Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ТЬе пеес) Еог сЬе иве оЕ сЫв аесЬод аг1вев паснга11у 1п сЬе соарисас1оп оЕ во-св11ей "Вепега11яей во1ис1опв," Еипсс1опв иЬ1сЬ до пос Ьаче Еи11 вета оЕ дег1чат1чев, ог аау ечеп Ье 61всопг1пиоив. О1ЕЕегепсе впЬешев дече1орей 1п сЫв чау аге са11ед "АсчегВепсе ясЬеаев" ог "сопвегчас1че всЬеаев". МесЬойв Еог сопясгисс1п5 41чегВепсе всЬеаев аге девсг1Ьед 1п СЬарсег 9. ТЬе весопА аесЬоб 1я Ьавед оп сЬе иве оЕ вове чаг1ас1опа1 Еогши1ас1оп СЬарсег ? ИесЬодв Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе БсЬеаев 220 аи +аи 1+аи +аи Ф по1 1 и+1 п п и й а+1 0 а 1 в+1 а (Ь) Ь и Ф(пЬ) ° Ной виве апе де?1пе а, а, а, а апН ь во ав Со асЬ1еие агдас Ьэ 0' 1 а арргох1ваг1ап? 2.
Рог СЬе СаисЬу ргоааеа — - (Э- + †) Ф(х, Ь, С), ™ < «,У < , О < С < Т, аи аи эи ас Эх ау и(х,у,О) Р(х,у), - " < х у < иве сЬе пес х вЬ, у пг, а п р д1ЕЕегепсе всЬеае. 3. Еог сЬе ьеас сопнисссоп а» э' ах' рг, апд сопвсгисс апу арргахсаас1па ргоЬ1еа <х<, 0< С<Т, (21) < х < и(х, 0) Ф(х), сопв?Нег СЬе 41ЕЕегепсе всЬеае и+1 п+1 и+1 и - 2и + и а а-1 а а+1 + и+1 и и и й й п и п и-2и+и а-1 а а+1 Ьэ ио Р(йЬ) э э ди — — (а(х, с) †), эс ах ах <х<, О<С<?, < х< и(х, 0) " Р(х), ив1па сЬе пес х вь, с пг, сопвсгисс ап аррго«1аас1па 61ееегепсе а п всЬеве.
п иьеге о 1в а рагааесег апн и сье иа1ие оЕ сье п)ев1гед еипсс1оп ас сЬе ро1пс (х аь, с пг) ое сье пес. а и а. Ньой сЬас, еаг апу о, сье 41Ееегепс1а1 епиас1оп 1в аррго«1аасео оп а ввоосЬ во1ис1оп и(х, с) со о«де« 0(г + Ьэ). Ь. СЬоове а а висЬ сЬас арргох1аас1оп й111 Ье оЕ огаег 0(с? + Ьэ). с. Та11иа сЬе всер в1«ев со Ье соппессеа Ьу сЬе ге1ас1оп г/Ьэ И г сопвс, сЬоове о во ав со Нес ап арргох1аас1оп оЕ о«Нег Ь~.
и(. рог о 0 сЬоове сЬе пивЬег г г/Ьэ во сЬас арргохсаассоп м111 Ье оЕ о«Нег Ь~. е. 1в 1с ровв1ь1е, сьгоинь сье сьо1се ое о еог 11«еп г с/ьэ, со асасеье арргохсааС1оп, оп апу ваооСЬ во1ис1оп, оЕ о«Нег ЬЕЭЬег сЬап ЕоигсЬ? 4. Рог сЬе Ьеас-сапоисс1оп ргоасеа 525 Вхашр1ев оЕ Сопвсгисс1оп оЕ Воипйагу Сопй1С1опв 221 5. Рог сЬе поп11пеаг Ьевс-сопйипс1оп ргоЫеа д, д ди — — 'Са(и) — ~, дс дх дх <х<,0<С<Т, и(х,О ) Р(х), <х< ив1пВ сЬе пес х шЬ, с пг, сопвсгисс ап ехр11псс арргох1аас1пд 41Е- ш ' п (Ь) Еегеппе всЬеше. Уг1ге оиг еоивг1опв Еог СЬе соаРиеаг1оп оЕ и ЬУ СЫв всЬеае.
6. Ргоче сЬас, Еог а ЬоипВей пес Еипсс1оп ир (ир), сЬеге ех1всв а р+1 р+1 ш ип1иие Ьоипйей пес Еппсс1оп ир (и~ 1 ВеЕ1пед Ьу сЬе ВЕЕЕегепсе впЬеше р+1 р р+1 р+1 а а ш+1 а-1 . О г 2Ь а О, +1, 7. Ргоче сЬас сЬе ргеИссаг-соггессог всЬеае Еог ргоЫеш (25), 1п аЫпЬ сЬе во1ис1оп-ча1иев (и~ ~ ас сЬе 1псегшеЫасе 1ече1 вге Всчеп Ьу -РР1/г сЬе 1ар11ссс всЬеае и1сЬ ог4ег оЕ арргох1шас1ап 0(г + Ьг) р+1/2 р и - и -рс1/г -р+1/2 -р+1/г и -2и +и ш О, +1, г/2 ),г 0 р+1 впй сЬе во1ис1оп (и~ ) 1в Иву(пей Ьу сье всьеае р+1/2 РР1/2 р+1/2 и „"2и +и = О, ) 2 и - и ип Ф(х ), а О, +1, Ьав арргох1шас1оп оЕ огс)ег 0(гп + Ьд) оп а ваоосЬ во1ис1оп и.
523. Нхашр1ев оЕ сЬе Еогшп1ас1оп оЕ ЬоппНагу поай1с1опв Еп сЬе попвсгаес1оа оЕ НЕЕЕегеппе впЬешев и - и = $(х, С), х и(х, 0) Р(х) ше и111 иве сЬе ОЕЕЕегепсе еВиас1оп ТЬе ехашр1ев оЕ $22 веге во ве1ессей СЬас Пиевс1опв ге1вг1пд со сЬе сопвсгиоС1оп оЕ 41ЕЕегепсе Ьоипйагу сопН1с1опв ВЕН пос вг1ве. ТЬеве сои1В еав11у Ье оЬса1пей Егоа сЬе 41ЕЕегепгсв1 Ьоипйагу сопд1ссопв апй Еогаи1асед 1п висЬ а мау сЬас, ироп виЬвс1сис1оп оЕ (и]Ь, сЬеу иои14 Ье вас1вЕ1еВ ехасс1у.
Неге ие попвсдег ехашр1ев шЫсЬ, ав гедвгйв ЬоипВвгу сопдсс1опв, аге еоге сошр11свсей. Кхаар1е 1. 1п сЬе сопвсгисс1оп оЕ а НЕЕЕегепсе всЬеае Еог сЬе ргоЫеш СЬартег 7 ИетЬоЛв Еог Сопвгг«ст1оп оЕ 01ЕЕегепсе БсЬешев 222 п+1 п-1 п п « "« « - « ф(шЬ, пт) (2) т гЬ. ш О, +1, п 1, 2, то са1с«1асе тЬе во1«г(оп ое ко. (2) ее ш«вс Е1х паг оп1у « „о ф(Ь) е О, +1, Ь«г а1во «1, ш О, +1, ... ТЬеп Егоа 61ЕЕегепсе ео«ат1ап (2) Еог п 1, 2, . ° °, опе сап, пехт, совр«те «, ш О, +1... °, тЬеп «1, ш = О, +1, его. ТЬе ча).«е авв10«ед то «ш«вт Ье с1аве Со «(шЬ, т) «(еЬ, 0) + т«(шЬ, 0) + 0(т" ).
01псе ««+ Л«, Л«в « - «ф(х, г), «(х, 0) ф(х), х ' т х «(шЬ, т) «(шЬ, 0) + т(«+ Л«~ + 0(тг) х х шЬ, т-О ф(шЬ) + т(ф (шЬ) + ф(шЬ, О)~ + 0(тг). ТЬ«в, 01асагй1пх гЬе веге 0(тг) ме шау вг1те «т ф(шЬ) + т(ф (еЬ) Е ф(еЬ, 0)~. (4) С1еаг1у гЬе й1ЕЕегепсе всЬеше п+1 п-1 и п « - « « - « ш а ш+1 ш-1 — т; — †.— т — — м, ), (Ь) 1 Ь« «ф(шЬ) + т(ф (шЬ) + ф(шЬ, 0)~ арргох1шагев ЕЬе д1ЕЕегепт1а1 Ьо««двгу-ча1«е ргоЬТеш (1) то ог0ег Ь . ТЬе сошр11сат1оп 1п ЕЬ(в всЬевш сопв1вгв 1п гЬе Еасг тЬат 41ЕЕегепсе ес«аг1оп (2) 1в вес«од-огйег 1п т, чЬ11е сЬе 61ЕЕегепс1а1 ео«аг1«п 1в Еггвг-огйег.
рог таге геавоп 1т еав песеввагу то сопвтг«ст а вес«ай Л1ЕЕегепсе Ьо««Лагу сапб111оп (4 ), пот аг1в1«0 01гест1у Егош тЬе 31«еп Ьо«пйагу сопд111«п Еог гЬе 61ЕЕегепт1а1 рг«Ь1еш. Ьег «в поч соса(Лег апотЬег ехашр1е 1п юЬЕсЬ тЬе сопвтг«ст1оп оЕ ЛЕЕЕегепсе Ьо«пйагу со«0111«пв 1в пот гг1«1а1. %23 Кхашр1ев оЕ Сопвсгисстоп оЕ Воипбагу СПП61с1опв Кхавр1е 2. Сопвтбег сЬе 61ЕЕегепс1а1 Ьоипфагу-ча1ие ргоЬТев и -и ф(х, С), 0<х<1, 0<С<у с х Ф О<х<1, 0<с<т. и(О,Х) ф (х).
0 и(с, 1) ф (с), 1 (6) Ьи Апу во1ис1оп оЕ сЬе 61ЕЕегепс1а1 еоиас1оп оЕ ргоЬТеа (6) 1в иптоие1у деЕЕпе4 1Е ие Ьпои 1св чатиев ат опе ро1пс оп еасЬ оЕ сЬе )спев х + сопвс. 1п Еаст а1опК висЬ а 11пе Ки Кх — и + и — и и ф(х С) Кс с хбс с х во сЬас и(х, с) 1в сЬе 1псеКга1, а1опК сЬе 11пе х + с попас оЕ ф(х, с). ТЬе ча1ие оЕ сЬе 1псеКгас1оп сопвгапс 1в Кесега1пе6 Ьу сЬе ча1ие оЕ и ас сЬе 61неп ро1пс. 1п Р16. 15 ие Йер1сс сЬе гесс Сап61е, О < х < 1, 0 < С < Т, 1П мЬЕсЬ ае 1псепф со 1оос Еог сье во- ПФ1 п а и а и п п т ш+1 в а-1 п и -2и +и 2 Ьг а и п ~шф1 в-1 (у) юЬеге ф Сф(х~ С) + г Сфт + фх))х- Ь с пт (8) ЩП 1ис1оп, апф вЬоа сео 11пев оЕ сЬе Еаш11у оЕ рага11е1 11пев х + с сопвс ° КасЬ 11пе оЕ сЬЕв Еав11у 1пСегвесов, аС а в1ПК1е ро1пс, е1сЬег сЬе вервшпс О < х < 1 оЕ сЬе х-ах1в, ОГ СЬЕ ВЕКШЕПС 0 < С < Т ОЕ СЬЕ 11ПЕ ,2' х 1, аЬеге и(х, с) 1в 61чеп.
ТЬив ргоЬТеа (6) Ьав а ип10ие во1ПС1оп. р16. 15 Уе поа ргосеей со сЬе сопвсгис- с1оп оЕ а 61ЕЕегепсе всЬеае Еог сЬе соврисас1оп ПЕ сЬе во1ис1оп оЕ ргоЬТеа (6). Киррове Ь 1в 21чеп висЬ СЬас ссь 1, апф аввиае сьас т гь, иьеге и 1в а ров1с1че 1псекег апй г соивс.
Ав а пег, О, ие иве сЬе вес аЕ ро1псв (аЬ, пт), а О, 1, ..., И) и О, 1, ..., [т/т). К1сь вась ро1пс ое 0 пос 1у1пк оп сье иррег Ь Ьоипфагу ог сЬе вффев оЕ сЬе гессап21е, че аввос1асе ап есиас1ои ОЬарсег 7 224 ИесЬодв Еог СопвсгисС1оп оЕ 01Негепсе ВсЬеаев ТЬе дег1час1оп оЕ сЬсв еВиас1оп вав девсг1Ьед 1п деса11 1п 922. п ТЬе ча1иев ио апд и в111 Ье 51чеп Ьу сЬе е9иас1опв и" Ф(шЬ), а О, 1, ..., М-1, а 0 и =Ф(пт), и О, 1, ..., м, мз (т/т), (9) и+1 и и и "О иО "1 "О т Ь Ф(0, пт), и = О, 1, ° .
°, М-1 ° (10) ТЬ1в сопд1с1опв геви1св Н ие виЬвс1сисе Еог сЬе дег1чвс1чев 1п сЬе е9иас1оп †За - — ~-' — Ф(о, с), Зи(0, с) Зи(х, с) иЬ1сЬ Ео11овв Егоа 59. (6), арргорг1асе д1ЕЕегепсе ге1ат1опв. ТЬив че Ьаче сопвогистед СЬе дЕНегепсе всЬеае 1 и = Е (Ь) (Ь) Ь и+1 п и п п и п и и и и и "2и +и а в а+1 в-1 т а+1 а а-1 2Ь 2 )2 а1,2,...,И-11п0,1,...,5-1, (Ь) Ь ив, а О, 1, ..., И-1, и ш О, 1, ..., М, п+1 п и и 0 0 и1 0 п О, 1, ..., М-1, Ь с пт Ф(шЬ), ш О, 1, °...
И-1, 0 (Ь) Ф (пт), п О, 1, ..., М, Ф(0, пт), п О, 1, ..., М 1. иЬ1сЬ аге апа1оВоив со СЬе Ьоиидагу сапд1С1опв оЕ сЬе 51чеп д1Негепт1а1 ргоЬ1еа. Рис КМв. (9) до пос виНЕсе со десегв1пе сЬе во1иг1оп и ечегуп и+1 а вЬеге оп Р ° тЬе ча1ие оЕ и, ас сЬе 1еЕс Ьапд Ьоипдагу оЕ сЬе гессаи51е, 1в вс111 ипдеЕ1пед. рог сЬЕв геавоп ие вирр1евепс СЬе д1Негепсе Ьоипдагу сопд1с1опв ав Ео11очвт %22 Ехаар1ев оЕ Сопвсгисс1ои оЕ Воипбагу Сопб1с1опв Ьес ив поч бесега1пе сЬе огбег оЕ арргох1шаг1оп оЕ сЫв всЬеае.
таЫп6 ассоипс оЕ сЬе сопв1бегас1опв оЕ $22 1с 1в с1еаг сьас сЬе гев16«а1 6Е, вЫ«Ь бече1опв «Ьеп (и] 1в виЬвС1сисеб 1псо сЬе 6166егепсе (Ь) (Ь (Ь всЬеше 1 ]и]Ь Е + 6Е, авяиа1«6 а виЕЕ1ссеп<1у веоосЬ во1«с1оп и(х, с), Ьав сье Рога О (Ьа) О(ЬЕ) 1 у, ..., И-1; и О, 1, ..., Р-1, шп О, ш О, 1, ..., М-1, О, и О, 1, ° ° °, С), 6 ( — и (О, пт + 6 т] + — и (6 Ь, пт), и О, 1, ..., О-1, т Ь 2 сс 1 2 хх 2 0<6 <1, 0<6 <1 ° ЕЕ ае 1псгабисе а пота 1п Р, аввиш1по сЬаС Еог апу е1еаепс 6 1п Р (Ь) А, (Ь) 6 Ь и о ]]6 ]]Р шах А + аах]а ! + аах]Ь ! + аах]с ], Ь ш, е а,п ш п п сьеп ! ]66 ! ! 0(ь), апб арргох1аас1оп с«гав аис со,ье оп1у ое 61гвс (Ь) Рп (Ь) огбег 1п Ь.
Ряба сЬе ехргевв1оп Еог 6Е 1с 1в о1еаг сЬас сЬе арргох1аас1оп 1в Е1гвс-огбег Ьесаиве оЕ сЬе гевсбиа1 (т/2)и + (Ь/2)и О(Ь), сс хх геви1с1пб Егоа сЬе виЬвг1сис1оп оЕ (и! 1псо СЬе а«х111агу Ьоипбагу сопб1" Ь с1оп аЫсЬ ае Ьаче агс1Е1е1а11у сопвсгиссеб, апб 1шровеб ас сЬе 1еЕс-Ьапб Ьо«пбагу. ТЬе аабп1сибе оЕ сЬе геяш1«бег сета, 1п СЬе иогш ]! ' ]! аЫсЬ ае аге поа ив1п6, 1в бесега1пеб оп1у Ьу сЬе весопб бег1«ас1чев оЕ сЬе во1«- Ь с1оп; 1.е. сЬ1в пота боев пот а11ов ив, 1п всибу1и6 сЬе Ьаипбагу сопб1- с1опв, со сесе абчапсабе оЕ сЬе ваше бебгее оЕ ваоосЬпеяв вЫсЬ ее Ьаб со аввише 1п сЬе во1ис1оп со 6ег весопб-огбег арргох1ааС1оп ас 1псег1ог ро1псв. )те поа 1пСгобисе а погш ]! ]! Еог вЬ1сЬ сье аЬоче 61ЕЕегепсе РЬ всЬеше Ьав весопб огбег арргох1аас1оп оп а виЕЕбс1епс1у ваооСЬ во1иг1оп «(х, с)с 226 ИесЬозв Еог Сопвсгисг1оп оЕ О1ЕЕегепсе ясЬевев СЬарсег 7 1!а 11 Ь аах 1с 1 + Ь аах! ~ + (Ь) Ь п п М с1/2 и+1 и! + Л !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
