Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ртес1ве1у ЕЬе ваее еесЬод оЕ сопвсгист1пх аоде1 ргоЫеав сап Ье арр11ед а1во со вувсеав оЕ епиас1опв, апд со еоиас1опв оЕ ЫаЬег огдег. 1п ргасс1се сЬе во1иС1оп оЕ сЬе СаисЬу ргоЫеа, Еог огй1пагу 61ЕЕегепс1а1 еоиат1опв и1ЕЬ по врес1а1 реси11аг1С1ев, 1в ассоер11вЬей Ьу опе ог счо, Еа1г1у аепега1, че11-спесей всЬееев Еог чЫсЬ, оп ргевепс-йау соерисегв, сЬеге аге всапдагй ргоагаев.
1Е 1с Ьесоеев песеввагу со во1че, ч(сЬ чету Ь|аЬ ргес1в1оп, а ргоЫее оГ а врес1а1 суре, сЬеп опе ивев опе оЕ СЬе папу врес(а1 всЬееев айарсед врес1Е1са11у Гог висЬ врес1а1 ргоЫеев, геаогс1па со спе еоге Вепега1 апЬееев чЬеп опе 1в сопсегпеп ч1сЬ а 31ЕЕегепг ргоЬ1еа агеа. 169 СЬарсег 6 Юййе1у-Овей 01ЕЕегепсе ЗсЬешев $19. НппНа-Касса апй ййашв ЯсЬешев Неге ае ргевепс вове и(йе1у-ивей й1ЕЕегепсе всЬеаев Еог СЬе во1ис1оп оЕ сЬе СаисЬу ргоЫеш йеЕ1пей Ъу сЬе Е1гвс"огйег й1ЕЕегепс1а1 есиас1оп — С(х,и)0,0<х<1, йи и(0) а.
Ве1оч 1п весс1оп 4 СЬеве всЬешев и111 Ье депега11аей со вувсеав оЕ 11гвсогйег есиас1опв, Со ьЬ1сЬ опе сап гейисе сЬе Непега1 саве аЕ есиас1опв аай вувсешв оЕ апу огйег. Не а111 сесе, оп сЬе веНаепс 0 < х < 1, сЬе пес оЕ ро1псв 0 х < х < х « ° ° ° х < х 1, х пЬ, Ь 1/Н, 0 1 2 Н-1 Н ' п апй сопвсгисс й1ЕЕегепсе вссешев Еог сье арргох1шасе йесегш1пас1оп оЕ сье саЫе, (и), оЕ сЬе во1иссоп-ча1иев оп сЫв пес. ТЬе в1шр1евс вссеше 1п и1йевргеай иве 1в опе ве Ьаче а1геайу шес.
ТЫв 1в сЬе Еи1ег всЬеше Ь и "и и+1 п С(х, и ) О, п О, 1, ..., Н-1, Ь п' п (2) О"а роввеввспх 11гвс-огйег арргох1шаС1оп (апй ассигасу). Соаригас1оп ч1а сЫв всЬеше Ьав а в1шр1е Неошегг1с 1псегргесас1оп. 1Е и Ьав а1геайу Ъееп соап риСей, СЬеп СЬе сошригаС1оп и и + ЬС(х, и ) п+1 п п' п 1в еси1ча1епс со а вЫЕс Егош ра1пс (х, и ) со ро1пс (х, и ), 1п п' п р1апе Охи, а1опх сЬе сапхепс со сЬе 1псехга1 сигче, и «(х), оЕ сЬе й111егепс1а1 есиаг1оп и С(х, и), равв1пК сЬгоиНЬ сЬе рЫпс (х, и ) ° п' п Ашопх сЬе всЬешев в1сЬ ЫНЬег-огйег арргох1шас1оп, сЬе аавг вййе1у ивей аге сЬе й(ЕЕегепс чаг1апгв оЕ СЬе НипНа-Касса апй Айвшв всЬешев, чЫсЬ ае йевсг1Ье апй сошраге.
СЬаргег о ЕУО С1Ое1у-Овео ПЕЕЕегепсе ВсЬеаев К = С(х , и ), 1 п' п К С(х + аЬ, и + аЬК 2 п ' п 1 13 С(х + ВЬ, и + ВЬЬ ), п п = С(х + УЬ, и + ТЬЬ ). ТЬеп ие вес " - (р С + ... + р Ь ) - О, п О, 1, ° . ° , М-1, (Ь) Ь и а. О ТЬе соеЕЕЕс1епсв и, 6, ..., у, р, р, ..., р е111 Ье сЬовеп висЬ ав Со 1' 21ие, Еог СЬе Ксиеп 1, арргох1ааг1оп аЕ СЬе МКЬевг рова1Ые огдег. Кпои1пк и опе сап соарисе к , ..., К , апс( сьеп п и и + Ь(р Ь + ... + р Ь пс1 п Тье в1ер1евс пипка-касса всьеае 1в сье еи1ег всьеше (1 1).
ТЬе Кипка-КиССа всЬеае — [К + 2К + 2Ь + Ь ) О, п О, 1, ..., М-1, (Ь) Ь (3) «О - а, еЬеге К С(х , и ), 1 п' п К Ь Ь =С(х + —, и + — ) 2 п 2' п 2 Ь 2 К С(х +-, и + — ) 3 п 2' п 2 С(х +Ь, и +КЬ), п ' п 1. Каппа-Кисга веЬеае. Виррове СЬе иа1ие, и, оЕ сЬе арргох1еасе п' во1ис1оп ас ро1пс х Ьав а1геайу Ьееп Еоипд, апд опе 1в геОисгей со соериое п и ас ро1пс х х + Ь. Се сЬоове ап 1псеКег 1 апс( ег1се сЬе п+1 п+1 п ехргевв1опв $19 Кипра-кисса апд Ас(ааа Бсьеаев Ьав Еоиггп"огдег арргох1аас1оп. ТЬе Кппха-Кпсса всЬева п+1 п 2а — 1 1 и О, 1, . ° ° , Я-1 (Ь) Ь (4) и = а, 0 а Веге Ь С~х,и), К С(х +аЬ,и — аЬ ), 1п'п'2п'п1 Еог апу В1чеп и Ьав весопй-огрех арргох1аас1оп.
Се ргоче оп1у сЬе аввегс1оп аЬоис всЬеае (4). ТЬе ргооЕ оЕ спе аааегг1оп аЬоис всЬеае (3) 1а аиа1овоив, Ьис ваге соар11сасеа. ТЬе во1иг1оп, и(х), оЕ сЬе ециас1оп и' С(х, и) вас1вЕ1ев сЬе 14епг111еа С(х, и(х)), йаи й ас ас — :- — С(х,и) -а- Е ч- И ° Ах ' х и Ах ТЬегеЕоге 1с Ео11ова Егоа сЬе Тау1ог Еогаи1а и(х + Ь) " и(х ) " и (х ) + — и (х ) + 0(Ь2) еог сЬе во1ис1оп и(х), сЬас иСХ +1) игхп) Ь ас ас Ь " - ~''Х~ х УйС))х=х п и=и(х ) п 0(Ь2), (5) Виг, ехрапссис сЬе Еипсс1опв оу Сио чаг1аЬТев 1п роиегв оЕ Ь Ьу Тау1ог'в еогаи1а, апд геса1п1пВ оп1у сегав ое е1гвс огс(ег, че Вес Усбе1у-саед 01ЕЕегепсе Кпьееев СЬарсег б 172 + — с~х + аь, и + аьс)~ 1 2а х х п и и(х ) п 2а - 1 1 К + — К 2а 1 2а 2) ха п и=и(х ) п 2а - 1 С 2а — с + — ~с + 2- аь + ~- аьс + 0(ь )) 2а - 1 1 Эс ЭС 2 п и и(х ) п - с+ — ( — + — с)~ ь ас ас г х аи х х п и и(х ) п + 0(Ь2).
(б) то оьса1п и Ьу сЬе кивка-Касса всьеае, в1сЬ и 21чеп, опе аивс п еча1иаге сЬе Еипсс1оп С(х, и) 1 с1аев. ТЬе соерисеб 1 ча1иев аге СЬеп пос ивеб апу ЕигсЬег. 2. Абаев воьеаев. 1а сЬе Абаев впЬеаев, опе чаг1апс оЕ чЫсЬ ие и111 пов йеасгЕЬе, соаригас1оп оЕ сЬе пехг чв1ие, и , геси1гев сье еча1иассоп п+1' оЕ С(х, и) оп1у ас опе ро1пс, гебагб1евв оЕ сЬе огдег оЕ арргох1аас1оп.
1п абб111оп 1с 1в пепеввагу со гангу оис а вша11 пишЬег оЕ виЬсгасс1опв апй адд111опв иЫсЬ гесиЕге аипЬ 1евв с1ее сЬап опе ена1иас1оп оЕ ечеп а в11КЬс1у сопр11сасед Еиппс1оп С(х,и). ие адорс сье посас1оп РЕ Е Е п п п-1' ЧЕЕ Ч(ЧЕ ) ЧЕ - РЕ Е - 2Е + Е п п п п-1 п п-1 п 2' ЧВЕ - ЧРЕЕ Е - ЗЕ + ЗЕ - Е п п п п-1 п 2 п-3 апд иг1ге С С(х , и ). Еас ив иг1се оис ехр11с1с1у вове оЕ СЬе п п' п КЕЕЕегепсе еаиас1опа ивеб 1п Абаев всЬеаеа Еог СЬе соарисас1оп оЕ и п+1' 1Е и , и . .. Ьаче а1геабу Ьееп соариседе п' п-1' ТЬеге(оге 11 опе риге 1псо сЬе 1е(с-Ьапб всбе оЕ (4), 1п р1асе оЕ и апй п и, геврепг1че1у, СЬе ча1иев и(х ) апд и(х ) оЕ сЬе во)ис1оп и(х), опе и+1 п и+1 Кеса ап ехргевв1оп вЫсЬ авгеев ч1СЬ сЬе 1еЕС в(бе оЕ КЧ. (5) ир Со свеев 0(Ь2).
ТЬеге(ого СЫа ехргевв1оп, (4), 1в оЕ весопй огбег ч1сЬ гевресс Со Ь. З1псе СЬе 1п1с1а1 ча1ие и а 1в Ксчеп ехасс1у ие Ьаче пои ргочеп сЬас впьеае (4) ьав весопй-огнен арргох1аас1оп. Ховав-Кпгга апд Абаев ЯсЬешев 173 и+1 п — С О, Ь и (7) и О, 1, . ° ° , К-1, и - и +1 и - С - 1 ЧС О, Ь п 2 п п 1, 2, ° ° ° , К"1, п+1 и 1 5 " - С - — ЧС - — Ч26 О, и 2, 3, ..., М-1, Ь п 2 п 12 п (9) па1 п "С - — ЧС - — ЧС - ЧС -0 1 5 2 3 Ь и 2 п 12 п В п (10) п 3, 4. ..,, М"1. ТЬе 11гвг оЕ сЬеве е9пас1опв 1в сЬе 01ЕЕегепсе е9пас1ап оЕ Еп1ег. 11 опе виьвс1спсев 1псо сье 1еес"ьапй в14ев ое хив. (7)-(10), 1п р1асе ае и, и, и,...
ЕЬе ча1пев п((п+1)Ь), п(пЬ), ... оЕ сЬе ехасс во1ис1оп пе1' п' п-1' сЬеп гев10па1в ч111 арревг, Еп Хцв. (7)-(10), оЕ огрех Ь, Ь2, ЬВ апй Ь" геаресг1че1у. ТЬе Айашв Еогшп1ае шау Ье оЬСа1пей ав Ео11очв. Впррове п(х) 1в сЬе во1ис1оп ое сье еЧиас1оп — С(х, и) . йп дх СеЕ1пе 6(х, п(х) ) в Р(х). ТЬеп х +Ь х +Ь и и п(х + Ь) - п(х ) ) и' Йх ) Р(х) дх. п п х и х ш Ргош сье сьеогу оЕ 1псегро1ас1оп 1с 1в спичи сьас сЬеге 1в опе апй оп1у опе ро1упош1а1, Р (х, Р), оЕ агдас по ЬЕХЬег сЬап Ь, сасспС оп аС сЬе Ь+1 ро1псв х, х, ..., х сие 61чеп ча1иев Р(х ), Р(х )... °, Р(х ) гевресс1че1у. ТЬЕв ро1упош1а1 Р (х, Р), Еог а виЕЕ1с1епс1у вшоосЬ Еипсс1оп Р(х), 0еч1асев Егош Р(х) оп сЬе 1псегча1 х < х < х +Ь Ьу а ипвпс1су оЕ с+1 и — — п+Ь ог0ег Ь , во сЬас Усое1у-Свеи ОЕЕЕегепсе СсЬееев СЬарсег б 174 еах)Р (х, Р) - Р(х)) 0(Ь Ь ТЬе Абаев 61ЕЕегепсе Еогеи1а Ьав сЬе Еога х Н1 пи+1 - ип 1 и Ь Ь Р (х, Р)ах - О.
Ь х п 1пвегс1их 1псо сье 1еес"ьапй в14е, 1п р1асе ое (12) и, и, С(х, и ) и и+! и-в и-в сье соггевропд1пр иа1иев иСх ), и(х ), С(х, и(х )) ие Рес а гев(4ив1 оЕ огдег Ь Ь+1 иСх + Ь) — и(х ) и — Р (х, Р)дх х п и(х + Ь) " и(х ) п+Ь с и п 1 Ь вЂ” Р(х)йх Ь и и+Ь х + — „ / (Р(х) - Р (х,р))дх ( х и С 0 + еах)Р(х) - Р (х, Р)) 0(Л ) Ь+1 Рог Ь 0 сЬе 1псегро1ас1пс ро1упоп1а1 Р (х, Р) " С(х , и ) сопвс 0 п' и апд Бп. (12) сгапвЕопва 1псо (7). Рог Ь 1 Р (х, Р) — ((х - х )С - (х - х )С 1 Р (х, Р)йх С 1 Ь х п 4Ь2 Ь2 1 Ь2 1 1 — - — )С - — — С С + — ЧС 2 2 п 22 п1 п 2 и' РигсЬег х +Ь 7 Ь х и (х-х) ) п 2 и-1 х п в19 175 Кипйа-КиССа апй Айаав СсЬешев ТЬив Еп. (12) Ьесошев (8).
Апа1охоив1у Еог К 2 апй К 3 че Кес, Егош (12), К9в. (9) апй (10) гевресс1че1у. То иве всЬеше (7) 1с виЕЕ1сев со Кпон и а. То всагс сашрис1пК ч1а 0 всЬевш (6) опе шиве Кпоч, ЬеЕогеЬапй, пос оп1у и а, Ьис а1во и . ЗсЬеше 0 1 (9) ге9и1гев сье иве оЕ и, и апй и, нЫ1е Еог всЬеше (10) че пеей Еоиг 0' 1 2' ча1иев, 1.е., и, и, и апй и . ТЬеве ча1иев шау Ье Еоипй Ьу сЬе Кипха" Касса шесЬод; ог Ьу Еи1ег'в всЬеше ч1сЬ вша11 вСер-а1аев; ог регЬарв Ьу ехрапв1ап оЕ СЬе во1иС1оп 1п а Тау1ог вег1ев аЬоис сЬе ро1пс х О. ТЬе пеей Еог врес1а1 веагС1пК ргосейигев 1в опе оЕ сЬе й1вайчапсаКев оЕ сЬе Айашв всЬешев, ав сошрагей н1СЬ СЬе КипКа-Кисса всЬееев.
ТЬе аднапсасев оЕ сЬе Айашв всЬешев, а1геайу посей еаг11ег, Ев сЬе Еасс сЬас 1п сЬе соврисас1оп оЕ и , К1чеп сЬе ча1иев оЕ С , ЧС , ..., Ч С а1геайу Еоипй 1п сЬе п+1 са1си1ас1оп оЕ и , и , ..., опе пеейв Со сошрисе оп1у апе ча1ие оЕ сЬе п п-1 Еипсс1оп С, 1.е . С С(х , и ), апд со саггу оис а Ееч виЬсгасс1опв 1пп п' п но1ней 1п сЬе еча1иас1оп оЕ ЧС, ..., Ч С ТЬив СЬе айчвпеайе оЕ СЬе Айашв шеСЬойв очег СЬе Кипйа-КиССа аеСЬойв сопв1всв 1п сЬе вша11ег сошрисас1опа1 еЕЕогс ге9и1гей Еог еасЬ асср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
