Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1.ес пв сопг1ппе Со ехаш1пе ргоЫеш (1). ие в111 аввпше, Ьегеаусег, СЬаС а(х, С) - =1, апй соарпге сЬе врессга Еог а11 сЬгее ргоЫешв (2), (4), р+1 р+1 ВЕСЬ 1 0 2 М БпЪвс1Спс1пБ сЬе во1пс1оп и Л и 1пго 81ЕЕегепсе ебпас1оп (2) ве Бес т г (Л - 1)п - г(п " 2о + и ) 0 ш ш+1 ш ш-1 (б) ТЫв 1в а весопй огйег 81ЕЕегепсе еБпас1оп. 81ш11аг еБпас1опв Мане Ъееп 1пчевс18асей 1п ОЬарсег 1.
То Е1пй сЬе Бепега1 во1ос1оп оЕ ВБ. (б) ие 11гвс сопвсгпсс сЬе сЬагассег1вс1с еопас1оп 82+ (2+ — )ц+ 1 О. г 11 Б 1в а гоос оЕ сЫв ецпас1оп сЬе пег Еппсс1оп Лр ш 1в опе оЕ сЬе во1пс1опв оЕ сЬе еОпас1оп п -и и -2п +» р+1 ш ш +1 ш ш-1. О Ьг 11 (9! 1, Е.е. Ч ехр(са), сЬеп сЬе пес Еппсссоп ор Лре ш Ьоппйей ав ш в + апй ш в - 1в а во1пс1оп, ав ве вав 1п 525, Еог 267 Рг1пс1р1е оЕ Рговеп СоеЕЕ1о1епсв а Л 1 - 4гв1пг г' о< а< гч. ТЬеве Л Л(а) Е111 сЬе 1псегча1 1 - г < Л < 1 оп сЬе геа1 ах1в. Ргео1ве1у сЫв Лпсегча1 1в, сЬеп„СЬе вреоггпш аЕ ргоЫеа (2).
ТЬеге аге по е1бепчвспев, Л, оЕ ргоЫеш (2) чЫсЬ йо пос 11е 1п сМв 1псегча1 в1псе, 1Е сЬагассег1вс1с евпас1оп (7) Ьав по гоосв, а, еопа1 со пп1су 1п аойп1пв, ргоЫеш (6) Ьав по во1пс1опв Ьоппйей ав ш ч е ТЕ Л йоев пос 11е оп сЬе 1псегча1 1 - 4г < Л < 1, сЬеп ЬоСЬ гоаев оЕ сЬагассег1вс!с евпас1оп (7) аге й1ЕЕегепс Егоа опе 1п аойп1пв, Ьпг сЬе1г ргойаос 1в евпа1 со сЬе сопвсвпс сегш оЕ Еа, (?), 1.е. 1в еопа1 со опе. ТЬегесоге опе оЕ сЬе гоогв оЕ (7) 1в Ргеагег СЬап, апй сЬе осЬег 1евв сЬап пп1су.
Рпррове, еог сье васе ое йее1п1сепевв, сьас (ц ! < 1 апй (и ! > 1. ТЬеп сЬе Репега1 во1ос1оп оЕ (6), йеогеав1пб 1п шойа1пв ав ш а +, Ьав сбе Еога п с(П (Л)! апй СЬе Репега1 во1пс1оп оЕ (б) Сепй1па Со гего ав ш - Ьав сЬе Еогш !,(Л)1'. То йесега1пе сЬе е1бепча1пев оЕ ргоЫеш (4) опе апас впЬвс1сасе а се (Л) 1п СЬе 1еЕС-Ьапй Ьоппйагу сопй111оп 1 п 0 апй 11пй а11 СЬове а 1 1 Л Еог шЫсЬ 1с 1в вас1в(1ей. ТЬеве в111, сЬеп, Ье а11 сЬе е1бепчв1пев оЕ ргоЫеш (4). 11, Еог ехашр1е со во О 1 О 0 СЬеп СЬе сопй1с1оп сов О 1в пос Еп11111ей Еог апу с а О, во сЬас сЬеге 1 аге по е1бепча1аев. Те 1 и и - и 0 сьеп сье сопйсс1оп со~ - сов = с(п - 1) О, 1п 1 0 1 1 1 ч1еч ое сье Тасс сьас о в 1, 1еайв со с 0 во сьас, ага1п, сьеге аге по 1 е1бепча1пев.
11 1 и 2п - и О, СЬеп СЬе оопй1С1оп с[20 " 1! 0 1в Еп1Е111ей 1 0 1 Еог с а 0 1Е П 1/2. Ргош ЕО. (7) че 11пй СЬаг, Еог О 1/2 Л 1в а1чеп 1 Ьу Л 'Л 1 -4+ 4 с" 1+г В -2Š— 1аг 01,/ 2 1 +— 2 ТЫв 1в, 1п Евое, сЬе оп1у е1бепча1ае оЕ ргоЫеш (4), апй 1с 11ев оасвсйе СЬе пп1С о1гс1е, в1псе Л 1 Е г/2 > 1. ТЬе е1гепчаЛпев оЕ ргоЫеш (5) аге сошрпсей апа1овопв1у. ТЬеу аге Россеп Егош сЬе еопас1оп 1 и О, г и СЬарсег 8 Вове Вав1о месьодв Еог сЬе Вснду оЕ БсаЫ11су 268 н 92, 92 92(Л), ш М, М 1, М - 2, Ие саЬе ав епосЬег ехашр1е сЬе д1ЕЕегепсе всЬеше р+1 р р р н - н н - н ш е+1 а - о, р - о, 1, ..., (т(с)-1, ш = О, 1, ..., М"1, МЬ 1, н" Р(х ), а О, 1, ..., М, р+1 р+ о, (8) арргох1шас1п8 сЬе ргоЫеш н "н О, 0(х(1, 0(с(Т, с х н(х, 0) р(х), н(1, с) О. Ъес «в ехаш1пе сЬе всаы11су оЕ сЫв ргоЫеш «1а сЬе ВаЪепсо-Ое1(апд ег1сег1оп.
Ве аавоо1асе, м1сЬ в«Ьеше (8), сЬгее ге1асед ргоЫешвс сЬе ргоЫеш в1сЬонс в1де-Ъонпдаг1ев (9) сЬе ргоЫеш н1сЬ оп1у а 1еЕс"Ьапд Ъонпдагу О, а О, 1, (10) апд СЬе ргоЫеш н1СЬ оп1у а г18Ы-Ьапд Ъонпдагу « "и нр н 0 а М "1 М-2 о, р о, 1, . ° °, [т(г)1. р+1 1п СЬе саве оЕ рг«Ыеш (10) в1СЬ оп1у а 1еус-Ьапд Ъонпдагу СЬеге 1в по Ъонпдагу сопд111оп, в1псе сЬеге вав по 1е(с-Ьапд Ьонпдагу сопд111«п 1« сЬе ог181па1 ргоЪ)еш (8). $26 Ргсп»1р!е оЕ Ргохеп ОоеЕЕ1»сепсв 269 с!е шивс пов совр»се а11 сЬе е1пепча1»ев ое сЬе сьгее сгапв111оп р+! орегасогв Егош и со и , соггевро»61»в со еа»Ь оЕ сЬе сЬгее аих111агу ргоЬТешв (9), (!О) апй (1!), апй деСегш1»е ипйег вЬас оо»6111»пв сЬеу 11е 1п сЬе »1г»1е )Л) < !. ТЬе во1ис1оп оЕ сЬе Еога „Р ЛР О и»бег СЬе в»ЬвС1гит1»п ир (1 - г)» + ги +! ш ш ш+1' т г хе»атагов СЬе Ео!!»»1»В ог61»агу Естес огйег 61ЕЕегепое еоиас1»п Еог сЬе е1йе»Е»п»С1»пв: (12) (Л - 1 + г)и - ги > О.
а о+!в ТЬе ооггевро»61»в »Ьагаегег1вс1» епиас1»п (Л-свг)-ге О ш 1+г и »О с ) * ш г о=О, е! Рог (О) = 1, о ехр(1»), О < о < 2в Л (1-г)+ге 1» ТЬе ро1пг Л Л(а) сгачегвев сЬе рег1шесег оЕ а осг»1е »1СЬ сепсег ас ро1пс ! — г апй га41»в г. ТЬсв рег1весег 1в, сЬеп, сЬе е1хепча!ие вреосгиш оЕ Я аР Р1в. 26 рг»Ь!еш (9) (вее Р1в. 26,а). ш + ТЬе попег1ч1а1 во1»с1оп йесгеав1»а ав и Л о Л ргоч1йев а соппеос1оп Ьееввва Л апй о. ТЬе рапота! во1»С1оп оЕ Ьц.
(12) 1в СЬарсег 8 Вове Вав1« МесЬойв Еог сЬе 5сийу оЕ 5саЫ11су 270 ех1всв Еог апу 5, (5( < 1. Соггевро«81«В е15епча1«ев 1 1 - г + гн, «1еаг1у, Е111 сЬе 81ве Ьоипйед Ьу сЬе «1г«1е 1 (1 - г) + г ехр(1«) (Р15. 26,Ь). Р1па11у, сЬе во1«С1оп «Е рг«Ыеш (11), «р Кри , йесгеав1«8 ав ш - , шивс Ьаче сЬе Еогш н «18, 1Ч( >1, вЬеге Л апй Ч аге он«па«сед Ьу ВЧ.
(12). Ргош сЬе Во««дату со«81с1«п и 0 1С Ео11оив сЬас а попсг1ч1а1 во1«С1оп (е в 0) ех1втв оп1у Еог 1 р 1(Н) О, 1.е. Н (г - 1)/г. ТЫв ча1«е оЕ Ч 1в Вгеасег сЬап опе 1п шо8«1«в 1Е е1ЕЬег (т - 1)/г > 1 ог (г - 1)/г < -1. ТЬе Е1гвг еоиас1«п Ьав по во1«с1опс сЬе во1ис1оп «Е сЬе вес«ай 1в г < 1/2. ТЬ«в Еог т < 1/2 ргоЬ1ее (10) Ьав СЬе е18епча1«е 1 О (Р15. 26,«). 1п РЕВ. 27,а,Ь апй о аге гергевептед сЬе соса11су оЕ е18епчасиев оЕ сЬе с+а© (Е/ /е~ ф Хг / С) РЕВ. 27.
сЬгее ргоЫешв Еог т < 1/2, 1/2 < г < 1, апй г > 1. С1еаг1у сЬе вес оЕ а11 е18епчв1«ев оЕ а11 сЬгее ргоЫешв 11ев 1п сЬе «1г«1е (1~ < 1 + ст, чЬеге о доев пос Иере«8 оп Ь, 1Е апй о«1у 1Е г < 1. ТЬе аЬоче веаЫ11су сг1Сег1оп Ест попвсас1опату ргоЫешв оп ап 1псегчас, сасспВ 1псо а«ооипс сЬе 1п(1«енсе оЕ Во««дату со«81с1«пв, 1в арр11" саЫе со Ьоипйагу ча1«е ргоЫешв оп ап 1псегча1 а1во Еот вувсешв оЕ 81ЕЕетепие еЧ«ас1«пв. 1п сЫв саве веешсп81у пасига1 81ЕЕегепсе в«Ьешев, вас1вЕу1«5 сЬе Чоп Меишапп сг1сег1оп, оЕсеп ситп оис со Ье нпвсаЫе Ьеоанве оЕ ап «пвас1всаосогу арргох1шас1оп со сЬе Во««дату со«6111«пв, апй 1с 1в 1шроггапс Со Кпоч Ьоч со «Ьоове в«Ьешев Егее Етое сЫ« йе(еос.
1п СЬарсег 14 не н111 гесигп Со а 81воива1«п оЕ сЬе Васе«К«-Ое1Еапй вреисга1 сг1сег1оп саК1пВ а Ьгоайег ро1пс «Е «1еч* 1п рагг1««1аг ве ч111 дев«пассате г15огоив1у сЬас Еи1Е111шепс оЕ сЫв со«81с1«п 1в песеввагу Ест всвьс!1су, впд сьас 1е 1с св ввссвЕсей сЬеге еаппос ье а "Вговв" 1пвсаЬссссу. РВОВЬВМВ 1. ВЬоч «идет чЬас со«8111«пв сЬе вреосга1 всаЫ11су сг1сег1оп 1в ват1вЕ1ей Еог сЬе ЙЕЕЕегепсе в«Ьеше 526 РгЕпсср1е оЕ Ргосеп Сое((сссепсв 271 н "н а ш тн 1-2н+и 1 РРР— 0 2 н - и ш+1 ш-1 ш1,2,...,М1, ну(х),ш0,1,...,М, р+1 "Мр р - О, 1, ..., (Тут)-1, Р+1 р р р 0 0 1 0 0 Ь арргохсшасЕпд сЬе АЕЕЕегепсса1 ргоЫеш н-нО,О<х<1,О<с<2, с х н(х, 0) Р(х), н(0, с) н(1, с) 0 оп а вшоось во1нссоп и(х, с) со весной огйег сп ь.
Апвиег: т/Ь < 1. 2. То еопвсгнес а 01ЕЕегепсе всЬеше арргох1шас1пд сЬе Ео11оеЕпд Ьонпйагу-ча1не ргоЫеш Еог сЬе ЬурегЬо11с вувееш оЕ АСЕЕегепсса1 еенассопв дч Эе '3 0 < х < 1, 0 < С < Т, Эи Эч ЭС Эх Э Э вЂ” н -А — и=О дс Эх 0> = Р( >. с> - и(1, с) О, н(х, ч(0, чЬеге Тасе, ав а пес, (х , с ) (шЬ, пт), Ь = 1/М, М а ровсгсче спседег. Бес ч(х, 0) = Р (х), н(х, 0) = Р (х), ч(0, с) е(1, с) = О, ее вес н(х, С) = (ч(х, с), е(х, С)), апй игссе СЬе анна<сои Еп шасгсх Еопв Т Бове Бав1» ИесЬойв Еог сЬе Бс»йу оЕ БсвЫ11су СЬврсег 8 272 р+1 р „р ш ш ш+1 а 1 т 2Ь Р т 2 "ш+1 2 -2» +» ш ш "1 Ьд 1, 2, ° ° ., М-1, »" Ф(х ), О М То сошр1еСе с»пест»сс1оп оЕ сЫв в«Ьеше 1с 1в песеььату са 1шрове айй1с1опа1 Ъо»пйагу сопй1с1опв оп сЬе 1еЕЕ апй г18Ы всйе-со»пйег1ев.
мос1»Б сЬас, Еог апу «впй 6, 1с Ео11очв Етош сЬе вувсеш оЕ 61ЕЕетепс1а1 еп»аг1»пв СЬаС д(ч + Вы) БЕч а Вч~) дС дх х=1 ше рове СЬе в»рр1еаепгагу йЕЕЕегепсе Ьо»пйвгу-сопйсс1опв весс1п8 [чр + «ы~ ) " (ч~ + «чр) О О О О [чр + «чр) - (ыр + «чр) 1 1 О О Ь (ч'+'+ Вш'+ ) - (чР + Вчу) (чР + 6чР) - ~ыР + Вч' ) М М М М М М И"1 М-1 Ь О»Нег сЬе сопйсс1оп г = т/Ь < 1 вЬоч сЬвсс в) 1Е «1, В -1 ЕЬе врессга1 всаЫ11су сг1сег1оп 1в ввс1вЕ1ей; Ь) 1Е « -1 сЬеп, тедагй1евв оЕ сЬе »Ьо1се оЕ 6 СЬе врессгв1 всаЬЬЫсу сг1сег1оп 1в пос ввс1вЕ1ей. с) Р1пй сье сопй1с1опв чы»Ь «впй В ш»вс оЬеу во сЬвс сЬе врессга1 всаы11су пг1сег1оп е111 ье вьс1весей, сас1»Б восо»пс ое сье 1пе1»епсе ое Ьо»пйагу сопй1с1опв.
$27. Нергевепсвс1оп оЕ сЬе во1»с1оп ое вове аойе1 рг»ЬСвшв 1» СЬе Еога оЕ Е1п1ге Ро»г1ег вегсев. Неге че ргевепс ехашр1ев оЕ аойе1 ргоЫешв ыЬове в«1»с1опв сап Ье гергевепгей 1п сЬе Тога оЕ Есп1се Ро»т1ег вег1ев. Б»»Ь гергевепсаг1опь вге оЕ Бгеас ча1»е в1псе сЬеу в11ош»в со»пйегвсвпй СЬе ргоретссев »Е сЬе 81чев шойе1 ргоЫеав, впй сЬ»в оЕ сЬе с1ывв оЕ ргоЫешв сЬеу шойе1. Р1гвс ше ш»вс ехр1а1п чЬас 1в аевпс Ьу в "Ро»г1ег вег1ев" Еог а пес Е»п»С1оп. 1. Рошг1ег вег1ев еог аес Еаппс1опв. Ьес »в сопв1йег сЬе вес ое в11 гев1 Е»псс1опв ч )ч ), йеЕ1пей ас сЬе ро1псв х шЬ ш О 1, ..., М, а ш 1 Ф гуз Р1п1ге Ропг1ег Регсев МЬ 1, апй чап1вЫпс ас а О апд ш М.
ТЬе вес оЕ впоЬ Еопос1опв, а1опР в1СЬ ЯЬе огОЯпагу орегас1опв оЕ айй1с1оп, апй оЕ шп1с1р!1оас1оп Ьу геа1 ЕасСогв, Еогшв а 11пеаг врасе. ТЬе ОсшепвЯоп оЕ СЬ1в врасе 1в М"1, в1псе СЬе вувгеш оЕ Еппос1опв О, 1Еавс, 1, 1Е ш Ь, 1с 1, 2, ° , М-1, с1еаг1у Еогав а Ьав1в. 1п Еасс еасЬ Еппос1оп ч " (ч , ч , ..., ч ), М ч ч О сап Ъе гергевепсей пп1опе1у ав а 11пеаг оошЫпас1оп оЕ сЬе Еппоссопв Ф( , Ф( ), ..., Ф( ч(1) Ф(м-1) 1 М 1 М (ч, в) Ь с ч а а О Сес пв пов вЬов сЬас ЯЬе вувсеш оЕ Еппсс1опв Ф(1с) )/2 в1п Ьчш) Ь = 1, 2, ° , М-1, (2) Еогав ап огсЬопогаа1 Ьав1в 1п сЫв арапе, 1.е. СЬаг О, Ьвг, (1с) (г)~ 1, (с г, Ь,г1,2,...,М-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
