Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Моге ргес1ве1у, 1с ч111 Ье вееп Егаа (6) сЬас 1с 1в абч1веаЫе со сЬоаве сЬе ро1псв Ц „ ..., Ц апд Р , ..., Р ч1сЬ сЬе ргорегс1ев аЕ с1авв 0 1п а1пд, во сЬас сЬе Опапс1су Кя(0, ММ) ч111 Ье "ав ваа11 ав ргасс1са11у О ровв1Ые", апй во сЬас, ав М +, сЬе веопепсе КМ(0, Я~) в111 Мо со сего "ав Еавс ав роввЕЪ!е".
О О О А!чаув К (О, Я ) > к (О, я), вЬеге к (ц, Я) 1в сЬе М-«1аепв1опа! М ' — М М О Ко1ао«огоч 61авесег ОЕ сЬе вес 0 м1сЬ гевресс со погаеб врасе я (вее 3138). ТЬегеуоге Еаг а сЬо1се оЕ ро1псв со Ье "Кооб" 1с 1в впЕЕ1с1епс сЬас О О КМ(0, М ) Ье с1ове со к (О, Я). бес пв пов апа1уге 1п деса1! а саве чьеге а11 сье а рг1ог1 1пеогаас1оп мЫсЬ че Ьаче ав со сЬе ргарегс1ев оЕ сЬе во1ос1ап, и, рега1св пв со сопс!пйе оп1у сЬас и Ье1оп«в со сЬа с1авв, О, оЕ а11 Еппсс1опв, чап1вЫп« оп сЬе Ьаппбагу, юЬове весоМ йег1час1чев ба пос ехсееб вове ппаЬег, М. 1п сЫв саве че в111 вЬоч Ьоп опе вовс ОЕвсг1Ьпсе сЬе ро1псв 0 М О Р... °, Р во сЬас, ав М 1псгеавев, К (О, я) ч111 Ье оЕ огрех 0(!/чЕЕ).
ТЬеп, сЬап«в со КО. (6) Еог спе еггог, ч — и, 1п сЬе арргах1васе во1п- М с1оп ч, че аге аввогед сЬас М' Сепега11у вреа«1п«, Ьовечег, 1с 1в пос сгпе сЬас, Еог еасЬ вес оЕ О Еппсс1оав О, сЬеге ех1всв а пес Еаг чЫсЬ К (О, Я ) боев пос "Кгеас1у" О О О ехсееб к (О, И~) во сЬас ав М ч сЬе Опапс1с1ев К (О, пеЯ) апб к с!О, Щ М М М ч111 Ье ваа11 оЕ сЬе вахе огбег 1п М . ТЬе ргоЫеа 1в сЬас, 1п рагс1- сп1аг, сЬе р1есеч1ве 11пеаг Ьав1в Еппсс1опв юЫсЬ че аге ов1п« 1п сЫв весс1оп со соар1есе сЬе пес Еппсс1опв ч111, Еог еасЬ ОЬо1се аЕ ра1псв, МепегО асе врасев я, оЕ Р1есею1ве-11пеаг Еппсс1опв, врасев вЫсЬ бо пес ехЬапвс О а11 равв1Ые М 61вепв1опа! впЬврасев оЕ враге Я, апд ваап« чЫсЬ сЬеге аау О пес Ье а впЬвес М чЫсЬ сопвс1спсев а Моаб арргах1аассоп со вес О.
380 уаг1ег1спа1 ап8 Рго)есг1оп мегЬо8в СЬаргег 12 !(и — и!! <— М М вЂ” /й. иЬеге с 1в вове сопвгаы. Мосе гЬаг, Ьесвиве оу ваиаг1опв (32) ап8 (33) 138 Рог гЬе 81аиегегв 0 х (И, М) = 8( †), (8) гЬеве Ъоип8в иге Ьевг ровв1Ые 1п гЬе Ро11ои1пд вепве. 11 ие 1ооЬ 1ог вп арргох1ааге во1Ы1оп 1п гЬе Роги оЕ а 11пввг соиЫпаг1оп оу вове 81чеп Рипсг1опв Р (х,у). ..,, ф (х,у), М М М М и„).
с Р М 1 гЬеп опе саппсг, Рог апу сЬо1се оу Еипсг1опв Р (х,у), пог 1ог аиу ие<Ьо8 о1 М соириг1пд гЬе сое111с1впгв с 81чеп а г18Ьг — Ьапд вуде 1(х,у), асЫече Ьоипйв оу ГЬе Еоги ) (в — о ив = о(1//1() впй ~)и — и ( (О = о(1//М), чв118 М М ц уог апу Е(х,у) Рог иЬ1сЬ гЬе во1иг1оп, и, Ьв1опдв го оиг с1ввв О. тЬеогев 1, Бер П Ье гЬе вей о/ аП уивер(опв иЬове веоопс( ч(ег(оа11оев аге оопе1пиоив аЫ г/о пор евсеей воле пилЬег, //, Рп лоВи(ив,,/ипой1опв иЬСсЬ сап(вЬ оп еде Ьоипйагу, Г. Яиррове 18ар, /ог еасИ У о/' воле (псгеав<ид ведиепсе о/ пайпса( пилЬегв, опе Ьав ве(еврей ро1пгв С М М М л т/у/, агвг а йеоолров11(оп оу 18е ро1уповпа1 О = О С...,, 0 Миро рг(апд1ев депега1(пд, ав йевсг<Ьей аЪоое, 18е пес Р , Р , ..., Р .
Мввиле, /иг18ег, 18ай пде /оПою'.пд оопг/111опв аге /и1уМПес(2 1'. ТЬе 1епдеЬ 1, о/' апу вЫе оу а ви(хйо1в1оп рг<апд(е ваяв/1ев 88е (педиа1(ру 1<СЬ, иЬеге 1/2 ~агеа оу С~ М $39 Сапвггис<1ап апд Ргорег<1ев оЕ 01ЕЕвгепсе ЯсЬеаев 38! ало' С Ев воле ров<ЕЕое лилЬег лор оерелоЕлд ол Ь.
Зв. РЬе агеа оу ЬЬе гед(ол О~О воЕ<вЕЕев ЕЬе Овиши М 8 <СЬ2, М вЂ” 2 (9) С = салаг. 2 дч. РооЬ алд1е а оу алц ое ЕЬе ви(гд(о(вЕол Егъолд(ев о(' гед(ол О ваЕ<ву(ев ЕЬе ЬоиЫ о ) а = сопвс ) О. О (10) ЕЬе Ьоило о КМ(0, ММ] < С,Ь, (12) МЬеге С Ев вове оолвралЕ. Ргаа(. 1с 1в виГЕ1с1епг го вЬое гЬаг, Еог еасЬ Еипсг1ап ч 1п 0 ЕЬе Ео11ое1пд Еипсг1оп и(х,у) = 1 ч(Р )в (х,у), в 1п М, М М Ь 1 (13) вас1в(1ев ЕЬв Ьоипд / )' ]~ ( ')] + (8( ч)] ]8 8 < С Ь', ах ' Эу 4 (14) в1псв, опч1оив1у, 1п ГЬЕв саве Ьоип8 (12) 1в ча118 ° ТЬе 1пгедга1 (14) аау Ье лг1сгеп ав гЬв виа оЕ (поп-педас1че) 1пгедга1в очег ЕЬе ро1удоп О , Епвсг1Ье8 1п ге81оп О, апд 1гв соар1ееепг М' О'лО 1п гЬе еЬа1е ге81оп О: ~~]~™ м],1э.
+ (] П вЂ” "ч']'+ ~ — "" — ч']']Ох Оу. (15) Олпег ГЬе д(иел оопп(Е(алв О К~~(О, М ] = вир 1пЕ О С М О ч 1п 0 в 1п М О ые Ьаие, дог ГЬе диалШР КМ(О, М ]: И"" ч']' ~"" ч']'] Эх Зу Чассас1опа1 апй Рго)есс1оп Месбабв 382 СЬарсег 12 Ьес ов поч евс1«асе еасЬ оЕ сЬе сво сетвв оп сЬе г1ВЬс — Ьапб вИе аЕ ( 15), евсаЫ1вЫпВ сЬе Ъоапбв 1...)В» Ву < А Ь2, М (1б) (...)Вх ду < А Ь2, Р Р «Ьеге А апд А аге сопвсапсв пос дерепй1пВ оп сЬе Еопсс1ап ч 1п О, паг оп Ь. С1еаг1у, Ьу ч1гспе оЕ (15), 89в. (1б) апд (17) 1«р1у (1б) ч1сЬ сопвсапс СА А) + А2. То рточе Ъоопб (1б) 1с 1в впЕЕ1с1ем со вЬоа сЬас, спвИе еасЬ сг1ап81е ваС1пб ар сЬе беспера«1с1оп аЕ ге81ап Р, че Ьаче с1се 1пеопа11су )З( ч)! < ВЬ, (Э(" ')! < ВЬ, (18) ~В(ч ч)] ~й(ч ч)] (х,у ) (19) Мехс че сЬоове апу счо «1йеч оу сЫ« сг1а«81е Еаг«1пб асосе ап81е а, апд вЬоч сбас ечегучЬеге 1п сЬе сг1ап81е сЬе Вег1час1чев д(ч — ч)дс апб 1 б(ч — ч)/81, 1п сЬе д1гесЫапв оЕ сЬеве вИев, вас1вЕу сЬе Ъоапдв 2' ~-+- — «-! < А Ь вЂ” < А Ь.
(20) ТЬеп че ове СЬе ебааг1апв б( — ч) З( — .) 3 (а — ч) — аŠ— = — Π— — сов о +  †- «1п а х у (21) В(ч — ч) З(м — ч) З(а — ч) 812 Э» сов а Š—, в1п а 2 зу 2' вЬеге а апй а аге сЬе «п81ев «ЫсЬ сЬе 81гесс1опв 1 апб 12 ваге ч1сЬ сЬе 1 х «»1в. Соп«Иег1пб Вов. (21) ав а вувсев оЕ еооас1опв Еог З(ч — ч)/Эх апб Э(ч — ч)/Эу.
че Е1пб сЬас «Ьете В 1« а сапвсапс чЫсЬ дерепбв пе1сЬег оп сЬе Еапсс1оп ч 1п О, пот оп Ь. ТЬеп, с1еаг1у Ъоапб (1б) «111 Ье ча1И 1Е, Еог А, че с«Се А 2, 1 2В (агеа оЕ Р). ТЬав са совр1есе сЬе ргооЕ аЕ Ьаапб (!6) ве пеед со евсаЫ1вЬ Ьаопб (18), чЫсЬ че пач вес оос со до. ТЬе ргооЕ оЕ (18) ч111 Ъе 61ч(беб 1псо сво всабев. Р1гвс че вЬав сЬас сЬе Вег1чаЫче д(в - ч)/дс, 1п апу 81гесс1оп С, сап сЬапбе 1пвИе а сг1ап81е Ьу па вате сЬап А Ь, чбеге 3 А = сапвс, ва сЬас Еог апу счо ра1псв (х,у ) апб (х,у ) Ье1оп81пВ са 3 сЬе сг1ап81е че вау чг1се %39 Сапвсгпсс1оп ап8 Ргорегс1ев оЕ 01ЕЕегепсе ВсЬееев 383 в1п а в1п а Э (в — ч) 2 8(в — ч) ! 6(а - ч) в спс9= а;у и; паем;=т;т — в— (22) сов о сов а Э( — .) 2 8(в — ч) ! 8(в — ч) гс г Г'=' ! уг' Вас Ьу 89.
(!0) сЬе ап81е а = а — а > а > 0 апов а ( и — 2о, во сЬас 2 1 — 0 0* в1п о > в1п а = сопвс > О. 0 Ргов 89. (22) ап8 1пе9аа11су (20) опе йег(нев сЬе Ьоапдв о 0 вЬЕсЬ сесе сЬе Тога (18) 11 ае ВеЕЕпе В = (2/в1п а )Л Та савр1есе сЬе ргооЕ оЕ Ьоап6 (18) апй, сЬав, оЕ (!8), сс геаа1пв Еаг аве со ргоче ЬаапВв (!9) апд (20) оп вЬЕсЬ ве Ьане ге11ед. Ьес ав 1!гас ргоче (!9).
Оев18пасе Ьу 8 сЬе 81гесс1оп Егов ро1пс (х',у ) са ро1пс (х ,у ). Оп сЬе 1псегча1 )о1п1п8 сЬеве ро1псв апу Еппсс(оп 9(х,у) сап Ье сапв18егеВ ав а Еапсс1оп оЕ в, аЬеге в 1в сЬе 81всапсе Егаа ро1пс (х,у ) ° Ву сЬе сЬеогеа ап 11п1се 1псгеаепсв 89((,п) 9(х",у") — 9(х',у ) вЬеге (Е, п) 1в вове ро1пс оЕ сЬе 1псегча1 соппесс1п8 ро1псв (х',у ) ап8 (х' ,у ). ЕЕ дч(х,у) ф х,у Вч(х ,у' ) йч(х ,у ) (8'(8(ЕО)). (23) Пев18пасе сЬе ап81ев сЬас 61гесс1опв 1 апй в, гевресс1че1у, васе в1ЬЬ сЬе х ах1в ав е апд 6. ТЬеп ве вау вг1се сЬе вуаЬо11с е9па11су д д сов а + в1п о ех чу 6 Э Э сов 6 .Э- + в1п 8 .8- в х у С1еаг1у ТЬегеЕоге д 4 эг Вв Вс — ( ) = сав о сав 8 — + [сов а в1п 6 + в1п г Эх Эг асов 6) В ~Э- + х у дг в1п о в1п 6— Э,г СЬарсег 12 Чаг1ас1опа1 апд РгоЭесс1оп МесЬодв Эсч((,п) ЭЭч((,п) Эсч((,П) ~оав о сов Я + в1п(е + Я) --Эд-' — + в1п а в1п  †' ) < ЗМ Эхс х Эус < 2о Ь ве яес, Егаа (23), сбе 1пе9иа11су 1 91псе дч(х ,д ) дч(х',у )) )дч~ < МЬ ~Э') < МС (24) чЬеге М 1в сЬе вахсаиа аади1ив аЕ сЬе веоопд дег1час1чев оЕ Еипос1оп ч(х,у) 1п дова1п О, апд Ь 1в сЬе дсаяопа1 оЕ апу в9иаге сопсасп1пМ О.
Яиррове сЬас сЬе 11пе у = сопев 1псегвеосв дааа1п П. Я1псе ас сЬе епдв оЕ сЬе 1псегча1 оЕ 1псегвесс1оп, юЬеге сЫв 11пе оговвев Г, Ьу оиг аввиврс1оп ч(х,у) чап1вЬев, сЬеп ас вове 1псег1ог ро1пс (х, у) оЕ сЫв 1псегча1, Ьу 0' ЭоПе'в сЬеогеа, Эч(х,у)79х = О. Ас апу осЬег ро1пс оЕ сЬе 1псегча1 Эч(х у)! Эч(х у) 0' Эх ~ = Эх Эх )х - х ) ' ( — — с~-( < ЬМ.
Эсч(( ) 0 Э» 2 ТЬе весопд оЕ 1пе9иа11с1ев (24) 1в ргочеп апа1ояоив1у. Ргов сЬе всгиссиге оЕ сЬе Ъав1в Еипсс1апв ю~, 1с Ео11очв сЬас сЬе Еипсс1опв а(х,у) п' К К ч(Р )и (х,у), 1п сЬе гея1оп О~О очег вЫоЬ опе сагг1ев оис сЬе п п К 1псеягас1ап сЬе 1еЕс-Ьапд в1де оЕ (17), 1в Едепс1са11у сего. ТЬегеЕоге, Ьу Ьаипд (24), сЬе 1псеягапд оп сЬе 1е(с-Ьапд в1де оЕ ( 17) доев пос ехсеед сЬе Ьаипд 2М 12, апд обе 1псеяга1 1све1Е доев пос ехсеед сЬе оиаы1су 2М212 ' Я < 2МЭЬЭС ЬЭ К— 2 вЫсЬ со1пс1дев в1сЬ (19) 1Е ве саСе А = бхо .
То ргоче сЬе Есгвс оЕ 1пе- 3 1 оиа1111ев (20) ве посв сЬас ап сЬе в1де оЕ сЬе сг1апя1е Ьач1пя д1гесс1ап 1 сЬеге 1в а ра1пс иЬеге д(и — ч)7дс = О. 1п Расс оп сЬе епдв аЕ сЫв всде 1 и — ч чап1вЬев Ьу сапвсгнос1оп апд, сЬегеЕоге, Ьу Эо11е'в сЬеагеа сЬеге 1в ап Епсегвед1асе ро1пс вЬеге сЬе дегсчас1че чап1вЬев.
Ке поч дев1япасе сЫв ро1пс ав ро1пс (х , у ) апд иве (19), 1п аЫоЬ ие саКе д1гесс1оп 1 со оо1посде в1сЬ д1гесссап 1 . 1п сЬ1в иау ие яес сЬе Е1гвс 1пе9иа11су. ТЬе веоопд 1в оЬса1пед апа1ояоив1у. Нач1пя оовр1есед сЬе ргоаЕв оЕ 1пе9на1- 1с1ев (!9) апд (20) ие Ьаче сЬив а1во соар1есед сЬе ргооЕ оЕ 1пеоиа11су (14). То совр1есе сЬе ргооЕ оЕ сЬе аЬо1е сЬеогев 1с гева1пв Еаг ив са евсаЫ1вЬ 1пе9иа11су (17). Мосе, Есгвс оЕ а11, сЬас еаоЬ Еипсс1ап ч 1п О ваг1в(1ев сЬе оопд111апа 139 385 Сопвсгисс1оп апд Ргорегс1ев оЕ 81ЕЕегепсе ЯсЬеаев ТЬив 1пеяиа!1су (!7) 1в ча11Л ЕЕ опе сасев А = 2821!С . ТЬе сЬеогеа 1в 2 2 ргочеп. 3.
Ап ехаар1е оЕ а чвг1ассопа1-ЛЕЕЕегепие воЬеее Еог сЬе сЬЕгд Ъоипдагу-ча1ие ргаЫеа. Сопи!Лег, пои, сЬсгд Ьоипдагу-ча1ие ргоЫев (В)138: Всч Зсч — + — = Е(х,у), Эх2 дуг (25) 3» б(в)и = ф( ) Яирраве сЬас, Еог вове М Ъе1оп81п8 со а 81чеи 1псгеав1пр веаиепсе оЕ пасига1 пиаЪегв, ше Ьаче сЬовеп а пес Р, ..., Р, апд а вувсеа аЕ Ьав1в М М 1' '' ' М' Еипсс1апв ш, ..., ш вас1вЕу1пд сопд1с1оп (1) М ш (Р ) = 6 и )с п, )с = 1, 2. .. ° , М.
ТЬеп сЬе вувсев оЕ Н1ст ес(ив!сопи Еог сЬе соеЕЕ1с1епсв 1п сЬе 11пеаг сааЫпас1ап ш (х,у) = ! ч (Р )ш (х,у), а1п1вст1пМ сЬе Еипсс1опа1 3(ш) очег сЬе с1авв оЕ а11 Еипсс1апв и = а ш М + в ш, сап Ъе шг1ссеп 1п сЬе Еагш оЕ сЬе Ео11ош1пд чат!ас1опа1- М М М* Л1ЕЕегепсе всЬевес ш (Р.)(ш , ш ) = — !С ! Еш дх ду + ( ф(в)ш дв, 11 М 1 и' 1 О и Г п (26) Ьес ив пош в!все во ° .-ш!чс! поте врес1Е1са11у Ьош ше ч111 сроове оиг пес апд Ьав1в Еипсс1опв.
Рог а 81чеп ров111че 1псерег М ше 1пвог1Ье„1п сои!опт Г, а с1овед поп-1псегвесс1п8 ЪгаСеп-!!иа Е!Миге С С ..С С, ш1сЬ четсттев ас ММ ММ 1 2 '' в 1' ро1псв 01, ..., С , Ьоипд1п8 сЬе ро1уроп О . Ме сЬеп десоврове сЫв ра1удоп 1псо сг1ап81ев 1п висЬ а шау сЬас апу сшо е1сЬег Ьаче по ро1псв 1п соашап, от Ьаче а соавап чегсех ог а соааоп в!де, аид сЬас сЬе соса1 пиаЬег оЕ чегс1сев оЕ сЬеве сг1ап81ев, 1пс1ид1пМ сЬе чегс1сев С ..., С ,1в еМиа! М М со М. ТЬа СасаИсу оЕ а11 сЬеве четс1тев ш111 Ъе сасеп ав оиг пес Ме 1аЪе1 сЬе пес ро1псч Р, РМ, ..., РМ, Еот сЬе васе оЕ деЕЕп1сепевв сас1пМ М Р = О Еог п = 1, 2, ..., а. Мехе ие деЕ1пе сЬе Ъав1в Еипсс1оп ш (х,у), п п и п = 1, ..., М, ав Ео11оив. Р1твс ие врес1Еу сЬе Еипсс1ап ас сЬе пес ро1псв 1п ассогдапсе ш!сЬ сопд1с1оп (1): 38б Чаг1ас1опа1 апд Рго)еессоп МесЬодв СЬарсег 12 (27) ~~ш — о~~2 < В~З( ) — З(ч)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
