Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 32
Текст из файла (страница 32)
)а 1 + аах 1Ь 1 + вах ~ ~ + аах !А~~ ш с а, ш О и п а,п Рог сЫв всЬеве, ав 1в еав11у вееп, 1!6Е 1! < А(гЬЕ + Ьз), г т/Ь. РигСЬег СЬе сопвСапС А зарипов оп йег1час1чев ир со апй 1пс1ид1пз СЬе сЫгд ° явоосЬпевв 1в ассоипсе6 Еог, 1п сЫв поги, ч1а сЬе Сегшв ~с - с ) ~Ь - Ь ! РВОВЬВИБ 1. Рог сЬе СаисЬу ргоЫев зг зх — — 6(х,с), ЗС2 Зхс <х<,О<с<т, и(х, О) Ф (х), - < х < 1 ТЬе геайег Ьав РгоЬаЫУ иоС1се6 СЬаг вове оЕ СЬе Сепнв 1п СЬе Еогши1а 6еЕЕп1пз СЬе пеи поги 1п Р 61ЕЕег Егов СЬе соггеврои61пз Сегвв 1п СЬе о16 поги сьгоизь сЬе ргевепсе оЕ а Еассог ь.
Тс 1в с1еаг глас 1Е опе агЫСгаг11у ви111р11ев сегвв Ьу Ь, ап6 Ьу наг1оив рочегв оЕ Ь, сЬеп опе сап асЫече апу Аев1гед огбег оЕ арргох1ваг1оп. Виг 1п 113 че Лаче а1геабу 61всиввей сЬе Сиевс1оп оЕ сЬе сЬо1се оЕ погав 1п соппесс1оп ч1СЬ ог61пагу 61ЕЕегепс1а1 есиас1опв апй ие Лпои сЬас оп1у сЬове погвв аге ивеЕи1 1п иЫсЬ сЬе 61ЕЕегепсе всЬеве в1ви1сапеоив1у арргох1шагев сЬе 61ЕЕегепс1а1 Ьоипбагу-ча1ие ргоЬ1ев, апз 1в всаЬ1е. ТЬе всаЫ11су аЕ СЬе аЬоче всЬеве, ив1пз погвв 1п иЫсЬ 1с Ьав весоп6- огзег арргох1вас1оп, ч111 Ье ргочеп Еп 542.
Ехаарсе 2 1в чегу 1пвсгисс1че. 1с вЬоав сЬас, со чегЕЕу арргох1аас1оп 1п апу геавопаЫе авиве, опе аивс сЬоове а поги соггесс1у. 1п всибу1пз 61ЕЕегепс ровв1Ые всзеаев 1с 1в песеввагу со севс вапу погвв. 1п еасЬ попа опе вовс сгу со саггу оис а всийу ое всаЫ11су высь Ьу 1све1е, ас 1еавс ас ргевепс, оЕсеп гесисгев 1пчепс1чепевв ап6 1аЪог. 1п ргасс1се 1п вовс савва, 1пвсеа6 оЕ всизу1пз сЬе геа1 ргоЫеа иЫсЬ сопсегпв ив, опе 1пчевС1загев а в1вр1161е4, во-саЫей "возе1" ргоЫев, аусег вЫсЬ опе сагг1ев оЫ севе са1си1ас1опв ив1пз сЬе ргоровез 61ЕЕегепсе всЛеае Еог сЬе ог161па1, ипв1вр1161ез ргоЬ1еш.
дгд Ехаер1ев оГ СопвггииС1ои оГ Воипйагу СопСГС1опв 227 — — Ф (х), — < х < а (» о) дс 2 в!иду сЬе огссег оГ арргох1аас1оп, оп а виГ(гисепс1у ваоосЬ во1ис1оп и(х, с), оГ сЬе 51ГГегепие всЬеве п+1 и и1 и -2и +и П1 е »1 тг (Ь) Ь „а а 1 „1 а иа (Ь) 5лои сЬаС сЬе арргох1еас1оп 1в 1!гас-огйег 1и Ь; т г!Л г сопвс. Ное аивг оае авв15п СЬе иа1ие оГ (Ф ), ив!па СЬе 51уеп ЕипсС1опв 2 е' Ф(х с) Ф (х) апа Ф (х), во сЬас арргох1аас1оп е111 Ъе весопо-огбег? ! 2 2, Рог сЬе Ьеас"сопаиис1ои рголгее оп а 11ие"1исегиа1, ди д2и — Ф(х, с), О < х < 1, ас и(х, 0) = ФО(х), 0<С<Т, 0 <х< 1, ~ Ф (с), О < с < т, ди(О ах и(1, с) Ф (с) 2 сопи!пег сЬе о1ГЕегепсе всЬеае 1Г (Фг) Фг(ал) оГ а11 соеропепсв - СФ2).
ТаКе, ав СЬе оГ сЬе е1е|чеис п п и и -2и +и а+! а а-! ),г поги ! )Г ) ) сЬе еахсаие оГ СЬе аоаи11 (Ь) Ь' Ф Ф (пЬ), СФ2) 228 СЬарсег 7 Метсодв Еог Сопвсгпсс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ОсЬеаев и+1 и п п п и -и и -2п +и а а а-1 а а+1 т 2 а 1, 2, ..., И"1; и О, 1, ..., ]Т/т]-1, пе Р(аЬ), а О, 1, ° ° ., И, п п 1 0 (Ф ), п 1, 2, ..., ]Т/т], и Фу(пт), п = 1, 2, ..., ]Т/т]. %2А. ТЬе Соагапс-Рг1ейг1еЬв-Сечу спас)сс1оп, пеееввагу Еог соачег8еаее 1п 921 ае ргоче8 сЬат сЬе 61ЕЕегепсе всЬеае и+1 и и и и -и и -и ш а ш+1 а Ь .,'- 9( Ь), арргох1шаг1п8 сЬе СапсЬу ргоЬТеа — — О, 0 ( С ( Т, а, 8„ Ос Ох п(х, 0) Ф(х), (2) саппос Ье сопчег8епс Еог ап агЫсгагу Еппсс1оп Ф(х) 1Е т/Ь > 1 (вее Р18. 9 оп р.
193) ° 1п сЬе сопгве оЕ сЬе ргоог че печа а ргспс1р1е, сепега1 1п сЬагассег ап8 Естес Еогап1атей, 1п соппесс1оп ч1сЬ апоСЬег ехаар1е, Ьу Сопгапс, Ргседг1сЬв ап8 т.ечу. ТЬ1в рг1пс1р1е 1в оЕсеп пве(п1 Еп сЬе сопвсгпсс1оп апд всоду оЕ 81ЕЕегепсе всЬеаев. 1С шау Ье всасе8 ав 1п сЬе Ео1- 1оч1п8 в ее С1оп. 1. тЬе Соагапс-Рг1едгсеЬв-Сечу еосп$1с1оп. Опррове сЬас сЬе Еогшп1ас1оп оЕ а 81ЕЕегепс1а1 ргоЬ1еа 1пчо1чев вове Еппсс1оп, Р (вее (2), Еог ехаар1е).
СЬоове ап агЬ1сгагу ро1пс, р, Ьесоп81п8 со СЬе йоаа1п оЕ де(1п1- с1оп оЕ сЬе во1пс1оп и. Бпррове сЬас сЬе ча1пе оЕ сЬе во1пс1ап п(р) де- Ав сЬе пага ]] ' 1], саЬе сЬе юих1аиа оЕ сЬе аЬво1псе ча1пев оЕ сЬе Ь г18Ьс-Ьап8 в1дев оЕ а11 е9пас1опв чсссЬ, со11ест1че1у, шаЬе пр сЬе 81чеп 81ЕЕегепсе всЬеше. Аввоше сЬас СЬе втер-в1сев, т ап8 Ь, аге соппессе8 Ьу сье ге1ас1оп т гьс, г сопвс. яьоч сьас, весс1п8 ]ч ) = 9 (пь), че Оес 1 1 а всЬеае ч1сЬ Е1гвс-огдег арргох1аас1оп оп а ваоосЬ воспт1оп. МЬат вогС оЕ п ехргевв1оп апас опе пве со йе(1пе 'Ср ) 1п огрех со Оес ап арргох1шас1оп оЕ васоев ог8егУ Соигапс-Рг1едг1сьв-!.ечу сопд111оп 229 з ди — + а(с) = Ф (х, с) дс ах = О <х<, О< с < с, (3) и(х, О) Р (х), - < х < ! иЬеге р (х, с) апд р (х) аге 21чеп "1прис дага" Еог ргоЫее (3), апд а(с)а-1-2с репдв оп ча1иев оЕ сЬе Еипсс1оп р аС сЬе ро1пгв оЕ вове веС, С С (Р), Ф Ье1опя1пд со сЬе доеаЕп оЕ деЕ1п1с1оп оЕ Ф, 1.е ° а сЬапде 1п сЬе ча)ие оЕ Ф 1п а веа11 пе12ЬЬогЬоод оЕ апу ро1пс С оЕ С (Р) сап анисе а сЬапде 1п сЬе ча1ие оЕ сЬе во1ис1оп оЕ и(Р).
Зиррове ЕигСЬег сЬас Еог сЬе соерисас1оп !Ь) (Ь) оЕ сЬе во1ис1оп и, опе иввв а д(ЕЕегепсе всЬепе, Ь и - Е, висЬ сЬас (Ь) Ь сЬе ча1ие оЕ сЬе во1ис1оп, и, ас сье пес-ра1пс с1овевс со Р 1в соеР1есе1у десеге1пед Ьу ча1иев оЕ сЬе Еипсс1оп р оп вове вес С с (Р). (Ь) (Ь) Еп опувг ЕЬас Ес Ьв сопивгдвпс, во Саад и е и ав й д, ЕЬе с(запевов воЪатв ааавС Ье во сопвдгиедед ЕЬас, аа Ь ч д, ап а!Ысгагц педдЬЬогйоос( ог апу родер ос Г (Р) ааавс, Еог виуеъодапСЕР вша(1 Ь, сопсадп а родер о)' СЬе веС С С (Р) (Ь) (Ь) !ес ив ехр1а1п иЬу, 1Е СЬе Соигапс-Рг1едг1спв-сену сопд(с1оп 1в пес вас1вЕ1ед, опе саппос ехресс сопчегдепсе. Зиррове сЬе сопд1С1оп 1в ч1о1агед во СЬаг, 1п аопе Е1хед пе12ЬЬогЬоод оЕ а ро1пг 0 оЕ С (Р), Еог а11 виЕЕ1с1епг1ч) впа11 Ь, СЬеге 1в по ро1пг оЕ СЬе вег С - С (Р).
1Е (Ь)р (Ь) (Ь р Ф сопнегдепсе и а доев оссиг (асс1депса11у!) Еог сЬе д1чеп Еипсс1оп р, сЬеп не сЬапде р 1п сЬе 1пд(пагад пе12ЬЬогЬоод оЕ ро1пс 0 1п висЬ а иау ав со сЬапде и(Р), 1еач1пд р ипсЬапдед писа(де сЬ1в пе12ЬЬогЬоод. Сопчегдепсе и а и Еог сЬе пеи Еипсс1оп Р 1в 1еровв1Ь1е: сЬе ча1ие и(Р) Ьав сЬапцед, (Ь) иЬ(1е и ас СЬе пес-ро1пг с1авевС Со Р Ьав, Еог виа11 Ь, гееа1пед ип- (Ь) сЬапдед, в1псе СЬеге Ьав Ьееп по сЬапде 1п Р аг ро1пгв оЕ СЬе пег О (Ь) (Ы( ) Ф Ф ТЬе Соигапс-Рг1едг1сЬв-1ечу сопд1с1оп сап еав11у Ье рис 1псо сЬе Еоге оЕ а СЬеогее, апд СЬе аЬоче агдиеепгв сопчегСед 1пео а ргооЕ, Ьие ие вЬа11 пос до сЫв.
Мехс ие сопа(дег вечега1 ехаер1ев иЬеге сЬе аЬоче сопв1дегас1опв реге1с ив со ргоче сЬе д1чегдепсе апд ипви1саЫ11су оЕ а ргоровед дЕЕЕегепсе всЬеве, апд Со Еее1 оиг иау со а всаЫе апд сопчегцепс д1ЕЕегепсе всЬеее. ОЕ соигве ргооЕ оЕ сопчегдепсе еивс Ье сагг1ед оис верагасе1у, в1псе Еи1- Е111пепс оЕ сЬе Соигапс-Рг1едг1сЬв-1ену сопд111оп 1в оп1у песеввагу, апд пос виЕЕ1с1епс, Еог сопчегдепсе.
Уе посв ЕигсЬег сЬас, д1неп арргох(- еас1оп, сЬе Соигапс-Рг1едг1сЬв-\сну сопд111оп 1в а1во песеввагу Еог всаЫ11су, в1псе арргох1еас1оп апд всаЫ11су 1ер1у сопнегдепсе. 2. Ехавр1ев оЕ д1ЕЕегеесе всЬееев Еог сЬе СаисЬу ргоЫеи. )Ее пои иве сЬе Соигапс-Рг1едг1сЬв-1ечу сопд111оп Еог сЬе апа1ув1в оЕ вечега1 д(ЕЕегепсе всЬееев арргох1еас1пд сЬе СаисЬу ргоЫее ддеСЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ ОЕЕЕегепсе ясдееев СЬареег 7 230 716.
16 ТЬе во1ис1оп оЕ ргоддеи (3) ас апу ро(пе, (х , с ), дерепдв оп сЬе Р' Р ча1иев оЕ СЬе Еипсе1опв Р (х, С) апй Р (х) ае а11 ро1пев Сгапвчегвед Ьу 0 1 Ьу сЬе сЬагассег1вс1с ведпепс иЬ1сЬ, евегд1пд Егои вове ро1пс, А, оЕ СЬе х ах1в, впав ае ро1пс Р. 1п Еасе сЬе сЬагассег1вс1св, Ьеге, аге сЬе 1пседга1 сигчев оЕ сЬе 61ЕЕегепс1а1 еоиае1оп — = а(с), 4х дс 1 е сье рагаьо1ав х -сд " с + с. А1опх еаеь сьагассег1вс1с йи ди ди йх ди ди + — — + а(с) — Р (х, с).
АС ае ах де ае дх 0 ТЬеге(оге сЬе ча1ие оЕ СЬе во1ис1оп и(х, С ), ае вогв РО1пс Р Р Р = (х, с ), 1в 61чеп Ьу сЬе ехргевв1оп Р Р Р и(х , с ] - Ф (А) + ) Р (х(с), с16с Ф (А) + ) Ф (х, с)дс. Р Р 1 0 О АОР идеге А 1в а ро1пс оп сЬе х ах1в, ап4 А0Р а вебвепс оЕ сЬе сЬагассег1весс. 1п Р16. 16 ие вьои сье сьагассег1вс1с х = 2 — с — сд, ееег61пд егоп ро1пс А (2, 0), апд епеег1пд ро1пс Р = (О, 1). (Ее вее сЬас сЬе ча1ие и(Р) и(х, с ) оЕ СЬе во1ис1оп оЕ ргоЬ1ев (3) даровав оп сЬе ча1ие оЕ сЬе Р Р Еипсс1оп Р (х) ас ро1пс А, во сЬас А С (Р).
РигсЬег, и(Р) дерепдв оп сЬе ча1иев оЕ Р (х, с) оп сЬе сЬагассег1ве1с ведеепе АОР. ТЬЕв ведиепс АОР 1в, 1 0 СЬеп, С (Р). 0 Ооигапс-ргседг1сЬв-1.ечу Ооой(С1оп 23! Сопвйдег сЬе й1ЕЕегепсе всЬепе пе! и е п п и и — и + а(с ) „ Р (х , с ) ЬЬи (Ь) ив Р (х ), и = О, +1, ...,; п О, 1, ..., [!/С]-1, и ! а аг и = !! + а(с )г)и " а(с )ги + тр (х , с ), п+1 п п (5) ив=р(х), и 1 и сопчегсепсе. ме сопвсдег пои, Еог ргоЬЕеп (3), СЬе й1(Еегепсе вспепе (Р16, !1) п+1 п п п и — и и - и (Ь) Ь (6) иа = Р (х ), и = О, +1, ° ..; и = О, 1, ...„ 1/т-1, и 1 а ог и = (!+а(с )г)и "а(с )ги +тр(х, с), ив=р(к), и 1 и иЬеге г = т/Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
