Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Сопв16ег сЬе 41ЕЕегепое воЬеае врете К тв вове сопвсапс 1пдерепбепс оЕ Ь| СЬив ие гебиое сЬе особу оЕ всаЬ111су со сЬе евсаЫ1вЬаепС оЕ Ьоипбв оп СЬе 9иапс1с1ев ИК Й, 1.е. СЬе Ь потев оЕ роиетв оЕ сЬе СгопвсСЕоп орвгаСог К Ь Апа1оКоив оопвсгисс1опв ап6 сопв16егас1опв иеге ргевепсед 1п 1115 ап6 16. Яе геса11 СЬас 1п 141 сЬе всибу оЕ всаЫ)ссу чав гейисе6 со сЬе сопв16егас1оп оЕ СЬе спе9иа11су СЬаргег 13 Сопвсгпсс1оп оЕ сЬе Тгапв1С1оп Орегасог ЗВВ р+1 и — п й й - 2п +пР в+1 в в-1 р = Ф Ь2 р = О, 1, ..., (Т/т[-1! в 1, 2, ..., М-1, (7) - ф [с ).
ор = р [с ), р = О, 1, ..., [Тут! п~=ф(вЬ),в0,1,...,М. и = (1 — 2г)п + г[п + и ) + тф у+1 в в в — 1 в+1 й т г —, в=1, 2, ° . °, М вЂ” 1; р О, 1, ..., [Т/т)-1, Ьг апд васе пве оу сье еспас1оп Сес пв, сЬеп, сасе ав 0 сЬе врасе о( пес Еппсс1опв Ь о = [о , и , ..., и 1 ' М е11Ь погв [[п[[ пах[а [ ° й яе аоа аг1се СЬе д111егепсе ЬоппВагу-та!ее ргоЪТев 1п СЬе Еогв р+1 и =Кп +те Ь (В) а К1теп, депос1пК Ъу К сЬе орегасог вврр1пК еасЬ е1евепс п = [а ) оу сЬе врасе ц Ь й Ь 1псо ап е1евепг Ь = [Ъ ) ос сЬе паве врасе т1а сЬе еспаг1опв ЪО " аО* Ъ = ( 1 — 2г)а + г[а + а ), в 1, 2, ..., М-1, й в в-! в+1 (9) С1еаг1у 1С 1в песеввагу со вас1вуу, Ьеге, спе сопв1всепсу сопВ1с1оп р (О) = ! р(О), Ф (0) = 9(1) ° Ву сЬе сопд111опв оЕ сЬе ргоЪ)ев пе [пс] 1в К1теп, 2 й ап4 СЬе Тппсс1опв и, ог, ..., сап Ъе саврасая сопвеспс1те1у.
То саггу опс сЬТв соврпгагсоп опе вовс геаг1се сЬе В11(егепсе е9пас1оп оЕ всЬеве ( 7) 1п сЬе согв ягагевепт оЕ О1ЕЕегепсе Воппоагу-Ча1пе РгоЫеа 399 Я1ГЬ гЫв сЬо1се ой ГЬе орегагог К тЬе пег Еппсг1оп рр 1п О' Ь Ь рр = (рр, рр. .... РР) 1в пей1пео ду тЬе еопат1оп р = О, 1, ..., (тут)-1. р+1 р п — п в в и -2о +п а = 1, 2 ° ° . М-1, Ьй р - О, 1, ..., (тут)-1, р+1 О ре1 р = О, 1, ..., (тут)-1, в (Ь) Ь и (х , г ), а 1, 2, ..., м-1, а Р 1 р+! (Г ), р = О, 1, ..., (т/т)-1, г р+1 ' (г ), р - о, 1, ..., (тут)-1, (х),во,1,...,М. (Ь) яе пей1пе гЬе пота ) )Е ) ) Ьу ГЬе еопат1оп (Ь) = аах)4(х , г )) + вах)Ф(х )) + в,р " в 91(г +1) — 91(гр)) )92(г +1) 92(г )~ + вах т т Р 1" + вах~ Р (10) Ме Ьаче пои совр!атее тЬе геппст1оп оЕ тЬе аЬоче всЬеве (7) Го йога (3), Мехт ее ргорове Го пве ГЫв Еога оЕ ГЬе пйййегепсе Ьоппоагу-ча1пе ргоЫев Го втпоУ втаЫ11ГУ.
Впт 1Е 1пеепа11ГУ (6)„в1Вп1ЕУ1пВ втаЫ11ГУ, 1в Го Ьаче апу аеап1пВ, опе вивт оей1пе ГЬе пота ) )Е ) ) . 1п оог ехаар1е Ь д1ййегепсе Ьооппагу-ча1пе ргоЫев (7) вау Ье вг1ггеп 1п Еога (4) 1Е ве вет 400 Сопвсгпос1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог СЬарСег 13 2.
ЗсаЫ11су ав сЬе пассоса ЪоваОейаевв оЕ сйе полив оЕ ровегв оЕ Р . Ие пои Еогвп1асе сио оопд111опв чЫеЬ, ЕЕ вас1вЕ1ед 1а сЬе гедппс1оп оЕ апу 41ЕЕегепсе веЬеве (4) со Еогв (3)„а11ои опе Со аЕЕ1гв сЬас 1пеппассгу (5) 1вр11ев вгаЫ11гу. Соп4111оп 1'. Тйв (павиана(Су ! И ! < «1!1Е(")!1р , Ь (Ь) Ее лаИО рог вове «Елдврелйвлс оу й аЫ Е, алй уог а22 р Еаг 1 уМей рР св леал(лд)и1. соп41с1оа г .
тйе Ъоилй ))и (( (К Ь йоЫе,уог лаве К ЕЫврвлс(влС оу' й алИ Е 2 Соп41С1опв 1' ап4 2' гепп1ге а сегса1п ооврас1Ы11Су Ъесиееп СЬе сЬо1се оЕ погвв 1п врасев О„ апд РЬ, ап4 СЬе де(сп111оп оЕ сЬе орегасог КЬ (в1псе сЬе Еога оЕ спе чессог рР 1в пп10пе1у десегв1пед Ьу СЬе оЬо1се оЕ КЬ). Уе поСе сЬас 1п сЬе аЪоче ехавр1е, иЬеге воЬеве (7) 1в ге4поеО со Еогв (3), СЬеве сопд111опв аге Еп11111ед.
То сопч1пое опеве1Е оЕ сЫв 11 впЕЕссев со совраге сЬе погвв оЕ пес Еппсс1опв Р апд и О ЕЕ(Ф(с )-р(с) лгО--.(.)-... ~~ — ' ). и~.. )~.... и( „)-чс )$) ". )(,, ')), йп Й = вах(п ) вах/р(х )) и1СЬ СЬе погвв И Е И ОеЕ1пед ЬУ ЕО. ( 1О). ТЬе ппвЪегв Кс апд К , 1п (Ь) Ь сЫ* ехавр1е, аау Ъе вес еппа1 со опе. Ъес пв пои ргоче сЬас, 1Е 1п сЬе ге«ппс1оп оЕ 41ЕЕегепсе ЪоппОагуча1пе ргоЫев (4) со Еогв (3), соп4111опв 1е ап4 2' аге вас1вусе4, сЬеп сЬе ча1141су оЕ сопла (5) 1в впЕЕ(ссепс Еог сЬе всаЫ11Су оЕ 41ЕЕегеппе впЬеве (4). Ие Ьаче со вЬои сЬас сЬе ЪоппО и"и < ~3И~(")11Р Ь иЬеге К 1в вове ппвЬег 1пдерепдепс оЕ Ь апО Е, 1в ваС1еЕЕе4 Еог а11 р, (Ь) 3 р О, 1, ..., р Еог иЫпЬ сЬе Оова1п оЕ ОеЕ1п111оп оЕ сЬе пес ЕппоС1оп пР 0 (Ь) Ье1оп«в со СЬе ге«1оп оЕ деЕЕп1с1оп оЕ сЬе во1пс1оп п ргов СЬе еОпаС1оп $4! 401 Всасеаепс оЕ 0)ЕЕегепсе Ва»пйагу-Ча)»е РгоЫее » р» +то р+1 р р = О, ! ..., р -), О )С Ео11очв СЬаг р-1 р-! р"2 р-г р-1 » = К » + тР К )К » + тР ) + тР Ь Ь Ь Вьр» + т)кьр Ро + Вр Р! + .
Рр ), р О ! . р О' ()1) Ву авв»арг)оп 1!КН!1 < К, Е = О, 1. ..., (Т/т). Ргоа сЫ» Епео»»1)су апй Во ° (11) че Вег СЬе Ьо»пй и» )! < Ки»о|1 + тк())Р И + ИР И + + ))Рр И) (!2) Твс)пй асоо»ас оЕ сопй)с!опв 1' апй 2', Ьу ч)гс»е оЕ еЫеЬ че аау чг)се И р Ц < к! Й е И , с - о, ), ..., р -), Й о И < к2~!е Й Ъо»пй (12) сап Ъе гер1аоей Ъу сЬе Ео11ое)пВ ))»РЙ < )кк + тркк )((ет" Й < к(к + тк '/Иет" ц - »Йе'" ~! Ь Ь Ь чЬеге сЬе еопвсапс с = К(К + ТК ) йоев пос йерепй оп Ь ог Е( . ТЬ»в че 2 ! Ьаче ргочеп вс»Ы)!су. Ъег»в поч»ве СЬе 7»вс — евсаЫЕвЬей в»ЕЕ)о)епг ооой)с!оп Еог всаЫ11су Со вЬоч сЬас, Еог г т/Ь~ < !/2, й!ЕЕегепсе воЬеае (7) )в всаЫе, )п Еаос че ч!11 оопч!псе о»гве1чев сЬас, Еог сЬе орегасог КЬ, »Ьс»Ь че Епсгой»сей ч)а КР.
(9) 1» сЬе гей»сс)оп оЕ в»Ьеае (7) со сапе»)са1 Тога (3), че Ьаче сЬе Епее»а))еу )(К )) < ! апй, сЬеге)оге, а1во Ихр И < И Р И < 1 ° Рог г < 1/2 )Ъ ( = )а ! < аах)а ( = ))а Й, е )Ъ ! = )() — 2г)а + г(а + а ~( < < (! " 2г + 2г) аах)а ( = Иа И, е (Ъ ) = (а ( < еах(а ) = И аи . СЬарсег 13 402 Сопвтгисс1оп оЕ СЬе Тгапв111оп Орегасог ртов СЬеве Ьоипйв 1с Ео11оив сЬас [[Ь[! = [[К а[! ( [[а[[, 1.е. [[К! [! ( ! ° ТЬив Еог г < 1/2 сЬе виЕЕ1с1епг сопй111оп Еог всаЫ11гу 1в вас1в(1ей. Опе сап вЬов сЬас, 1Е сЬе сопвсапт г т/Ь > !/2, СЬе виЕЕ1с1епс сопй1с1оп Еот втаЫ11су 1в пот ваС1в(1ей. 1С 1в, сЬеп, пасига1 со авс чЬесЬег, а1во 1п сЬе Кепега1 саве, всаЫ11су 1в 1овс вЬеп сЬе 1пееиаИсу ! [К ! ! < К, р 1, 2, ..., [Т/т[ 1в по 1опйег ча!Ей.
11 сигпв оис сЬас 1п Еасс сЬе ча11й1су оЕ сЬе 1пееиа!1су ! [К ! ! < К 1в песеввагу Еог всаЫ11гу ипйег опе, аййс- Ь С1опа1, сопй111оп 3' иЫсЬ ве пов в!все 1п Кепега1 Еогв, апй вЫсЬ 1в ваС1вЕ1ей 1п СЬе ехавр1е )ивс сопв1йегей аЬоче. Сопй1с1оп 3', Коррова сЬе ОЕЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫев (й) Ев гейисей Со Еогв (3). Тасе апу Еипсс1оп и 1п О апй сопвсгисг сЬе пес О Еипсс1оп и!, ит, ... иР, ...Ьу СЬе гесигтепсе ге1аг1оп и К и . ТЬе вес оЕ пес Еипсссопв [и [, р 0 1...,, [Т/т [, еасЬ оЕ чЫсЬ Ье1опйв -[Ь)* "" со О„„Еогвв вове пес Еипсс1оп и 1п врасе ОЬ ° Ьес ив пои саврасе сЬе -(Ь) соггевропй1пК Е (Ь) †(Ь) Е -.Ьи Ое ч111 вау сЬас, (и ссе гейиссйоп о/" Ну/егепсе всЬеие [4/ Со салоп(па! /овп (3/, аапй(с(оп Зе йв васъвуйей 1/' ЕЬеге ех(асв а Ьоипй о/' ЕЬе /огв [[Е(Ь)[[„ ( К3[!.О[!.
Ь вЬеге СЬе сапвтапг К3 йоев поС йерепй оп и Еп 0 апй йоев поС йерепй оп Ь. 0 Ьес ив пои сопч1псе оигве1чев сЬас 1п сЬе гейисс1оп, 3ивс йевсг1Ьей аЬоче, оЕ й1ЕЕегепсе всЬеве (7) со сапоп1са1 Еотв (3), сопй1с1оп 3' 1в Еи1Е111ей. 1п Тасс, К1чеп ап агЫСгагу Еипсс1оп и = [ис!, ие Кег ОР = О, чР и , 'чР = , Р е и в ' ! 0* 2 тт' в в' Я1СЬ оиг сЬо1се оЕ потев [[Е [! = [[и [!. т[е пов вЬои сЬас 1Е, 1п сЬе гейисссоп оЕ й1ЕЕегепсе всЬеве (4) со сапоп1са1 Еогв ( 3), сопй111оп 3' Ев Еи1Е111ей сЬеп, Еог сЫв всЬеве со Ье всаЫе оп сЬе 1псегча1 0 ( С ( Т, 11 1в песеввагу сЬас сЬе ггапв1с1оп орегасот вас1веу ъоипй (5).' [[КР[! < К, р - 1, г.
.. „ [Т/т[, вЬеге К 1в а сопвсапс пос йерепйспК оп Ь. 11 сЬе 1пй1сасей сг1сег1оп Ев пос вас1вЕ1ей СЬеп, Ест апу К, опе сап Е(пй ап Ь апй РО, апй а пес Еипсс1оп и, висЬ сЬас О 403 Всасеаепс оЕ 01ЕЕегепсе Воипйагу — Ча1ие РгоЫеа (~К и (( > К)/ис)) ( ~~и ~~ > Ки по И ) -р -0 Р Нач1пс сопвсгиссей СЬе чессогв и ~ ~ ~и ~ ~ > К( (и ) ~) (гоп и апй, Егоа сЬе -(И и 'в, Еогпей сЬе пеС Еипсс1оп и , ие сопс1ийе сЬаг АС СЬе ваае С1ае 0 ()и !) = ааг)(ир(( > ~(и (( > КЙ и Й . р 11 1в с1еаг, СЬегеЕоге„ сЬас ТЫв Епесиа11гу, Ьесаиве оЕ сЬе агЫсгагйпевв оЕ К, йоев 1пйеей в15п1Еу 1пвгаЫ11Су. Мои 1ес ов виаааг1ве СЬе сопв1йегас1опв оЕ сЫв весс1оп, Ие Ьаче вЬоип СЬаг, аЕСег гейис1пс СЬе й(ЕЕегепсе всЬеее 1 и = Е со Тога ( 3) (Ь) (Ь) Ь Р 1 р Р е гор и 51чеп, опе сап иве СЬе орегагог КЬ Со вгийу веаЫ11гу.
Ноге ргес1ве1у че Ьаче ргочеп сЬе Ео11ои1п5 ТЬеогеа. ЕЕ, Еп СЬе гейиосйоп оу й21)егепое воЬвяе (й) Со Готе (5), оопг(йсйоп йо Ьав Ьееп васйвЕЕей СЬвл, Уог всаЬ121су, СС Ев пеоевеагу СЬас < К, р = 1, 2, ..., (Т/т ), (13) иЬеге К Ев вове ооивсаис пос йвреп<(йпд ол Ь. Еу СЬе гейиоЫоо со ~опт (3! Ьав Сееп оагтйей оиС Еп аооогч(апов ВЕСЬ оопййСЕопв )е апй Е~, СЬеп Ьоипг(в (15) аге ви~~йойепс уог всаЬЕ21су. Не са11 со СЬе геайег'в ассепс1оп сЬе Еасс сЬаг, огй1паг11у, СЬе вр11111пс оЕ и 1пго 1ече1в, апй СЬе гейисс1оп аЕ СЬе й1ЕЕегепсе всЬеае (Ь) со сапоп1са1 Тога (3), аау Ье ассоар11вЬей 1п вечега1 й1ЕЕегепс иаув. Ноиечег, ие и111 пог раиве Го 41всивв СЫв ро1пг 1п йега11 (вее 114, чЬеге СЬе ваае пиевг1оп иав й1всиввей 1п СЬе саве оЕ й1ЕЕегепсе всЬеаев Еог огй1пагу йЕЕЕегепг1в1 есиас1опв).
3. Вваар1е. Тп сопс1ий1пс СЫв весс1оп ие сопвсйег СЬе 1ар11е11 всЬеее СЬарсег 13 Сопвстисссоп оЕ сЬе Тгапв111оп Орегасог 404 р+1 р+1 р+! и — 2и +и а-1 в а+1 Р Фа' и — и в = 1, 2, ° ° ° , М-1; р О, 1, ..., [Т/т)-1„ (14) ио Ф в О„„М и Ф (с ), и = Ф (с ), р о, 1, ..., (т/т!-1, Еог СЬе Ьеас-сопоисс1оп ргомгев ди дги — — Ф(х,с), дт дхг и(х,о) = Ф(х), и(О,С) = Ф (С), и(1,С) = Ф (С), 1 ' ' 2 О < С < Т, О < х < !.
(!5) РР+трр р+1 с РЕ1 Р+1 р+1 ч = !ч , ч , ° ... ч ) апй рр (рр, рр, ..., р() о !' ' М аге, 1п Сигп, во1ис1опв оЕ сЬе аих111агу вувсевв оЕ еоиас1опв гчР— (1 + 2т)ч + гч р+1 р+1 р+! а+! в а-1 =-и Р а' (!4) 1, г, ..., М-1, р+1 М Ф(т), ТЬЕв всЬеве чав сопв1йегео 1п йега11 1п 12В. Ие саКе ав чессот ир сЬе чессог и = (и , и . .. ° , и ) ч11Ь пота )(ир)) = вах)й ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
