Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Вис 1п <Ье сошрисас1опа1 ргосевв шоте апд шоте пеш В!хеопс(пи!с!ее /Лт/р/ Р!В. 32 даче!ор апд, 1п (асс, иптшрогсапе 41всопс1пи1с1ев шау 1псегвесс, во сЬас 1п с1ше сЬе р1ссиге Ьесошев шоте апд шоте совр!!савей. ТЬе сошрисас1опа1 !оВ1с Сесошев шоте совр!!савей, сЬе дешапдв оп сошрисег всогаре апд сошрис1пВ с1ше 1псгеаве.
ТЫв сопвс1сисев сЬе 61вадчапсаре оЕ сЬе шесЬой оЕ сЬагассег1вс1св, 1п шЫсЬ сЬе 61всопс1пЫс1ев аге в1пВ1ед оис апд сгеасед 1п а врес1а1 шаппег. 3. О1чегВепсе 61ЕЕегепсе всЬешев. О1ЕЕегепсе всЬешев шЫсЬ до пос иве агсг(1с1а1 ч1всовгсу, апй до пос иве йтвсопс1пи1су соп41с1опв шивс, ав посей еаг11ег, ге1у оп 1псерга1 сопвегчас1оп 1ашв. Оп сЬе хс р1апе 1ес ив агав а пес оЕ 11пев с рт, х (ш + 1/2)Ь, ш О, е), ... Ч/е пехс шаг! оЕЕ сЬе ш1йро1псв оЕ сЬе вЫев оЕ сЬе сЬи*-Еогшед пес гессапВ1ев (Р1В. 37: соогй1пасе ахев пос вЬоип) апд адй сЬеве ш1дРо!пгв Со СЬе пес О . ТЬе Еипсс1оп (и) шЫсЬ ше шеи!д !1Се со са1си1асе ие саве со Ье сЬе пес Еипсс1оа йе(!пей, ас еасЬ ро1пс оЕ О , Ьу ачегаВ1пр сЬе во1ис1оп Ь' «(х, с) а1опр сЬас в!де оЕ сЬе пес гессапр1е со иЫсЬ сЬе ро1пс Ье1опрв: ш+1/2 и = — ( и(х, С )йх, ш Ь р ш-1/2 х=х с с ш Р -р+!/г +! ш+!/2 т ( "(хш+!/2' Р ш+1/2' р+1/2 ТЬе арргох1шасе во1истоп оЕ сЬ(в ргоЫеш тв Ве11пед оп сЬе ваше пес О ° Ча1иив ог и ас сЬе ро1псв, (х , с ), 1у1пВ оп сЬе Ьоггхопса1 (Ь) Ь ш р р вЫев оЕ сЬе гессапр)е ш111 Ье девсрпасеЬ и, апд сЬове аг Ро1псв (х р+!/2 ш+1/2' с ) оЕ сЬе чегс1са1 в!дев Ьу О ре1/2 Р ш+1/2' ТЬе ча1иев и шау Ье сопв1дегед со регса1п со сЬе шЬо!е гессапр!ее(Ве, с 1 , х < х < х , со шЫсЬ сЬе ро1пс (х , с ) Ьа!опрв.
Апа!о- Р в1 ш+!' р+!/2 ш Р Воив1у, ше ш111 сопв1йег сЬас О 1в де(1пеа оп сЬе шЬо1е чегс1са1 ш+1/2 1псегча1 пеш в1оре оЕ сЬе й1всоис1пи1су 1(пе ав сЬе аг1сЬшес1с ачегаре оЕ сЬе пеш1уЕоипй 1еус- апд г1ВЬс-Ьапд ча1иев, апд сопс1пие сЫв 11пе в!111 апосЬег с1шевсер т. ТЬе адчапсаре оЕ сЬе ТЬе Сошрысас1оп оГ Сепега11вед Во1ыс1опв СЬарсег 9 304 < с < с Р р+ 1 ше1/2' ТЬыв ы в111 Ье а Еипсс1оп деЕ1пед оп сЬе 11пев х шЬ, с рт.
ТЬе (Ь) р р+1/2 соппесс1оп Ьесшееп сЬе оыапс1с1ев ы апд О , р О, 1, ..., ш О, +1, ш ш+1/2' ..., а111 Ъе евсаЫ1вЬед Ьу а ргосевв всагс1п8 Ггош сЬе 1пседга1 сопвегчас1оп 1ав 2 ~ ~ы дх — — дг) = О. Г 2 Сес ив сесе, ав сопсоыг Г, ап е1ешепсагу пес-гессап81е, весс1п8 (Ь> г - р '( ы дх — дг ) = О, Г 2 (6) ог, 1п ехрапдед Гога ф,е)/2)2 ~ОР+1/2)2 ~ (7) вес дошп а гы1е Ьу шЫсЬ опе сап сошрисе сЬе 9ыапс1с1ев Ггош а1геаду-Споып ча1ыев оГ ыР, ш = О, +1, сЬеп 89.
(7) шс11 а11ои ыв со сошрысе р+1 сЬе оыапс1с1ев иР „ш = О, +1, ш 1.е. со шоче аьеад опе с1шевсер. Вш, Ьу шЬасенег врес111с шесЬод че сошр+1/2 риге Н 1/2„ а д1ЕГегепсе всЬеше оЕ ш+1/2" Еогш (7) Ьав сЬе дсоегрвпое рторегсу, у» иЫсЬ сопвтвгв 1п СЬе Го11оч1п8. Огаш, 1п сЬе Ьа11-р1апе с > О, апу с1овед сопсоиг, шЫсЬ доев пес 1псег- 1Е ше сап пош р+1/2 весс 1све1Г, апд сопв1всв епс1ге1у оГ У сЬе всдев оГ пес-гессап81ев (Рсд. Р18, 38. 38). ТЫв сопсоыг 8 епс1авев вове ге81оп, С , шаде ыр оЕ пеС гесгап81ев.
Ь' Че пош адд, сего-Ьу-сего, а11 Вов. (7) регсасп1п8 со сЬе гессап81ев оопвстоис1п8 ге81ап С . 89иас1опв (6) апд (?) 81ЕЕег оп1у Гп пасас1оп. Ь ТЬегегоге ше ешу, ав ше11, выш 89в. (7), апд ые СЬеп Вес (Ь) 2 ы дх - " — -'- дс = О. 2 (8) ВЬ Гпсерга1в 1п (6), очег гессап81е-в16ев аЫсЬ до пос 11е оп сЬе Ьоыпдагу, 8, оГ ге81оп С, ч111 оапсе1 а(сег сЬе вышшас1оп. 1п Еасс еасЬ высЬ Гс' Ь (Ь) в(де Ье1опрв Со Сшо пе18ЬЬог1п8 гесгап81ев во сЬас 1пседгассоп оГ ы очег еесЬ 1в еасоыпсегед тассе, а1ГЬ сЬе сшо 1псергас1опв свгг1ед оыс 1п орров1се д1гесс1опв (Г'18.
39). ВсЬешев Ьавед оп д(ЕЕегепсе еоыассопв чЫсЬ, ыЬеп вышшед очег ро1псв оЕ сЬе пес-ге81оп С, 1пчо1че оп1у а18еЬга1с вива оЕ ыпСповпв, ог Еыпсс1опв Ь' 530 Сопвсгпсс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ЯсЬешев 305 оЕ епСпочпв, оп ЕЬе гея1оп-Ьоппдагу аге са11ед "д1чегяепсе всЬешев" ог "сопвегчас1че всЬешев". ЯасЬ всЬешев аге апа1ояоав со йЕЕЕегепс1а1 е9пас1опв 1п д1чегяепсе Еогш дв ВФ дсч Ф + — 0 2 дс Эх ш ЫсЬ, шЬеп 1псеягасей сегш Ьу сегш очег сЬе счо"й1шепв1опа1 гея1ап О у1е1й, оп сЬе 1е(с-Ьапй в1де, ЕЬе сопсопг 1псеяга1 (3) 529.
ЯсЬеве (3) 1в пос 1п йсчегяепсе Еогш, всЬеше (7) 1в. Носе ЕЬе Ео11ов1пя. Япррове сЬе пес Еппсс1оп, и, вас1в(у1пя ЯО. (7), сопчегяев пп1(огш1у ав Ь ч 0 со вове р1есечсде-сопс1ппоав Еапсс1оп а(х, с) 1п еасЬ с1овед гея1оп пос сопса1п1пя а й1всопс1пп1су 11пе, апй 1ес и Ье (Ь) апсуогш1у Ьоппдед 1п Ь.
ТЬеп п(х, с) вас1в(1ев ЕЬе спсеяга1 сопвегчас1оп 1аш 3 ~С РЕЯ. 39 а2 (и йх — — дс) - 0 2 Я Еог х < О, п 1еЕС п(х, 0) и г1ЯЬС Еог к > О, вЬеге и = попас апд и 1еЕс г1ЯЬс сапог ЕЬе соггевропдспВ яепега11хед во1ы1оп. Еп $29, 11гвс Еог сЬе ехашр1е п = 1, 1еЕс 1С 1в СЬеп ровв1Ые со сопвсгпсс Нов ЕЬсв сап Ье йопе че Ьаче вееп о , = 2, апд сЬеп Еог п = 2, гЕЯЬс 1егс *ТЬе Еопсс1оп п п(х, с) 1в деЕ1пед а1шовс ечегушЬеге, чЫ1е а(Ь) п(Ь)(к, с) 1в деЕ1пед оп1у оп а песчогС оЕ 11пев. Опе сап с1гспшчепс сЫв Еогша1 1псопв1всепсу, (1гвс, Ьу ровсе1ас1пВ сЬас, ав Ь йесгеавев, еасЬ пев пес 1в Воссеп Ьу впЬд1н1д1пя ЕЬе 1авс пес, апд, весопй, Ьу сгеас1пя сопчегяепсе ас сЬе ро1псв оЕ опе оЕ сЬе ровв1Ые песе, сопвсгпссед Еог апу опе ровв1Ые 11хей Ь.
чЬеге я 1в ап агЫсгагу р1есеш1ве-вшоось сопсопг. ТЫв Ео11ошв 1шаед(асе1у Егоа сЬе Еасг ЕЬас опе сап арргохсшаге сопсопг я Ьу а попсопг я , сояесЬег в1сЬ ЕЯ. (В) апд сЬе аввпшрс1оп оЕ Ь' сопчегяепсе* е ч о. Ь 1Е вссеше (7) 1в со саСе оп шеап1пя опе шпвс 1пд1сасе а шесЬод Еог р+1/2 Р, сошрас1ая О Егош Кповп и 'в. Еп сЬе всЬеше оЕ Я. К. Сойппоч, вЬгсЬ ве ш+1/2 п ш111 пве со 111нвсгасе ЕЬе гоппере оЕ а д1негяепсе всЬеае, опе сошрпсев р+1/2 О ч1а ЕЬе Ео11ош1пя "д1всопс1пЫсу дееву" ргоЫеш. Япррове сЬас ас ш+1/г = 0 сЬе во1ас1оп п(х, 0) св ВЕчеп Ьу ЕЬе сопй1с1опв ТЬе Сашрисас1оп оЕ Сепега11хед Во1ис1опв СЬарсег 9 306 О =и =и, ш О, +1, р+1/2 ш+1/2 1еГс ш' апй всЬеше (7) СаСев СЬе Еогш ш+1/2 ч(х)дх Ь ш-1/2 о ш ог р+1 т ш ш ш-1 О. Опе пап еав11у вес с1тас, Еог т 1 г — ( Ь— т~ шах и~ ЕЬе пих1шиш рс1пс1р1е ЬоИв шах[и~ ~ ( шах[и [ ( ( шах[и~[ С шах/Ф(х)(.
ш С1еаг1у сЬеп, 1Г т Ь/шах(р(х)), ше Ьане й1ЕЕегепсе всЬеше ш111 Ье всаЫе Гог вове иП1 пос, Ьоиечег, прес)Е1са11у ро1пс оис шепсв сопГ1гш сЬас, ав сЬе пес 1в геЕ1пеА геавоп со Ьоре ЕЬас сЬе аЬоче геавопаЫе сЬо1се оЕ погвш . С)е висЬ погшв: пишег1оа1 ехрег1- (Ь) сЬе во1ис1оп и оГ ргоЫеш и , 1. Ап 1шроссапс веер 1в сЬе йесегш1пассоп оГ сЬе ча1ие О = и(О,с) гсхЬс оЕ СЬе во1ис1оп и(х, с) Еог х О. ТЬе геа4ег, Ьач1пх сопвсгиссед всессЬев 11Се у1хв. ЭЗ ап4 24, гергевепсспр сЬе во1ис1оп и(х, с), и111 еав11у чегГЕу сЬас оп ЕЬе 11пе х О сЬе во1ис1оп и111 саСе оп сЬе ча1иев и, и . ог О, Аерепд1пх оп сЬе 1еГс' г1КЬс 1п1с1а1 йаса, апд сап еа*11у десегш1пе, Еог апу врес1Г1о ра1г оЕ пишЬегв и апА и ргес1ве1у иЫоЬ оЕ сЬеве ча1иев 1с и111 Ьаче, Рог 1еГс г1хЬс, ехашр1е ЕГ и > О, и, > О, сЬеп и(О„ г) а и , апй сЕ и < О 1еЕс ' г1хЬс ' " 1есс' 1е(с апд и ( О сЬеп и(О, с) = и гЕКЫ гЕКЬс ТЬе Оиапс1су О ( О) 1п всЬеше (7) в111 Ье десегш1пей ч1а сЬе р»/г ш+1/2 апа1ув1в оГ а д1впопс1йи1су дееву ргоЫеш ас ЕЬе Ьоипдагу, х = х р ш+1/2' ьесиееп сво вехшепсв вьете ие аге х1чеп сье сопвсапс ча1иев и ( и ) Р ш 1еЕс ап4 и (= и „ ).
ш+1 г1ОЫ ЕЕ, Еог ехашр1е, и > О, ш = О„+1, ..., сЬеп 130 Сопвсгпсс1оп оЕ 01ЕЕегепсе ЯоЬешев 307 (7), ш1ЕЬ р1есей(ве-шопосоп1о апд р(есей1ве-вшоосЬ 1п1с1а1 ча1пев 9(х), со«тагаев со ваше Еппсс1оп, п(х, с), ч1сЬ а Е1а1се ппшЬег о( д1«сопс1пп1с1ев; апд, ЕпгсЬег, опсвгде «пу п«1«ЬЬогЬоод оЕ сЬеве д(всопс1«о1с1ев, со«в«где«се 1в пп1(огш. лосеве (7), й1сЬ 0 1 2 гоар«сед ч1а дееву оЕ д1всопс1п«1с1ев, 1« пос, 'р+1/г ш+1/2 оЕ оопгве, сЬе оп1у д(чегдепсе воЬейе Еог ргоЫеш (1). ТЬеге 1«, Еог ехашр1е, а вс111 всшр1ег всЬеше Ьавед оп сЬе ргед1осог-ооггессог 1деа.
ТЫ« Едеа шав Еогш«1асед 1п 3922. Рог всшр11сссу йе 11ш1с опт д1«сов«гоп со сЬе саве Ф(х) > О. Г1гвс ше ш111 десегш1пе апх111агу 9«апс1с1ев п угой сЬе поп-д1чегхепое 1шр11с1с д1ЕЕегепге вгЬеше -р+1/2 р -р+1/2 -р+1/2 п — и п и й й р й ш-1 т/2 "ш р+1/2 1,"р+1/2 -рт1/2~ О (и + п ш+1/2 2 ш ш (9) апд пве воЬе~ве (7), (9). ТЬе д1чегаепое всЬеше во дег1чед Ьав веоопд-огдег арргох1шас1оп оп а вшоосЬ во1«с1оп.
А Ьепг1«с1с апа1у«1« песа«сЬе Чоп Мепйапп врессга1 сгссег1оп, аусег 11пеаг1«ас1оп апд сЬе Егее«1«х оЕ соеЕЕ1о1епсв, впхаевсв всаЫ11су Еог агЬтсгагу г = т/Ь. Еес пв пой саггу опс сп(в апа1ув1в ° Ав а гев«1с оЕ 11пеаг1«ас1оп, апд оЕ Егее«1«х со«ЕЕ1о1«псв, йе Аес а всЬеше оЕ сЬе Еогш -р+1/2 р -р+1/2 -р+!/2 п — п п - и а а й й-1 т/2 Ь р+1 р -р+1/г -р+1/г -ре) /2 -р+1/2 п — и и п и + и й ш а ш+1 й й ш-! + — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
