Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Осе всагс е1сЬ а йег1часЕоп оЕ сЬе ЕОепсЕсу Зги аго — в — + (Ли) + (Ли) ат2 Эхс х е111 арргох1шасе сЬе в1чеп й1ЕЕегепс1а1 ргоЪ1еа, оп сЬе во1иг1оа и(х, с), со весопд огс)ег 1п Ь. ТЬе соеЕЕ1с1епсв а, а, а апй а ара1п еау Ье сЬавеп Ьу сЬе шесЬод оЕ ипдетегшЕпед соеЕЕЕе1ептв. ТЬеу Сиги оит Со Ьаче сЬе Ео11оч1па ча1иевс сьарсег у 211 НесЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ясЬеаев мЬЕсЬ Ео11оив Егоа СЬе йеЕ1п1с1оп оЕ Ли: Э Эи — — + йи. Эс Эх ТЬе ргооЕ сопв(асв оЕ а сЬа1п оЕ оЬч1оив ЕЛепс1с1евс Эеи Эи Эти Э вЂ " - (Э- ' 'и) = Ъ-7(' ('и). - =Ь ис ' "и'с = Эс — (и + Ли] + (Ли) В и + (Ли) + (Ли) Э Эх х с хх х Св1пэ сЬеве ЕЛепс111ев опе сап геюг1се ес.
(14) 1п сЬе ео11оч1пэ, еои1ча1епг, Тога Л ]и] ] - а"гЬ(Ли)п Š— а"г'ЬЭ((Ли) + (Ли) ]и + х а х аЬ, с пт + (а + ав + а + а )п(еь, пт) + (а"г + а1 - а )ьи (аь, пт) + -1 * 1 "1 х + (- а" гс + -(а + а )]ьси (аь, пт) + 0(авгэьв, а ьэ, а ьв). (15) 1 1 2 2 1 -1 хх 1 ' "1 Ие пои сопвсгисс сЬе орегасог вассе(у1пЭ сЬе сопЭЕС1оп Л и = Р Ли + 0(ЬЭ). Ь Ь ТЬе сегав сопса1п1пЭ Л, (Ли) апЛ (йи) еау Ье 1пс1идед 1п сЬе ехргевв1оп и' х Р Ли, в1псе сЬе йее1п1с1оп ое Р Ли 1в ас оиг 01врова1. А11 сЬе осьег сегав (а +а" +а +а )и(аЬ, пт), "1 1 (аег + а - а )Ьи (аЬ, пт), 1 -1 х а'гс + а + а 2 1 Ьси (аЬ, пт), хх 0(а"гЭЬВ, а ЬЭ, а ЬЭ), 1 ' -1 аивс Ье сопвс1сиепсв о( сье геаа1пдег сета оЕ сЬе епиас1оп ЛЬ]и]Ь РЬЛи + геаа1пйег сета, по аассег Ьои юе сгу со сЬоове сЬе орегасог Р .
тЬе на1161су оЕ сЬЕв аввегс1оп 1в ргочеп ьу сье еасс сьас сьеге ех1вс еипсс1опв, и(х, с), еот юЬЕсЬ и, и, и, Ли, (Ли) ап4 (Ли) са)се оп, ат апу Эсчеп роЕпс х хх ' х (х, с ) апу аисиа11у Епдерепдепс ргевсг1ЬеЛ ча1иев и, и, и, (Ли) О (Ли) апд (Ли) . Опе висЬ Еипсс1оп, Еог ехаар1е, 1в сЬе ро1упоа1а1 х $22 215 Сопвггисс1оп оЕ Арргох1шас1п6 01ЕЕегепсе ясЬешев Р(х,с)=ив+ив(х-х)+[(Ли)веив)(с„с)+ив(х "х]2 1 х 0 х 0 2 хх 0 + — [цв + (Ли)О + (Ли) ](С - С ) + [ца + (Ли) ](х - х )(С - С ). 1 2 хх х 0 хх к 0 0 1п чсеи оЕ СЬе 1пдерепдепсе оЕ СЬе ча1иев и, и, и, Ли, (Ли) апЛ (Ли) х хх с х 1с 1в песеввагу, 1п агдас со асЫече весопА-огдег арргох1шас1ап, сЬас еасЬ сегш, 1п61чсвиа117, епгегЕпц 1псо сЬе геша1пЛег вЬои16 Ье оЕ агдег Ь2. ТЫв гепи1гешепг шау Ье иг1ссеп 1п сЬе Еогш а + ао + а + а = О, О 1 1 (аг+а -и )Ь=О.
(а г + а + и )Ь2 О. 0 1 -1 (16) ТЬе во1ис1оп оЕ вувсеш (16) 1в йесегш1пед со иссЫп ап агЫсгагу еассог. )(е ч111 вирр1ешепс сыв вувсеш ьу сье еОиас1оп (17 ) а гЬ 1, 0 1+ г а 1 2Ь 1-г а -1 2Ь ав 1 гЬ' 1 а = - — +— 0 гЬ Ь' 01сЬ сЬеве ча1иев Еог СЬе соеЕЕ1с1епсв сЬе геша1пйег сегш 1п ЕО. (15) Л (и) = Ли + — (Ли) + — (Ли) + 0(а гЗЬЗ, а ЬЗ, а ЬЗ) Ь Ь 2 с 2 х ' 1 ' "1 и Р ли + 0(аогвьв, в ьв, а ьЗ] Ь 1 ' -1 вас1вЕ1ев сЬе ЬаипО )0(аигЗЬЗ а ЬЗ а ЬЗ)) ( А(г2Ь2 + Ь2) 1 ' -1 иЬеге А 1в ваше сопвгапс Оереп61п6 оп1у оп сЬе шах1шиш аЬво1Ше ча1ие оЕ сЬе СЫг6-огйег Оег1чаС1чев оЕ сЬе Еипсс1оп и(х, с). Соггевропй1п61у це шау а1во иг1ге шысь сопвс1сисев а пасига1, сьоиОЬ пос песеввагу, сопвсга1пс оп сЬе сЬо1се оЕ СЬе орегагог Р„с 1.е СЬе соеЕЕЕсЕепг оЕ (Ли) 1п СЬе ехргевв1оп Еог Р йи 1в Сасеп Со Ье ип1Су, Оп сЬе г16Ьс-Ьапй в16е аЕ епиаСЕопв (6) апд (7) 1С иаи16 Ье ровв1Ые Со ада агЫсгагу сегшв 0 (Ь2), 02(Ь ), 05(Ь ) апО 0 (Ь ) Ьио ие Ьаче, 1п сопЕогшапсе ш1сЬ оиг еаг11ег сопчепс1опв, вес сЬеве севши со вега.
Босч1п2 СЬе вувгеш оЕ еСиаСЕопв (16), (17), ие Лег СЬе соеЕЕ1с1епгв, а", а, аО апд а, а1геаОу 61чеп еаг11ег: СЬарсег 7 ИесЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ВсЬеаев 216 [А[и[ "Рф)СА(с+1)Ь Ь Ь Ь в— ТЬив, че Ьаче евгаЫ1вЬеф сЬас, 1Впог1пВ 1пв1Вп1Е1сапс чаг1ас1опв, оп1У опе 41ЕЕегепсе всЬеае п п и+1 и п п и " и и - и в в а+1 а-1 - [ф+ —;" (ф„+ ф„П„Ь пг (Ь) Ь 1, и (17 ) и = ф(вЬ) О впопВ а11 41ЕЕегепсе всЬеаев оЕ сЬе Еогв 0 и+1 аи +а и +аи васи Рф[ (Ь) Ь и" = ф(вЬ) арргох1шасев 41ЕЕегепс1а1 Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеа (4) оп 1св во1ис1оп и(х, с) со весоий огдег 1п Ь. всьеве Еог сЬе ециас 1оп и + и хх у) ф(х, у) Ьу виЬвс1сис1пВ, еог сье дег1час1чев 1п смв еоиас1оп, сье РЕЕЕегепсе ге1ас1опв (~ о) Р1В.
14 ° 1п а11 сЬе ехаар1ев оЕ 61ЕЕегепсе всЬешев, 1 и - "Е, ргевеигей во (Ь) (Ь) Ь Еаг 1и СМв сЬарсег, сЬе орегасог 1, аарр1пВ сЬе врасе О 1псо врасе Ь' Р, 1в В1чеп ЬУ ехР11с1С епиаг1опв. Виг опе оЕСеп Ьав иве Еог РЕЕЕегепсе Ь' всьеаев 1п высь сье орегасаг 1„1в врес1Е1ед 1п воше осЬег, аоге совр11" пагад, чау. Ве1оч че ч111 епсоипгег ргоЫевв Еог чЫсЬ висЬ всЬевев ч111 ечо)че пасига11у.
ТЬе аЬоче шесЬойв Еог соп- вггисг1пВ 41ЕЕегепсе всЬевев геаасп Д арр11саЫе а1во Еог ргоЫевв ч1СЬ чаг1аЫе соеЕЕ1с1епов, Еог поп11пеаг ргоЫевв аид Еог песа ч!сЬ чвг1аЫе всер-в1ве. Рог ехаар1е, 1п сЬе саве оЕ сЬе поп-ип1(агв пег вЬочп 1п Р1В. 14, опе сап сопвегисг а ВЕЕЕегепсе %22 217 Сопвсгисс1ап оГ Арргох1шас1пВ 01ГГегепсе ВсЬешев и(х , у ) - и(х , у ) и(х , у ) - и[х , у ) Ьх х ш 1 (х,у ) Ьх + Ьх в в-1 2 + — (Ьх - Ьх )и + 0((Ьх + Ьх ) ] 1 и[х, у ) -и(х, у ) и[х, у) -и(х,у ) Ь Уп-1 и (х у) Ьу + у + — [д - Ьу )» + 0((Ау + ду )2), 1 3 п и"1 ууу п п-1 в1сь а геаа1пдег сега высЬ 1в ваа11 со Г1гвс огьег ч1сь гевресс со вах(Ьх , Ьх 55»аг1опв оГ СЬе Гога В'и(х , у ) Зхс -а1( 1,7)+аои[х,у)+ + а и(х, у ) + 0((вах(ьх, дх )]2), и1сЬ гева1пЬег сегав оЕ весопд огрех, Ьо пос ех1вс Гог Ьх и Ьх в"1 е То асЫече Вгеасег ассигасу ч1а СЬе гер1асеаепг оГ Ьег1час1чев Ьу 61ГГегепсе ехргевв1опв 1С ио»1Ь Ье песеввагу со 1»чосче ваге сЬап сЬгее пес-ро1псв.
3. ВсЬеаев а1сЬ гесоарвгаг1оп, ог "ргед1ссог-соггессог" всЬеаев. То сопвггисг 61ГГегепсе всЬешев арргох1аас1п5 с1ве-Ьереидепс ргоЫеав опе сап иве СЬе ваше 1Ьеа »ЫсЬ ипдег11ев сие сопвегисС1оп оГ сЬе Ви»5е-Коссе всЬеве Гог огЬ1пагу Ь1ГГегепс1а1 еииас1опв, сЬе Гдеа оГ "геса1с»1аг1оп". Кеса1с»1ассоп а11омв опе со га1ве сЬе огдег оГ арргох1аас1оп асса1»еЬ, Ьу иве оГ СЬе 1п1С1а1 всЬеае, Ьеуоге геса1с»1аг1оп.
1п аЬЬ111оп, 1п СЬе саве оГ 5»ав111пеаг 51ГГегепс1а1 еииассопв геса1си1аг1оп а11оив ив со сопвсгисс во-са11ед "Ь1чегВепсе" всЬеаев, аЬоы иЫсЬ ваге в111 Ье ваГЬ 1п ВЗО. Ь1всагд1»5 сЬе гева1пдег сегав. ТЬе ча1151су оГ сЬе аЬоче ециас1апв вау Ье сопГ1гвеь в1сь сье а15 аГ тау1ог ехрапв1оп (2). Ву сье аесьоь оГ ипьесега1пед соеГГ1с1епсв ие вау сопч1псе оигвесчев оГ сЬе ип15»епевв оГ СЬе е5»ас1опвс со в1сЫп ипеввепс1а1 чаг1ас1опв СЬеге 1в оп1у опе вег аГ соеГГ1- с1епсв а, а0, а1, Гог иЫсЬ ие шау вг1се, 51чеп апу виГГ1с1епс1у ваоосЬ Гипсс1оп и(х, с), сье ехргевв1оп а'и(х , у ) -а1»[х 1, у )+ао [х, у )+ Зхг + а1и[х у ) + 0(вах(дх , Ьх )] сЬарсег 7 ИеСЬоАв Еог Сопвсгисс1оп оЕ ВЕЕЕегепсе ВсЬеаев 218 ))е геоа11 сЬе 18еа оЕ геса1си1ас1оп ч1а сЬе ехашр1е оЕ СЬе в1шр1евс ВипВе-Киста всЬеше Еог сЬе пишег1оа1 во1ис1оп оЕ СЬе СаисЬУ ргоЬ1еа Е(с, у), 8 Ас (18) у(0) Р, 0<с<У, 1е сье ча1ие у ас сье ро1пс с рт Ьав а1геаАУ Ьееп са1си1асе4 сьеп, со Р Р сошрисе у + , ше десега(пе ап аих111агу Оиапс1су, у 1/ , ив1п8 сЬе в1ар1евС Ви1ег всЬеше (СЬе "ргед1огог" воЬеае) ап8 сЬеп саггу оит сЬе соггесс1че геса1си1ас1оп (20) — + А — О, - < х < , 0 < С < Т, Э„ Э, Эс Эх и(х, 0) Р(х), - < х < (21) А сопвс, сап Ъе сЬоиВЬс оЕ ав а ргоЫеа оЕ Еога (18) ЕЕ че вес у(с) и(х, с) во сЬас, Еог еаоЬ с, у 1в саКеп со Ье а Еипсс1оп оЕ сЬе аг8иаепс х; сЬе орегас1оп е 1в 1псегргесе8 со аеап сье арр11сас1оп ое сье орегасог -АЭ/Эх.
Ьес ив саКе ав ап ехашр1е а 81ЕЕегепсе виЬеше, ч1сЬ геса1си1ас1оп, Еог ргоЫеа (21). Вхашр1е. Виррове сЬас сЬе пес Еипсс1оп и )и ~, ш О, +1, ..., Еог а 81чеп р, Ьав а1геаАУ Ьееп соарже8. ))е Естес десегш1пе сЬе аих111агу пес -р+1/2 -р+1/2 Еипос1оп и = (и ), а О, +1, ..., ге1ас1п8 са с1ае с (р + 1/2)т ап8 Со ро1пС х 1 = (ш + 1/2)Ь, ив1п8 СЬе Ео11оч1йх (Е1гвС- ьтс1/2 ог<ег ассигасе) всЬеше: ир Е Р -РС1/2 ш+1 "ш а+1/2 2 + А О, а О +1, ... (22) т Ь ТЬеп тте регуогш сЬе соггеот1оп, апд Е1пд „ ив1п8 СЬе всЬеае р+1 ТЬе аихШагу пиапс1су у, соарисед Ьу иве оЕ а воЬеае и1СЬ Е1гвт-ог<ег р+1/2 ' ассигасу, а11очв ив со Аесегш1пе, арргох1аате1у, СЬе 1пс11пас1оп оЕ сЬе 1псеВга1 сигче ас сЬе ш1<ро1пс ое сье 1псегча1 (с , с 1), ап< со Вес р', р+1 ' у 1, ив1п8 89. (20), аоге ассигасе1У СЬап Ьу Еи1ег'в всЬеае (19).
р+1 ))е Ьаче а1геаАУ погод, 1п А$19, сЬаг а11 оиг сопв1<егас1опв геша1п чаЫЙ 1Е у, у апд у аге Е1п1<е-81аепв1опа1 чесгогв ап< Е 1в а нессог Р Еипос1оп. Вис опе сап Во вт111 ЕигсЬег, сопв1<ег1п8 у, у апд у 2 ав Р е1ешепсв оЕ а Еипсс1оп врасе, апд Е ап орегасог 1п сЬ1в врасе. ~аг ехаар1е сЬе саисЬУ ргоЫеа 522 Сопвтгиес1оп оЕ Арргох1шас1пВ 91ЕЕегепсе ВпЬешев 219 р+1 р -р+1/2 -р+1/2 + А О, ш О, +1, ... (23) т Ь -р+1/2 я11ш1пас1пВ и Егош Вця. (22) апд (23), ие Вес сЬе всЬеае р+1 „р а а а+1 а 1 2 Р Р Р т "а+1 2и +и О, ЬЕ (24) и = Ф(х р - О, 1, ..., (Т/т) - 1.
ш О, +1, оЕ СЬе ВЕЕЕегепс1а1 Ьоипдягу-чв1ие ргоЫеа чЬове во1ис1оп 1в со Ье сошрисед. ТЬ1в шесЬад 1в оЕсеп са11ед сЬе шесЬсх) оЕ Е1п1се е1еаепсв, апд сЬе соггеяропд1п5 й1ЕЕегепсе всЬеаев аге геуеггес( са ав "чаг1ас1опа1- 61ЕЕегепсе" ог "рго)есс1че"т(1ЕЕегепсе" ясЬешев ° ТЫ* шесЬоВ в11очв сЬе сопвсгиес1оп оЕ 41ЕЕегепсе ясЬешев оп 1ггеВи1аг песа, Е1пег 1п ге51опв иЬеге сЬе во1ис1оп сЬапВев шоте ви1сЬ1у.
СЬарсег 12 а111 Ье Аечосед со сЬе Асясивв1оп оЕ висЬ всЬеаев. РВОВЬВМВ 1. Рог сЬе во1ис1оп оЕ сЬе СаисЬу ргоЫеа а а — + — Ф(х, с), " < х < , О < с < Т, Эс ах и(х, О) 9(х), <х< иве СЬе пеС х аЬ, С пт, Ь т, апй сопвСгист а 51ЕЕегепсе впЬеае оЕ ш п СЬе Еогш ТЫв 1ассег ясЬеше, Еог А -1, со1пс1йев и1сЬ всЬеае (П ), апд сЬе саве А В -1 61ЕЕегв оп1у 1пв15п1Е1папт1у Егаш СЬе опе а1геаду й1впиввед.
ВпЬеше (24), апд сЬив а1во сЬе ясЬеае ч1СЬ геса1си1аг1оп, 1.е. (22), (23), Ьав весопй-агдас арргох1шас1оп 1п Ь чЬеп т = гЬ, г сопят. 4. Оа оСЬег ехашр1ев. Ме поч аепс1оп, Ьг1е(1у счо ваге ехсгеше1у 1шрогсапс апд ч14е1у-ивед аесЬойв Еог СЬе сопвсгисг1оп оЕ 61ЕЕегепсе всЬеаев. ТЬе Е1гвс оЕ сЬеве 1в Ьавес( оп сЬе Еогши1ас1оп оЕ сЬе ог151па1 ЙЕЕЕегепс1а1 еоиас1оп, СЬе е9иас1оп аЫоЬ 1в Со Ъе 61ЕЕегепсей, ав ап "1псеВга1 сопвегчас1оп 1ач".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
