Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ТЬе Ьав1с й1вайнапсайев аге: сЬе пеей Еог врес1а1 вгагс1пК шеСЬайв, апй сЬе Еасс сЬас опе саппос (ч1сЬоис сошр11сас1пк сье сошрисас1опа1 е9иас1опв) сЬапйе сЬе всер а1ве Ь, х -" х + Ь, 1п сЬе соигве оЕ сЬе сошрисас1оп, и+1 п всагс1пк егош вове ра1пс х . Тыв 1ассег Еасс 1в 1шрогсапс 1п сьове свеев п нЬеге сЬе во1ис1оп апй 1св йег1час1чев оп вове рагсв оЕ СЬе 1псегча1 сЬапйе ци1сК1у, спап91пК в1он1у оп осЬег рагсв.
Ее висЬ а в1сиас1оп йече1орв йиг1пк сЬе сошрисас1оп а копка-кисса виЬгоис1пе, Еог ехашр1е, ш1КЫ Ье ЬгоиКЬс 1псо р1ау со йесгеаве сЬе всерв1ае аисошас1са11у, ог со 1псгеаве сЬе всер-в1ве онег вшоосЬ рагсв оЕ сЬе во1ис1оп-сигче во аа пос со йо иппесеввагу чогК. Кчсйепс1у сЬе шоас вепв1Ые арргоасЬ 1в со иве ЬосЬ сЬе Кипйа-Кигса ашй Айашв шесЬойв, аисоаас1са11у ач1ссЫпй Егош опе со сЬе осЬег йиг1пд сЬе сошрисаС1оп. Ов1пй сЫв арргоасЬ опе шивс асагс н1а сЬе Кипйа-Кисса всЬеше. ТЬе сошрисег ргойгаа аивс сопса1п ргоч1в1опв Еог аисошаС1с сопгго1 оЕ сЬе всерв1ве, чЫсЬ ч111 Ье ай)насей во ав со аа1пса1п сЬе гепи(гей ассигасу. могеочег а сегса1п йейгее оЕ сопвегчас1вш шиве Ье 1псогрогасей 1псо сЬе всер-в1хе сопсго1 пшсЬап1вшс опе шивс са11 Еог а сЬапйе 1п асер-в1ае оп1у нЬеп сЬеге 1в а чегу ргевв1пй пеед Еог висЬ а спапде. 11 1С сигпа оис сьас, а(сег сошригас1оп оЕ венева 1 виссевв1че ча1иев оЕ и Ьу сЬе Кипйап Касса всЬеше, по веер"в1се сЬапйе оссигв, сЬеп 1с 1в арргорг1аге со вн1ссЬ аисошас1са11у со СЬе шоге есопош(са1 Айашв шесЬой.
Ав вооп ав 1с айа1п Ьесошев песеввагу со сЬапйе сЬе всер-в1ве сЬе сошрисассопа1 ргойгаш шивС айа1п Ко очег со сЬе Кипйа-Касса всЬеше, есс. Со ав со шоп1саг сЬе айе9иасу оЕ сЬе всер-в1ве опе огй1паг11у сагг1ев оис, 1п рага11е1, сошрисас1опв ч1сЬ воше д1чеп всер-в1ве, апй н1сЬ апоСЬег 176 СС1бе1у-Овеб О1ЕЕегепсе ясЬепев СЬарсег б Ьа11 ав 1агбе. У1сбсп сЬе геоп1гей ассигасу 11ш1св СЬе во1пг1опв вовс со1пссбе. ОсЬегч1ве сЬе всер-в1ге ппвС Ье бесгеавед. 1С 1в а1во песеввагу со ргоч1бе вове вогс оЕ севс мбсгЬ ч111 йесегв1пе чЬеСЬег 1С 1в ровв1ЬЛе Со Епсгеаве СЬе егер-в1се.
3. иове оп всвЬ111су. Рог сЬе ргоЫев и Ф Ап О, 11пеаг апй ч1СЬ сапвсапс сове(1с1епс А, сье копка-касса еипассопв сиги опс, весег е11в1- паг1оп оЕ К, К ..., со Ье 11гвс"огбег б1ЕЕегепсе еоиас1опв, 1' 2' и - а(Ь)и О. и+1 п ТЬе гоос оЕ сЬе сЬагассег1вс1с еопас1оп Л - а(Ь) О 1а Л а(Ь). 1п сЬе саве и " «Сх ) опе беса а ча1пе оЕ и еЬЕсЬ абгеев ч1сЬ СЬе и п рос и+1 ехасг во1пг1оп п(х + Ь) пр со огбег Ь, чЬеге р 1в сбе огрех оЕ арргох1- п аагсоп.
21псе А Ь п(х е Ь) псх )е п(х ](1 - АЬ + — - ...), апй и а(Ь)п п+1 п' сЬеп Л а(Ь) е + ОСЬ~ ). ТЬпв 1Л(Ь)! С 1 + сЬ. ТЬе ромегв Ли(Ь) ЬеЬаче "соггесг1у" с сЬеу Агом 1Е А ( О апй сЬе ва1пС1оп оЕ сЬе В1ЕЕегепг1а1 ес(пас1оп бгомв. ТЬеу йесгеаве 11 А > О апй сЬе во1пс1оп ехр(-Ах) бесгеавев. 1п сЬе саве оЕ сЬе Абаев всЬепе (6) + Ап + — (» - и ) О и+1 п А Ь п 2 п п-1 ЕЬе гЬагассег1вс1с ециас1оп Ьав сЬе Гога Л "(1 "— )Л - — О. ЗАЬ АЬ 2 2 ТЬегеЕоге 1 ЗАЬ 1 с ЗАЬЛŠ— (1- — )+ — ~1 - ) Ф2АЬ, 2 2 — 2)~\ 2 ) Л 1 - АЬ + О(Ь2), 1 $19 Кипца-Кигга апс( Абаев ясЬеаев 177 1 0(Ь), 2 ТЬив сЬе во1ос1оп и 1 ЬеЬачев, ав Ь е О, 11Ке и(х ~ ехр(-АпЬ), п 1 п юЫ1е сЬе "рагав1с1с во1ис1оп" 1, еЬ(сЬ епсегв Ьесаиве о( сЬе иве ой а весопо-огаег с(1ЕЕегепсе епиас1оп, сепОв со сего в1псе 11 ( 0(Ь), апд сЬив 2 Ооев пос а(Еесс всаЫ11су. 1с и111 Ье ивейи1 Еог сЬе геайег со соараге всЬеае (13) и1сЬ сЬе васоев-огдег всЬеае (2) оу 317с и "и п+1 п"1 + 2Ь + Аип Рог 1с 42ЬК 1 1 - АЬ + — + 0(Ь~), 1 2 1 -1 - АЬ + 0(Ь ).
2 й» вЂ” -С(х, и) =О, дх и(0) а ие аивс 1псегргес и(х) и(х) апд с(х, и) с(х,и) ав чессог еипсс1опв, апс) а а ав а 21чеп чессог, 1п сЬ1в посас1оп, сЬеп, сЬе КипОа-Касса всЬеаев (3) апд (4) апд сЬе Адаав всЬеаев (7)-(10), ргевегче сЬе1г аеап1п4 апй арр11саЪШСу. Рог ехаер1е сЬе вувсеа о( епиас1опв — 'Сх + ч + в1п ъ) О, Ох йю — + «че О Ах ч(0) а 1' 2 аау Ье аг1ссеп 1п сЬе (ога ТЬе "рагав111с гоос", 1, Еог ров1С1че А 1в Кгеагег 1п аоди1ив СЬап сЬе 2' гоос 1, апй 1с 1в )ивс Еог сЬ1в геавоп сЬас а 1агКе сопвеапс арреагв 1п 1' сье всаы11су ъоипсс еог сыв всьеае, апд сьас сье всьеае (ав евсаы1вье4 1п 317) 1в пос арр11саЬ1е Еог 1агце А.
4. Сеаега11ваг1оа со вувсеве оу еОиас1оав. А11 СЬе аЬоче всЬеиеа Еог сЬе пиаег1са1 во1иг1оп о( сЬе СаисЬу ргоЫеа Еог Есгвс огрех 411(егепг1а1 е9иас1опв (1) аисоааг1са11у Кепега11хе со вувгеав о( 11гвс-огрех е9иаг1опа. То вее сЬ1в, 1п сЬе посас1оп о( (1) 178 ОЬарсег б С1йе!у-Овей 81ЕЕегепсе ЭсЬевев — - С[х, и) О, »(О) а, 1Е ие пассе х + чг + в1п и ТЬе е8»ас1оп Еог » 1п сЬе хи!ег всЬеее п+1 » » + ЬС(х, » ) п+1 п п' п пау Ье иг1ссеп оис 1п йеса1! сЬ»в; ч ч + Ь(х + ч + Б1п» ) и+! п п п п ч» +Ь1-хчч) п+1 п и и и А11 сЬе аг8»ее»се аьоис ог8ег ое арргох1вас1оп, ргевепсей ьесчееп сье авсег1вКв оп рр. !73-!75, а1во ргевегче сЬе1г ча!18117.
1п (6), Ьомечег, »е е»вс саКе, ав сЬе Аег1»ас1»е оЕ сЬе чессог С(С, ..., С ) Ьу СЬе чессог 1' »!»..... и ), 1.е. Эс/э», сье шасг1х !' ЭС ЗС 1 1 'Э» ' ' Эи 1 К ЗС ЗС Э» "' в» ! Апу агЬЕсгагу аувСее оЕ 81ЕЕеге»С1а! ец»асс»па, во!че8 Еог СЬе 1еа81»8 Эегсчассче, еау Ье ге8»ое8 со СЬе вувсее аЕ Е1гвс-огдег е8»ас1опв — С(х, ») Ах ч1а сЬапрев 1п СЬе Иере»8е»С чаг1аЬ!ев. Ка» СЬ1в сап Ье ассоар!1аЬе8 1в с1еаг Егов сЬе Ео11о»1п8 ехаер1е.
ТЬе вувсев 179 в20 ИесЬойв оЕ Во1ис1оп оЕ Воипйвгу-Чв1ие РгоЫеав — +в1п(хн +ч +ч~ =О, й ч 2 хс О, ч(0) в, ч'(О) Ь, ч(0) с и111 сесе сЬе геси1гед Еога 1Е че вес и (х) ч(х), 1 4ч и (х) 2 дх и (х) " ч(х). 3 Че сЬеп ВеС ди — и О, йх 2 и2 Вх — + в1п(хи + иг + и ) О, 2 1 3 йи — + х +и +и +и О, 3 2 2 2 2 йх 1 2 3 и (0) в, 1 и (О) " Ъ, 2 и (О) = с. 3 роге. ВипВв"Касса 01ЕЕегепсе всЬеаев Ьвче Ьееп дече1орей чЫсЬ свп Ье врр11ей 61гесг1у со весопй-огрех епивс1опв, ч1ЕЬоис рге11а1пвгу гес(исс1оп ое сЬеве есиас1опв со вувсеав ое 11гвс огдег. 5 20. ЕвеСЬода оЕ во1иС1оп оЕ Ьоиа<$агу-ча1ие ргоЫеав Опе ехаар1е оЕ а Ьоипдвгу-чв1ие ргоЫеа 1в СЬе ргоЫеа СЬароег б Усде1у-Овей 01ЕЕегепсе ЯсЬешев 102 у*-ау О, 0<а<1, у(1) - У, у(о) - у, 0' и1сЬ сопвсапс а .
ТЫв ргоЫеш Ьав сЬе восис1оп -а(1-х) -а(1+х) е - е у -га 1 1-е -(г-) е - е у(х) -2а 0 1-е ТЬе ооеЕЕ1с1епсв оЕ у апй у, а1сЬ 1псгеаа1пх а, геша1п Ьоипйед 0 1' Еипсс1опв оп сЬе 1псегиа1 0 < х < 1; Еог а11 а > 0 сЬеу аге пеиег егеагег СЬап опе. ТЬегеЕоге ваа11 еггогв 1п сЬе ава12паепсв оЕ у апд у 1еад Со е0иа11у ваа11 еггогв 1п сЬе ва1иг1оп. 1.ег ив пои сопв1дег сЬе СаиоЬу ргоЫеш у -ау=О, 0<х<1, у'(0) сап а.
(2') у(0) 0' 1св во1ис1оп Ьав сЬе Еога ау + сап а ау - Сап а 0 ах 0 -ах У( ) 2 2а е + 2е е 1Е 1п 11х1пй Сап а ие васе ап еггог с, сЬеп сЬе иа1ие оЕ сЬе во1ис1оп ас х = 1 и111 1пегеаве Ьу а с -а ду(1) — е - — е 2а 2а (4) у -2у +у р(х )у Е(х ), 0 < ш < И, ХЬ 1, УО О УИ " 21 рог 1агйе а сЬе виЬсгасгед сегш 1п Ео. (4) 1в пе01121Ыу шаа11, Ьис сЬе соеЕЕ1ссепс оу с 1п сЬе Е1гвс сега, ехр(а)/(га), Ьесоаев 1агае. ТЬегеЕоге СЬе вЬоос1пц аесЬой ав арр11ей со сЬе ао1ис1оп оЕ (1 ), а1сЬоиаЬ а Еогша11у ча110 ргоседиге, Еог 1агйе а Ьесошев ргасС1еа11у ипивеаЫе.
ТЫв Ьг1пдв со ш1пй сЬе сопв1дегас1опв оЕ 25>, аЬеге ие ргевепсей ап ехашрсе оЕ а сошрисас1опа11у ипвсаЫе а12ог1сЬш Еог СЬе ао1ис1оп оЕ в й1ЕЕегепсе ооипдагугиа1ие ргоЫеш. 2. ТЬе рКВЗ шесЬой. Рог сЬе во1иС1оп оЕ сЬе Ьоипдагу-иа1ие ргоЫеш У -Р(х)У Е(х), 0<х<1, у(о) - у, 0' у(1) у 1 иЬеп р(х) » 1 опе оап иве сЬе д1ЕЕегепее воЬеше ЭЕО Ме«Ьодв оЕ Яо1ас1оп оЕ Воппдвгу-Ча1пе РгоЫеав 183 (5) у(х) = у (х) + ч(х), 0 мЬеге ч 1в а соггес«1ап со сЬе сегоесЬ арргох1ша«1ап у (х).
Ре впЬвс1спсе (5) 1псо Ея. (1) апд 11певг1»е сЬе ргоЫеш, весс1п8 у (х) у (х) + ч (х), Е(х„ у + н, у + ч ) ЭЕ(х, у , у ) дЕ(х, у , у ) Е(х, уО' уО) + Э и + д ч + 0(ч +(ч ) ) ° Эу ду 01всагд1пВ сЬе геиаспдег Сеги 0(чд + )ч )д), ме Еес в 11пеаг ргоЫеш Еог сЬе соггесс1оп ч(»)с ч р(х)ч' + д(х)и + Ф(х), ч(0) ч(1) О, (б) д«(х, у, у ) я(х) д„ ЭЕ(" уо, уа) ( > ду Ф(х) - «(», УО, У ) - УО яо1ч1п8 сЬе 1«пеаг ргоЫеи (б) апа1ус1са11у, ог Ьу ваше пошег1са1 иесЬад, ме Е1пд ап арргох1иасе соггесс1оп и, апд сесе у Э у (х) + ч ав СЬе пехС арргох1шаС1оп. ТЬе вЬоче ргоседпге иау Ье арр11ед со а поп11пеаг дс««егепсе Ьоппдагуча1пе ргоЫеш, Яепегасед ав ап арргох1шас1оп со ргоЫеш (1).
апд во1че сЬе д«ЕЕегепсе ргоЫеи Ьу РЕВЕ. 1« р(х) > 0 сЬе сопд1«1опв Еог арр11саЫ11«у оЕ РЕВБ аге ввс1в««ед, ав сЬе геадег сап евв11у чег1«у. 3. Мемгоп'в иесЬод. ТЬе вЬоас1пя шесЬод, арр11ед со сЬе во1ас1опв оЕ ме11 "вес Ьоппдагу-ча1пе ргоЫешв иау, ав ме Ьвче вееп, согп опс со Ье пива«саЫе Ьесааве аЕ пашег1са1 1пвсаЫ11су. Вы СЬе РЕВЯ иеСЬод, ечеп Еогиа11у, сап Ье пвед оп1У Еог сЬе во1п«1оп оЕ 11пеаг ргаЬ1ешв.
Кем«оп'в шесЬод гедпсев сЬе во1пс«оп оЕ а поп11пеаг ргоЫеш со ЕЬас о« а вег1ев оЕ 11певг ргоЫешв, ав Ео11омв. Яарраае ме Спом ваше Еппс«1оп у (х), вас1вЕУ1пя Ьоапдагу сопд1«1оп (1) апд гопЯЫУ еяпа1 со СЬе дев1гед во1пс1оп у(х). Вес рагс 3 В1РРКККИСК ЯСНКИК5 РВК РАКТ1АЬ В1РРКККВТ1АЬ КСВАТ1055. КАЯ1С СОИСКРТЯ АЬоче, 1п соппесс1оп и1сЬ д1ЕЕегепсе всЬешев Еаг огд1пагу д1ЕЕегепС1а1 еяиас1опв, ие деЕ1пед сЬе сопсерсв оЕ сопчегяепсе, арргох1шас1оп апд всаЫ11су.
Ие ргочед а сЬеогеш вгас1пя сЬвс, 1Е сЬе д1ЕЕегепсе Ьоипдагуча1ие ргоЫев арргох1аасев сЬе д1ЕЕегепс1а1 ргоЫеш апд 1в всаЫе сЬеп, ав сЬе пес 1в геЕ1пед, сЬе во1ис1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепсе ргаЫеш сопчегяев со сЬе во1иС1оп оЕ СЬе д1ЕЕегепС1а1 ргоЫеш. 1п СЫв СЬеогеш че Ьаче ап 1пд1сас1оп ав Со Ьои опе сап дече1ор в сопчегяепс д1ЕЕегепсе всЬеше Еог сЬе пишег1са1 во1ис1оп оЕ в дЕЕЕегепс1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш: опе вовс Е1гвс сопвсгисс арргох1шас1пК дЕЕЕегепсе всЬешев апд сЬеп, Егош ааопК сЬеш, ве1есС СЬове СЬаС аге воаЬ1е. ТЬе деЕ1п111оп оЕ сопчегяепсе, арргох1ааС1оп апд вгаЫ11Су, апд СЬе сЬеогеш соппесс1пя сЬеве сопсерсв, аге яепега1 1п сЬагвигег. ТЬеу аге еяив11у шеап1пКЕи1 Еог впу Еипсс1опа1 еяиас1опв.
Че 111ивсгасед СЬеш ч1а ехашр1ев оЕ д1ЕЕегепсе всЬешев Еог огд1пагу д1ЕЕегепс1а1 еяиаг1опв апд Еог ап 1псеяга1 есиас1оп. Веге че 111ивсгвсе вове Ьав1о аесьодв Еог иопвсгисс1пя д1ЕЕегепие всЬешев, апд севс1пя сЬе1г всаЫ11су, сас1пя ав ехаар1ев д1ЕЕегепсе всЬевев Еог рагс1а1 д1ЕЕегепс1а1 еяиас1опв. ягоду оЕ сЬеве ехашр1ев и111 генеа1 папу 1врогсапс апд Ьав1са11у пев с1гсишвсвпсев пос епсоипСегед 1п СЬе саве оЕ огд1пагу д1ЕЕегепг1в1 еяиаг1опв. Рг1пс1р1е ашопК сЬеве агес сЬе Кгеас чаг1есу оЕ равв1Ые д1ЕЕегепсе песе апд шесЬодв оЕ арргох1ваосоп, СЬе 1пвгаЫ11гу оЕ шовг гапдош1у-иЬовеп арргох1шаС1пя виЬешев, сЬе совр1ех1су оЕ всаЫ11су 1пчевС1яас1опв, апд спе д1ЕЕ1си1с1ев 1пно1нед 1п сЬе сошрисас1опв1 во1ис1оп оЕ д1ЕЕегепсе Ьоипдвгу-ча1ие ргоЫешв, дЕЕЕ1си1с1ев шЫсЬ сап оп1у Ье очегсоше Ьу виЬвсапс1а1 врес1а1 еЕЕогс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
