Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(3) опе сап чг1се Г.ь (и) (2) с = (и+1) т и(аЬ, 0). ТС Ео11овв, в1псе т гЬ, сЬас [ ф[ ° ) + О(Ь'), Ф(аЬ) + О, (ь) Ф[, с ) - Ф[, сп 1) + 0(ьг), О. вис ф[х , с ) ф[х , с ) + [Ф[х, с ) " Ф[х , с - ф[х , с ) + о(т) - ф[х , с ] + о(ьг). ТЬегеЕоге ))бЕ )) = 0(Ь2). РЬ Кхаар1е 3.
Че поа сопв1бег СЬе в1ар1евс бсббегепсе всЬеае арргох1- аас1пб сЬе 01г1сььес ргоььеа Еог Ро1ввоп'в есиас1оп 1п сЬе ваиаге 0 (О < х < 1, 0 < у < 1) а1сЬ доипбагу Г (Р15. 12,а)с и + и Ф(х, у), (х, у) 1п0, хх уу и) Ф(х,у), (х, у) 1п Г. Г уе сопвсгисс сье пес, О, авв15п1пб со 1с сьове ро1псв (х, с ) = Ь' а' п (аЬ, пЬ), еь1сь Еа11 1пвсбе сЬе вциаге ог оп 1св Ьоипбагу. ТЬе втер-чсбсь, СЬаргег 7 206 ИесЬобв Еог Сопвсгисс1оп аЕ 01ЕЕегепсе ясЬеаев 477 ()77,77 ч/! ул н/,,ч) Ь, ие аввиае со Ье сЬовеп висЬ СЬас 1/Ь 1в ап 1псебег апб сЬе 61ЕЕегепсе всЬеве, 1 и( ' Е ч111 Ье 21чеп Ьу сЬе еоиас1опв (Ь) (Ь) Ь и 2и +и и -2и +и ш+1 и ап ш-1 и ш п+1 вп в и-1 + (Ь) 1 и б(шЬ, пЬ), (аЬ, пЬ) 1п О, (аи, пЬ) 1п Г и = Р(шЬ, пЬ), вп Ф(аЬ, пЬ), 1Е (аЬ, пЬ) 1п 0 Е(Ь Р(аЬ, пЬ), 1Е (аЬ, пЬ) 1п Г.
Ву ч1гсие оЕ ЕС. (3) СЬе гевсбиа1 бЕ , 1 [и] Е + 61 , Ьав (Ь) (Ь) (Ь) Ь Ь сЬе Еога — (и +и )[ +о(Ь ), Ь 2 12 с ххах уууу' х у ш' п (Ь) во сЬаг арргох1ваг1оп 1в оЕ весопб огбег. ТЬе Е1че-ро1пс *свис(1, соггевроп61па со сЬе х1чеп 6Шегепсе ес)иас1оп, 1в р1сгигеб 1п Рсх. 12,Ь. Че Ьаче, аЪоче, сапвсгиссеб 61ЕЕегепсе всЬеаев Ьу гер1ас1пв еасЬ бег1час1не 1п сЬе Е ЕЕЕегепс1а1 ециаг1оп Ьу а 61ЕЕегепсе ге1ас1оп оЕ опе вогс ог апосЬег.
2. тье весЬов оЕ ипдесегв1пед соееесс1епсв. А воге вепега1 весьоб ое сопвсгисс1пб 61ЕЕегепсе всЬевев 1в, пос со гер1асе еасЬ бег1чаС1че верагасе1у, Ьис со гер1асе СЬе чЬо1е 61ЕЕегепс1а1 орегасог ас опсе. )(е ехр1а1п сЬЕв аесЬоб Ьу чау оЕ ехавр1ев оЕ ЙШегепсе всЬеаев Еог СЬе СаисЬУ ргобсев (4). Р1гвс че сопвсбег а Е1гвс-огбег арргох1вас1оп, всЬеае (5). ТЬЕв всЬеве соппессв сЬе ча1иев оЕ сЬе геои1геб Еипсг1оп аг СЬгее ра1псв, ав вЬочп 1п сЬе 1есс"Ьапб рапе1 оЕ Р12. 10. ТЬе 61ЕЕегепсе еоиас1оп Сопвсгисс1оп оЕ Аррго»1вас1пц 010(егепсе ЯсЬеаев 207 и+1 п и п и и и и (Ь) а а '1 а Л „ Ь т Ь ф(аЬ, пт), иве)Е 1п сЬ1в всЬепв Ьав СЬе Еога Л и В а и + ари + а и 1 = ф(вЬ, пт) (Ь) и и+1 и п в Оа 1в+1 а" 1 т' 1 1 а 0 Ь т' 1 а 1 Ь' апо, сопв1))ег1п0 СЬеве соеЕЕЕс1епсв ип)(етега1пе)Е, сгу со сЬоове сЪев 1п висЬ а чау сЬас Л[] ! -[ — - — )! +О(Ь) Зи аи Ь Ь ас а» х=атт, х аЬ, с пт с пт Л [,] ] - Л,] + О(Л), Ь Ь| х аЬ.
С пт с=пт иЬеге аи аи Ли в — -— = ас ах (7) рог сЬЕв ригрове ее васе иве оЕ Тау1ог)в Еогаи1ап и[вЬ, (и + 1)т] = и(аЬ, пт) + ти (аЬ, пт) + О(тт) и[(а + 1)Ь, пт] и(вЬ, пт) + Ьи (аЬ, пт) + 0(Ь2). х БисвсссисЕп0 сЬЕв ехргевв1оп 1псо сье г10ьс "ьап4 вЫе ое сье еоиас1оп Л [и] ] х апи[аЬ, (п + 1)т] + а и(аЬ, пт) + а и[(в + 1)Ь, пт] Ь Ы 0 1 с пт ие Вет Л [и] ~ [ао + а + а ))и(аЬ) пт) + х вЬ, С пт в) . ) ) ) ) 01псе 1с 1в оиг Аоа1 со сЬоове сье соеЕЕ1с1епсв а", аО апт( ас во ав со Еи11111 сЬе соп))1с1оп оЕ арргох1вас1оп (б), 1с 1в пасига1, рге11в1паг11у, 1ес ив ЕогАес, Еог сЪе аовепс, сЬас ее а1геа)(у Ьпои аЬоис )11ЕЕегепсе всЬеае (5), Еос еЬЕсЬ г!о ОЬарсег 7 ИесЬойв Еог Сопвсгисс1оп оЕ ОтЕЕегеисе ЯсЬепвв ТЬе в1сиас1оп в111 Ье висЬ сЬе вапв а1во 1п СЬе оСЬег ехавр1ев ъе в!11 епсоипгег.
Ьес ив иов сопи!бег Ьов опе сап сопвегисг, Еог ргоЫев (4), сЬе ОЕЕЕегепсе всЬеве а и + аои + а !и ! + а!и ! ф(вЬ, пт). О п+1 п и п (10) ио ф(в),) (Ь) Ь (Ы О и+1 и п и ЛЬ» в а и + аои + а !и ! + а и п1 0 в -1 в-1 1 пт!-1 уог снегу виЕЕ1с1епг1у ввооСЬ Еипсгсоп и(х,с) ие вау вт1се, в1СЬ сЬе а1д оЕ Тау1ог'в Еогви1а, Л (и] ! (аа + а + а е а )и(вЬ, пт) + х=вЬ, с=пт 1 + а гЬи (вЬ, пт) + (а — а )Ь» (вЬ, ат) + — а г Ьги (вЬ, пт) + 1 -1 х 2 (а + а )Ьги (вЬ пт) е 0(авгЗЬЗ а ЬЗ а ЬЗ). (!2) 1 2 1 -1 хх ! ' -! Ие пов верагасе оис, 1п сЬе г13Ы-ьапд всое оЕ сЫв еОиас1ои, сье сегв Ли - =(Эи/Эс) - (Эи/Эх), ив1пЭ Еог сЫв ригрове сЬе 1депс1су и = и + Л С х и Ав а геви1с ие Лес Л]и] ! агЬЛи) +(а +а +а +а )и(вЬ, пт)+ х=вЬ, 0 1 -1 х=вЬ, с=их с пт + (ааг + а — а )Ьи (вЬ, пт) + — авггЬги (вЬ, пт) + 1 1 -! х 2 сс + — (а + а )Ьги (вЬ, пт) + 0(аагЗЬЗ а ЬЗ а ЬЗ) ° 1 2 1 -1 хх ! ' -1 Те ие аввиве сьас сье циапсссу 0(а г ьз, а ьз, а ьЗ) 1в виее1с1епс1у 1 ' -1 впв11, ап аввиврс1оп вЫсЬ и!11 1асег Ье соп(1гвед, сЬеп 1п огрех со Еи1Ет11 сЬе арргох1вас1оп гефи1гевепс (Л (и] ) = (Ли) + 0(Ь ) с пт оЕ воге хепега1 Еогв, соппесс1пЭ сЬе на1иев оЕ сЬе ипспоии Еипст1оп ас Еоиг ро1аев, ав вЬоеп 1п РЕЛ.
13. Ахи!и ее соппесс сЬе втер-в1йсЬв Ьу сЬе еаиас1оп т = гЬ, г = сопвс, апд 1псгодисе сЬе аосас1оп Л , йеусп1пЭ Сопвсгипесоп оЕ Арргох1шас1пН 01ЕЕегеп*е БсЬешев 211 1с 1в песеввагу сЬас СЬе Еоиг пишЬегв, а", а, а апд а , вас1вЕу СЬе 1 сьгее еоиас1опвс а гЬ = 1 + 0 (Ь), 1 а +а +а +а =0+0(Ь) -1 'санг+ а - а ]ь О+ 0 (ь). 1 -1 3 Яиррове, ассогй1пн со оиг поочепс1оп, сьас сье ать(сгагу оиапс111ев 0 (ь), 1 0 (ь) апд 03(ь) ое огрех ь, аге еоиа1 со сего. не сьеп нес сье вувсеш ое ециас1опв аогЬ = 1, а" + а + а + а = О, 0 1 -1 (13) а"г + а - а О. 1 -1 ТЕ попй1С1оп (13) 1в Еи1Е111ей, СЬеп Л [н) ~ = Ли) + аоггЬЕи (шЬ, ст) + 1 Ь Ь х=шЬ, 7 сс х шЬ, с=пт С=пт + — ~а1 + а 1]Ь н (аЬ, пт) + О(а г Ь , а Ь , а Ьв].
Яувсеа (13) Ьав шапу во1ис1опв, 1п Еасс а Еаш11у оЕ во1ис1опв йерепй1пН оп опе рагашесег, Опе оЕ сЬеве во1ис1опв г - 1 а 0 гЬ 1 а 1 Ь ао 1 гЬ' а О, -1 1еайв со сЬе аЬоче всЬеше (5). ТЬе во1иг1оп о а гЬ 1 -1 7Ь 1 а 1 2Ь 1 а 0 гЬ соггевропйв со сЬе всьеше и+1 и п п п -ии-и ш ш+1 ш-1 — г — — н . ). (Ь) Ь Нач1пН сЬовеп вове во1ис1оп оЕ вувсеш (13), опе шивс виЬвс1сисе сЬЕв во1ис1оп 1псо сЬе геша1пйег сегш апй сопЕ1гш сЬас 1с 1в вша11. рог сЬе аЬоче сио во1ис1опв виьвс1сис1оп оЕ сЬе пиапс1с1ев а, аО, а1 ап4 а 21чев сЬе геша1пдег сегшв СЬаргег У 212 иесьойв еаг сопвсгисс1оп ое 01ееегепсе япьешев а + а г дс' дхд оЕ огт(ег 0(Ь). Лшопд сЬе ваоосЬ Еипсс1опв и(х, с) аге весопф-огфег ро1упощ1а1в Еог иЫсЬ дди/дсд апф Эди/Эхд Саде оп, аг апу Э1чеп ро1пс, апу агЫсгагу ОЗЗ3 3 ргевсг1Ьад ча1иев.
Иогеочвг сЬе сета 0(а г Ь, а Ь, а ТЬ ) сопсасп1пд СЬе сЬ|гф Аег1час1чев оЕ сЬе ро1упощ1а1 и(х, С) и111 чап1вЬ. ТЬегеЕоге, 1Е сЬе геша1пфег сета 1в со Ье оЕ огйег ЬЕЭЬег сЬап Ь, 1С 1в песеввагу сЬас сЬе ооеЕЕ1с1епсв оЕ Эди/дсд впд Эди/дхд вЬои1й еасЬ, верагасе1у, Ье оЕ ЫЭЬег огфег. Я1пое, егош сье 11гвс ое кцв. (13), ще ьаче ао 1/(гь), сье соеЕЕ1о1епс оЕ д и/Эс 1в гЬ/2 апд сЬе геша1пдег сегш 1в печет оЕ огйег ЫЛЬег сЬап Е1гвс. Ие Ьаче евгаЬ11вЬед сЬас 1в 1в 1щровв1Ые со сопвсгисг а оЕЕЕегепсе воЬеае оЕ Еогщ (10) чЫоЬ арргох1аасев СЬе ргоЫещ д, д, — — ф(х, с) дс дх Ьи и(х, 0) = ф(х) со огфег Ьд.
То га1ве сЬе огбег оЕ арргох1шас1оп 11 чои16 Ье песеввагу со 1псгеаве сЬе пиаЬег оЕ пес-ро1псв ивой 1п сапвсгисг1пд сЬе всЬеще. Вис че ч111 поч ро1пс аис воще шесЬоов чЫсЬ, печегСЬе1евв, регш1С сЬе сопвсгисс1оп оЕ а 41ЕЕегеиае всЬеае ч1сЬ огфег Ьд арргох1шагсоп, ив1пд сде Еоиг 1пй1сасед ро1псв оЕ сЬе й1ЕЕегепсе пег, ТЬе аесЬоф оЕ га1в1пд сЬе огфег оЕ арргох1аас1оп, иЬЕоЬ че поч ргевепс Ьу чау оЕ ехаар1ев, 1в депега1 1п сЬагассег. 1с сигпв оис сЬас опе сап оЬоове сЬе оаеЕЕ1о1епсв 1п висЬ а чау сЬас сЬе епиаг1оп Л (и) = а" и(щЬ, (и + 1)т) + а и((щ - 1)Ь, пт) + Ь Ь -1 + а и(аЬ, пт) + а и((а + 1)Ь, пт) = 0 1 Ли + — ~(ди) + (Ли) ~) + 0(ЬЭ) = Р Ли~ + 0(ЬЭ), 2 х шЬ, (х, с ) п с пт и111 Ье вас1вЕ1ей, иЬеге -к+ — ( — + — ) гЬ д Э Ь 2 ЭС дх апд Е 1в сЬе 10епт1су орегасог.
ТЬеп, в1псе Ли и " и ф(х, С), сЬе х й1ЕЕегепое всЬеае п+1 п п п п а и + а „» 1 + афи + а и щ -1 ш1 0 ш 1 ш+1 ш' Ь „(Ь). Ь в ф(щЬ) в 22 Сопвггисг1оп оЕ Арргох1шас1па О1ЕЕегеаее ООЬешев 213 = (РЬч) = Ф+ Ь (ч +Р„)) х=шЬ, с=пт 1-г а 1 2Ь 1 ав гЬ 1 г а = "— + —, О гЬ Ь 1+ г а 1 2Ь И1сЬ сЬеве ча1иев сЬе орегасог Л васев сЬе Еогш ВУ СЬе шеСЬой оЕ ипдегегш1пей соеЕЕ1с1епев опе сап поС оп1У ОЬаове соеЕЕ1е1епгв а, а 1, аО апд а1 Еог чЬЕсЬ ль(и) = аои(х, с + т) + а То(х - ь, с) + + а и(х, с) + а и(х + Ь, с) Р Ли + О(Ь ) ш1сЬ сЬе аЪоче с)еЕ1пед орегасог Р, Ьиг опе сап а1во сопвсгисс а11 орег- Ь' асогв, Р, еог чьссь сье аьоче ериас1оп сап ье вас1ве1етс. Ь' Ъес ив пое вЬое Ьое сЬ1в сап Ье йопе ° Тас1пв (Ь) — О п+1 п п п Ь -1 ш-1 О 1 1в+1' апд ив1пр Тау1ог'в Еогша1а, че Кос Л (и) ) =(а +а +а +а )и(шЬ, пт)+ Ь Ь! О 1 -1 с=пт + авгра (шЬ, пт) + (а + а )Ьп (шЬ, пт) + — а г Ь и (шЬ, пт) + О 2 2 1 -1 х 2 + — (а + а )ьги (шь, пт) + О(а г" ьв, а ьв, а ь~) ° (14) тЬЕв ериас1оп ч111, пехс, Ъе рис 1псо а вошемьас й1ЕЕегепс Еогш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
