korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 44
Текст из файла (страница 44)
А именно, мырассмотрим обсуждавшиеся выше вырожденное, пуассоновское и обобщенное пуассоновское распределения случайной величины N , при ко-2565. Модель индивидуального pискаторых как условия асимптотической нормальности распределения случайной величины R, так и оценки погрешности формулы для оптимальной страховой ставки выражаются в терминах первых трех моментовслучайной величины N .Нас будут интересовать результаты, получающиеся в условиях, когда Λ = EN → ∞. Будем считать, что, вообще говоря, может расти иDN = M 2 . Еще одним параметром, который также может, вообще говоря, рассматриваться как “растущий”, является начальный капитал r.В связи с этим во всех теоремах разделов 4.6 и 4.7 будем предполагать,что нами рассматривается “схема серий”, в которой распределения всехкомпонент исков Yj считаются фиксированными, а распределение случайной величины N и параметр r зависят от номера “серии” n: N = Nn ,r = rn , где n = 1, 2, 3, .
. ., ENn → ∞ при n → ∞. Этот подход позволитрассматривать различные варианты соотношений между величинамиΛ, M и r, а именно, получать искомые асимптотические формулы сучетом различных “зон” значений r по отношению к величинам EN иDN . В дальнейшем использование такой асимптотической схемы будетподразумеваться при формулировке всех теорем (без явного упоминания о ней). Индекс n при этом будет опускаться.5.6.1Общая теоремаТеорема 5.6.1 содержит асимптотическую формулу для оптимальнойстраховой ставки в случае произвольного распределения объема страхового портфеля с известными двумя первыми моментами, получаемуюпри условии, что случайная величина R асимптотически нормальна.Следствия 5.6.1–5.6.4 относятся к частным моделям распределения случайной величины N , в которых как условия асимптотической нормальности распределения случайной величины R, так и оценка погрешностиформулы для оптимальной страховой ставки выражаются в терминахмоментов случайной величины N и компонент случайного иска Yj .Теорема 5.6.1.
Предположим, что случайная величина R асимптотически нормальна при Λ = EN → ∞, то естьe < x) − Φ(x)| −→ 0δ = sup sup |P(Rx0≤z≤1√e = (R−ER)/ DR. Пусть задано некоторое Q, 1/2 <при Λ → ∞, где RQ < 1. Положим q = Ψ(Q) (очевидно, что q > 0). Предположим, чтоw = o (Λ)ТогдаприΛ → ∞.(5.6.1)5.6. Асимптотические оценки страховых премий2571) если существует такая абсолютная постоянная C 0 < 1, чтоr/E S ≤ C 0 q(1 + V 2 )1/2 B[Λ − wq 2 ]1/2 ,то существует такое Λ0 (зависящее от C 0 ), что при Λ > Λ0 оптимальная страховая ставка имеет видz0 = A +r/E Sq(1 + V 2 )1/2 B−+ ε,21/2[Λ − wq ]Λ − wq 2где|ε| ≤ C(Q)(1 + V 2 )1/2 B hwiδ+.Λ1/2Λ(5.6.2)2) еслиq(1 + V 2 )1/2 B[Λ − wq 2 ]1/2 ≤ r/E S ≤ q(1 + V 2 )1/2 BΛ1/2 ,то существует такое Λ1 , что при Λ > Λ1 оптимальная страховаяставка равна z0 = A + ε, где ε удовлетворяет (5.6.2);3) если существует такое C 00 > 1, чтоr/E S ≥ C 00 q(1 + V 2 )1/2 BΛ1/2 ,то существует такое Λ2 (зависящее от C 00 ), что при Λ > Λ2 оптимальная страховая ставка равна z0 = A.Отметим, что в условиях утверждения 3) Теоремы 5.6.1 фактически получена не асимптотическая, а точная формула для оптимальнойстраховой ставки (справедливая при Λ > Λ2 ).Доказательство этой теоремы (как и теорем 5.7.1–5.7.4, приводимых ниже) опускается; все эти доказательства могут быть найдены в(Шоргин, 1997).Следует отметить, что при доказательстве Теоремы 5.6.1 фактически получено явное выражение для величины C(Q) из (5.6.2).
Однакоэто выражение довольно громоздко и не имеет окончательного характера. Поэтому в формулировке теоремы оно не приводится, то естьглавное внимание уделяется порядку убывания правой части (5.6.2).Замечание 5.6.1. Условие (5.6.1) означает, что дисперсия M 2 случайной величины N растет медленнее, чем квадрат математическогоожидания Λ2 этой же случайной величины. Данное условие выполненокак для вырожденной, так и для пуассоновской случайной величины N .Если случайная величина N имеет обобщенное пуассоновское распределение, то есть N = {ΠΛ , ν1 }, то (см. раздел 1.4) Λ = λEν1 , M 2 = λEν12 .2585. Модель индивидуального pискаУсловие (5.6.1) в данном случае сводится к Eν12 = o(λ(Eν12 )2 ) и выполняется, в частности, при λ → ∞ и равномерной ограниченности величинEν12 /(Eν1 )2 .Замечание 5.6.2.
В силу условий на величины δ и w остаточныйчлен в (5.6.2) имеет порядок малости o (Λ−1/2 ).5.6.2Частные случаи распределения объема страхового портфеляОбщий результат, представленный Теоремой 5.6.1, может быть уточнен для отдельных конкретных распределений случайной величины Nс учетом соответствующих им оценок величины δ.
Как уже отмечалось,в качестве важнейших частных случаев распределения случайной величины N мы будем рассматривать вырожденное, пуассоновское и обобщенное пуассоновское распределения. Поскольку правые части оценоквеличины δ для этих распределениях N содержат ляпуновские отношения, для дальнейшего нам потребуются оценки моментов и ляпуновских отношений случайной величины H, равномерные по параметру z.При этом мы будем использовать то, что d ≥ 0 и 0 < z < 1. Имеем:d = z − A ≤ d = 1 − A;g 2 = DH ≥ (ES)2 (1 + V 2 )B 2 ,h = EH = ESd ≤ ES d;γ 2 = EH 2 ≥ (ES)2 (1 + V 2 )B 2 ;если существует третий момент случайной величины S, тоE|H|3 = ES 3 E|z − X|3 ≤ ES 3 ,3E|H − h|3 ≤ 4[E|H|3 + h3 ] ≤ 4[ES 3 + (ES)3 d ],L(H) ≤ L =ES 3,(ES)3 (1 + V 2 )3/2 B 3(5.6.3)3L0 (H) ≤ L0 =4ES 3 [1 + d ].(ES)3 (1 + V 2 )3/2 B 3(5.6.4)Следствие 5.6.1.
Если N неслучайна и величина S имеет третиймомент, то утверждение Теоремы 5.6.1 справедливо с Λ = N, M = 0,w = V 2 , причем в данном случаеd0 =q(1 + V 2 )1/2 Br/ES−,221/2[N − V q ]N − V 2q2δ ≤ CBEL0,N 1/25.6. Асимптотические оценки страховых премийгде CBE – постоянная из неравенства Берри–Эссеена для сумм одинаково распределенных случайных величин; можно положить CBE =0.7056 (см. раздел 1.6.2).Утверждение Следствия 5.6.1 автоматически вытекает из неравенства Берри–Эссеена, примененного к случайной величине R, и изоценки (5.6.4). Данное следствие является уточнением Теоремы 3 из(Shorgin, 1998).Следствие 5.6.2.
Если N имеет распределение Пуассона с параметром Λ и случайная величина S имеет третий момент, то утверждение Теоремы 5.6.1 выполняется с M 2 = Λ, w = 1 + V 2 , причем вданном случаеd0 =q(1 + V 2 )1/2 Br/ES−,221/2[Λ − (1 + V ) q ]Λ − (1 + V )2 q 2δ ≤ CBEL.Λ1/2Доказательство данного следствия можно вывести из оценки (5.6.3)и Теоремы 1.7.3.Следствие 5.6.3. Если N имеет обобщенное пуассоновское распределение и случайные величины N, S имеют третьи моменты, тоутверждение теоремы 5.6.1 выполняется в случае, когдаE(N − EN )3= o(1) приΛ3/2причемΛ → ∞,E(N − EN )3.Λ3/2Данное следствие вытекает из оценки точности нормальной аппроксимации для обобщенных пуассоновских распределений (см.
раздел1.7.4) и (5.6.3).Рассмотрим следующую модель формирования страхового портфеля, которую можно назвать моделью с конечным источником.Предположим, что существует некоторое (быть может, весьма большое) количество N 0 “потенциальных страхователей”, которые могут заключить с данным страховщиком договоры страхования, соответствующие условиям данного страхового портфеля. При этом k-й по счетупотенциальный страхователь заключает договор, включаемый в данный страховой портфель, с вероятностью sk и не заключает такого договора с вероятностью 1 − sk , независимо от остальных потенциальныхстрахователей. Параметры N 0 , s1 , .
. . , sN 0 не могут быть определены однозначно по известным моментам случайной величины N . Посколькуδ ≤ CBE L ·0N=NXk=1ηk0 ,2592605. Модель индивидуального pискагде(1 с вероятностью sk ,0 с вероятностью 1 − sk ,указанные параметры удовлетворяют соотношениямηk =0Λ = EN =NX0sk ,2M = DN =k=1NXsk (1 − sk ).k=1Распределение N в рамках данной модели является обобщенным биномиальным (именуемым также пуассоновско-биномиальнымраспределением); N равно числу успехов в схеме Бернулли с вероятностью успеха, зависящей от номера испытания (см.
разделы 4.1.4 и4.1.5).Очевидно, что при M 2 < Λ и Λ → ∞ справедливо условие w = o(Λ).Рассмотрим величинуe < x) − Φ(x)|.δ = sup sup |P(Rx0≤z≤1P0Отметим, что в данном случае R = r + Nk=1 ηk Hk ; случайные величиныηk Hk имеют формально различные распределения, и в соответствии собычным неравенством Берри–Эссеена для разнораспределенных случайных величинN0XCE0δ≤E|ηk Hk − sk h|3 ,3/2(DR) k=1(5.6.5)где CE0 = 0.7915 (Шиганов, 1982).Так как случайные величины ηk и Hk независимы, а все Hk имеютодно и то же распределение, тоE|ηk Hk − sk η|3 ≤ 4[E|ηk − sk |3 E|H|3 + s3k E|H − h|3 ] ≤≤ 4[sk (1 − sk )E|H|3 + s2k E|H − h|3 ]и0NXE|ηk Hk − sk h|3 ≤ 4[M 2 E|H|3 + (Λ − M 2 )E|H − h|3 ] ≤k=13≤ 4M 2 ES 3 + 16(Λ − M 2 )[ES 3 + (ES)3 d ].В силу соотношения (5.6.5) и определения величин L и L0 мы имеем·δ≤CE0¸M2Λ − M24 3/2 L + 4L0 .ΛΛ3/2(5.6.6)5.7. Уточненные асимптотические оценки страховых премий261Значит, δ → 0 при Λ → ∞, и все условия Теоремы 5.6.1 выполнены.Пусть символ {·} обозначает целую часть числа, стоящего в скобках.
Можно показать (см. раздел 4.1.5), что для любой целочисленнойслучайной величины ξ справедливо неравенство{Eξ}(1 − {Eξ}) ≤ Dξ,причем в случае, когда {Λ}(1 − {Λ}) ≤ M 2 < Λ, существует такаяслучайная величина N с обобщенным биномиальным (пуассоновскобиномиальным) распределением, что Λ = EN , M 2 = DN . Поэтому рассматривать модель с конечным источником имеет смысл только приусловии {Λ}(1 − {Λ}) ≤ M 2 < Λ.Приведенные выше рассуждения доказывают следующее утверждение.Следствие 5.6.4. Если {Λ}(1−{Λ}) ≤ M 2 < Λ, а страховой портфель формируется в соответствии с моделью с конечным источником, то для оптимальной страховой ставки справедливы асимптотические формулы, приведенные в Теореме 5.6.1, причем для величины δимеет место оценка (5.6.6).5.7Асимптотические оценки страховойпремии, основанные на уточненнойнормальной аппроксимации распределения итогового страхового фондаРезультаты предыдущего раздела основываются на аппроксимациираспределения случайной величины R нормальным законом и, соответственно, в основной части асимптотических формул присутствуют двамомента распределений FS и FX .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
