Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 27
Текст из файла (страница 27)
9). Ргош сЬе 41ЕЕегепсе е9иас1оп ые Вес и (1 - г)и + ги п+1 п п ТЬе ча1ие и и аЕ сЬе во1ип+1 М с1оп и ас сье ро1пс (О, 1) ое сье (Ь) пес 1в ехргеввеб, ч1а спе 41ЕЕегепее е9иас1оп, 1п сегшв оЕ сЬе ча1иев п п и апд и оЕ СЬе во1иг1оп аС СЬе ро1псв (О, 1-т) апВ (Ь, 1-т) оЕ сЬе й п пес. ТЬе сыо ча1иев и апд и, аге ехргеввет( 1п сегшв оЕ сЬе ча1иев п"1 п"1 п" 1 и, и апс( и оЕ СЬе во1иС1оп ТЫв 1пе9ив11су, (9), 1шр11ев сЬе всаЫ11су оЕ 11пеаг ргоЫеш (5), п в1псе, оЬн1оив1у, сЬе во1ис1ап оЕ (6 ) Еог вгЬ1сгвгу Коппс(ед Ф апФ Ф ех1всв апВ 1в ип19ие.
ТЬе го1е оЕ сЬе сопвсапс С 1п 1пе9иа11су (В) 1в СаКеп оп, Ьеге, Ьу СЬе пишЬег 1 + Т. Опе шивг пот СЫпК сЬас, 1п 1гве1Е, арргох1шас1оп аЕ сЬе ФШегепс1а1 Ьоипдагу"ча1ие ргоЫеш (1) Ьу ВЕЕЕегепсе ЬоипФвгу"ча1ие ргоЫеш (2) Виагап- сеев сЬе всаЫ11су, апс( сЬегеЕоге сЬе сопчегВепсе, оЕ (3). Юе сопи(пиед оигве1чев аЕ сЫв 1п 59 ы1сЬ сЬе в14 оЕ а врес1а11у сопвсгиссед ехашр1е оЕ вп арргох1шас1пВ, Ьис 61чегВепс, ВЕЕЕегепсе всЬеше, 1п сЬе саве оЕ рвгт1а1 т(1ЕЕегепс1а1 е9иас1опв Еа11иге оЕ гапдош1у сЬовеп арргох1шас1пВ 41ЕЕегепсе воЬевшв 1в сЬе ги1е, апд сЬе оЬо1ее аЕ а всвЫе (апд сЬегеЕоге оопнегВепс) 61ЕЕегепсе всЬеше 1в сЬе сопвсапс сопеегп оЕ сЬе оошрисас1опв врео1а11вс.
Уе геса11, Еог ехашр1е, сЬаг сЬе ргооЕ оЕ сЬе всаЫ11су оЕ 41ЕЕегепсе всЬеше (5) ыав сагг1еВ оиг ипВег СЬе вввишрт1оп сЬас т/Ь - =г < 1. 1п сЬе паве г > 1 сЬе ВЕЕЕегепсе ргоЫеш (5) вс111 арргох1шасев (4), Ьит оиг вгвЫ11су ргооЕ Еа11в. Уе поы вЬоы сЬат 1п сЬ1в саве сЬе во1ис1оп, и (Ь) оЕ СЬе с)1ЕЕегепсе ргоЫеш (5) Воев пос сопчегВе со сЬе во1ис1оп, и(х, с), оЕ сЬе 41ЕЕегепс1а1 ргоЫеш (4), ыЫоЬ шеапв сЬас сЬе 41ЕЕегепсе веЬеше паппос Ье всаЫе в1псе всаЫ11су ыои16 1шр1у сопчегВепсе. Виррове, еог сье ваке ае Ве(1п1сепевв, сьас Ф(х, с) - =О, во сьас а1во ф(шЬ, пт) О; ЕигсЬег, 1ес Т 1.
ТЬе втер"в1ве Ь ы111 Ье еЬовеп аисЬ, сЬас сЬе ро1пс (О, 1) 1п сЬе р1апе Охс Ье1опВв со сЬе пес, 1.е ° висЬ сЬат сЬе пишЬег СЬарсег 7 194 ТЬе ча1иев оЕ Ь 1 0<в<в — т оЕ сЬе 11пе с 0 (вее Р19. 9), иЬеге ие аге 31чеп сЬе 1п1с1а1 сопд1с1оп «(х, 0) 9(х) Еог сЬе д1ЕЕегепс1а1 е9иат1оп. ТЬив сЬе во1ис1оп оЕ СЬе д1ЕЕегеппе етиас1оп ас сЬе ро1пс (О, 1) оЕ сЬе пес доев пос дерепд оп сЬе ча1иев оЕ сЬе Еипсс1оп Ф(х) ас ро1псв, х, 1у1пв оисв1де СЬе 1псегча1 0<х<— 1 — — г РигсЬег, сЬе во1ис1ап оЕ сЬе ргоЫеа и(х, с) :- 9(х + с).
ТЫв Еипсс1оп 1в попвсапс оп еасЬ сЬагассег1вс1с х + с попас; апд, Еп рагс1си1аг, оп сЬе 11пе х + с = 1, иЫсЬ раввев сЬгоихЬ сЬе ро1псв (О, 1) апд (1, 0) (вее Р1в. 9). Ас сье ро1пс (1, 0) 1с сакев оп сье ча1ие 9(1). ТЬив 1с 1в с1еаг сЬас, 1п СЬе саве г > 1, сопчегхепсе, вепега11у, саппос оссиг. 1п Еасс 1п сЫв саве сЬе вехаепс оЕ сЬе ах1в и1ЕЬ аЬс1ввав 0<х« — 1 1 -г доев пос сопса1п сЬе ро1пс (1, 0). 1Е, Еог вове ча1ие оЕ сЬе Еипсс1оп 9(х), сопчегхепсе веге со саКе р1асе ассЕдепса11у сЬеп, и1сЬоис пЬапх1пц СЬе ча1ие оЕ 9(х) оп сЬе 1псегча1 0<х<— 1 — — г апд, СЬив, пос сЬапд1пх сЬе во1истоп аЕ сЬе д1ЕЕегепсе етиас1оп ат сЬе ротпс (О, 1), ие сои1д е11а1пате сопчегдепсе Ьу а1сег1пх Ф(х) ат апд пеаг ИесЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ясЬеаев ас сЬе ЕЬгее пес-ро1псв (О, 1-2т), (Ь, 1-2т) апд (2Ь, 1-2т).
п"1 п-1 п"1 сЬе во1ис1оп и , и1 апд и , 1п Сигп, аге 81чеп 1п сепвв во1ис1оп-ча1иев ас сЬе Еоиг ро1псв (О, 1-3т), (Ь, 1-3т), (2Ь, (ЗЬ, 1-3т), есс. Р1па11у сЬе ча1ие и вау Ье ехргеввед 1п й+1 ча1иев, и, оЕ сЬе во1ис1о» ас сЬе пес-ро1псв (О, 0), (Ь, О), 0 (ь/т, 0) = (мь, 0). А11 сьеве ро1псв 11е оп сье 1псегча1 а а — — О, <х<", с>0, Эс ах и(х, 0) 9(х), - < х < ав опе сап еав11у чег1(у, 1в сЬе Еипсс1оп ОЕ сЬе 1-Зт) впд сеппв оЕ сЬе (2Ь, 0), 921 195 Кеч1еч оЕ Ваа1с ВеЕ1п1с1опв сЬе ро1пс х 1, а сЬапре ВЫСЬ иои14, 1п Сигп, сЬапВе сЬе ча1ие, и(0, 1) Ф(1), оЕ сЬе во1ис1оп оЕ сЬе ВЕЕЕегепс1а1 е9иас1оп.
ТЬе сЬапре Еп р(х) ас апВ пеаг х = 1 сои10 Ье ВапаВед 1п висЬ а иау ав поС со пеВасе СЬе ех1всепсе оЕ весапс( Вег1час1чев оЕ сЬе ЕипсС1оп Ф(х), ог оЕ сЬе во1иС1оп и(х, с) р(х + с), во сьас арргох1шас1оп оп сье во1ис1оп и(х, с) геша1пв 1п еЕЕесс. Опйег СЬеве соп01с1опв всаЫ11су оЕ всЬеше (5) чои10 1йр1у сопчегВепсе. Вис в1псе Еог г у 1 че саппос Ьаче сопнегВепсе, че саппос Ьаче всаЫ11су е1сЬег. Тье ргооЕ ие Ьаче В1чеп оЕ сЬе 1пвсаЫ11су оЕ 41ЕЕегепсе всЬеше (5) 1в 1п01гесс 1п сьагассег. Тс 1в 1псегевс1пВ со ехаш1пе 41гесс1у Ьоч сье 1пвсаЫ11су оЕ 61ЕЕегепсе всЬейе (5) Еог г > 1 1в ге(1ессе0 1п сЬе вепв1с1ч1су оЕ сЬе во1иссоп„и, са еггогв 1п сЬе врес1Е1сас1оп оЕ Е (Ь) (Ь) ПЕсег аП, Ес Ев ргессве)у сЬе ип1(огшссу, чссь гевресс со Ь, оЕ сЬе вепв111ч1су оЕ СЬе во1ис1оп со еггогв 1п Е чЬЕсЬ чав ВеЕ1пед, аЬоче, ав (Ь) вгаЫ11гу.
Виррове СЬаС, 1с(епг1са11у Еог а11 Ь, в(шь, пг) =- 0 апй Р(шь) С О, во сЬас Е(Ь) . В = О аш) сЬе во1иС1оп и ~и ~ оЕ ргоЬ1еш (5) 1в 10епс1са11у сего, и = О. (Ь) и пяиррове, ЕигсЬег, сЬаг, 1п врес1Еу1пВ 1п1с1а1 соп0111опв ап еггог Ьав й оссиггес) во сЬаг, 1пвсеай оЕ Ф = О, че аге В1чеп Ф (-1) с, с сопвс, ш В апд 1пвсеад оЕ Е( ) 0 че Ьаче 0 Е(ь) . , !)Е(ь)1! . с, Ц Ь уе и111 са11 СЬе геви1С1пВ во1ис1оп и . угой сЬе есиас1опв -(Ь) п+1 п -и и (1 — г)и + ги -0 й и ( 1) Е -1 че Вес, Еог и , 1 -0 0 и = (1 - г)и + ги ш ш ш+1 (1 г)( 1) с + г(-1) с (1 " 2г)("1) с (1 - 2г)и В ш+1 В 0 Ве вес сЬас сЬе еггог сошй1ссед аг п 0 Ьав Ьееп ши111р11ед Ьу (1 - 2г).
-2 Оп ргосее01пВ Со и че Вег 196 ИесЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ О1ЕЕегепсе БсЬешев СЬаргег 7 2 -1 1 1 2 О и (1 - г)и + ги (1 - 2г)и (1 " 2г) и ш ш+1 ш ш Еп Репега1 й (1 2г) и (1 - 2г) (-1) в. Рог г > 1 че Ьаче 1 - 2г < -1, во сЬас сЬе еггог й (-1) с оп всерр1п2 Егоа опе Еече1 с пт оЕ СЬе пеС со СЬе пехг, 1в ши1с1р11е) Ьу а пе2вс1че пишЬег ехеее41п2 опе 1п шойи1ив. Рог п [Т/т[ [и ~ [1 - 2г[[ [[и во сЬас (Ы[ [ [ 2 [ [Т/(гЬ)) О [) 2 [ [Т/(гЬ)) ОЬ [ Ф[ е [[Т/(гЬ))[[Е(Ь)[[ РЬ 1п а Е1хед С1ше, Т, ап еггог (-1) с 1п 1п111а1 ча1иев 1погеавев Ьу сЬе Еаосос [1 - 2г[ *, а Еаесог чМоЬ цгочв чесу гарт)1у ав Ь О. [Т/(гЬ) т тте раиве поч Еог а Ьг1еЕ сг1С19ие оЕ сЬе шесЬод Ьу чЬЕеЬ че Ьаче сЬовеп со еча1иасе сЬе 9иа11су оЕ арргох1шас1оп; 1.е, а шесЬот Ьавед оп а сошраг1воп оЕ сЬе погш оЕ сЬе гевИиа1 [[ЕЕ [[, и1сЬ сЬ1в ог сЬас рочег (Ь) оЕ Ь.
Ав че [тпоч, Еог всаЫе воЬеаев сЬв огс)ег оЕ арргах1шас1оп со1псЕОев ч1сЬ сЬе огнев оЕ сЬе еггог, [и) - и, 1п сЬе во1ис1оп. 1с 1в пасига1 (Ь) Ь со )ийре сЬе 9иа11су оЕ а всЬеше Ьу сЬе ашоипс оЕ оошрисат1опа1 еЕЕогс чМеЬ 1в гети1гет) Еог сЬе агта1пшепс оЕ а 21чеп аесигаеу. ТЬ1в ашоипС оЕ оошрисаС1опа1 еЕЕагт, Репега11у вреа)с1п2, 1в ргорогс1опа1 со сЬе «швЬег оЕ ро1псв, Ю, овей 1п СЬе с)1ЕЕегепее пес.
Рог огй1пагу 41ЕЕегепс1а1 етиас1опв Р 1в 1пчегве1у ргорогс1опа1 со сЬе втер-чЫсЬ, Ь. ТЬеге(оге, чЬеп че вау сьас сье еггог в " ьр че аге, ас сье ваше с1ше, аввегс1п2 сьас в 1/кр, 1.е. ЕЬас Ьа1чтп2 сЬе еггог ч111 гети1ге сЬас че 1псгеаве СЬе ехрепде Е еЕЕогс Ьу а Еаесог р 2. ТЬив, 1п сЬе саве оЕ ог )1пагу 11ЕЕогепс1а1 етиас1опв, СЬе огдег аЕ арргох1шастоп ч1сЬ гевреес со Ь сЬагассег1вев сЬе чо1ише оЕ еошрмастопа1 еЕЕагс. Рог рагс1а1 61ЕЕегепс1а1 етиас1опв сЬе в1сиас1оп 1в 61ЕЕегепс. Еп СЬе аЬоче ехашр1е аЕ а ргоЫеа 1п счо чаг1аЫев, х апд с, сЬе пес 1в врес111ед Ьу сЬе сио втер-атаев т апд Ь.
ТЬе пишЬег, Р, оЕ пес-ро1псв, 1осасед 1п а Ьоипйес) ге21оп аЕ сЬе р1апе Охс 1в оЕ огйег 1/(тЬ). ТЫв пишЬег а1во сап Ье св)сеп ав а шеавиге оЕ СЬе ашоипс оЕ шаг[с ехрепйей 1п во1ч1п2 сЬе 'в2 ! Кеч1еш оЕ Вав1с ВеЕ1п1с1опв ЙИЕегепсе е9иас1опв ° Виррове т гЬ. 1п СЫв саве К " !/Ь ап4 сЬе аввегс1оп СЬас с Ьр 1в е9и1ча!епс со сЬе всасешепС сЬас в Кр . 1Р т р/2 гь2, сьеп к !/ьв апй сье аввегс1оп сьас с ьР 1в е9и1ча1епс со с 1/кР р/З Ке вее сЬас, 1п сЬе саве оЕ рагс1а1 41ЕЕегепста! е9иас1опв, 1с чои16 Ье шоте патига1 со шеавиге сЬе огйег оЕ сЬе еггог, пос 1п роиегв оЕ Ь, Ьис 1п роиегв оЕ !/К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
