Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2 М с Ь 1 Р(аЬ, пЬ)(2 в1п — в1п — ) ° 1сча Ята ЬЯ О а п"О (19) Аееог81п8 со Яе. (18) сЬе соеЕЕ1с1епс оЕ р ' 1п сЬе Роиг1ег ехрапв1оп оЕ (Ь,Я) и 1в еОиа1 Со с Л я. ТЬегеЕоге р Р („Р „Р~ Л ~, ЛР ~' Ь,Я Рог апу 81чеп р ве аау, сЬеге(иге, вг1се (иРС', иР+') - Л ~е Л ~ < Ь,Я-Л (ир+', и' ) < (ир, ир).
(20) Ав Ь ап8 Я гип сЬгоиАЬ сЬе ча1иев Ь,Я 1, 2, ..., М-1, сЬе е18епча1иев гип сьгои8ь а е1п1се вес ое ро1псв, оп сЬе геа1 ах1в, 1у1п8 со ЯЬе 1еес оЕ сье ро1пс Л 1 ° ТЬе 1еЕсаовс ро1пс 1в геасЬей Еог Ь Я М"11 8еиа11гу 1в агга1пе8 1Е ае гасе, ав Ф(аЬ, пЬ), СЬаг е18епЕипсС1оп оЕ СЬе орегасог е + т(й + й ) (1.е. сье орегасог аь1сь еееессв сгапв1с1опв егоа ха уу 1ече1 с рт со 1ече1 р = (п + 1)т) в1С!т е18епча1ие, Л, 1агйевт 1п ЬЯ' аойи1ив.
1Е аах!Л ! < 1 ее Ьаче сЬе епег8у 1пеоиа11су Ь,Я СЬарсег В 282 Вове Вввсс месЬойв еог сье Вспду ое Всаья1ясу (М-1) и 1 1 " Вг всп М-Я,М-1 2М 1 -Вг сов — ш1 "Вг+О 2 и /1 'т 2М ТЬегесоге сЬе Япеопа1ясу еах!1 ( < 1 яв васявссей Еог -1 < 1 - Вг, г < 1/4 1сс Рог СЬе Яшр11ссг всЬеше р+1 р Л п1 +Л т хк"шп уу"шп «и Р(шЬ, пЬ), шп пР~ 0 сЬе во1пссоп Ьав сЬе Еогш Лр р(Ь,Я) шп 1сс ЬЯ шп шЬеге Л 1 МЯ 1+ 4,(,Я„Я + ас„с ) 1си .
Яи 2М 2М апй сЬе соеЕЕЯосепси с я аге йесегшспей, ав ЬеЕоге, Ьу 84. (19). Неге 0 < Х < 1, апй ЯЬе епегВу япе5пе11су (20) Ьо1йв Еог апу иа1пе оЕ г ЬЯ т/ЬЯ. 4. Вергевепсвсяоа ое сье во1ас1оп ое а 81ееегепее веьеше еог сье иЯЬгагяаВ всгяаВ ргоЬЯеа. Сова(Лег сЬе ехашр1е оЕ СЬе сЬгее-1еие1 есЬеше Ь и Е, арргохяшасяпВ ЯЬе ргоЬТеш оЕ СЬе «ЕЬгас1пВ всгяпВ ессЬ Еяхей (Ь) (Ь) Ь апов: О< С<Т, ОеЕЯпе и и О, сс хх п(0, С) (1, С) О, п(х, 0) Р (х), и (х, 0) Ф (х), с 1 0<х<1, 0<с<Т, 0< х< 1, 0 < х < 1. гВЗ Р1п1ге Роиг1ег Вег1ев р+1 и 2иР + иР ' -Л О. т2 хх а и~ Ф иЬеге тх тв и(аЬ„О) + ти (аЬ,О) + — и (аЬ,О) р (аЬ) + тр (еЬ) + — р (х).
а 2 сс ' О 1 2 0 ме и111 Лоос йот а во1ис1оп ое сье 61ееегепсе еоиас1оп вас1веу1пВ сье соп0111оп и о О, апд ой сЬе йога 0 ир Лр Г2 в1п — [в Л Ьва р (Ь) а М (21) 1Впог1пВ, йог сье аоаепс, сье 1п111а1 ооп01с1опв ип Ф (аь) апй ит а 0 а а Рог Л ие Вег СЬе Ео)1ои1пВ епиаг1оп 1 Л -2+— Л и 0„ тг Л -2(1-2ггв1пг — )+1 0 ? 2 Ьв т 2М Ь Л (Ь) 1 - 2г в1пй — + Ьв 1 2М Л (Ь) Л "2 вйп , Ьг 2 2М ТЬив сЬеге аге сио во1ис1опв ой сЬе Вев1геВ йопв (21)т ЛР(Ь)Ф апй ЛР(Ь)Ф Весаиве ой сЬе 11пеаг1су оЕ сЬе ргоЬЛеа сЬе ехргевв1оп М-Л а Ь 1 «Р 1 (а ЛР(Ь) + В ЛР(Ь))Р( ) Ь 2 а (Ь) ЬЬ О ио " Ф (аЬ), а 0 г Ь" П - — в1п Ь „, гМ* 284 ОЬаргег 8 Зове Вав1с мегЬойв Еог сЬе Зсибу оЕ ЗсаЫ11гу 1а а во1ис1оп Еог апу сЬо1се оЕ сЬе пишЬега ш ап6 8 , Ь 1, 2, ...
М-1. Рог р О апй р 1 опе ВеСв, гевресС1че1у, М-1 ис ф 4 (а Л (1с) + 8 Л (Ь)]ч ТЬеве ге1ас1опв Зесегш1пе сЬе ча1иеа ое о апй 6 . ТЬе виш ш + 6 апас Ье гЬе Роиг1ег соеЕЕ1с1епС оЕ сЬе ехрапв1оп Ф (вЬ) Еп СЬе Еипсс1опв (ч М В(Ь) 1.е. М а + 6 Ь 2 Ф (шЬ)(г2 в1п — ). Ь О М 51ш11аг1у М «„Л„(Ь> + В„Л (Ь> Ь г Лр (Е2 Еп Ь Вхрапв1оп аЕ гЬе во1ис(оп оЕ а 61ЕЕегепсе есиаг1оп 1п а Е1п1ге Роиг1ег аег1еа 1а а йеч1се иае6 пос оп1у со йесегш1пе ипйег вЬаг сопй111опв ап епегЗу 1песиа11гу 1в ваг(вЕ(ей. Ве1ов ве в111 оЕсеп иве висЬ ехрапа1опа Еог чаг1оив ригровеа 1п сЬе Оиа11гас1че всш>у оЕ шобе1 ргоЫешв. Тс шиве Ье поге6, Ьошечег, гЬас СЬе гергевепсаг1оп оЕ а во1иг1оп ав а Е1п1ге Роиг1ег вег1ев 1а гаге1у ивей 81гесг1у Еог сЬе соарисаг1оп оЕ сЬе ао1иг1оп.
А Воой сошригассопа1 шесЬо6 шиве Ье «веЕи1 Еог а а1йе гапВе оЕ ргоЫешв. ТЬе еЬоче 61ЕЕегепсе всЬеаев аау еав11у Ье Вепега11ге6 со ггеас ргоЫеав в1гЬ чаг1аЫе соеЕЕЕс1епгв, апй се81опв вссЬ сигчей Ьоип6аг1ев. РиггЬег, ве сап ехресс гЬас, 1п сЬе шо61Е(е6 ргоЫеав, висЬ ргорегс1ев ав сЬе ча1161су оЕ ап епегВу 1песиа11гу в111 Ъе ргевегчей. Виг апу висЬ сЬапзе 1п сЬе ргоЫеш е11в1пасев сЬе рова1Ь111су сЬас 1св во1ис1оп сап Ье гергевепсей ав а Е1п1се Роиг1ег вег1ев: че Вепега11у саппог Е1п6 е18епЕипсс1опв оЕ сЬе 1ече1-со-1ече1 Сгапв111оп орегасог ап6 саппос сошрисе соггееропй1п8 е18епча1иев.
Р1п1те Ронг1ег 8ег1ев 285 Р8081 ЕС(8 1 ° Рог о[л ис + л н~ ] хх шп уу ап + (1 - а)[Л »Р + Л »Р хх ап уу шп » = О, н" = Р(аЬ, пЬ) Г шп О < ШЬ, »Ь < 1, (1» сье посас1оп 1»стой»се>с 1п сье сехс ое сье аьоче весс1»п). ссг1се онс сЬе во1ис1оп оЕ сЫв ргоЪ1еш 1п сЬе Еога оЕ а Е1п1се Ронг1ег аег1ев. Оесега1пе Еог вЬас ча1иев »Е о, 0 < о < 1, сЬе епегру 1»еона11су [», н ) р+1 р+1 < [иР, »Р) 1в ча118 Еог апу сЬ»1се оЕ г = т/Ьх. Рог вЬ1сЬ а сап ие вг1се, 81чеп апу иР а 0> сЬе всг1сс 1»евна11су р+1 р+1 [», н ) < [н, » ), ге8агй1евв оЕ сЬе сЬо1се оЕ г ог оЕ сЬе веер" вИсЬ, И 2. С/г1се сЬе во1»с1опв оЕ сЬе 81ЕЕегепс1а1 ртоЫеш 0<а<1,0<с<у, и - и О, хх н) = О, и(х, 0) = Р(х) апй сЬе 81ЕЕегепсе ргоЫеа р+1 р " Л Р = О т хх шп и ~ О, Г = Р(аЬ, »Ь) ап гевресс1че1у, 1п а Ронг1ет вег1ев апй Е1п1се Ро»г1ет вег1ев.
Ргоче Ьу соараг1п8 сЬеве вег1ев Еог г < 1/2, аввна1п8 сЬе ЪонпдеЛ»еав оЕ Р (х), сЬас сЬе во1»с1оп »Е сЬе 81ЕЕегепсе всЬеше сопчетрев со сЬе во1нс1»п оЕ сЬе 81ЕЕегепс1а1 ргоЫеа. Рточе сЬас Еог г > 1/2 сЬеге 1в> 1п 8епега1, по сочег8епсе 3. Вг1Се онс 1п и 11п1Се Ронг1ег вегсев сЬе во1»с1оп от сЬе 01г1»Ь1ес ргоЫеа Еог сЬе Ро1ввоп е>снас1»п 1п сЬе в8»аге ге81»п 0 < х, у < 1> Л н +Л н (>(аЬ, пЬ), 0<аЬ, пЬ< 1, хх ап уу шп в1сЬ сЬе Ъон»8»гу соп8111оп а) ге81оп, в1сЬ всЬеае н - н ап ап т сЬе сво-61аепв1»п»1 Ьеас-сопйнсс1»п ргоЬ1еш 1п а вс»аге а во1»с1оп ча»1вЫ»8 оп сЬе Ъонпйагу, сопв18ет сЬе 81ЕЕегепсе Ноше Вввсс меть«ив Еог сЬе Ввиду оЕ ВсаЫ11су СЬврсег В 2В6 Ь) « шп Н1пс Еог ЗЪс « = шЬ + »Ь + 2, чЬеге 2 ввс1вЕ1ев ЬошоВепеонв ап шп' шп со»61ссопв оп СЬе Ъонпдагу.
в25. ТЬе шахЕшиш рг1пс1р1е Не Ьаче а1гевду вееп Ъу чау оЕ ехвшр1ев, 1п Ц21 аиВ 24, Ьое со ргоче *саЫ11су «1сЬ сЬе в(В оЕ сЬе вах1ана рг1пс1р1е. Неге ше апа1уге сшо шоте 1псегевс1пВ ехвер1ев еЬеге опе свп ргоче всвЫ11су ч1в сЫв аесЬодс 1шр11- «1с впй ехр11о1с ЙЕЕЕегепсе всЬешев арргох1аас1пВ сЬе Ъо««двгу-ча1«е ргоЫеш Еог СЬе Ьевс еонвс1»п — - а (х, С) — = ф(х, с), а« „ а' Эс 22 Зх 0 < х < 1, 0 < с < Т, 0<в<1, 0< с< О< с<Т. 1. Вхр11псс ЙЕЕЕегепее веЬеае. Ьес нв сопв16ег сЬе ехр11»1с 61ЕЕегепсе всЬеае п+1 и п п и н - « н -2«+» - вв(шЬ, пт) ф(аЬ, пт), ЬЕ ш1,2... °,М1)п=0,1,...,[Т/т)1, «" =ф (шЬ), ш О, 1, ..., МЬ, «у (пт), и 1, 2, °, [Т/т), н ф (ит), п = 1, 2... [Т/т), 2 (Ь) Ь (г) шЬеге М = 1/Ь 1в а ров1с1че 1«сеВег.
ТЬе Чоп Неншапп врессгв1 сг1сег1оп, соВесЬег ш1сЬ сЬе ргсп»1р1е оЕ Егогеп соеЕЕ1»1епсв 1еайв, вв ше вае 1п $26, со сЬе песевввгу всвЫ11су со»61с1»п т — < Ь 2 авх а (х, с) х,с «(х, 0) = ч (х), н(0, с) = ф (с), н(1, с) ф (с), пЬ, 1Е ш 0 1 + вЬ, 1Е п = М, вЬ, 1т п О, 1 + пЬ, 1Е а М. Фгв Мах1а»а Рг1п»1р1е 287 Не в111 поа вЬое сЬас, 81чеи сЫв соийсссоп> сЬе вЬоче всЬеае геа11у 1в всвЫе ЕЕ погшв аге йеЕ1пей ч1а сЬе е>(»ас1»ив 11» 11 шах шах )» ~ > (Ь) 1 и! Ь п и 111 11 = авх(шах! Ф (аЬ)1, аах! Ф (пт)1, (Ь) Ь а и (4) аах1Ф (пт)1, шах)Ф(х > с )1).
г а' п а,п ъес»в 11гвс евсаЫ1вЬ сЬе ча1181су оЕ сье 1»ео»в11су (сЬе "авх1а»ш рг1пс1р1е") шах!)» ! < аах)авх1Ф т(с )1, аах1Ф (с )1, »+11 а п и авх1)» ~ + т шах!4>сх > с ) 1) ° а ш,п (5) » =(1-2га(х, с ))» + +гаг(х > С)(» 1+» ) ЕтФ(х > С ), а=1, ° ° ° > М-1 ° (6) 1Е сопй1с1оп (3) 1в ввс1вЕ1ей сЬе ехргевв1ои 1 - 2гаг(х > с ) 1в попа' и певас1че. гьегееоге ае аау чг1се )»п ~ < ! 1 - ггаг(х , с ))швх)»п) + + гвг(х , с ) швх)» ) + аах » + т шах1Ф(х , с )! а,п = аах » + т аах)Ф(х , с )1, а' п а,и а = 1, 2, ° ° ° , М-1 ° Мо»1»8 сЬас »„ - Ф 1(п + 1)т], » у !(п + 1)т), п+1 0 1 (В) Рог сЫв р»грове че геаг1се сЬе 81ЕЕегепсе ец»ас1»п оп »ЫсЬ *»Ьеае (2) 1» Ъавей, савс1пв 1с 1п сЬе Гога 288 5ове Вав1с МесЬойв Еог сЬе Впаду оЕ 5са8111еу СЬарсег 8 ше агг1че ае еЬе шах1веш рг1пс1р1е (5). !Ь) (Ь) (Ь) Мехе ше вп11с еЬе во1псеоп, и , оЕ еЬе ргоЬЕев Ь и Е 1псо сшо сегшв, и ч + ч' ' йеЕ1п1пВ ч апй ш , гевресе1че1у, ав еЬе во1пе1опв оЕ сЬе Ео11оеепВ е9пае1опв Ь ч(Ь) .
Ь Ву ч1гсое оЕ Ьоппй (5) вах)ч ) ( пвх вах1Ф ес )1, вах1Ф (е )1, шах)ч п+1! Г 1 пЛ вах)ч ~ ( вах"вах1ч (с )1, вах19 ее )1, вах!» шах(ч ~ ( шах~вах19 (е )1, шах1Ф Ес )1, вах ч шах!»т! = шах~шах)Ф (с )1, шах!в (с )1, пах!Ф [х )1] . < вах)ше~ + (п + 1)т шах!9(х, е )1 < т вах1Ф(х, с )1. ш в,(с в,е угое еЬе Ьоппйв оп ч апд ч 1с Ео11оев сЬас п+1 п+1 О ч [х Фе(с ) Ф2!'„) 51в11аг1у, аВа1п Ьу ч1гспе оЕ Ьоппй (5), вах)ш ~ ( шах)е ~ + т вах)Ф(х , с )1 ( в в ш,е < шах~а ~ + 2т швх1Ф(х, е )1 < в ш,1е Ф(х , С ), О (Ь) Ь О (9) 122 Мах1впа Ргспс1р1е 289 вех[п ~ аех[ч + ч ~ < апх[ч ~ + аах[е ) < < апх[аех1Ф [с )1, вех1Ф [с )1, вах!Ф [х )1] + + Т апх[Ф[х , с )1 < с!1Е !1„, а,п Ь (1О> чЬеге с 2 аах(1, Т) ТЬЕе 1пеопп11гу Ев че1Ы Гог п11 п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
