Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 26
Текст из файла (страница 26)
СЬарсег 7 51шр1евс Кхашр1ев оЕ сЬе Сопвсгиес1оп апд Ясиду оЕ ВЕЕеегепее ЯиЬевее %Т1 Веч1еш апд 111ивхгаг1опв оЕ Вав1п Веусе1С1оав 1. ВеЕТп1с1оп оЕ сопчегКепие. яиррове опе 1в геяи1гед со сошрисе ап арргох1шасе во1ис1оп, и, оЕ сЬе д1ЕЕегепс1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш 186 СЬарсег У МеСЬойв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ясЬешев ровей 1п вове йоша1п В и1сЬ Ьоипйагу Г. Опе аивг сЬеп, Еог сЬЕв ригрове, сЬоове а й1всгесе вес оЕ ро1псв В (Е.е. а пес) сопса1пей 1п О + Г; 1псгоЬ йисе а 11пеаг погаей врасе, С, оЕ Еипсс1опв йеЕ1пей оп сЬе пес В; апй, Е1па11у, евсаЫ1вЬ а соггевропйепсе Ьесчееп сЬе во1ис1оп и апй сЬе Еипсс1оп [и) 1п О, сЬе гепи1гей саЫе оЕ сЬе во1ис1оп и.
Рог сЬе арргох1шасе Ь' соарисас1оп оЕ сЬе саЫе (и), иЫсЬ ие Ьаче айгеей со сгеас ав сЬе ехасс во1иС1оп оЕ ргоЫеа (1), ие шивс, оп сЬе Ьав1в оЕ ргоЫеш (1), сопвггисс а вувсеа оЕ епиас1опв (Ь) (Ь) Ь (2) Еог СЬе Еипсг1оп и оЕ О , висЬ СЬаС че в111 Вег сопчегйепсе (Ь) ()(и) - и () -> О Еог Ь е О. (Ь) Ь ОЬ (3) 1Е сЬе во1иС1оп оЕ СЬе й1ЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЬЕеа (2) ваг1вЕ1ев сЬе 1пес)иа11Су ))( )Ь - . ))Б < СЬ , (Ь) Ь Ь сЬеп ие вау сЬас сопчегйепсе 1в оЕ огйег Ь ч1сЬ гевресг со Ь.
ТЬе ргоЫеш оЕ сЬе сопвсгисс1оп оЕ а сопчегйепг й1ЕЕегепсе воЬеае (2 ) сап Ье вр11С 1псо счо рагсв: сЬе сопвсгисс1оп оЕ а й111егепсе"всЬеае (2) арргох1шас1пВ ргоЫеа (1) оп сЬе во1иС1оп, и, оЕ сЬ1в 1аССег ргоЫеш, апй сЬе чег111сас1оп оЕ всаЬШсу оЕ всЬеае (2). 2, ВеЕ1п111оп оЕ арргохйшас1оп. Вес ив геса11 сЬе йе(1п111оп оЕ арргох1аассоп. 11 сЫв сопсерс 1в со Ьаче аеап1пВ опе аивс 1псгойисе а поги 1п сЬе врасе, Р , сопса1п1пй СЬе гЕВЬс-Ьапй вЕйе Е аЕ Во. (2).
Ву (Ь) йеЕ1п111оп, йЕЕЕегепсе всЬеае (2) арргох1аасев ргоЫеш (1) оп сЬе во1ис1оп и 1Е, Еп сЬе епиас1оп 1, (и) Е + 6Е Ь Ь сЬе гевсйиа1, 61 , иЫсЬ йече1орв шЬеп (и) 1в виЬвс1сисей 1псо сЬе (Ь) Ь й1ЕЕегелсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеа (2), сепйв со сего ав Ь в О ))ВЕ Ь )) - ))Ь (и) - Е Ь )) Р„Ь Ь РЬ 1Е ))6Е )) < СЬ Ь иЬеге С йоев пос йерепй оп Ь, сЬеп сЬе арргох1аас1оп 1в оЕ огйег Ь и1сЬ геврепг со Ь. 1ес ив сопвсгисс, Еог ехашр1е, Еог сЬе СаисЬу ргоЫеа $21 181 8еч1еч оЕ Вав1с Ре(1п1с1опв а, а, — " -в- Ф(х, с), - " < х < , 0 < с < Т, (4) и(х, 0) Ф(х), -"<х< опе ровв18)е арргох1ааС1п8 81ЕЕегепсе воЬеае. РгоЬТеа (4) сап Ье шг1ссеп 1п Еогш (1) 1Е юе вес <х<, 0<с<Т < х< Ф Ф(х, С), " <х<, 0<С<Т. ! Е Ф(х), <х< АВ СЬЕ ПЕС О (Р18. 8) Шв Се]СЕ СЬЕ ВЕС ОЕ 1ПСЕГВЕСС1ОП РО1ПСВ ОЕ СЬЕ Ь 11пев х а!т, с пт, а О, +1...; п О, 1, ..., [Т/т], шЬеге Ь > 0 апй т У 0 вге 81чеп пишЬегв, впд (Т/т] 1в СЬе 1пге8га1 рвгС оЕ сье егвсс1оп т/т.
ше м1П аввиае сьас сье втер-в1се т 1а соппессео со втер-в1ве Ь ч1в сЬе ге1ас1оп т гЬ, вьете г сопвс, во сьас сЬе пес Р Ь дерепйв оп1у оп сЬе в1п81е рвгвшесег Ь. ТЬе йев1гед пес Еипсс1оп 1в сЬе саЬТе ]и] ]и(шЬ, пт)~ оЕ чв1иев оЕ сЬе во1ис1оп и(х, с) оЕ ргоЬТеа (4) Ь аг СЬе ро1псв оЕ СЬе пег В Ь Г18. 8. ьес ив поа угасаем со сье оопвсгисс1оп ое а 81ееегепсе всьеше (2) (Ь) арргох1ааг1п8 ргоЫеш (4). ТЬе ча1ие оЕ СЬе пег Еипсг1оп и аС СЬе п ро1пс (х, с ) (шь, пт) ое пес и шш ье йепосед ав и . )Ее агг1че ас а а' п Ь а воЬеае (2) Ьу арргох1шас1п8 сЬе дег1час1чев ди/Эс ап8 Зи/Эх Ьу сЬе 61ЕЕегепсе ге1вс1опв 100 СЬарсег 7 т(есЬодв Еог Сопвсгпсс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ЗсЬешев ап] п(х, с ч. т) - п(х с) ас$ т х,с (4 ) Зх] Ь х,с ТЫв веЬеше Ьав сЬе Еогш п+1 п п п и и и и ш ш ш+1 ш — ч(шЬ, пт ), т Ь (5) ш О, +1. ..,; п О, 1, ° ° ° , [Т/т]-1, 0 и Р(вй), ш О, +1, ТЬе орегасог Ь апд сЬе г1вЬс-Ьапд в1де Е Еог веЬеше (5) вге е1чеп, (Ь) Ь гевресссче1у, Ьу сЬе еОпаг1опв п+1 п п п и - и и " и Ь (Ь) Ь ш О, +1, ...) и О, 1, ..., [Т/т]1, е О, +1, 0 и (Ь) ! Ф(шЬ, пт), ш О, +1, ...; п О, 1, ° ° °, [Т/т]-1, Е р(вй), ш О, +1, (х > с ) (шЬ пт)~ ш 0~ +1~, ) и 0 1~ [Т/т) 1 (вее р10.
8), апд сЬе осЬег ои сЬе апе-дсшеив1апа1 пес [х, 0) [шЬ, 0), ш О, 1, Ф РЕЕЕегепсе еОпат1оп (4) сап Ье во1чед Еог и, х1ч1па п+1 и (1 - г)и + ги Ф тр(шь, пт). и+1 и и ш ш ш+1 (6) ТЬпв, Ьпоч1пх сЬе ча1пев и, ш О, +1, ..., оЕ сЬе во1пс1оп и' ' аС сЬе п (Ь) пег-ро1псв Еог еЬ1сЬ с пт, опе сап са1си1асе и ас сЬе ротпсв Еог чЫеЬ ТЬпв Е сопв1всв оЕ сЬе ра1г оЕ пес Еппсс1опв Ф(шЬ, пт) аид р(шЬ), опе оЕ (Ь) чЫсЬ 1в в1неп оп СЬе Сео-дсшепв1апа1 пег Фг) йеч1еч оЕ Вав1с Ое(1п111опв 199 С (и + 1)т. 91псе сЬе ча1«ев «ат с О аге В1«еп Ьу сЬе е9«ас1оп О О ш (Ь) и Ф(шЬ) че свп, втер Ьу всер, соврисе сЬе чвсиев оЕ сЬе во1«с1ап и ас СЬе пес-ро1птв оп СЬе 11пев С т, С 2т, есс.
1.е. ечегуаЬеге оп О ' 1 Ь Ие а111 пои Во оп Со Еспф сЬе огфег оЕ арргах1вас1оп асса1пеф Ьу всЬеве (5). Ав Р че свп Сесе сЬе 11пеаг врасе оЕ а11 ра1гв оЕ Ъоипйеф ЕипсС1опв В (ф Ф ), ЭеЕЕп1пд (Ь) Ъп Т ()Э !! вах )ф ) + вах )Ф )*. Р ш а Ь ш,п в Ав Ьав а1геайу Ьееп посей 1п э13, сЬе погв иве4 1п СЬе Сгеасвепс оЕ арргох1вас1оп саи Ье сЬовеп 1« шипу иаув, апф сЬе сЬо1се 1в пот 1псопве9«епс1а1.
Ас сЬ1в ро1пт 1с «111 виЕЕ1се со са)те ав а пагв сЬе иррег Ъоипф оЕ сЬе аой«1«в оЕ евсЬ оЕ сЬе совропепсв шад1«В ир сЬе е1евепсв оЕ сЬе врасе РЬ. 1с 1в )ивс сЬ1в погв чЬ1сЬ ее ч111 иве ечегуыиеге (Ь) Ье1оч. Вес ив аввише СЬат тЬе во1«С!ап и(х, С) «Е ргадсеа (4) Ьав Ьои«Аей веса«с( Аег1«ат1чев. ТЬеп Ьу Тау1аг'в Еогв«1а дх (7) г чЬеге Е апов И аге сегса1п пиаЬегв, ферепо1«В оп в„п впф Ь, апй вас1вЕу1пд СЬе 1пе9«а1111ев О < 1 < Ь, О < И < т. Я1сЬ сЬе а1й оЕ К9.
(7) сЬе ехргевв1оп и(х С +т) -и(х, С) и(х +Ь, С) -и(х, С ) а п а' п ш п в' п Ъ (и) «(х, 0) сап Ье гечг1ссеп 1п сЬе саге и) дги(х + 2, с ) Ь ш ' и (ЭС Эх) 2 2 Эхг ЪЬ( )Ь и(х, О)+О *) Те сье твх)ф") ог аах)фв) 1в пос асса1«еэ, сьеп че свье, ьеге, сье 1еавс иррег Ъоипф вир(фши) ог вир)фв). и(х + Ь, С ) - и(х , С ) Эи(х , С ) в ' п ш* и а' п Ь и(х, с +т) "«(х, с ) Эи(х, с ) в и а' п а' и Э дги(х + С, Ь ш ' и 2 Эх2 дги(х, С + И) т в' п СЬарсег 7 190 Мегиойв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе Всиеаев ог 1. (и! Е + 6Е Ь Ь ииеге аси(х, С + И) аси(х + (, С ) т а п Ь а п (Ь) ас2 2„2 О. ТЬеге(оге ))6Е )! < вир — ' — + вир — ' — Ь. (Ь) ТЬив сЬе аЬоче 61ЕЕегепсе всЬеае (5) Ьав Е1гвс-огйег арргох1аас1оп ч1сЬ гевресг со Ь оп а во1ис1оп, и(х, С), иссЬ Ьоипйей весопй йегсчвс1чев.
3. Оер(п1С1оп оЕ всаЫ11су. Не пои геч1еа апй 111ивсгасе сЬе йеЕ1- п1с1оп оЕ всаЫ11су. 01ЕЕегепсе Ьоипйагу"ча1ие ргоЫеа (2), Ьу йе(1п111оп, 1в всаЫе 11 СЬеге ех1всв пиаЬегв 6 ) 0 апй Ь ) 0 висЬ, СЬвс Еог апу Ь < Ь, апй апУ 61 Еп Р ввг1вЕУ1пй СЬе 1пеИиа11СУ ! ! Е ! ! <, СЬе (Ь) 6() 6, 61ЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЬ1еа Ь ( + 6 Ь Ьав опе апй оп1у опе во1ис1оп иЬ1сЬ, аогеочег, Еи1Е111в СЬе сопй1с1оп (Ь) (Ь))! < С))61(Ь))! ОЬ РЬ вьете с 1в вове сопвсапс, 1пйерепйепс оЕ Ь. 1п 212, иЬеге сЬе сопсерс оЕ всаЬ111су иав 1псгойисей, 1с иав вЬоип сьас, еог а 11пеаг орегасог Ь , сЬе аЬоче йе(1п1с1оп 1в еси1ча1епс со сье Ь' Ео11ов1пйт ОеЕ1п1ссоп.
О<7")в»алое Ьаилйа»у-иа2ие ртоЬХва (2) Ев вСаЫв 67' ЕЬвт в егйвив ал ЬО » 0 висЬ, ЕЬаС Ео» Ь ч Ьр аий алу Е йл РЬ, ТС Ьав а ил(т)ив (Ы воЕиНол алй, пгт»вова» ))о )! < С))Е )! (О) ОЬ РЬ ОЬвтв С Ев ваше солвСалС лоС ол Ь от ал Е ТЬе ргореггу оЕ вгаЫ11гу вау Ье гейагйей ав а ип1(ога-1п-Ь вепв1с1ч1су оЕ сие во1ис1оп оЕ сЬе 61ЕЕегепсе Ьоипйагу-чв1ие ргоЫеа (2) со а регСигЬвС1оп 6Е оЕ СЬе »12ЬС Ьапй всйе. Ь) уе вегевв сЬаС 1п ч1еи оЕ сЬе аЬоче йе(1п1с1оп всаЫ11су 1в ап йиСвтла1 ргорегсу оЕ сЬе 61ЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1пе ргоЫеа. ТЬе йеЕ1п1с1оп 1в Еогаи1агей 1пйерепйепс1у оЕ апу соппесс1оп иссЬ в 61ЕЕегепс1а1 Ьоипйагу- $21 191 Веч1еч ой Вввйс ОеЕ1п1Г1опв (Ь) ! вир ))и !) швх вир [и ) О й а ш,п п а ч111 Ье 1псегргесед вв вЬоче: йог В 1п Р (Ь) чЫ1е СЬе погш !) ' !! Ь а О, +1, ...; п О, 1, ..., (Т/т), В а О, «-1, че саде ))В )[ авх )ф [ + швх )ф ) авх [авх [ф [ + авх )ф у пт ш й пт Ь а,п й п й ш ТЬе дйййегепсе ргоЫеш и+1 и п и и - и и - и й ш птп1 Ф п т Ь ш' а О, +1, п О, 1, ..., (Т/т), а О, +1, (5 ) О и\ Ф чЫсЬ 61ййегв Егоа ргоЫеа (5) оп1у 1п сЬас ф впав ф вге вгЫсгвгу г1ВЬси Ьвпд вйсев иЬ1сЬ, Вепегв11У, т)о пог со1пс1т)е ч1СЬ ф(шЬ, пт) впд ф(шЬ) т и111 поч Ье гечг1ссеп 1п сЬе йога и (1 - г)и + ги + тф и+1 п п п й ш а+1 й' (6 ) и ф О 51псе г < 1, (1 - г) > О.
1п сЫв сане ие Ьвче СЬе Ьоипт) [[1" г)и + ги ! ( [(1 г) + г)авх ( [и (, [и [) авх (~и ~, [и [) ( авх [и ! ° чв1ие ргоЫеа, впд 1п рвгс1си1вг, и1сЬ по гейегепсе со врргох1швс1оп ог сопчегдепсе. иоеечег, Е/' Ъуе тйьй/епеиов Ъоиит/агу -иа1ие ртюЪйеш арртюхыпайев а т(Е//епвисйа1 Ъоиит/апу-иайие рпоЫап ои йув во1исйои и, аптй сув т(т/Ее~впав воуейе йв вйаЫе, Еуеи мв Ьаив ооииепдвпов, Е.е. (В/. рипйуеп, СЬе оттйег Еп Ъ о/' суе гойе ой оопиепдвпое оойпаттйев ыййу йуе отчйвг о/' аррпохйшаейои.
ТЬе ргооЕ ой ЕЬ1в 1арогсвпс СЬеогеш ивв ргевепсей 1п 512 ° Ьес ив пои вЬои тЬвс т)1ййегепсе всЬейе (5), Еог г < 1, 1в всвЫе. ТЬе погш !! ' )! и111 Ье т)ей1пет) Ьу ссе едиет1оп Ь 192 ИесЬадв Еог Сопвсгос(1оп оЕ ОЕЕЕегепсе ясЬеаев СЬарсег 7 Кв1»6 сЬ1в Ьоипд че дегсче, Егоа (6 ), сЬе Епефов11су ')о ~ < вах )о ~ + с аах )ф ) < пах )о") + с вах 1Ф"). в й й в,п (6 ) росе сьас, 1п сье саве ф и О, 1с ео11очв егав (6 ') сьас пах о доев пос ш а! 1псгеаве ш1сЬ 1псгеав1»6 п.
ТЬЕв ргореггу оЕ сЬе КЕЕЕегепсе всЬеве 1в сопчепс1опв11у св11ед сЬе "пих1аиш рг1пс1р1е". рог СЬе па(се оЕ Ьгеч1су че ш111 вовес1вев ове сЬЕв паше Еог сЬе чЬо1е 1пефоа11су !» ! < аах )о ! + с вах !ф й в,п вах !о ~ < шах )о ! + с аах )Ф в а в,п 61ш11аг17 ие Кос сЬе 1»е9»а1111ев аах )о ~ < аах ~о ~ + с ввх ~ф й й а,п вах )о ~ < вах )о ~ + 'с шах (Ф й й а,п 6661пд сЬеве 1»е9»а11с1ев пега Ьу Сега, апд Е(пв11у соаЬЕ»1»6 11(се сешпв, че аес вах (о ! < вах )о ~ + (и+1)с вах )Ф а й а,п Егоа иЬЕсЬ 1ааед1асе1у Ео11очв пвх !о ~ ( вах )Ф ! + Т швх )Ф ~ ( й й в,п < ))Е )! + Т))Е )! (1+ Т)))Е )! УЬ РЬ Р ТЬе 1»ефоа11су ве Ьаче )овг дег1нед пшх !о ! ( (1 + Т)))Е )! а Ь 1в ча116 Еог а11 п, во СЬаС 1С геша1пв ча116 1Е, 1п Р1асе оЕ аах !о п+1) п! (Ь) й ве иг1Се вах вах ~о ~ ! )о ! ! с й Ь Тье г16Ьс "Ьапд в1де ое сьсв 1»е9»а11су доев пос дерепд оп а, во сЬас оп сЬе ! п+1! п+1! 1еЕс-Ьапд в1де опе шау чг1се аах ~и ~, 1п р1асе оЕ ~и ~, сЬпв агг1ч1»6 ! !' в аг СЬе 1»ефоа11СУ й 521 193 Веч1еы оЕ Вав1е Оеувп1С1опв ))и( )!) < ( 1 + Т)!(Е( ))) Ь РЬ (9) 1 1 М т гЬ ы111 Ье ап 1псеВег (Р1В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
