в оЬса1пед Ьу гер1ас1пх Вег1час1чев»1сЬ ВЕЕЕегепсе ге1ас1опв апд сЬе Ьоипдагу сопд111опв аге гергевепсед ехасс1у.
КасЬ е9иас1оп оЕ сЬе Е1гвс Вгоир соппессв сЬе ча1»ев оЕ сЬе во1»с1оп ас сЬе Е1»е пес-ро1псв вЬо»и 1п Р1В. 19,Ь. ТЬе весопд Вгоир оЕ е9»ас1опв, Еог Е1хед а, соппессв сЬе вогис1оп-ча1иев ас сЬе Егче пег"ро1псв вЬо»п 1п 21В. 19,с. Соп»14ег сЬе вес оЕ е9иас1опв оЕ сЬе ЕЕгвс Вгоир соггевроп41пВ со а Е1»ид и, 1п (асс со п 1, соВеСЬег »1сЬ СЬе »Ьа1е весапд Вгоир оЕ е9иа" с1опв.
ТЬе геви1с1пВ вувсеш оЕ егиаг1опв соппессв сЬе Виапс1с1ев и, и 2 а1' »2 апд и , »Ы1е и „ и , и , и апд и аге В1чеп Ьу сЬе Ьоипдагу сопд1- »О' с1опв. ТЫ в вувсеа гап Ьв во1чед Еог и впд и, а 1, 2, ... М-1. »1 а2' ТЬеп»е иве сЬе 41ЕЕегепсе егиас1ап Его» сЬе ЕЕгвс Вгоир Еог п 2, апд десег»1пе и ч1а сЬе ехр11сгс Гога»1а оЬса1пед Ьу во)ч1пВ сЫв е9иаг1оп Еог сЬе оп1у ип)спо»и Тиапс1су »ЫсЬ 1с сопса1пв, 1.е. и . Ргосеед1пВ 1ече1 Ьу 1ече1 Его» и со и »е со»рисе, ч1а СЬе е9иаС1опв оЕ сЬе Е1гвг Вгоир, ап а,п+1 сЬе во1исгоп и ас а11 1псег1ог ро1псв оЕ СЬе пес. ОЕ соигве СЬе ча1иев (Ь) аС Ьоипдагу ро1пгв аге )спо»п Егоа СЬе веагС.
ВсЬеае (13) 1в оЬса1пед Ьу гер1ас1пВ сЬе 6»ггчаггчев и апВ и Ьу ОЕЕ- хх уу Еегепсе ге1ас1опв„ апд сЬеге сап Ье по до»Ьс аЬоис арргох1»ас1оп. Ие »111 ргоче 1св всаЫ11су 1п 334 апд 41всивв аесЬодв Еог сошрис1пВ 1св во1»С1оп и 1п 3335-37. Виг»е ро1пС оиС СЬаг соариеаг1оп оЕ СЫв вогиС1оп 1в пог (Ь) а сг1ч1а1 аассег, в1псе сЬе вувсеа оЕ ео(иас1опв Ь и Е вЬ1сЬ дегег" (Ь) (Ь) Ь) а1пев СЬе ча1иев оЕ СЬе пеС-Еипсг1оп, и, 1в гаСЬег со»Р11сагед»Ьеп Ь 1в вша11. ТЫв чегу соар1ех1су 1еадв опе Со сопвЕВег»ЬесЬег 1с 1в ровв1Ые со сопвсгисс а всЬеше висЬ сЬас сЬе пиаег1са1 во1иг1оп ргосевв»111 Ье в1ар1е. АС ЕЕгвс В1апсе 1с арреагв сЬас опе сап иве сЬе всЬеае Соигаас-рг1едг1оЬв-Ьечу Соай1с1оп 237 мочечет СЫв, ас Е1твс 01апсе вееш1пд1у сопчеп1апс, воЬеше 1в сошр1есе1у «пивеаЫе.
ме Ьпош сЬас сье во1ис1ап оЕ сье 01г1сЫес ртоЬ1еш Еог СЬе Ьар1асе епиас1оп дереадв, ас еаоЬ ро1пс, оп СЬе ча1иев ф(х,у) ~ ечегу- Г шЬеге оп сЬе Ьоипдагу. 1п сопсгавс, 1п сЬе соаписас1опа1 воЬеае ае Ьаче сопвсгиосед сье сошрисас1оп оЕ сье во1ис1оп и вс а11 1псетпа1 ро1псв (Ь ргосеедв и1сЬоис ив1пд сЬе часиев ф(х,у) оп сЬе иррег вигЕасе оЕ сЬе воиаге. ТЫв МЕЕЕегепсе всЬеае саппос Ье сопчегдепс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
