Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ке ч111, печегСЬе1евв, весс1е оп сЬе шесЬой бевсг1Ьед аЬоче, 1п мЬЕсЬ арргох1шас1ап 1в еча!васей 1п роиегв оЕ Ь, в1псе сЫв 1в шоте сопчеп1епт Еог сошритат1опа1 ригровев. ТЬе геадег вЬои!д, Ьоиечег, 1п )ид51п5 сЬе ТиаИсу оЕ ЬИЕегепсе всЬешев, Ьеер 1п ш1пд сЬе аЬоче сопв14егат1опв. ке шивс посв, Еигсьег, сЬас сье аввегс1оп сьас сье сошрисас1опа1 вогь 1в ргорогс1опа! со сЬе пишЬег, К, оЕ пег-ро1псв 1в а1во поС а1иаув Сгие. Опе сап с1те ехашр1ев оЕ 41ЕЕегепсе всЬешев иЬаве иве ге9и1геа, 1п сЬе !+! во!ис1оп ргосевв, К аг1СЬшет1с орегат1опв, КЬеге 9 !/2 ог ечеп 2.
Опе епсоипсегв висЬ всЬешев 1п сЬе во1ит1оп оЕ КИЕегепсе ЬоипЬагу-на!ие ргоЫешв арргох1шас1пВ е111рс1с е9иас1опв, ог 1п во1ч1пВ ргоЫешв 1п сЬгее ог шоте 1пйерепдепт чаг1аЫев (е.В., и и(С, х, у)). 1п СЬе ши!СЕКЕшепв1опа1 саве сЬе сопвсгисс1оп оЕ 41ЕЕегепсе всЬешев висЬ СЬас СЬе во1ит1оп ргосевв епса1!в К аг1сЬшес1с орегат1опв 1в а попсг1ч1а1 ргоЫеш, асоис КЫсЬ шоте КЕ!1 Ье ва15 Еп вам!, 32.
Рог геа1 са!си1ас1опв оп е!ессгоп1с сошритегв 1с 1в сошшоп со саКе шасЫпе с1ше ав а шеавиге оЕ циа11су, Еог сЬе ригрове оЕ сошраг1п5 а15ог1СЬшв. МасЬ1пе с1ше 1в пос песевваг1!у ргорогс1опа1 со сЬе пишЬег оЕ аг1сЬшес1с орегас1опв. ТЬе С1ше ге9и1гей со сгапвЕег ЕпЕогшас1оп Егош опе ЫосЬ оЕ сошрисег шешогу со апосЬег шау а1во р1ау а в15пИ1сапс, вошес1шев ечеп а ргедош1папс го1е. Апй сЬе с1ше ехрепдед оп 1а51са1 орегас1опв шивс а1во Ье сопвЕКегеб.
РКОВЬЕМВ !. Рог СаисЬу ргоЫеш (А) вспашу сЬе Ео!1ои1п5 41ЕЕегепсе всЬеше! п+1 п п п и "ии-и ш Ф Ф ш ! ш О, +1, ...; п О, 1, ..., (Т/т) "1, и Р(шЬ), ш О, +1, О шЬеге т гЬ, г сопвс. моте ргес1ве1у а) кг1се оис 1п деса1! сье орегасог, ь, апй г15ьс-ьапд в(ке (Ь) Ь' (Л) (Ь) Е, КЫсЬ арреаг иЬеп сЫв всЬеше 1в рис 1псо сЬе Еогш Ь и Е Ь Ь) ВЬессЬ сЬе ге1ас1че 1осас1опв оЕ сЬгее пес-ро1псв, висЬ сЬас сЬе ча1иев и ас СЬеве ро1псв аге соппессей Ьу сЬе ОИЕетепсе е9иат1оп Еог (Ь) 11хей ш апй п. СЛарсег у Иессоов Еог Сопвсгист1оп оЕ ОЕЕЕегепсе ясЬеаев 196 с) ОЬоч сЬас СЬе 61ЕЕегепсе всЬеае врргох1аасев сЬе о1ЕЕегепс1а1 ргоЪТеа со Е1гвс огоег 1п Ь оп а во1ис1ап, и(х, с), Ьачтпр Ъоопоео весоп4 йег1чвс1чев.
д) Оесега1пе асегсег сЬе о1ЕЕегепсе вссеае 1п счевс1оп Ев всаЪ)е Еог вове сЬо1се оЕ г, т гЬ. 2. Рог сЬе СаисЬу ргоЪТеа и + и = Ф(х,т), и(х, О) 9(х), с х < х < , 0 < с < Т, 1пчевс1сасе, Еа11оч1пс сЬе оис)спе 1всо оис 1п ргоЬТеа 1, вЬоче, еасЬ оЕ сЬе Ео11оч1пс 0111егепсе всЬеаев: и+1 и и п и и и и + Ь Ф(аЬ, пт), а О, +1, ...; п О, 1, ..., (Т/т)-1, и = Ф(аЬ), а О, +1, 0 и+1 п п п о-пи-о + „ Ф(аЬ, пт) а О, +1, . ° ° т п О, 1, ° . °, (Т/т)-1, о Ф(аЬ), а О, +1, 0 $22.
$1ар1евс аесЬойв еог сЬе соавсгисс1ои оЕ арргох1авг1ис 41ЕЕегеисе всЬеаев 1. Вер1асеаеиг оЕ йег1час1чев Ьу 61ЕЕегеасе ге1ас1овв. ТЬе в1ар1евс аетсод Еог сЬе сопвсгисс1оп оЕ 41ЕЕегепсе Ъочпиагу-ча1ое ргоЬ1еав, арргох1- аат1пс т(11(егепс1а1 Ьоипоагу-ча1ие ргоЪ1еав, сопв1всв 1п ссе гер1асеаепс оЕ Веттчвстчев Ьу соггевропстпС о1ЕЕегепсе ге1вс1опв.
Ое ч111 ргевепс вечвтв1 ехаар1ев оЕ ЙЕЕЕегепсе всЬеаев оссатпео 1п сЬ1в мау. 1и ссеве ехаар1ев ае ч111 ове сЬе арргох1аасе ехргевв1опв Е(, + Ьс) - Е(с) оЕ(в) Ох Е(х) - Е(г - Сс) И(а) йа Е(в + Сс) - Е(х - св) оЕ(в) йх 2 ив 421(с) Е(в + Ьг) 2Е(с) + Е(с + Сс) д 2 Йсг 199 Сопвггпсг1оп оЕ Арргох1шаг1пд 01ЕЕегепсе Бсдешев Аввпш1пд а Еппсс1оп Е(в) пав(пд апЕЕ1с1епс1у папу Соопдед йег1васспев, 1с 1в ровв1Ые со шг1се опс ехргевв1опв Еог ссе геша1пдег сегшв 1п соева арргох1шас1опа.
Ву Тау1ог'в Еогшп1а Е(* + Ь') Е( ') + Ь'Е (*) + 2 Е (*) + (Ьв)' — е *'(а) + 4, е (в) + о((ьс)4), (Ьс) (Ьг) (4) (2) Е(в - Ьа) Е(с) - Ьс('(г) + — Е (а) (Ьа)2 г) - —,а- Е (г) + —, Е (в) + о((Ь|) ). (Ьг) (Ьв) (4) Св1пд ехрапвсопв (2), опе сап Вес ехргеав1опв Еог сде геша1пдег сегшв 1п ссе арргох1шасе Всв, (1). Ярес111са11у, опе 11пдв Спас Е(в + Ьг) - Е(с) Е (в) + (Ьв Е .(в) + о(да)~ Ьв 2 пп--'и — -'-и - 'о~ ° ~- — '* "м ° о*о.
Ьв 2 (3) Е(в + Ьв) Е(а Ас) ( ) ~(ьв) Е ( ) ~ д )2)~ 2Ьа Е(а + Ьв) - 21(г) + Е(а - Ьв) ~ (Ьс) Е(4) + г Ь 2~ ~ дс2 Тпе геша1пдег пегов 1п сде арргох1ааг1опв (1) епсег 1псо спе соггевроад1пс Всв. (3) 1п спе Еогш оЕ спе ехргевв1опв 1п вспаге ЬгасСесв. С1еаг1у Всв. (1), ав ее11 ав сде ехргевв1опв Еог сне геша1пдег сегшв ег1ссеп опс ехр11с1с1у 1п (3)„ сап а1ао Ье пвед со гер1асе рагс1а1 Аег1вас1чев Ьу д1ЕЕегепсе ге1ас1опв. Рог ехашр1е Э,(х С~ (х, С + ЬС) - о(х, С) Ьс Эс в1псе п(х с + ьс) - п(х с) эп(х с) ~ ьс эгп(х с) Ьс кспа11у СЬаргег 7 месЬодв еог сопвсгпсс1оп ое 01ЕЕегепсе ясьеаев 200 Эп(х с) п(х + Ьх с) - п(х с) Эх апб, 1п сЫв саве, Эй + ~ Т ' + а(бх)~ п(х + Ьх, С) - и(х, С) Зп(х, С) Г Ьх Згп(х, С) х х Зх2 есс.
Ехавр1е 1. уе геспгп, Ьеге, со СапсЬу ргоЫев (4) оЕ $21т Эп Эп — — Ф(х, С), " < х < , О < с < Т, Эс Э (4) п(х, 0) Ф(х), - " < х < и+1 и п и и и и и п а а+1 а т (Ь) Ь (5) и ч(вп), 0 апб 1в осса1пед Ьу гер1ас1пб сЬе бег1час1чев и Эп/дс апб и Зп/Эх Ьу с х сЬе арргох1васе ехргевв(опв п(х с+с) - п(х, с) и (х, с) т п(х+Ь С) -п(х С) и (х, С) х Ь уе Ьаче вспд1еб СЫв всЬеве 1п беса11 1п Э21. 1п сЫв гев(бпа1, ЬЕ, чЫсЬ бече1орв чЬеи сЬе во1пс1оп, [п]Ь, оЕ (Ь) б1ЕЕегепс1а1 ргоЫев 1в виЬвс1спсеб 1псо сЬе 1ебс-Ьапб в1бе б1ЕЕегепсе ргаЫев саве сЬе сЬе оЕ сЬе 1. [и] Е + бЕ Ь Ь Ьав сЬе Тога — и - — и + о(т + Ь), Г Ь 2 СС 2 хх~ бЕ( О. То арргох1аасе сЫв сапсЬу ргоЫеа че сопвсгпсс сьгее всьеаев. 1п а11 сЬеве всЬевев че пве ссе пес, Оь, Еогаеб Ьу сЬове ро1псв ое 1псегвесс1оп ое сЬе 11иев х = аЬ, с пт, Еа111ЬЕ 1пвсбе сЬе всг1р 0 < с < Т.
ТЬе ча1пев оЕ т апб Ь че сесе со Ье соппессеб Ьу сЬе ге1ас1оп т гЬ, чЬеге г 1в вове ров111че сопвсапг. ТЬе в1ар1евс оЕ сЬеве всЬевев Ьав СЬе Тога оЕ (5) $21З 201 Сопвсгпсс1оп оЕ Арргох1швг1пд 01ЕЕегепсе ВсЬеаев 1и сЬ1в весс1оп ве сесе, вв сЬе пота оЕ СЬе е1ешепс Е оЕ врвсе р, сЬе (Ь) Ь' авх(апа оЕ а11 сошропепсв оЕ сЫв е1ешепг. ТЬеп, оЬч1оив1у ))61 )) 0(т + Ь) О(гЬ + Ь) 0(Ь), РЬ ап6 сЬе ерргох1швс1оп Сигпв опс со Ье оЕ 11гвс огбег. ТЬе весоп6 всЬеше гевп1св Егош сЬе впЬвС1гпс1оп оЕ впосЬег ехргевв1оп Еог до/дхт и х с) - п(х - Ь с дох с) х ТЬЕв всЬеае Ьвв сЬе Еога п+1 п и и и - и и - и ш а ш а"1 т - Ф(шЬ, пт), (Ь) ~Ь и Р(шЬ) ° 0 Неге т + — о ~ + о(т + Ь) (~ г 1 66( О, ))61 )) 0(Ь), РЬ вп6 врргах1швс1оп вдв1п согпв опт со Ье Е1гвс огдег.
ТЬе весоп6 всЬеае, 1с чоо16 веса, 61ЕЕегв оп1у 1пв1дп1Е1еепс1у Егош сЬе Е1гвс. Ве1оч че ч111 вес, Ьочечет, сЬвс сЫв весоп6 всЬеше 1в сошр1есе1у опво1свЫе Еог сошрпсвс1оп: 1С 1в опвгаЫе Еог виу т/Ь г сопвг. ТЬе СЫг6 всЬеае п и и+1 а+1 ш-1 п и вгч1 а Ь = 6(шЬ, пт), (Ь) Ь и = ч(шЬ), 0 1в оЬса1пе6 Ьу гер1есеаеиг оЕ СЬе 6ег1чвс1чев Ьу 61ЕЕегепсе ге1вс1опв ч1в ссе арргох1швсе ехргевв1опв гог МесЬоов Еог Сопвсгисс1оп оЕ 01ЕЕегепсе БсЬеаев СЬареег 7 (х + Ь с) + и(х - Ь с) Эи(х с) 2 Эи(х с) и(к + Ь с) - и(х с) Эх Ю1СЬ сЬе а16 оЕ сЬв Тау1ог ехрапвсопв (2), Еог а виЕЕЕс1епс1у веоосЬ во1ис1оп, и(х, с), оЕ ргоогеа (1) че Эес и(х + Ь, С) + и(х - Ь С) и(х, с + т) 2 и(х+Ь, с) "«(х, с) ГЭи Э» Ьг Эги т Эги] ! Ьв) — — - — — + —— +О~тг+ Ьг+ — ! Э 2 2 Э г т ] Эх ЭС х,с ф(х, С)+ ~- — и + — и +0(Ь )) Ь т 2 2г кх 2 сс х,с ТЬеге(оге ф (шЬ, пЬ) + ~- — и + — и + 0(ЬЭ)], Ь т 1.
(и] 2г хх 2 Ь Ь ф(аЬ) + О, во сьас 6е 1п сЬе еэиас1ап (Ь) Ь [и] Е Е 6Е Ь Ь Ьав сЬе Еоге Ь т - — и+ — и+0(Ь), 2г хх 2 сс 6 (Ь) О. ТЬиз ] ] 6Е ] ] 0(Ь) зпв ие зхз1п Ьаие Е1гвг агвег арргох1аагсоп, (Ь] ав 1п сЬе сио Еггвс ехаар1ев. Ь /777,77 /] /777,77] ~т /,77) гЛ, 77] /27 -/ 77) /777, О] Згг Сопасгипс1оп аЕ Арргох1шас1пЭ 01ЕЕегеппе БсЬешев 203 Ьес ив пои сопвИег сЬе саве иЬеге сЬе соппепс1оп Ьесиееп СЬе шевЬ иИЕЬв 1в д1чеп, поС Ьу сЬе ге1ас1оп т гЬ ав аЬоче, Ьис Ьу сЬе ет)иас1оп т гЬЗ, г сопвг, ргевирров1пЗ а шоте гарИ геЕЕпешепс 1п т сЬап 1п Ь.
1п сМв саве ,1 ди Зи 1 Зги З 2 + 0(Ь ), Эс чх 2г Зх х Ь Ь и(шЬ, пт), Егош иЬ1сЬ 1с 1в с1еаг сЬас сЬе аЬоче АЕЕЕегепсе всЬеше арргох1шагев СЬе ргоЬ1еш Эи Эи 1 Эхи Зс 5» ~~ ф(х, Эх и(х, 0) ф(х), — - — = ф(х, с), - < х < , О < с < Т, З» Эхи Э 2 и(х, 0) ф(х), - < х < ТЬе в1шр1евг оЕ СЬеве и+1 п и и ш пс п п п и -2и +и ш+ ф( Ь т) „г (1) (Ь) ЬЬ и ф(шЬ), 0 ф(шЬ, пт ), Е ф(ФЬ) поС аС а11 сЬе ваше ав СЬе СаисЬу ргоЫеш (4) чЫсЬ че вес оис со арргох1шасе. Зте Ьаче, сЬив, всишЫед опто сЬе Расс сЬас опе апй сЬе ваше й1ЕЕегепсе всЬеше шау, Еог ЙЕЕЕегепс Еипсс1опа1 ге1ас1опв т т(Ь), арргох1шасе З1ЕЕегепс З1ЕЕегепсса1 ргоЫеш ав Ь ч О. ЗисЬ 61ЕЕегепсе всЬешев аге са11ей "г1ЗИ". Рог Ьеиг1ас1с ригровев 1с 1в сошшап со аввос1асе а с)ЕЕЕегепсе впЬеше и1сь а вьессь (ог "всепс11") гергевепс1пэ сье ге1ас1че ров111опв ое сье пес ро1псв ас иЫпЬ (Еог воше 11хес) ш апд п) во1ит1оп ча)иев аге й1гесс1у соппессей ьу сье 611еегепсе еоиас1опв.
Рог сье аьоче сьгее всЬешев сьеве всегсЬев аге ЭЕвр1ауед 1п РЕЭ. 10. Кхашр1е 2. Сте пои ргевепс сшо 61ЕЕегепсе всЬешев арргох1шас1пх сЬе СаисЬу ргоЫеш Еог сЬе Ьеаг епиатсоп 204 ИесЬодв Еог Сопвсгпсс1оп оЕ О1ЕЕегепсе БсЬеаев СЬарсег 7 1в оЬса1пеК Ьу гер1асеаепс аЕ сЬе Кег1нас1чев и апд и Ьу 41ЕЕегепсе хх ге1ас1оав ч1а сЬе ес(иас1опв и(х, с + г) - п(х, с) и (х, С) с г и (х, с) " п(х+Ь, с) -2п(х, с) + и(х -Ь, с) хх Ь2 ТЕ, Еог сЬе гер1асеаепс оЕ и (х, С), оие веге Со пве апоСЬег ехргевв1оп: хх п(х + Ь с + с) 2п(х, с + с) + п(х " Ь, с + г) и (х, с) хх Ь2 опе чоп1К агг1че ас а КЕЕЕегепс всЬеше Еог ЕЬе вава ецпас1опс «+1 и и+1 и+1 и+1 и -и и -2п +и а ш '1 а ш-1 = Ф( Ь ) г Ь2 (2) Ь и Ф(шЬ).
О То К1вс1прп1вЬ сЬе сво орегасогв Ь оЕ сЬеве сшо всЬеаев че Ьаче пиаЬегеб (1) (Ь) (Ы Ь(2) (Ь) (Ь) СЬеа, чг1с1пК Ь и = Е апд Ь и = Е . ТЬе вгепс11в соггев" Ь Ь роп41пК со ЬосЬ ОШегепсе всЬеаев аге вЬошп 1п р12. 11. /2Л е/ /2 в// //ЕЕ,Л ч/) 1 /л /7) /ТЕ-/,22) р18. 11. ТЬеве всЬеаев аге Ьав1са11у КШегепс. Соарпсас1оп оЕ сЬе во1пс1оп Ьу сЬе Е1гвс всЬеше ргевепсв по 41ЕЕ1сп1с1ев, апд 1в сагг1ед опс Ьу иве оЕ сЬе ехр11с1с ге1ас1оп ч (1 - 2г)п + г(и + и ) + гр(аЬ, пг), и+1 п п п й а ш а+1 чЬеге г с/Ь2. ТЬЕв ехргевв1оп 1в оЬса1пеО угой СЬе К1ЕЕегепсе ецпас1оп пе1 п Ьу во1ч1пК Еог и .
Кпош1пК СЬе ча1ие оЕ сЬе во1ис1оп, и, а О, + 1, й ас сье 1ене1 с с ( пг) ое сье «ес, ве сап соарисе 1св на1че и ас и ш сЬе пехс 1ене1 +1 (2) (Ь) (Ы 1п сЬе весопО всЬеше Ь и Е сЫв сопнеп1епс ргорегсу Ьав Ьееп Ь 1овс. рог сьсв геавоп сЬе есЬеае 1в ва14 со ье "1шр11с1с". Ти сыв саве сЬе с(ЕЕЕегепсе ерпаС1оп, чг1гсеп Еог Есхей ш апд и, саппос Ье во1чед ехрИ- с1С1у Еог и, ехргевв1пК сЬЕв Впвпс1су 1п Сеген М сЬе Ьповп ча1иев и+1 п и п оЕ и 1, и, и, Егоа сЬе ргесе41пК 1ече1. ТЬе ргоЬ1еш 1в сЬаС СЫв а+1' а' ш-1' п+1 ес(паг1оп сопса1пв пос оп1у СЬе писавши и, ЬиС а1во сЬе осЬег поспешив я 22 205 Сопвсгисс1оп оЕ Арргох1аас1пб 01ЕЕегепсе 5сьеаев и 1 апб и 1, ТЬегеЕоге, со бесега1пе и, а О, + 1, ..., 1с 1в п+1 а+1 и+1 а-1 а+1 песеввагу со во1че сЬе ЙЕЕЕегепсе ециат1оп Еог сЬе яьо1е пес Еипсс1оп, и+1 и, оЕ сЬе агбиаепс а.
Мечегсье1евв 1С ю111 Ье вЬовп Ье1ою сЬас СЬе (2) (Ь) (Ь) всЬеае 1 и Е 1в, ав а ги1е, аоге сопчеп1епс сьап сЬе всьеае ,(1) (Ь)" Е(ь) Ь Рог т = гьс, г = сопвС, ЬосЬ всьеаев Ьаче весопб огбег арргох1аас1оп в1сЬ гевресс со ь. )се са1си1асе сье гевсбиа1 бе апб еча1иасе сье огбег (Ь) оЕ арргох1аас1оп оЕ сЬе весопб всЬеае. Ов1пб 55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
