Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4 ТЬе еггог, сЬеге(оге, Ьав сЬе Еогш ~гАх - 3 -Ах пА2 п 6(х ) Ьг ~ Аге Е (-!) — е + 0(Ь3). п ~ 12 4 Ьес ив пе61есс сЬе Сегш 0(Ь3), иг1ге оиг СЬе гас1о оЕ СЬе еггог, 6~а ), со сЬе ехасс во1ис1оп и(х ) ехр(-Ах ), апа аесега1пе сЬе осер есге, Ь, Егош п п соп6111оп (3). ТЫв всер"в1хе ч111 Сигп оиг со Ье во вша11 СЬас, 1Е ие агЫсгаг11у гасе а весоп6 ав а сошрис1пс с1ше Еог всЬеше (1), сЬе гепи1ге6 С1ше Еог всЬеше (2) и111 Ье Еоиг 6аув! ТЬе ра1пг 1в СЬаС ап еча1иаСЕоп оЕ СЬе ргасг1са1 иСЕЫСу оЕ СЫв ог СЬас всЬеше Еог СЬе во1иг1оп оЕ а 61чеп ргоЫеш виве Ье шабе, пос во1е1у оп сЬе Ьав1в оЕ сЬе рочег оЕ Ь 1п сЬе ехргевв1оп Еог сЬе еггог, Ьис а1во сопв16ег1пд сЬе соеЕЕ1с1епс оЕ сЫв роиег оЕ Ь.
а17 Снапс1сас1не Аврессв оЕ ЯсаЫ11су 1б1 Ргоч1пб, 1п 512, а сЬеогеа всас1пб СЬас арргох1вас1оп апй всаЫ11су 1ар1у сопнегхепсе не Рос, Еог сЬе еггог а [н! - н , сЬе 1пецна11су (Ь) (Ь) < сс ь (Ь) К Ь К 1п вЫсЬ С Ь гергевепсв а Ъонпб оп сЬе арргох1шас1оп еггог: 1 [[ЪЬ[н[, - Е [! < СЬ . Ь Янррове сЬе арргох1ваг1оп еггог С Ь 1в ваа11. Ргош СЬе Ъонпй Еог ! [х ! ! опе сап вее СЬаг, 1Е ! [!н! - н ! ! 1в со Ъе ввш11, 1С 1в (Ь) 1 (Ь) Ь Ь вс111 песеввагу сЬас сЬе соеЕЕЕс1епс С, сьагассег1г<пх всаЬ111су, вьон1д поС Ье Соо 1агпе. уьегегоге, 1Е ше ш1вЬ со десегв1пе сЬе нс111су оЕ сЫв ог сЬас 61ЕЕегепсе всьеве Еог сЬе во1нс1оп оЕ вове рагс1сн1аг ргоь1еа 1с доев пос внЕЕ1се со Кпов сЬас сЬе всЬеае 1в всаЫе. ))е вывс а)во Кпон СЬе арргох1васе ча1не оЕ сЬе соеЕЕ1с1епС С, оЕ вЫсь опе сап Еога вове 1деа е1сЬег Ьу сЬе весьобв 1п41сасей 1п ФФ14 апб 15, ог Ьу ехрег1аепса1 соврнсас1опа, ог Ъу вове 1п61гесс арргоась.
Ьес нв са1сн1асе, Еог ехавр1е, сЬе соеЕЕ1с1епс С 1ар11с1с 1п АЕЕЕегепсе всЬевев (1) апд (2) Еог сЬе во1нс1оп оЕ сЬе ргоЬ1ев н + Ан = Ф(х), н(0) 1, а ргоЫеа вЫсЬ ве А1вснввед ас сЬе Ъе21пп1пб оЕ сЫв весс1оп. Р1гвс ве сопи(бег сье всЬепа н - н п+1 п + Ан Ф, п О, 1; ° ° °, М1, Ь п п' но" а ю1сЬ попав шах[!а[, аах [Ф [!. (Ь) РЬ п [[н [! шах [н [, (Ь) Оь п ))е геднсе сЫв всьеше со сЬе Еогв йов не в111 Сгу со нпдегвсапд Ьов опе сап )нуае сЬе нс111су оЕ вове 21чеп 61ЕЕегепсе всЬеве, Ь н Е, Егов а вгнйУ оЕ 1Св вСаЫ11СУ. Рог Ь СЬе ваье оЕ Ьгеч1Су ше н111 саКе сЬе орегасог Ь со Ье 11пеаг. )Ее геса11 (вес 512) сЬас а д1ЕЕегепсе всЬеае 1в са11ей "всаЫе" 1Е, Еог апу Е Еп Р, 1с Ьав а нп1оне во1нг1оп н 1и С, вас1в(71пх сЬе Ъонпд (ы (ь) Сопчегбепсе, Арргох1шас1оп апб бсаЫ11су СЬаргег 5 1б2 у Ку +ЬР, п+1 Ь п и' у 01чеп, веСС1пб У и, й (1 - АЬ), Р Ф .
Ьег !!У !! !У !. ТЬеп сопд1- и п' Ь п п п и С1оп (17) оЕ $14 1в ваг1в(1ейс )!» )! < С пшх )!у (Ь) Ь п ()Р (! < !!Е )! !!уО)! < С )(Е (! Ь (5) чЬеге, 1п (асс, ше сап 1ес С = 1. и ! п Риг<Ьег, оЬч1оив1у ! )СС ! ~ (1 - АЬ) . рог СЫв геавоп ве сап вес Ь!! С = 2 шах(1, (1 - АЬ) !. Непсе ! 2, 11 А>0, С 2(1 " АЬ) , 11 А < О. ()и !! > ЕС вшх !!у (Ь) Ь п апй Еог Ф 0 (Р 0) а1во п п (б) )!у (! > м !(Е !! (7) шЬеге ше саи вес И М 1.
ТЬегеЕаге сЬе сопвсапс С шаве, аа шав 1 2 евсаЫ1вбеб 1п 515, вас1в(у сЬе Ьоипб с > м и п! — 1 2 1, 1Е А>0, С > (1 -АЬ), 1Е А < О. иоч че еча1аасе сье сопвсапс с, 1п сье дее1п1ссоп ое асаы11су )!» )(О < С!!Е !! , Еог 6111егепсе всЬеше (2). 1.ес ив Е1гвг шг1ге (Ь) (Ь) Ь Ь сЫв всЬеше 1п сЬе Еогш сее пош вьош сьас сье пиапс1су с саппос ье саьеп виЪвсапс1а11у вша11ег. ТЬе погшв Ьаче Ьееп сЬовеп висЬ, ав со вас1в(у сопб111опв (б) апб (7) оЕ 5 15с Спапс1сассче Авреисв ое ясаь111су 163 у К у + ЬИ , п О, 1, п+1 Ь п и' УО 81гап, ВЕСС1ПК, ЕОГ СЬЕВ РПГРОВЕ, '!(1 - АЬ)1 Уе пЬоове Сьа погав (!и Ц еах !и (, (Ь) 0 п (Ь) п1 ()Е 1! и еах ~(а), )В!, аах (Ф В п Соп61с1опв (5) — (7) аге сьев аас1в(1ей, ю1сь с м = м 1. тьегееоге 2 1 2 Ьу ч1гспе аЕ еЬас Ьав Ьееп ва16 1п весс1оп 351Я ае еау саье, ав сЬе попвсапс с, сье ппапс1су с 2с пах ! !к ! ! 2 аах ! !к ! ! ьис, ьу (6 ) ое 1! и!! г ИКИ ~! Ь!! п и 'в15, ее саппос 4есгеаве сьсв га1пе оЕ С Ьу аоге сьап а Еаисог оЕ 2с сегса1п1у 1с апас Ье сгпе сЬас С > МЕМг аах !!Кп!! авх !!Кь!!' Аи пррег Ьоппд оп сЬе ча1пе оЕ аах ! !К ! ! чав оЬса1пеа 1п 514: !!Ки!! < !!( Аь ' )!! < ( + 2~А~Ь)™ .
Тьив ае аау вес С 2е > 211 + 2(А!Ь) 164 СЬарсег 5 Сопчегсепсе, Арргох1шас1оп апй РгаЫ11су 5 )) сап ье Россеп егош сье соп41«1оп ~)к ~~ > )л) !." А 1оиег Ьоип«( Еог шах! иЬеге Л 1в сЬе Лагхег К . 5о1ч1п5 СЬе ециаС (1п шо«(и1ив) оЕ сЬе сша е15епча1иев оЕ сЬе шагг1х 1оп «(ес(В - ЛР) 0 ие Е1п«( СЬе е15епча1иев АЬ е — + о(Ь2) 1 " АЬ + 0(Ь ), А202 2 2 Л 1 1 Л -1 -АЬ" +о(Ь ) -1 -АЬ+0(Ь А Ь 2 2 2 2 во ссас шах,)Л ), )Л )) 1 + )А)Ь + 0(Ь2), х ( )Ц ~ > (1 +-)А)Ь) " + О(Ь>. п ТЬеге(оге «Ье аЬоче сопвеапг С 2е сегса1п1у саппос Ъе герЛасей Ьу в 2«А) п«и«Ьег вша11ег «Ьап (1 + )А)Ь) е ' 1.е.
1« саппог Ье йесгеаве«Е 1/Ь )А), виЬвсапг1а11у. Рог А 20 ие вее сЬас, Еог «Ье РЕгвс всЬеае, с 2, Ьис еог сье весов«( С > е2" > 10". Рог А " 1 ог А < 0 сЬе сшо всьешев «(о пос «ЕЛЕЕег Еип«(ашепса11у 1п сЬе1г всаЫ11су ргорег«1ев«сЬе сопвсапс С 1в арргох1шасе1у «Ье ваше Еог Ьо«Ь всЬешев ° 1« 1в ваву со ип«(агасаид «Ье шесЬап1вш Ьу иЬЕсЬ, Еог А » 1, сЬе сопвсапс С Еог «Ье *асов«( всьеше в Ьесошев висЬ 1агсег «Ьап ип1су, У исегеав еог сье Е1гвс с 2. УЕ-ЕЕ ТЬе Репега1 во1и«1оп оЕ сЬе ьошосепеоив сциас1оп и " (1 - АЬ)и О, п+1 п соггевроп«11пх Со всЬеше (1), 1в и оц , иЬеге ц 1в сЬе гоос оЕ п у ш сЬе сЬагассег1вссс ециас1оп (1 - АЬ) О, ц 1 - АЬ Р15 ° 4 (Р15.
4). ТЬе Репега1 во1и«1оп оЕ сЬе Ьоаохепеоив ециа«1оп и + 2АЬи " и 1 О, п+1 и п-1 соггевроп«(1п5 Со всЬеше (2), 1в - ц, + Рц,, п иЬеге ц ап«( ц аге ссе гоосв оЕ сЬе сЬагассег1вс1с ециас1оп 512 Оиапс1сас1че Авреесв ое ксаы11су 165 Чг + 2АЬП 1 дес(К - НК) О, Ь АСЬ2 1 " АЬ + — + о(ЬС), 1 2 АЕЬЕ - -1 - АЬ - -~ — + о(Ь~). 2 ТЬе гоос о 1в "в1ш11аг" Со сЬе п во1ис1оп о, в1ш11аг со сЬе во1ис1оп гоос 1 - АЬ, апд со 1С соггевропдв сЬе К оЕ СЬе Е1гвс еоиас1оп. Виг СЬе "рагав1с1с гоос, -1 - АЬ Е ОСЬС) ргодисев а 2 с ои1сЫу-Кгоч1пК "рагаа1С1С п во1ис1оп е (Р1К.
5), шЬ1СЬ 61чев г1ве Со а 1агКе ча1ие оЕ С. Р16. 5. Р16 ° 6 Рог пехаС1че А че Ьаче К > 1, П > 1, ~ц ~ < 1. ТЬе во1иС1опв п и 1 ' 2 апд с(, соггевропдвпК со СЬе гоосв о апд о, Кгоч аЬоис ес(иа11у Еавс, чЫ1е СЬе рагав1с1с во1ис1оп о 1в двшред, пос 1пЕ1иепс1пк сье всаЫ11су ргорегссев ое сье весопд всьеше (РЕВ. 6).
Уе лоСе сЬас, Еог А « О, а 1агве чвсие оЕ С 1в илачо1даЫе 1п апу 61ЕЕегепсе всЬеше арргох1швс1пК СЬе ргоЫеш и' + Аи О, и(0) а. Тп (асс, Еог вша11 Ь сЬе во1ис1оп оЕ а вСаЫе дСЕЕегепсе ргоЫеш 1в в1ш11аг Со сЬе во1ис1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепс1а1 ргоЬ1еш со чЫСЬ 1с сопчегКев ав Ь О. Нис СЬе во1иссол оу сЬе дсууегепс1я1 ргоЫеш, и и ехр("Ах), Ев виеЬ ЕЬас 0 шах!и(х)( !и ~ ехр (-Ах), 1.е. шах (и(х) ~ ехсеедв СЬе шоди1ив, !и (, оЕ 0 0 сЬе всагсспК ча1ие и , Ьу сЬе чегу 1агКе Еассог ехр (-А).
Уе шивс а1во лосе сЬас а 1агхе соеЕЕ1С1епс С пос оп1у шакая 1с песеаввгу со сошрисе чЕЕЬ в вша11 асер-в1ве, Ьис в1во со саггу оис сЬе са1си1аС1оп ч1СЬ в 1агхе пшвЬег оЕ в1Кп111сапс Е1Кигев. 1п Еасс че вЬоиед, 1п 516, СЬвс гоипдоЕЕ еггогв шау Ье сгеасед ав еггогв 1п СЬе врес111сас1оп оЕ СЬе г1КМ-Ьапд в1дев, еггогв чЬове шаКп1сиде 166 СопчегВепсе, Арргох1шас1оп апд ВсаЬ111су СЬаргег 5 1в 81чеп Ьу сегав оЕ сЬе Еогш С Ь . Ап 1псгеаве 1п сЬеве еггогв 1пдипев ап К ! 1псгеаве 1п сЬе соеЕЕ1с1епс С , иЬЕсЬ Еог 1агхе С сап (Ьу ЫгСие оЕ (4)) 1' Ьаче а сасавсгорЫс еЕЕесс оп сЬе ассигасу оЕ сЬе геви1с.
ВеЕоге сопс1ид1пВ сЬ1в весс1оп ие иои1д ИЬе со чагп сЬе геадег ара1пвс апу а1в1еад1п8 1шргевв1опа аЬоис д(ЕЕегеппе всЬешев оЕ весопд "огдег ассигасу, а1в1еад1пВ 1аргевв1опв иЫсЬ аау Ьаче Ьееп Вепегасед сЬгоиВЬ сопвЕдегас1оп оЕ сЬе аЬоче ехашр1е. 1с иав пос ас а11 оиг 1псепс1оп со сопдешп а11 висЬ всЬешев 1п девсгЕЫпх сЬе 1падеиивс1ев оЕ опе оЕ СЬев. ТЬе геадег и111 Е1пд 1с негу ивеЕи1 со всиду, 1пдерепдепс1у, сЬе воЬеше оЕ весопд огдег аспигасу и - и и + и п+1 п п+1 п + А и 1 ° 0 1Е опе ассешрсв, Еог А 1, Со асЫече ап ассигасу висЬ СЬас сЬе еггог, 6(1), 1в вша11ег сЬап и(1) = ехр(-А), опе и111 Е1пд сЬас сЫв всЬеае рисе висЬ иевЬег геасг1сс1опв оп сЬе всер-в1ае, Ь, ЕЬап сЬе ЕЕгвс "огдег-ассигасе всЬеше (1).
Еп адд1с1оп ие виВВевс сЬас сЬе геадег са1си1асе иЬас всер-в1ае 1в гес(и1гед са 1пгедгасе сЬе ргоЫеш и + и О, и(0) 1, во ав со сошрисе и(1) иссЬ ап еггог по Вгеагег сЬап 10 . 1Е опе пагг1ев оис сЫв са1си1ас1оп Еог всЬеаев (1) апд (2), сопвЕдегед ас сЬе Ье81пп1пх оЕ сЫв весс1оп, 1с и111 Ье вееп сЬас сЬе Е1гвс-огдег-апсигасе воЬеае (1) гепи1гев а в18п1Е1сапс1у ваа11ег вгер-в1ае ЕЬап весопд-огдег"ассигасе всЬеае (2). ТЬив сЬе еЕЕегс1чепевв ог 1пеЕЕесс1чепеав оЕ сЫв ог сЬас всЬеае и111 дерепд, пос оп1у оп сЬе всЬеше 1све1Е, Ьис а1во оп сЬе ргоЫеа со иЫпЬ 1с 1в арр11ед.
х18. НесЬод Еог всиду1ш8 всаЫ11су оЕ аоп11пеаг ргоЫеав. ТЬе аесЬодв дече1оред аЬоче, 1п йч14 апд 15, Еог сЬе всиду оЕ всаЫ11су, неге врес111са11у дев18пед Еог д1ЕЕегепсе всЬеаев и1сЬ сопвсапс соеЕЕ1с1епсв. ТЬегеЕоге 1с аау вееш сЬас Ес 1в 1аровв1Ые со иве сЬе аасег1а1 ргевепсед Еп сЬеве ргесед1пВ весс1опв Еог сЬе апа1ув1в оЕ всЬеаев со 1псехгасе енеп сЬе в1ар1е епиас1оп ди/дх С(х,и), Еог а Еа1г1у Вепега1 Еипсс1оп С. ТЬ1в 1в, Ьоиечег, пос сгие. Биррова СЬе дев1гед 1псевга1 пигчо оЕ сЬо опиас1оп — С(х и) ди дх раввев сЬгоиВЬ сЬе ро1пс ч1сЬ соогд1пасев х х, и и .
Меаг сЬеве ра1пгв 0' 0' че Ьаче 0(х,и) " 0((х х" †) (и - и ) + -~~~а~-ии) (х - х ) + С(х , и ), (2) %1Е ЯгаЫ11гу оЕ Моп11пеаг РгоЫешв 167 апй сЬегеЕоге ЕП. (1), со а сегса1п ассигасу, вау Ье гер1асей Ъу сЬе в1ер1ег — — А» ф(х), йи йх (3) иЬеге РО(хди) ~ А — --А— х х О и=и О О О йи О йи О 1с 1в р1аив1ые сьас всьееев высь че ргорове со иве со во1не еп. (1) вЬои)Е вас1вЕассог11у 1псеагасе еО. (3), арргох1еас1па ец.
(1) с1ове со вове ро1пс иЫсЬ 11ев оп СЬе 1псеага) сигче. ОЕ соигве Еог 31ЕЕегепс ро1псв оЕ сМв сигче сЬе чн1оев оЕ сЬе соеЕЕ1с1епс А, оЬса1пед Етое сЬе ог1В1па1 ециас1оп Ьу СЬе 11пеаг1вас1оп еесЬойв 3ивс девсг1Ьед, ч111 АЕЕЕег Етое еасЬ осЬег. ТЬегеуоге, аЕСег сЬоов1па опе 31ЕЕегепсе всЬеее ог апосЬег, че еивс Севс 1с оп Ео. (3), пос и1сЬ оп1у опе ча1ие оЕ А, Ьис ч1ЕЬ а чЬо1е аеС оЕ висЬ ча1иев, а(еоиасе1у ваер11пд СЬе гапае оЕ наг1аг1оп оЕ 36/Зи а1опа сЬе Епседга1 сигче ° Еп сЬе очегиЬе1а1па еа)ог1су оЕ савва епсоипсегед 1п ргасс1се, висЬ ап 1пчевс1ааг1оп сигпв оис со Ье Коо4 епоиаЬ со Ьг1па аос а 11 сЬе всЬеае'в чеаЬпеавев ап( всгепасЬв, Ьач1па вове Ьеаг1па оп сЬе сЬагассег оЕ сЬе сопчегаепсе оЕ сЬе арргох1аасе во1ис1опа чЫсЬ 1с ргодисев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
