Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Со диагапсее Сье иаг(одсд оу' Сье ЕпедиаИСу Цп И <сипв)), р О, 1, (Л(а)( < 1 + с т, (4!) иьеге с поев пос ч(ерепс( ол Ь (ог ол т), 1 7ог агЬФСгагд пе Ф, ) (ФЙ < апх Фр = О, и(СЬ оопвСопс о пос дерепоЕпд в в' й оп Ь (ог оп ч = т(Ь)), ФС св пеоеввагд апй ви)у(о<вас Сьас Сье вреоСгит Л Л(а) Ие Еп Сье о(гоге (ЕО): в25 Врессга1 Апа1ув1в оЕ О1ЕЕегепсе СаисЬу РгоЫеа Ргооу. Р1гвс ие евсаЬ11вЬ виЕЕ1с1епсу. О1чеп (41), с1еаг1у [Л(а)[Р < [1 + с т[ < е (42) Ргоа гергевепсас1оп (39), «в1пд сЬе Рагвеча1 1пе9иа11су апд 1пе9иа11су (42), ве Вес т гч и 1/2 [[иР[[ [ [ЛР(е)О(а)[гда < е [ [О(а)[гда ]О 'Ь О с Т е [[ив[[ с[[ив[[.
месевв1су. Ое поч вЬом сЬас ч1о1ас1оп оЕ (41) Еог а11 ЕГхед с 1а- 1 р11ев 1пвсаЫ11су. ТЬе Еасс сЬас, 1п сЫв саве, сЬе во1ис1оп и Л (а)е, р О, р р Т 1в ипЬоипйед ав т О, саппос Ье ивед ав а ргооЕ оЕ 1пвсаЫ11су, 61чеп поги (40), в1псе [ехр(1аа)] доев пос Ье1опд со сЬе врасе оЕ пес Еипсс1опв висЬ сЬас сЬе впав оЕ асиагев оЕ сЬе аоди11 оЕ Еипсс1оп ча1иев, очег а11 пес" ро1пгв, 1в Ъоипдед. То ргоче 1пвсаЫ11су ие посв, Е1гас, сЬас, опе сап а1иаув сЬоове а воиаге-1пседгаЫе Еипсс1оп, О(а), 1п висЬ а вау ав со вас1а(у сЬе 1пепиа11гу 2ч 2п [Л(а) [ Р[О(а) [гйа > аах( [ Л(а) [ Р— в] — [ [О(а) [гйа, (43) О а О вЬеге е > О 1в агЫсгагу ° Ти Гасе 1Е аах[Л(и)[ [Л(а*)[, ее аау гасе а ! 1, 1Е а 1в 1п [ав - б, а* + 6[, О(о) О, 1Е а 1в пос 1п [а* - 6, а* + 6[. Весаиве оЕ сЬе сопс1пи1су оЕ сЬе Еипсс1оп [Л(а)[, (43) в111 Ье вас1в(1ед гр 1Е б 6(в) 1в саЬеп ваа11 епоиВЬ.
ТЕ (42) 1в пос вас1вЕ1ед, сЬеп опе свп Е1пд а ведиепсе оЕ Ь 'в, апд а соггевропдтпд ве9иепсе т т[Ь ], Еог иЫсЬ ]Т/т ] с = [аах [Л[а, Ь ][] ав Ь Ь ' Ь Ьес «в вес с 1 апд сЬоове а О(а) висЬ сЬас (43) 1в вас1вЕ1ед. Ав оиг ае9иепсе ]и ] че гасе сЬе веоиепсе оГ Роиг1ег соеЕЕ1с1епсв оЕ сЬе Еипсс1оп О(а). ТЬеп (43), в1сЬ р [Т/т], сасев сЬе Гога [[» [[ > тЛс - 1][[ив[[, с т, ав Ь О, — Ь Ь ОЬарсег 8 Яоае Яав1с ИесЬойв Рог сЬе Ясийу о( ЯсаЫ11су 256 Ии )! < (1+с т)))и )) Ф ствах ))Ф )), и (44) Егоа аЫсЬ, с1еаг1у, 1с Ео11»вв сЬас, Рог а11 3 висЬ сЬас р > 3 > О. Яиа»1ия сЬе 1е(с- апй г18Ьс-Ьапй в1йев о( сЬе 1пеяиа11су Рог 3 О, 1, р сета Ьу сета, апй й1всагй1пя 1йеис1са1 сегав оп сЬе 1еус- апй г18ЬСЬапй вЫев, ие 11пй ве сап вг1се ))и~ )) < (1+от) ))иои +с тр(1+с т) аахиф И < и сТ сТ (Ь) < (1 + с т)е ' ))и~)) + с Т е аах ИФ И < сопвг'))Е п Ь чЫсЬ, 1п ч1еч оу сЬе агЫсгаг1певв оЕ р, р О, 1, ..., (Т/т)-1, 1ар11ев вгаЫ11Су.
То ргоче (44) ае иве сЬе 1псеяга1 гергевепсас1оп о( сЬе во1иг1оп, (37), апй сЬе гесиггепсе ге1ас1оп (38), Тгоа вЬ1сЬ 2ч и — ~ О (»)е йа )с+1 1 1с+) 1»а чг о 1 2ч 2ч — А(»)О (»)е йа + — / )с 1»а Ф (» е й». (45) 1»а чгч о (2х О Ъе +Ь +Ъ е ТЬив сЬе пес-Еипсс1ал (и ) »Е СЬе агяиаепс а Ьав Ъеел гергевепсей ав СЬе 1с+1 виа »Е сво пес Рипсс1опв, вг1ссоп 1п сЬе Рога ог 1»сеяга1в о вг сЬв рагааесег а. Ов1пя Рагвеча1'в евиас1оп ве аау вг1се, Рог сЬе логав о( сЬеве сво пес-типсс1опв вЫсЬ Ллйеей в18па1в 1ивсаЫ11су и1сЬ гевресс со 1п1с1а1 йаса.
тьеогеа 3. Рог всаьсгссу о7" сьв саиоьу йъуувгвлав ргоыва (82), у(ивл логав (Фс), (с Фв лаоаааогу алй вы77(о(влс суас суа вреоггог всаЬсИсу егсрвгссвт (В!) Ье ваСсвуйвй. Ргоо(. Месевв1су 1в оЬч1оив, в1исе ч1о1ас1оп оР сЫв сг1сег1ол 1»- р11ев, ч(а ТЬеогеа 2, сЬас сЬеге 1в по всаЫ11су а1сЬ гевресс со 1п1с1а1 йаса. То ргоче ви(Р(с1епсу ве а111 евсаЫ1вЬ сЬас Рог ечегу Ь > О ве Ьаче сЬе 1пес)иа11су 257 $25 Ярессга1 Апа1ув1в оЕ 01ЕЕегепсе СаосЬу РгоЫеш ! 2ч — / Л(а)О (а)е да (/(Л(а)О (а)(хда) < ~72х 0 1/2 < аах )Л(а)) / )О (а)(гда < (1 + с т) ° ((и )); а 10 т / да < п 1/2 )Ф (а))сда 0 < а1 а ((Ф (( < тс шах ((Ф п Ргош сЬеве 1авс сво Ьоипдв оп сЬе потах оЕ сЬе сегав оп сЬе г1ЕЬс-Ьапд всде оЕ ЕО.
(45) ве Еес Ьоппд (44), сошр1ес1пЕ сЬе ргооЕ. Опе свп вЬов сьас 1Е, 1а р1асе оЕ сье пота 1п (40), опе васев ((пр() ви )пр~ сЬеп сЬе врессга1 сг1сег1оп ) Л(а) ( < 1 + с т а111 по 1опдег Ье а впЕЕ1с1епс 1 сопд1с1оп Еог всаЫ11су. Рог сЬе свпсЬу д1ееегепсе ргоЫеа еог а вувсеш оЕ еФаас1опв сыв сг1сег1оп 1в аеа1п оп1у а песеввагу сопд1с1оп Еог всаЫ11су. *ваш*а ТЬе 1псеЕга1 гергевепсас1оп (37) оЕ сЬе во1ас1оп оЕ сЬе СаисЬу 41ЕЕегепсе ргоЫеш 1в пвед, пос оп1у 1п сЬе всоду оЕ всаЫ11су, Ьвс а1во со Ьг1пЕ опт оСЬег ргорегг1ев оЕ а 41ЕЕегепсе всЬеае. ТЕ, Еог ехашр1е, сЬе врессгпш Л Л(а), Еог а Ф О, 11ев всг1сс1у 1пв1де сЬе пп1с с1гс1е, сЬеп СЬе во1пс1опв и ЛР(а) ехр (1аш) Еог вЫсЬ а Ф 0 вге дашред, Егош 1ече1 со 1ече1, Ьу сЬе Еассог Л(а). Ргош ЕФ.
(39) 1с 1в с1еаг сьвс, еог (т/т) р, опе еесв а пес-еопсс1оп, соггевропд1пе со сЬе Еппсс1оп Л (а)Ф(а), вЫсЬ 1в сопсепсгасед 1п сЬе ЛопЕ"чаче-1епЕсЬ геЕ1оп (а 0). ТЬе 41ЕЕегепсе всЬеше "вшоосЬв" сЬе 1п1с1а1 дага. 5. ЕшоосЫвЕ оЕ сЬе ФЕЕЕегешсе ао1иг1оа ва а гева1с оЕ арргох1швс1оаа1 чсвсовсгу. (Ее Ьаче вееп сЬас сЬе врессгпш оЕ СЬе дЕЕЕегепсе всЬеае СЬарсег 8 8оше Вав1с иесьойв еог сье 8сийу оЕ 8са8111су р+1 р р О, а О, +1, т р О, 1, ..., [Т/с)-1, (46) нв" р(х), ш 0,41, арргох1шас1п8 сЬе СанпЬу ргоЪЛеш д» дн — — О, аС дх <х<,0<с<Т, (47) н(х, 0) Ф(х) - <х< ав 11ше ргойгеввев, Ьу вЬЕЕс1п8 сЬеве йаса со сЬе 1еес. тЬив сье во1ис1оп оЕ ргоЬЛеа (47), соггевропй1п8 со сЬе 1п111а1 сопй111оп и(х, 0) " ехр(1ах), 1в н(х, с) ехр(1«с)ехр(1«х), апй сье еассог ехр(1«с) 1в еона1 со опе 1п шойн1нв.
ТЬе сошрнсас1опа1 вшоосЬЕп8 оЕ сЬе во1нс1оп, вЬ1оЬ осенгв аЬеп опе ивев 81ЕЕегепсе всЬеше (46), шау Ье нпйегвсоой ав сЬе шап1(евсас1оп оЕ ап "арргох1шаг1оп ч1внов1Су", сЬагасСег1вг1с оЕ СЬЕВ внЬеше. Лег нв ех- р1а1п вЬас не аеап Ьу арргох1шас1опа1 ч1всов1су. 1Е сЬе е4нас1оп д дн Лс - д-х" О 1в сасеп ав сЬе в1шр1евс аойе1 оЕ ап е4нас1оп оЕ шос1оп Еог а поп-ч1веонв 8ав, сЬеп 1с 1в паснга1 со сесе сЬе е4нас1оп дн дн дсн дс д» дх (48) ав а аойе1 е4нат1«п Еог сЬе аоС1оп оЕ а 8ав н1СЬ а ч1воовссу, и > О, вшоосьсп8 сье во1нс1оп. н1сь сье 1п1с1а! сопй1с1опв и(х, 0) ехр(! «х) сье во1нс1оп оЕ 84. (48) Ьав сЬе Еогш -н«дса1«с 1«х л( 1«х и(х, с) е рог Н 0(т) апй с т сЬе Еассог, Л(а, с), йашр1п8 сЬе Ьагшоп1с ехр( 1«х), шау Ье вг1ссеп сЬнвт 1п сЬе с1ге1е Л 1 - г + г ехр (1«), 0 < а < дт. рог г < 1 еаеЬ ро1пс Еог вЬЕоЬ « Е 0 соггевропйв со а ро1пс оЕ сЬе врессгна Л(а) висЬ сЬат !Л(«)! < 1.
ТЬЕв аеапв СЬас ечегу Ьагаоп1с ни ехр(1«шЬ), врее111ей ч1а 1п1С1а1 йаса, 1в йашрей, Ье1п8 шн111р11ей Ьу Л(«) ас еасЬ всер Егош опе 1ече1 со апосЬег; 1п сЬе сонгве оЕ с1«е сЬе во1ис1оп 1в вшоосЬей, в1псе Еог вша11 «Ь (1.е. Еог Лоа-Егевнепсу Ьагаоп1ев) сЬе йашр1п8 1в веадег. Моте сЬаС сЬе во1нс1«п оЕ сЬе 81ЕЕегепс1а1 ргоЬ1еш (47), н(х, с) Ф(х + с), йоев пос Ьесоше вшоосЬег н1сЬ с1ше; 1с 1в оЬса1пей Егоа сЬе 1п111а1 йаса, Зрессга1 Апа1ув1в оЕ 01ЕЕегепсе СаисЬу РгоЫеш 259 ог тг 1(а, т) 1 - иигт Е 1от - — + о(тг). 2 (49) Уе иН1 аввшпе сЬас сЬе во1«с1оп и оЕ сЬе НЕЕЕегепсе ргоЫеш сап Ье (Ы йеЕ1псй 1п висЬ а иау, ч1а аи»111агу сопй1С1опв оисв(йе СЬе пес, сЬас сЬе гев«111а8 вшоосЬ Еипсс1оп и (х, с) ш111 Ъе Ьоипйей ип1Еогш1у 1п Ь, (Ы соЕесЬег иссЬ 1гв йег1чагсчев ир со ЕоигсЬ огйег.
ТЬеп аг СЬе пес-ро1псв, (х, с), ив1п8 Тау1ог'в Еогш«1а ие шау иг1Се (Ь) (Ь) (Ь) (Ь) 0 и (х с + т " и (х с) и (х + Ь с - и х с т Ь ( ) ....(и ~~,л3 ( .в~. () () () ас ь 32«(Ы 2 (ь) — + Ьгв (х, С). Неге апй Ье1ов в , в апй с аге Еипсс1опв «п1(ога1у Ъоипйей 1п Ь (Ь) (Ь) (Ы Со8есьег и1сЬ сье1г йег1чвс1чев. Ргоа (50) 1с Ео11овв, 1п рагс1си1аг, СЬас аи(ь) а Р ) (ь) — + Ьв (х, с) ас а» 2 (50) 01ЕЕегепс1ас1пЕ сЫв 1йепс1су »ЕЕЬ гевресс со с иа Зес (ь) а т (ь)т зв г (ь) зв (Ь) (Ы (Ь) 2 дв г (Ь) + Ь + Ь вЂ” — + Ьс 2 3 и (Ы ах ас аг 5 Зс Зх Зх Хпвегс1п8 СЬе аЬоче ехргевв1оп Еог 32» /Зсг 1псо Е9.
(50), апй й1всагй1п8 (Ь) се»ив вша11 со весопй огйег, ве Еес а й1ЕЕегепс1а1 е9«ас1оп оЕ Еогш (48), ар(ь) ар(ь) Ь - т 320(ь) ас ах 2 а 2 (51) Зх Ь "т ог тг ь Х(о,т) 1 - — огт + 1»т - — + о(тг) 1 + 1ат - — огт + о(тг). (52) 2 2 г Рог ип ехр(1«х)! ехр(1ашЬ), Ьу й1ЕЕегепсе всЬеше (46) ие Зес, ас ш х шЬ с т, сь1в ваше Ьагшоп1с ш«1с1Р11ей Ьу сЬе Еассог »ЫсЬ ие в111 сопвсйег, пос )иве оп сЬе пес, Ьис счету»Ьеге Еог с > О. Тьив йсЕЕегепсе есиас1оп (26) Ьав сит«ей оис со Ье "Ьав1са11у еси1»а1епс" со сЬе (Ей)7'вгвпсйаг арр»ахйяасйоп (51), высь 1в ап е9«ас1оп ое Ропп (48) »1сЬ вша11 ч1всов1су В (Ь - т)/2.
ТЫв чсвсовйсу 1в са11ей арргахпшас(апаг в1псе Ес аг1вев ав а гев«1с ое сье арргох1аас1оп ое ргоыеш (47) Ьу й1ЕЕегепсе ргоЫеш (46). 01ЕЕеге»С1а1 е9«ас1оп (51) ваоосЬв сЬе 1п1с1а1 паса Ъав1са11у 1п сЬе ваше иау ав всЬеше (46). Тп Расс 16 0(х, 0) ехр(1ах) СЬеп ас с1ше с т сЫв Ьагшоп1с, ассогйс«8 со Ес. (49), 1в ши1СЕР)сей Ьу Рг1пп1р1е оЕ Ргохеп Сое(11о1епгв 261 арргох1шаС1пй СЬе СапоЬу ргоЪ1еш ап а, — + А — О, ас ах -"<х<, с >О, о(х, 0) Ф(х), - < х < со огйег 0(т + Ь ), ваг1вЕ1ев сЬе вреогга1 всаЫ11су сг1сег1оп Еог апу г т/Ь апй апу оопвгапг А. 4. Ргпйу СЬе Ео11ов1пй ргей1ссог-соггессог й1ЕЕегепсе всЬеше Еог сЬе во1пс1оп оЕ СЬе СаосЬу ргоЫеш и + Ап О, «(х, 0) Ф(х)т с х р+1 р р+1/2 рч1/2 "'-1Ы. „ т Ь 1 р - О, 1, ..., ш О, +1, в А попас, вьете сье 1псегаей1асе пес еопсс1оп и" (и ~ 1в р+1 /2 р+1 /2 а+1 /2 йесегш1пей Егош п [и ~ 1п Сао вгайев: Е(гвг опе оа1пп1агев чр (чр) ав сЬе во1ы1оп оЕ сЬе йЕЕЕегепсе ргоЫеш р+1/2 р р+1/2 р+1/2 ч -и ч -ч + А О, ш О, +1, т 2 апй сЬеп и (и ~ чса сЬе ехргевв1оп р+1/г р+1/г а+1/2 р+1/2 р+1/2 р+1/2 р+1/2 р+1/г ~ ~ Н1 а +г ш+1 /2 2 2 РЬоа сЬас 1Е сЬе 1псегро1ас1оп рагашесег о 11ев 1п сье 1асегча1 0 < о < .25 сЬеп, Еог апу г т/Ь попас сЬе вреосга1 всаЫ11су оггсег1оп 1в вас1вЕсей.
Рог а 0 сЬе чЬо1е вреосгпа 11ев оп СЬе пп1с с1гп1е, апй Еог 0 < о < 0.25 1с 1в 1осасей 1п сЬе пп1с о1гс1е апй сопоЬев сЫв с1го1е оп1у Еог 1 1. ТЬе е1йепча1пе 1 1 ооггевропйв со сЬе е1йеп(ппос1оп и (+1) 26. Рг1пп1р1е оЕ Еговеп поеЕЕЕп1епгв Неге ве ргевепс а шесЬой аЬ1сЬ Нгеас1у ехрапйв сЬе с1авв оЕ с1шейерепйепс йШегепсе воЬешев аЫоЬ шау Ье вспй1ей сЬгопРЬ пве оЕ сЬе врессга1 всаЫ11су сг1сег1оп. тЫв песеввагу оопй1с1оп Еог всаЫ11су, йече1орей 1п 525 еог сье вспйу ое сье саппьу йшегепсе ргоыеш в(сь сопвгапг соеЕЕ1с1епгв, сап Ье «вей а1во 1п сЬе саве оЕ СапсЬу й1ЕЕегепсе всЬешев в1СЬ "оопс1ппопв", Ьпс пос сопвсапс ооеЕЕ1п1епсв, апй, ав ве11, Еог ргоЫеав 1п Ъоппйей геН1опв аЬеп сЬе Ъоппйагу сопй1гсопв аге Р1чеп поС оп1у Вове Вав1« МесЬойв Еог СЬе Всийу оЕ ВсаЫ11су ОЬарсег 8 262 ас сЬе с О 11ше-Ьоипйвгу, Ьнс а1во оп сЬе в«йе Ъонпйаг1ев.
ТЬ1в шеСЬой сап а1во Ье иней Еог сЬе вснйу оЕ поп11певг ргоЫешв. 1. рговеп еоеЕЕ1«1епСв ас 1асег1ог ро1асв. Ие ч111 Еогшн1асе сЬе рг1пс1р1е оЕ Егохеп соеЕЕ1«1епсв ив1пВ, ав ап ехашр1е, сЬе Ео11оч1п8 81ЕЕегепсе Ьонпйвгу-ча1«е ргоЫей: н - « р+1 иР -2« +н й ш ( ) ш 1 й ш+1 а' 12 р = О, 1, ..., (ТЕС) - 1, и" ф , ш О 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
