Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Те т/ь г попас, сьеп сопд111оп (12 ) 1в пот вас1вЕ1ед,' сье врессгпш доев пос 11е 1а сЬе пп1с е1гс1е. ТЕ, ав Ь О, сЬе втер-Ыхе т чаг1ев 11ье ь , во сьас т гьг, сьеп сье ро1пс л(а) еагсьевс егош л О гергевепсв ап е18епча1пе оЕ шодп1пв / г )Л(п)( 1 + ( †) ГТ + тг < 1 + — т. «х/2 ( Ь 2 ТЬе сопд111оп (Л(а)! < 1 + ст 1в вас1вЕ1ед, 1п сЫв саве, ш1сЬ с г/2.
СЛеаг1у сЬе геЧп1гешепс т гЬ рога в шосЬ шоте вечеге оопдсс1оп оп сЬе гедпес1оп оЕ сЬе с1ше вСер-в1ве, т, ав Ь Сепдв Со гепт, сЬеп йоев сЬе герп1гешепс т гЬ, г < 1, чЫсЬ аав апЕЕЛс1епс со 8пагапсее вас1в(асС1оп оЕ сЬе Чоп Мепаапп сопд111оп Еог всЬешев (5) апд (15), арргох1шаг1п8 сЬе ваше СаппЬу ргоЫеш (14). Косе сьас сье сопгапс-рг1едг1сьв"1.ечу сг1сег1оп (ав вьошп ас сье епд оЕ $24) а11ошв пв со авсегсасп сЬе 1пвсаЫ11су оЕ сЬе всЬеше «пдег сопв1д- 247 Яресгга1 Апа1ув1в оу 0111егепсе СапоЬу РгоЫеш егас1оп оп1у Рог т/Ь > 1, чЫ1е Рог т/Ь < 1 1с 1в 1псопс1пв1че, во сЬас 1с спгпв опт, Ьеге, со Ье шеасег сЬап сЬе Чоп Мепаапп сг1сег1оп.
Мехс че оопв1йег сео 6111егепсе воЬеаев, сопвсгпггей 1п 522, арргох1- шас1пО сЬе СапоЬу ргоЫеш Еог сЬе Ьеас еопас1оп п - а п ф(х, С), хх - " < х < ", О < с < т, (19) «(х, О) ф(х), - " < х < Ехашр1е 4. ТЬе ехр11с1С 611(егепсе воЬеае п~ -пР пР -2пР+пР ф(аЬ пт) т Ьс (Ь) Ьь пв - ф( Ь), а = О, +1, ...; р - О, 1, ..., (т/т)-1, (оп впЬвС1гпесоп о( СЬе ехРгевв1оп пР = Л е 1пео СЬе ооггевуоп41пР р р1аш Ьошооепеопв 411(егепс» еопас1оп) 1еайв Со сЬе ге!аг1оп -1а 1а Л "1 се "2+е — - а О. Ь2 Мос1пс сЬас 1а/2 „1п/2,2 ( >= е - е 2 а 21 ) ) =-в1п 2 -1а 1» е -2+е ае цес т г Ьг Л() 1 -4 212 2' Ав а чаг1ев сье 9папг1гу Л(а) сгачегвев СЬе веОаепг 1 - 4га < Л < 1 оу сЬе геа1 ах1в (Р19.
23). Рог всаЫ11су 1с 1в песеввагу сЬас сЬе 1ейг епй оу сЬ1в веОаепс 11е 1п СЬе пп1с с1гс1е во СЬаг 1 " 4гаг > "1, ог 1 г <— 2а2 (20) Р(О 2З. пр (1 - 4агг)р(-1) пос вас1вуу1по сопф(с1оа (6) 1ог впу сопвсапс с. 11 г > 1/2ас, сЬе ро1пг Л(а) 1 4га в1п (а/2) соггевропй1пО со а ч 11ев Со сье 1еус оЕ сЬе ро1пс -1. ТЬе Ьагшоп1с ехр(1га) (-1)а 21чев г1ве Со сЬе во1пс1оп СЬареег 8 5оше Ввв1с мегЬойв Тот сЬе 5сийу оЕ ВсаЫ11су 248 Ехашр1е 5.
Уе поше пое со сЬе весопй всЬеше Ьг ио " Ф(аЫ „ Ь„(Ь) а Ь (21) ш О, +1, ...; р О, 1, ..., [Т/т)-1. Апа1оВоив са1си1вс1опв 1еай Со сЬе ехргевв1ап 1(а) 1 1 + 4га2 в1пг— 2 т г (22) ТЬе вресегиш Тот сЬ1в ргоЬ1еш 1111в сЬе весшепс -1 [1 + 4гасв1пг -] < 1 < 1 оу ГЬе геа1 вх1в, впй сЬе сопй1с1оп [1[ < 1 1в ваг1в11ей Тот а11 г. ТЬе Топ яеишапп врессгв1 сг1Сег1оп аау Ье овей Тот гЬе всийу оу сЬе СаисЬу й111егепсе ргоЫеш а1во 1п сЬе саве шЬеге сЬеге вге сео ог шоте арапе чаг1аЫев. Ехвшр1е 6.
рог сЬе ргоЫеш 82и 32и а 2 ау2 «(х, у, С) р(х, у) с>0, ае саКе сЬе пес [х, у, с ] [шЬ, пЬ, рт). Вер1ас1п5 йег1часгчев Ьу ш' п' р й111егепсе ге1ас1опв ве сопвсгисс сЬе 811(егепсе всЬеше и - и шп шп иР - 2иР + иР ш+1 п шп ш"1 п и -2и +» ш п+1 шп ш п-1 Ь2 (Ь) Ьи И (23) и = Р(аЬ, пЬ). ап В) 1(шп+Вп) ап ТаЫп5 и вар[1(оа + Вп)], 1.е. ровси1ас1п5 а во1ис1оп 1п сЬе Тога о1 а ап сшо-й1аепв1опа1 Ьагшоп1с йерепй1п5 оп сЬе гшо гев1 рагашесегв в апй В, ве Вес а во1ис1оп ое сЬе Гога 5рессга1 Апа1ув1в оЕ 01ЕЕегепсе СаисЬу РгоЫеш 5»Ъвг1с»с1»8 СЫв ехргевв1оп 1псо сЬе й1ЕЕегепсе е>(иас1»п, аЕсег аоше в1шр1111сас1»п апй 1йепс1су"сгапвуогшас1»пв ше Е(пд сЬас Л(а, В) Л - 4г в1» — - 4г в1пт — .
2 а В 2 2' Ав сЬе геа1 и апВ В магу сЬе ро1пс Л Л(а, В) сгачегвев сЬе весшепс 1 "Вг< 1<1 оЕ сЬе геа1 ах1в. ТЬе вгаЬШсу со»81с1оп 1в вас1вЕЕей 1Е 1 - Вг > -1, г < 1/4. Мош ие ргевепс ап ехашр1е 111»втгас1п8 сЬе арр11сас1оп оЕ сЬе Чои Ма»шапа сг1сег1оп со 81ЕЕегепсе есиас1опв соппесс1п8 СЬе ча1»ев оЕ сЬе »пспоип Еипсс1оп, пос ас сио, Ьис ас сЬгее с1ше Ле»Ыв. Ехашр1е 7. ТЬе СаисЬу ргоЫеш Еог сЬе чаче ет(иас1»п 32» 82» — — О, - <х<, 0<С<Т, аС' ахт и(х, 0) ф (х), а,(х, О) 1 дс 2 Ф (х), - " < х < "2 + и "2» +и ш и> ш и -2» +и Р Р Р О, Ьс тс р 1> 2, ..., [Т/т)1, (24) ио и" Р (х ), , Р (х ), ш О, +1, 5иЪвс1с»С1п8, 1псо сЬе ВЕЕЕегепсе ецивс1»п, а во1»с1оп оЕ Еосш (8) ие Вес, а(сег в1шр1е сгапвЕ»гшас1опв, сЬе Ео11ом1»8 есиас1»п Еог йесегш1»1п8 Лс Л - 2[1 - 2г2в1п2 — )Л + 1 О, 2 ТЬе ргойиес оЕ сЬе гоосв оЕ сЫв е5»ас1»п 1в еоиа1 Со опе.
ТЕ сЬе й 1 во г 1ш 1 па»С 6(и) - 4гтв1пса [гсв1»2 — -1) 2 Р18. 24. »111 Ъе арргох1шасей Ьу сЬе 81ЕЕегепсе всЬеше оЕ сЬе 4»адгас1с еоиас1оп 1в пе8а" с1че, сьеп сье гоосв, л (и) апй Л (и), »111 Ъе сошр1ех соп)»Васев, 2 о / о / а) 4 СЬарСег 8 яо е ВаЫс МесЬ«дв Еог сЬе ягоду оЕ йсаынсу 250 а» аи 'Ес Гх <х<, О<С<2, аи а» 5с Ъх (25) ч(х, 0) = Ф (х), - < х < 2 »(х, 0) Р (х), 1 Ре вег и(х, с) Ф(х) апй вг1се (25) 1п сЬе чессог Рога у--Ач- О, - <х< а« Зи с х 0<с<Т, «(х, 0) = Ф(х), " < х < (25 ) чЬеге (О Ие »111 всийу сио д1ЕЕегепсе всЬеаев арргох1аас1«2 ргоЫеа (25 ) Ехашр1е 3. Сопв1дег сЬе д1ЕЕегепсе всЬеше „р+1 „р ш ш и - и Р Ь (26) „о Р(х ) ш 0 + 1 Ие веес а во1«С1оп оЕ сЬе Ьоаоцепеоив чессог еииас1«п «Е СЬе Рога (13)с «Р ЛР(иое1«ш) ЛР(ч ) 1«а апд е0«а1 со опе 1п аод«1ив. реп г < 1 сЬе дсвсг1ш1«апс геша1пв пейаг1»е Еог а11 а.
Хп Р12 24,а ие вЬов сЬе вресегиа 1п СЫв саве. 1с Е111в рагс оЕ сЬе с1гсиауегепсе оЕ сЬе иа1с с1гс1е. 1« сЬе саве г 1 сЬе врессгиа Е111в а11 аЕ СЫв с1гсишуегепсе. Рог г > 1, ав а 1«сгеавев Егош 0 со ч сЬе гоосв Л (а) апд Л (а) аоче, Егоа сЬе епд ро1«с Л 1, а1о«0 сЬе с1гсиа- 1 2 еегепсе оЕ сье ипсс с1гс1е, опе 1п сье с1«сьи1ве апд сье осЬег Еп сЬе сои«сев«1осьа1ве д1гесс1оп, ипс11 сьеу шеес ас сье ро1пс Л = -1; сЬеп опе оЕ сЬе гоосв аочев а1«пй СЬе геа1 ах1в Егоа СЬе ро1пг Л -1 Со сЬе 1еус, сье осьег со сье гсйьс, в1псе ьось аге геа1 апд л л - 1 (Р10. 24,ь).
тье 1 2 всаЫ11Су сопд1С1оп 1в вас1вЕ1ей Еог г < 1. Ьес ив сопвсдег сЬе СаисЬу ргоЫеа Еог сЬе Е«11о»1«2 ЬурегЬо11с вувсеа оЕ д1ЕЕегепс1а1 есиаг1«пв, девсг1Ы«2 сЬе ргорайас1«п оЕ воипд: СЬарсег 8 252 8оше Ввв1п Иесьойв Еог сЬе 8спйу оЕ 8таЫ11су во1пг1оп, 1п Еогш (13), оЕ чепеог 89. (29) попв1всв (ав сп ехашр1е 8) 1п сьас сье йесегш1папс оЕ сЬе вувсеа шЫпЬ Есхев и (чв, ав) шпаг чап1вЬ. 5еСС1п8 СЬ1в Т 0 йесега1папс со вето ае 8ес а Опайгас1е еопас1ап Еог 1 А(п), Егош аЫеЬ ае Е1пй сьас а Х 1+1те1пп-2г в1п 1 2 (ЗО) а 1 - 1г в1п ш - 2гв в1пс —.
2 2 ТЬеве ехргевв1опв аге апв1ойопв Со (16), апй ав 1п (17) ае 8ег 1 - )1 (а))2 4гс в1пч -(1 - гс). а 1,2 2 ТЬе врессгпш 81чеп Ъу 89в. (ЗО) 11ев 1п сЬе пп1С с1ге1е Еог г < 1. 4 ° Тасеога1 гергевеасасйоп ое сье во1асйоп.* сопвййег сье сапсьу ргоЫеа оЕ СЬе Еотш Ь пР + Ъ пс + Ь пс -1 ш"1 0 ш 1 ш+1 (а п + а » + а и ~ тфр, -1 ш-1 0 ш 1 ш+1 П1 (31) р - О, 1, ..., (Т!т)-1, „о а О, +1, е1сЬ сопвсапс соеЕЕЕе1епсв, аввпш1а8 сьас -1а 1а Ь е +Ь +Ьсе вО, (Э2) 0<а<2т. 01ЕЕегепее веЬешев (1), (15), (18) апй (21) саКе оп сЬ1в Тога ЕЕ ЬосЬ вЫев оЕ сЬе 81ЕЕегепсе е9пас1опв 1пчо1чей 1п сЬеве всЬешев вге шп1с1р11ей Ьу т. Ое поте Есгвг оЕ а11 сЬас, Еог агЫсгагу Ьоппйей пес ЕппсС1опв сф апй (ф ~, ргоЫеш (31) Ьав опе апй оп1у опе Ъоппйей во1пс1оп.
1п Тасс ЕЕ ЕС Ев а1геайу Кпоеп сЬат (» ), Еог а 81чеп Есхей р, ех1втв апй 1в Ьоппйей, сЬеп 89. (Э1) Ъесоаев ап огй1пагу 81ЕЕегепсе еопас1оп оЕ весопй огйег * Кевп1св оЬса1пей 1п сЬ1в весс1оп аге аос овей 1всег. Бресгга1 Апа1ув1в оЕ О1ЕЕегепсе СаисЬу РгоЫеш 25Э Ъ и +ЬОи +Ьи гф +лв и +аи +аи (ЭЭ) 1 -1аа С(о) — 2 с е (2» (Э4) сЬе виш оЕ иЫсЬ 1в а Еипсс1оп, С(»), во»ага-1»геЕ»»Ые оп сЬе 1псегча1 О<а< 2», 2» (С(»)(2 8» < О Сопчегве1у, ечегу Еипсссоп, С(а), воивге-1»сеЕгаЫе оп сЬе 1псегчв1 О < а < 2», 1в ехрапдаЫе 1п а и»14»е Роиг1ег вег1ев (Э4), а1сЬ соеЕЕ1с1епсв с 81чеп Ьу СЬе еоизс1оп 1 2» с — / С(а)е 8». 1»ш »2» О (35) РигсЬег, сЬеве соеЕЕЕс1епсв взс1вЕу Рзгвечас'в еоиас1оп 2» / (С(»)(йа 2 (с О ш (36) ТЬеогеш 1.
Яирровв СЪаг, Ел РгоЪЕвш (81) »их 2 ~фР~ < 2 (ф )2 < р а »1 тъвл ЕЬв Ьоилс(ш( во(ис(ол ос" ЕЪ(в ргоу(вш айш(св РЬв Елсеуго( гвргваелгагсол 2» „Р 2 / ОР(а)ес 8», (37) '2» О шьвгв еье вдиагв-Елсвдгаь2в еилос(ол О (») св йву(лей Ьу сьв гваиггвлов гесагфол ОР (а) Л(»)ОР(») + ФР(»), р О, 1, ... (38) Ъ е +Ъ, +Ье Неге Еог (и /, и1сЬ Ъоипдед »18Ьс-Ьапй в18е. ТЬе соггевропй1пЕ сЬвгассег1вс1с р+1 еоивс1оп Ъ + ЪОО + Ъ ч О, сЬапсв со (32), Ьав по гоосв, с е, еОиа1 Еа со опе 1п аой»1»в. ТЬеге(оге, ав вЬовп аС сЬе епд оЕ 253, 1С Ьвв а ип18ие р+1 Ъоип8ей во1»с1оп (и /. Вис (и~/ (ф / 1в 81чеп апй Ъоипйей( сЬегесоге ЕО. (33) веаиепс1а11у апб ип1сие1у йесега1пев Ъоипйед Еипсс1опв [и~/, (и~~, есс.
Ве1оа ие и111 пеей сЬе Ео11ои1пЕ че11оспочп Расс аЬоиг Роиг1ег вег1ев. ЕвсЬ веоиепсе оЕ пишЪегв с , ш О, +1„ ..., Еог иЫсЬ 2 (с ! < согш ш гевропйв со а сопчегЕепс (1п сЬе аезп-вииаге вепве) Роиг1ег вег1ев Оьарсес 8 дове Ввв1с Иесьодв Еос сЬе Бспду оЕ дсаЫ11су 1 ° -1вв Ов() =-р()-— <2х в Ф (а) — С Ф е чгч в апи Сье 7ипос(оп 1а в (е -1п (в + О+ Л(п) Ь(е + ЬО+ 1а Ь в св во оьовеп Сьас,,Еог еаоь а„д ч а ч гх, Сье пес 7ипосъоп и = Л (а) ехр (1ав) вас<в)(ев Сье Ьотодепеоие едиас(ох ооггевропй<пд Со Р Р дд.
(377. Не вау ргоче сЫв сЬвосев Ьу 81сасс впЬвс1спс1оп оЕ ехрсевв1оп (37) 1псо 89в. (31), ва1с1пд пве оЕ 89в. (34) впд (35) ° Оопведпепсев. 11, 1п (31), сЬв Еппсс1оп Ф = О, СЬеп Ф (а) 01 Ьу Р— Р ч1сспе оЕ (38) че Ьаче О (а) = Л (и) 7(п), епд Есоа (37) 1с Ео11оив сЬас 1 2ч и = — / Лр(а) 7(а)е да. 1ва <2ч 0 (39) ТЬе 1псвдга1 сергевепсвс1апв, (37) апд (39), сап Ьв пвед со впа1усв сЬе рсоресс1ев оЕ 811(есепсе всЬвве (31). де де(1пе посев ч1а сЬе еппас1опв Йп Й 1 ~п ~ ] ))и Й =пах Йп )(, в ЦФЦ = 4)Ф~ Ириг (40) ФР !)Ф)( + вах))Ф И Ь Ф й тьеосев 2. Рог Сье всад(Ису о7' дсууегепое воьете (877 ы(СЬ гевреос Со спсНаг оопНС(опв, Ф.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
