korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Однако, как отмечалось выше, однимиз способов уточнения аппроксимации распределения итогового страхового фонда (см., в частности, (Beard, Pentikainen and Pesonen, 1978))является использование первого члена асимптотического разложенияраспределения R (то есть учет третьего момента компонент распределения индивидуального иска). В данном разделе этот подход применяется в рамках Ф-модели индивидуальных исков и в предположении,что N является либо вырожденной, либо пуассоновской случайной величиной; тем самым приводимые ниже результаты можно рассматривать как обобщение соответствующих формул из (Beard, Pentikainenand Pesonen, 1978).2625. Модель индивидуального pискаДополнительно введем ряд обозначений и предположений. Положимµ3 = EX 3 ,E(H − h)3EH 3ζ0 = ζ0 (d) =, ζ = ζ(d) =.6g 36γ 3Всюду ниже будем предполагать, что случайная величина S имеет неменее трех первых конечных моментов.
ПустьU3 =ES 3(ES)3и η=U 3 [A3 + 3AB 2 − µ3 ].6(1 + V 2 )3/2 B 3Отметим, что величина η равна пределу величин ζ0 (d) и ζ(d) при d → 0;пределы этих величин совпадают, так как limd→0 h(d) = 0.Для формулировки результатов, использующих три первых момента распределений FS и FX , необходимо сделать некоторые предположения, касающиеся нерешетчатости этих распределений или выполнениядля этих распределений условия (C) Крамера. Напомним соответствующие определения.Определение 5.7.1. Распределение называется решетчатым, если оно сосредоточено на некотором множестве точек (решетке) L ={α + ηk}, где k – целые числа (включая положительные, отрицательные и 0); η называется шагом решетки данного распределения, еслираспределение не сосредоточено ни на одной подрешетке решетки L(Феллер, 1971), т. 2, с.
164.Определение 5.7.2. Распределение F удовлетворяет условию (C)Крамера, еслиlim sup |f (t)| < 1,(5.7.1)|t|→∞где f (t) — характеристическая функция распределения F (см. (Петров,1972), с. 197]).Как известно (Лукач, 1979), с. 34–35, из (5.7.1) следует, что распределение F является нерешетчатым; формально условие (5.7.1) является более сильным, чем условие недискретности, из которого, в своюочередь, следует нерешетчатость распределения. Отметим также, чтолюбое абсолютно непрерывное распределение удовлетворяет условию(5.7.1).Как и в предыдущих разделах, благодаря факторизуемости исков вцентре нашего внимания будет случайная величина H = S(z −X), причем случайные величины S и z−X предполагаются независимыми.
Распределение случайной величины H обозначим FH . Анализируя соответствующие характеристические функции (с учетом того, что S > 0),можно доказать следующий результат.5.7. Уточненные асимптотические оценки страховых премийЛемма 5.7.1. Если хотя бы одно из распределений FS или FXнерешетчатое, то и распределение FH нерешетчатое; если хотя быодно из распределений FS или FX удовлетворяет условию (C) Крамера, то распределение FH также удовлетворяет этому условию, причем неравенство (5.7.1) для совокупности случайных величин {H =S(z − X), z ∈ [0, 1)} выполняется равномерно по z (иначе говоря,sup lim sup |ϕz (t)| < 1,z|t|→∞где ϕz (t) – характеристическая функция случайной величины H =S(z − X)).Для практического использования приводимых ниже результатовважно то, что распределения случайных величин S и X на практикемогут относиться к одному из двух следующих типов.Во-первых, каждое из этих распределений может быть дискретным.Страховая сумма дискретна в случае, когда условия страхования таковы, что страховая сумма может принимать одно из нескольких заранее назначенных страховщиком значений (например, при медицинскомстраховании, когда может быть куплен один из нескольких предлагаемых страховой компанией полисов разной цены, каждый из которыхпредусматривает конкретный набор медицинских услуг).
Возможна ситуация, когда и относительный иск также принимает только одно изнескольких установленных в договоре страхования значений (например, при страховании от несчастных случаев, приводящих к смертиили инвалидности, когда каждому из четырех возможных страховыхсобытий – смерть, инвалидность 1-й, 2-й или 3-й групп – ставится всоответствие свое значение относительного убытка, то есть отношениястраховой выплаты к полной страховой сумме; например, соответственно, 100%, 80%, 60%, 40%).
В силу того, что отношения любых значений, принимаемых каждой из этих случайных величин, на практикеявляются рациональными числами, а также того, что множество этихзначений конечно, из дискретности распределений страховых сумм иотносительных исков на практике следует их решетчатость.В другой ситуации каждое из этих распределений с достаточнойстепенью точности может считаться абсолютно непрерывным (страховые суммы – в том случае, когда они заранее не определены и зависят от договоренности сторон; относительные убытки – в случае, когдаони определяются “природой”, а не договором, и могут принимать, впринципе, любые значения).
Конечно, на практике величина страховой суммы всегда исчисляется в некоторых денежных единицах (рублях, долларах и т. п.), то есть формально эта величина и в последнем2632645. Модель индивидуального pискаслучае является решетчатой, но шаг соответствующего распределениянастолько относительно мал, что с приемлемой точностью указанныераспределения могут считаться абсолютно непрерывными (что обычнои делается в актуарной литературе).Как известно (Лукач, 1979), с. 34–35, распределения, удовлетворяющие условию (5.7.1), должны содержать абсолютно непрерывную и/илисингулярную компоненту. Однако из вышесказанного следует, что, поскольку на практике речь может идти либо о решетчатом, либо обабсолютно непрерывном распределении, при практическом использовании приводимых ниже результатов условие (5.7.1) может считатьсяэквивалентным нерешетчатости этого распределения или даже его абсолютной непрерывности.
Отметим, что сингулярные распределения водномерном случае являются достаточно “экзотическими” (см. (Лукач,1979), с. 19), и при изучении распределений исков их вполне можно исключить из рассмотрения. Впрочем, для строгости формулировок ниже в необходимых случаях будет упоминаться именно условие (5.7.1).Приводимая ниже Теорема 5.7.1 об асимптотике распределения итогового резерва для неслучайной величины N содержит результаты, относящиеся к ситуации, когда распределение FH нерешетчатое, а такжек ситуации, когда это распределение удовлетворяет условию (5.7.1) (тоесть когда соответствующему условию удовлетворяет, по крайней мере,одно из распределений FS и FX ).
Получение аналогичных результатовдля случая, когда оба распределения FS и FX являются решетчатыми,представляется более сложной задачей из-за наличия принципиальныханалитических сложностей при построении асимптотических разложений для решетчатых распределений (см. (Феллер, 1971), том 2). Этотвопрос в данном издании затрагиваться не будет.Теорема 5.7.1. Пусть N – детерминированная величина.I. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS или FX неявляется решетчатым. ТогдаP(R < r + N h + xN 1/2 g) = Φ(x) +ζ0(1 − x2 )ϕ(x) + o(N −1/2 )1/2Nравномерно по z, x и r.II. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS или FXудовлетворяет условию (5.7.1), а также что распределение FS имеетконечный четвертый момент.
ТогдаP(R < r + N h + xN 1/2 g) = Φ(x) +ζ0(1 − x2 )ϕ(x) + ωN −1 ,N 1/2где|ω| ≤ C1 (FS , FX ).(5.7.2)5.7. Уточненные асимптотические оценки страховых премий265Перед тем как сформулировать аналогичную теорему об “уточненной” асимптотике распределения итогового резерва для пуассоновскойслучайной величины N , отметим, что в данном случае можно несколько ослабить условие нерешетчатости для утверждения, аналогичногоутверждению I Теоремы 5.7.1 (и тем самым расширить множество допустимых распределений FS и FX , при которых могут быть доказаны результаты такого рода).
Дело в том, что для доказательства этого утверждения достаточно выполнения свойства нерешетчатости дляраспределения случайной суммы величин Hj . Введем следующее определение.Определение 5.7.3. Распределение, сосредоточенное на решеткеL = {α + ηk}, шаг которой η несоизмерим с любой из точек решетки,например, α, назовем иррационально-решетчатым. Если величины αи η соизмеримы, то назовем такое распределение рационально-решетчатым.В работе (Эль-Саиед, 1993) показано, что случайная сумма одинаково распределенных случайных величин с невырожденным индексомимеет нерешетчатое распределение тогда и только тогда, когда распределение слагаемых является нерешетчатым или иррационально-решетчатым. Так как случайная величина H является произведением величин S и z − X, то вопрос об иррациональной решетчатости H долженрешаться с учетом наличия или отсутствия соответствующих свойству случайных величин S и X.Сложность здесь связана с тем, что даже в случае, когда случайная величина X имеет иррационально-решетчатое распределение, этого нельзя сказать о распределении случайной величины z − X, так какпри любых параметрах решетки L = {α + ηk}, на которой сосредоточено распределение случайной величины X, можно найти бесконечномного значений z, при которых величины z − α и η окажутся соизмеримыми, то есть распределение случайной величины z−X окажется рационально-решетчатым.
Это, естественно, делает невозможным доказательство каких-либо теорем, использующих иррациональную решетчатость случайной величины z − X при z ∈ [0, 1]. Следовательно, предположение об иррациональной решетчатости распределения FX не можетпривести к расширению множества случаев, в которых распределениеслучайной величины H является иррационально-решетчатым.Итак, при поиске условий, при которых распределение случайнойвеличины H является иррационально-решетчатым, нас может интересовать ситуация, когда оба распределения FS и FX являются решетчатыми, причем распределение FS – иррационально-решетчато.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
