korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Вторая величина зависит от N . Рассмотрим ееасимптотику при неограниченном росте N . Так как функция U (x, y)стремится к 1 при x → 0 и имеет при этом для любого y асимптотикуU (x, y) ∼ exp{−x2 /2}, то при p → 1hS(p, y) ∼ 2 ln³ 1 ´i1/2p.Следовательно, q ∼ [2N ln(1 − Q)−1 ]1/2 при N → ∞, то есть втораяиз величин,стоящих в фигурных скобках в правой части (5.8.6), имеет√вид O( N ). Тем самым условие (5.8.6) заведомо выполняется, начинаяс некоторого конечного N0 , которое может быть подсчитано численнодля любых конкретных Q, g0 , L, V .В заключение данного подраздела рассмотрим асимптотику оценки0z , полученной в Теореме 5.8.2, при N → ∞.
Приведенная выше асимптотика величины q показывает, что при неограниченном возрастанииN растет и q, и, значит, при любом фиксированном r для полученияасимптотики z 0 следует рассматривать формулуd0 =[(N 2 − q 2 V 2 )q 2 (1 + V 2 )B 2 + q 2 V 2 ρ2 ]1/2 − ρ.N 2 − q2V 25.8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифовАнализ этой формулы при N → ∞ подытожен в следующем утверждении.Следствие 5.8.2.
Для минимально допустимой страховой ставки имеет место оценкаz0 ≤ z 0 = A + d0 ,где при N → ∞1 i1/2 (1 + V 2 )1/2 Bd ∼ 2 ln.1−QN 1/20hОтметим, что асимптотика величины d0 не зависит от r и что прилюбом r порядок величины d0 по N является “правильным”, то естьсовпадает с порядком аналогичной величины, соответствующей минимально допустимой страховой ставки (см. Следствие 4.6.1 и работу(Шоргин, 1997)).5.8.3Верхние оценки страховой ставки для объемастрахового портфеля, распределенного по закону ПуассонаЧтобы получить гарантированную (верхнюю) оценку минимально допустимой страховой ставки z 0 в случае, когда объем страхового портфеля имеет распределение Пуассона, необходимо располагать оценкой,аналогичной результату Утверждения 5.8.1, но относящейся к обобщенному пуассоновскому распределению, то есть к распределению случайной суммы равномерно ограниченных случайных величин {ξj }, когдачисло слагаемых N имеет пуассоновское распределение.
Такой оценкойпослужит результат приводимой ниже Теоремы 5.8.3.Обговорим сначала некоторые обозначения. Совпадение распредеdлений двух случайных величин X и Y будем обозначать X = Y . Случайную величину, имеющую пуассоновское распределение с параметром Λ, как и ранее, будем обозначать ΠΛ .Рассмотрим некоторую случайную величину ξ. Пусть S(Λ) – случайная величина, совпадающая по распределению со случайной суммой независимых копий случайной величины ξ, взятых в количествеdN = ΠΛ , где случайная величина N не зависит от слагаемых.Если Eξ = a и Dξ = b2 , то ES(Λ) = Λa, G2 ≡ DS(Λ) = Λ(a2 + b2 ).Теорема 5.8.3.
Предположим, что случайная величина ξ удовлетворяет условию|ξ| ≤ m с вероятностью1,(5.8.7)2772785. Модель индивидуального pискагде m – некоторая положительная постоянная. Тогда для всех x ≥ 0nP(S(Λ) − Λa ≥ Gx) ≤ exp − x2(1 + ζ) ln(1 + ζ 0 ) − ζ 0 o,ζ2где ζ = xm/G, ζ 0 = min{ζ, e − 1}.Отметим, что по форме данный результат очень близок к оценке из(Bennett, 1962), полученной для сумм неслучайного числа ограниченных случайных величин. Однако в соответствующей оценке Беннеттавместо величины ζ 0 фигурирует ζ, что, естественно, обеспечивает болеевысокий порядок убывания правой части указанной оценки по сравнению с результатом Теоремы 5.8.3 при растущем ζ, то есть при x,растущем быстрее, чем величина G – стандартное отклонение суммыS(Λ). При значениях ζ ≤ e − 1 (то есть в зоне значений x, привлекающей главное внимание исследователей) правые части указанных оценоксовпадают.Аналогичный (5.8.7) порядок убывания правой части имеет оценкадля вероятности больших уклонений обобщенного пуассоновского распределения, полученная в (Ротарь, 1976) (по-видимому, именно в этойработе впервые получена экспоненциальная оценка для хвостов распределений пуассоновских случайных сумм).
Отметим, что оценка Г. В.Ротарь получена путем прямого переноса метода доказательства неравенства Бернштейна на ситуацию случайных сумм, поэтому результатТеоремы 5.8.3 в определенном смысле должен быть настолько же точнее оценки из (Ротарь, 1976), насколько оценка Беннета точнее, чемклассическое неравенство Бернштейна. Проведенные численные расчеты подтверждают это.
Естественно, данный вопрос требует точного математического сравнения упомянутых результатов. Здесь мы этосравнение проводить не будем.Полное доказательство Теоремы 5.8.3 приводится в разделе 5.8.4.Отметим, что при доказательстве этой теоремы используются несколько лемм, содержащихся в указанном разделе. Однако формулировку одной из этих лемм мы приведем уже здесь (см. Лемму 5.8.1 ниже). Это связано с тем, что данная лемма может иметь самостоятельное значение, так как дает возможность получать новые оценки дляP(S(Λ) − ES(Λ) ≥ Gx), где слагаемые случайной суммы S(Λ) равномерно ограничены, за счет построения “базовых” оценок для распредеPлений сумм неслучайного числа слагаемых вида nj=1 Zj для ситуации,в которой моменты одинаково распределенных центрированных случайных величин Zj удовлетворяют условиям вида (5.8.8).
При доказательстве Теоремы 5.8.3 (см. раздел 5.8.6) в качестве “базовой” оценки(для сумм с неслучайным индексом) взята оценка, формулируемая в5.8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифов279разделе 5.8.4 в виде Леммы 5.8.6. Естественно, улучшение данной оценки приведет к построению (с помощью Леммы 5.8.1) новых экспоненциальных оценок для случайных сумм при равномерно ограниченныхслагаемых, более точных, чем результат Теоремы 5.8.3.Определение 5.8.1.
Определим при любом h, удовлетворяющемусловию h ≤ 2/(e − 1) − 1, и при любом m > 0 класс распределенийK 0 (h, m) как класс всех распределений таких центрированных случайных величин Z, что при всех k = 2, 3, . . . выполняются неравенства|EZ k | ≤ m[1 + h(k − 1)!]EZ 2 .(5.8.8)Лемма 5.8.1. Если для любой случайной величины Z, распределение которой принадлежит классу K 0 (h, m), при n = 1, 2, . . .
иx ∈ Ξ{nEZ12 }, где Ξ{·} есть некоторое подмножество неотрицательной полупрямой, справедлива некоторая оценкаPµXn¶Zj ≥ Gn x ≤ U (x, h, m, Gn )i=1d(где Zi = Z суть независимые случайные величины, i = 1, . . . , n,dGn = nEZ 2 ), то для случайной величины S(Λ) = {ΠΛ , ξ}, где ξ ≤ m свероятностью 1, при G = DS(Λ) и x ∈ Ξ{G2 } справедлива оценкаP(S(Λ) − ES(Λ) ≥ Gx) ≤infh≤2/(e−1)−1U (x, Λ/n, m, G).Итак, перейдем к формулировке основанных на Теореме 5.8.3 результатов, содержащих оценки для минимально допустимой страховойставки в ситуации, когда объем страхового портфеля N является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с известнымпараметром Λ.
Как и ранее, предполагается, что для случайной страховой суммы S выполняется условие |S| ≤ C с вероятностью 1.Отметим, что параметры случайной величины R и определяемойаналогично п. 5.8.2 случайной величины W в данном случае таковы:EW = Λh,DW = Λ(h2 + g 2 ),ER = r + Λh,DR = DW.Имеем:µXNP(W < u) = Pj=1¶Hj − Λh < u − Λh = PµXNj=1¶ξj + Λh > −u + Λh ,2805.
Модель индивидуального pискагде ξj = −Hj ; Eξj = −h. Условие на вероятность “неразорения” (5.8.2)сводится к следующему:µXNP(R < 0) = P¶ξj + Λh ≥ r + Λh < 1 − Q,j=1Очевидно, что |ξj | = |Hj | ≤ C. Применяя Теорему 5.8.3, с учетом того,что G2 = ΛEξ12 = Λ(h2 + g 2 ), получаем следующее утверждение.Теорема 5.8.4. При u ≤ ΛhnP(W < u) < exp −oΛ(h2 + g 2 )00[(1+ζ)ln(1+ζ)−ζ],C2(5.8.9)где ζ = C(−u + Λh)/(Λ(h2 + g 2 )), ζ 0 = min{ζ, e − 1}.Отметим, что эта теорема так же, как и Теорема 5.8.1, имеет самостоятельное значение, так как задает гарантированную оценку вероятности того, что итоговый “доход” окажется меньше заданного числа.Применение центральной предельной теоремы для пуассоновских случайных сумм (см. раздел 1.7) позволяет заменить оценку (5.8.9) асимптотической формулой³P(W < u) ∼ Φu − Λh ´.Λ(h2 + g 2 )(5.8.10)Аналогично п.
5.8.2, последняя формула дает меньшие значения вероятности, приведенной в левой части неравенства, но формула (5.8.9),в отличие от (5.8.10), применима для любых конечных Λ, удовлетворяющих условиям Теоремы 5.8.4.Следствие 5.8.3. При r ≥ 0nP(R < 0) < exp −oΛ(h2 + g 2 )00[(1+ζ)ln(1+ζ)−ζ],C2гдеζ = C(r + Λh)/(Λ(h2 + g 2 )),ζ 0 = min{ζ, e − 1}.Если r + Λh ≥ (e − 1)Λ(h2 + g 2 )/C, тоnP(R < 0) ≤ exp (e − 2)nΛ(h2 + g 2 ) Λh oro−exp−.C2CCПоследнее неравенство может трактоваться также как аналог неравенства Лундберга (см.
раздел 8.7.1) для рассматриваемой задачи.5.8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифовПерейдем к вычислению верхней оценки для минимально допустимой страховой ставки. Введем при w ≥ 0 функцию F (w), равную(F (w) =(1 + w) ln(1 + w) − w2−e+wпри w ≤ e − 1,при w ≥ e − 1.Очевидно, функция F (w) непрерывна и монотонно возрастает поw. Далее, определим формально функцию T (u) при u > 0 как решениеуравнения F (T (u)) = u.В силу монотонности функции F (w) функция T (u) однозначноопределена при u ≥ 0 и также монотонно возрастает. Очевидно, чтопри u ≥ 1 мы имеем равенство T (u) = u + e − 2.Будем в дальнейшем считать функцию T (u) заданной (ее значенияпри u ≤ 1 нетрудно получить численно).Теорема 5.8.5 Пустьq=Λg0 ³ C 21 ´Tln.2CΛg0 1 − QЕсли среднее количество договоров страхования Λ удовлетворяетусловиюΛ2 > q 2 (1 + V 2 ),(5.8.11)то минимально допустимая страховая ставка z0 удовлетворяетнеравенствуz0 ≤ z 0 = A + d0 ,где величина d0 при ρ2 ≤ q 2 (1 + V 2 )B 2 определяется какd0 =[(Λ2 − q 2 (1 + V 2 ))q 2 (1 + V 2 )B 2 + q 2 V 2 ρ2 ]1/2 − ρ,Λ2 − q 2 (1 + V 2 )а при ρ2 > q 2 (1 + V 2 )B 2 – как d0 = 0 (то есть в таком случае минимально допустимая страховая ставка равна A).Д о к а з а т е л ь с т в о Теоремы 5.8.5 содержится в разделе 5.8.6.Аналогично п.
5.8.2 следует выяснить, насколько ограничительнымявляется условие (5.8.11) на среднее количество договоров страхованияΛ.Так как F (w) ∼ w2 /2 при w → 0, то T 2 (u) ∼ 2u при u → 0. Значит,при Λ → ∞T2³ C2Λg02lnC21 ´1∼ 2 2 ln1−QΛg0 1 − Qhи q ∼ 2 lni1/21Λ .1−Q2812825. Модель индивидуального pискаИтак, правая часть (5.8.11) имеет при Λ → ∞ меньший порядок,чем левая часть. Значит, начиная с некоторого конечного Λ, котороенетрудно найти численно, (5.8.11) выполняется.Рассмотрим также асимптотику оценки для z, полученной в Теореме 5.8.5, при Λ → ∞. Из вида только что указанной асимптотики для qвытекает, что при неограниченном возрастании Λ растет и q, и, значит,имеет место следующий результат.Следствие 5.8.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
