Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 37
Текст из файла (страница 37)
° ° , М; МЬ 1 ш й «н О 1 О ««р+1 - О. 2 М 1п СЫв 81ЕЕегепсе Ьонпйагу-ча1«е ргоЫеш «н = О апй Я «аге оегса1п р+1 р+1 1 О 2 М сопй«с1опв 81чеп, гевресс1че1у оп СЬе 1е«с апй г18ЬС Ьоопйаг1ев оЕ СЬе пес вейшепс О ( ш ( М; Е«гсЬег а(х, С) У О. мов че саье ап агысгагу 1«сег1ог ро1«с, (х, с), ое сье ге81оп О < х < 1, О < С < Т, 1п чЫ«Ь ргоЫеш (1) 1в Со Ье Сгеасей, апй "Егееге" сЬе соеЕЕ1«1епсв оЕ ргоЫеш (1) ас сЬас ро1пС. ТЬе 81ЕЕегепне вона«1«п ш1сЬ сопвсапс соеЕЕ1с1епсв и - «Р «Р - 2«Р + «Р 1 й а к ш-1 ш ш+1 "О, ЬЯ (2) р О, 1, ° ° ., (тГС)-1; ш = О, е1, Вепегасей 1п СЫв вау, в111 Ъе сопв1йегей поч, пос оп1у Еог О < ш < М, Ьнс Еог а11 1псейга1 й.
Ме ш111 поч Еога«1асе: ТЬе рг1пп1р1е оЕ Егосеп соеЕ" Е1«1епсв. Гог суе всаЫЕЕСу о," ргоЫвй (1) ЕС Ев пвсвввагу СЬ«С Сув Оаиоуу ргоЫвй,уог воиасйоп Г2) й«СЬ оопвса«С оовууйоъвпсв вЬо«Ы ваййв(у Сув пвовввагу рои Увит«пи врвосг«1 всаЬШСу огссвгйоп. То ргоч1йе а гас1опа1е Еог сЬе рг1п«1р1е оЕ Еговеп соеЕЕ1С1епсв че ргевепс СЬе Ео11ов1пВ Ьеиг1вс1с аг8«шепс. Ав че ге«1пе СЬе аевЬ «Ье соеЕЕ1«1епс а(х, с) 1п СЬе пе18ЬЬогЬоой оЕ СЬе ро1пс [х, с), Еог апу Е1хей пишЬег оЕ всер-ш1йсЬв Ь 1п арапе, апй т 1п с1ше, «Ьап«ев 1евв апй 1евв, апй й«ЕЕегв 1евв апй 1евв Егош сЬе ча1«е в(х, С).
1п вйй1С1оп, СЬе 81вевпсв Евой СЬе ро1пг (х, С) Со СЬв Ъоипйвг1ев х О апй х 1 оЕ сЬе 1псегча1, ав аеавнгей 1п п«шЬегв оЕ пес-всерв, сепйв со 1п(1««су. ТЬегеЕоге Еог а Е1«е пес суе регС«гЪаС1опв 1пй«сей 1п СЬе во1««1оп оЕ ргоЫеш (1), ас СЬе 1пвсапс С с, 1п сЬе пе1ВЬЬогЬоой оЕ ро1пс х х, йече1орв (Еог вЬогс С1шев) 1п арргох1шасе1у СЬе ваше нау ав «п ргоЫеш (2) ° 1с й111 Ье вееп СЬас СЫв геаво«1«8 1в Вепега1 1п «Ьагассег.
1С йоев пос йерепй оп СЬе пншЪег оЕ арапе чаг1вЫев ог сЬе пнаЬег оЕ н«Ь«очп 526 Рг1пс1Р1е оЕ Ргосеп СоеЕЕ1с1епгв 263 Е«псс1опв; пог оп сЬе Еогш ог сЬе 61ЕЕегепсе ео«ас1«п ог сЬе вувсеа оЕ й1ЕЕегепое ео«аг1«пв. 1п 525 че сопвсйегей сЬе Св«сЬу ргоЫеш Еог вп еЧ«ас1«п «Е Еогш (2) апй ео«пй сьас, со ввс1веу сье чоп ме«швпп ог1сег1оп, сье гас1о г т/ьв ое сЬе пес аевЬ-«1йсЬв ш«вс вас1всу сЬе сопйсс1оп 1 2в(х, с) 51псе, Ьу сЬе рг1пс1Р1е оЕ Егогеп соеЕЕ1с1епсв, 1с 1в песеввагу Еог всаы11су сьас сыв сопйсссоп ье вас1«Е1ей Еог апу '(х, с) сье гас1о, г т/Ь, оЕ «сер-«1йсьв ш«вс вас1веу сье сопйсс1оп 1 г < 2 шах а(х, с) х,с ТЬе рг1«с1Р1е оЕ Еговеп соеЕЕ1с1епсв 21чев «в вове Н«1йаппе, ас в Ье«г1вг1с 1ече1 оЕ г10«г, а1во 1п сЬе 1пчевс12ас1оп оЕ поп11пеаг ргоЫеав. Сопвсйег, Еог ехашр1е, сЬе Е«11««1пй по«11«еаг ргоЫеш: (3) « - (1 Е «~)« О, О < х < 1, хх «(х, 0) Ф (х), 0<в<1, «(О, с) р(с), «(1, с) =р(с), 0< с<т. То Стеве СЫв ргоЫеа ее -«ве сЬе Ео11о«1пй й1ЕЕегепсе всЬеше: Р+1 р Р « - « 2 « -2«+« а ш ~ ( р~ ~ ш+1 ш а-1 Ь2 О < ш < М, р - О, 1, ..., (Т/т)-1, (Ь) сь «о 0 0<а<М, «ф(с +т), О 1 р р ' «М - Р (С + т ), р+1 г р - 1, г, ..., (Т/т), в11о«1пй сЬе втер-«1йсЬ т Со оЬапйе Егоа 1ече1 со 1ече1.
ТЫв впЬеае Р а11о«в опе со совр«се вео«епс1в11у, 1ече1 аЕСег 1ече1, сЬе «п1спошпв «1, ш О, ..., М, СЬеп «2, а " О, 1, ..., М, его. Барр«ее сьас ше ьаче в1геайу носсеп со сье 1ече1 с с , ьаче совр«сей Р «Р, а О, 1, ..., М, впй чвпс со оопс1п«е СЬе са1с«1вг1оп. Нош вЬо«1й че пьоове сЬе пехс втер-шййсь т т 1 не сап 1аан1пе сьас ше вге гео«1гей со Р гоар«се сЬе во1«с1оп оЕ сЬе 11певг й1ЕЕегепсе е0«ас1«п СЬаргег 8 261 яоае Вав1с месЬойв Еот сье Ясийу ое ясвы11су Р „ир +1 «Р -2и +и Р Р а ш [ ) ш+1 ш ш-1 Ь2 Р 2 ч1сЬ сЬе 81чеп чаг1аЫе соеЕЕ1с1епс а[х, с ) и 1 + [» ) .
1п Еасс 11 1в р ш а пасига1 со аввиае СЬас сЬе чв1иев и аге с1ове со сЬе ча1иев и[х,с ) оЕ а ш сЬе ваоосЬ во1ис1оп, и(х, с), оЕ сЬе ВЕЕЕегепс1а1 ргоЫеш. ТЬе соеЕЕЕс1епс 1в сЬеп с1ове со сЬе сопс1пиоив Еипсс1оп а(х, с) в 1 + и (х, с) чЫсЬ, 1п 2 сЬе соигве оЕ вечегв1 с1ше-всврв, сЬапяев чету 11сс1е. ТЬе арр11сас1оп оЕ сЬе Чоп Меишапп сгссег1оп со сЬе еОиас1оп и1сЬ чатсаЬЕ.е соеЕЕ1с1епсв в[х „ с ) у1е1дв СЬе гевгг1сс1оп (Э) оп сЬе ге1ас1оп а" р Ьесиееп вСер исдСЬв, т е, < 1 ,— Г'и и;т;,.тх Ь х Р 2 шах[1 + [иу) ав а песеввагу сопй111оп Еог всаЫ11су.
Оп сЫв Ъвв1в 1с веешв р1аив1Ые сьас сье пехс всер шсйсЬ вьои1й вас1вуу сЬе сопй111оп т ( 2 швх [1 + [ир) Сошрисег ехрег1шепсв сопЕ1га СЬе ча1181су аЕ СЫв Ьеиг1вг1с геавопспя. 1Е СЬе песеввагу сопд1с1опв Еог всвЪ111су, йег1чей ч1а сопв1йегас1оп оЕ СЬе СвисЬу ргоЫеш и1СЬ соеЕЕ1с1епев Егопеп аС апу агЫСгвгу пеС "ро1пг, сига оис со Ье ч1о1асей, сЬеп опе спппос ехресс всаЫ11су Еот апу Ьоипдагу сопй1с1опв.
Ие всгевв, Ьоиечег, сЬас сЬе рг1пс1Р1е оЕ Егопеп соеЕЕ1с1епсв йоев пос свЬе 1псо вссоепс сЬе 1пЕ1иепсе оЕ Ьоипдагу сопй111опв. ТЕ сЬе песеввагу всаЫ11су сопй1с1опв, Е1ои1пя Егош сЬе рг1пс1Р1е оЕ Егопеп соеЕЕ1с1епгв, аге Еи1Е111ей, сЬеп че шву Ьаче вгвЪ111су Ест ваше, апд паг Еог осЬег Ъоипйагу сопйсс1апв. Моч ие дече1ор сЬе сг1сег1оп оЕ К. 1. ВаЬеп1со апй 1. М.
Се1Еапй, чЫсЬ саЬе 1псо ассаипг сЬе еЕЕесг аЕ Ьоипйату сопд1с1опв Еог ргоЫешв ровед оп Епгетчв1в. 2. Сг1гег1оп оЕ ВаЬепдсо апй Се1Еапд. Тп сопв1йег1пя ргоЫеш (1), ие роеси1асей сЬас регеигЬвс1опв сопппип1сасей со сЬе во1иссоп оЕ ргоЫеш (1) 1п сЬе пе18ЬЪогЬоой оЕ ваше агЫсгагу 1псетпа1 ро1пг [х, с) дечесор, Еог а 11пе вевЬ, арргох1шасе1у 1п сЬе ваше шву ав сЬе ваше регсигЪас1опв сошшип1- сасей со сЬе во1ис1оп оЕ саисЬу ргоЫеш (2), ч1сЬ соеЕЕ1с1епсв Егопеп ас ро1пс [х, с). 1п )ивс1Еу1пя сЫв рг(пс1Р1е ше агяией сьас сье й1всапсе Егоа сЬе 1псег1ог роспс [х, с) со сЬе Ьоипйагу, шеавигед 1п пишЬегв оЕ песвсерв, 1псгеавев ч1СЬоиг Ъоипй ав СЬе пес 1в геЕ1пей.
Вис 1Е сЬе ро1пс [х, с) 11ев оп сье в1де-ьоипдагу х О ог х 1, сьеп сыв ьеиг1вс1с агяишепс 1овев 1св сотое. Яиррове, Еог ехашр1е, сЬас х О. ТЬеп сЬе 81вгапсе Етош ро1пс х со впу ЕЕхей ро1пс х > О (апд, 1п рвгг1си1вг, Со СЬе гЕВЬС 1пгегча1-Ъоипйагу х 1), ав шеавигей 1п всер и1йсЬв чИ1, ав Ье(оте, $26 Рг1пс1Р1е оЕ Ргохеп СоеЕЕ1с1епгв 265 Мгои иссЬоис Ьоипй ав Ь О; Ьиг СЬе пиаЬег оЕ всера со сЬе 1еЕс Ъоипдагу, х = О, доев пос оЬапйе апд геша1пв еоиа1 Со сего. Рог сЫв геавоп а регсигЬас1оп оЕ сЬе во1ис1оп оЕ ргоЫеа (1) пеаг сЬе 1еЕС-Ьапд Ьаипдагу х О шивг дече1ор, 1п вЬогс с1ше-арапа„1(се а регеигЪаг1оп оЕ СЬе во1иг1оп оЕ СЬе ргоЫеа и - и р+1 р ир 2ир с ир а(0, с) О, а 1, 2, ЬЕ (4) ре1 сио - О. ТЫв ргоЬ1еа 1в оЬса1пед Егоа сЬе ог161па1 ргоЫеш (1) Ьу Егеес1пМ сЬе соеЕЕ1с1епг а(х, с) аг СЬе 1еЕС 1псегчв1-Ьоипдагу х О апд в1ши1сапеоив1у аочспй сЬе г1МЬс-Ьапд Ьоипдагу со + ° 1с 1в пасига1 со оопв1дег ргоЫеш (4) оп1у Еог сЬове Еипсс1опв и (и, и, и, ...~ Еог аЫсЬ Р Р Р Р иР О ав ш + а 1с 1в оп1у 1п сыа саве сьас сье регсигьас1оп 1в сопсепсгасед пеаг сЬе Ьоипйагу х О, апй 1с 1в оп1у а1сЬ гевресг со регсигЬас1опв оЕ сИв сопоепсгасед йога сЬас ргоЫеав (1) апд (4), пеаг сЬе 1еус-Ьапд Ьоипдагу х = О, аге в1ш11аг со еасЬ оСЬег.
Бо соо, сЬе дече1оршепС оЕ регеигЬагсопв оЕ сЬе во1иС1опв оЕ ргоЫеш (1) пеаг сЬе г1МЬс-Ьапд Ьоипйагу х 1 шиве Ье а1а11аг со СЬе дече1ораепС оЕ сЬе ваше вогсв оЕ регсигЬас1опв 1п сЬе ргоЫеш ш ш . шч1 а «а-1 - а(1, с) О, Ьв (5) 1 и О 2 М а1СЬ оп1у а г1МЬс-Ьапй Ьоипйагу. ТЫв ргоЫеа шав оЪСа1пед Егош СЬе ог161- па1 ргоЫеа (1) Ьу Егеех1пМ СЬе ооеЕЕ1осепс, а(х, с), ас сЬе г1МЬс-Ьапд Ьоипдагу х = 1, апд геаоч1пМ сЬе 1е(с-Ьвпд Ъоипдагу со - . РгоЪ1еш (5) аивс Ъе еопв1дегед Еог пес Еипсс1опв и = ~..., и, и, и, и аас(в(успМ СЬе РгоЫешв (2), (4), апд (5) аге в1ар1ег сЬап сЬе ог1М1па1 ргоЫеа (1) 1п сЬе вепве сЬас, Еог Есхед г г/Ьс, сЬеу да пос дерепй оп Ь, апд аге ргоЫешв а1сЬ сопвеапс соеЕЕ1е1епсв. ТЬив сЬе ргоседиге Еог всиду1пй всаЫ11су, саЫпй 1псо ассоипс сЬе ееееос ое сье ьоипдагу, ав арр11ед со ргоыеш (1) саьев сье ео11оа1пм Тога.
Опе Еогаи1аеев СЬгее аих111агу ргоЫешв (2), (4) апд (5). Рог еасЬ оЕ сЬеве сЬгее ргоЫешв, пос йерепд1пй оп Ь, опе Е1пдв а11 сЬове Л (сЬе ' р р+1 е1Мепча1иев оЕ сЬе сгапв111оп орегасог Егоа и со и ) Еог аЫоЬ сЬеге ех1всв а во1ис1оп оЕ сЬе Тога ОЬарсег 8 Бове Вав1с месЬойв Еог сЬе Всему оЕ БсаЫ11су 2бб Рог ргоЫеш (2) и" )п~), ш О, +1, ..., шпвс Ье Ъоппбей. 1п сЬе саве оЕ ргоЫев (4) и" )по, и", ... пп, ...), пб 0 ав ш е +, иЫ1е Еог ргоЫеа (5) -2' 1' 0' 1' о еО ав ш ш 1Е ргаЫвш (1) Ев са Ьв всаЫе ЕЬв саса1118 ау всдвпна1ивв оу ЕЬе сьгвв ргоЫвив (2), (43, апИ (5) шивс Ьбв нп сьв ипбх а(гасе )Л ! < 1 ° РгаЫвш (2) Ев са Ьв аапвсМвгвй (аг васЬ Е(хвд х, 0 < х < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
