korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 41
Текст из файла (страница 41)
. . (и наоборот).Приведем некоторые известные результаты в рамках данной проблематики, выражающиеся в терминах величин Λ, Λ2 , Λ3 , . . . и имеющие нетривиальное значение в ситуации, когда Λ = EN → ∞.Теорема 5.1.5 (Пресман, 1983). Справедливо неравенствоε00π ≤ 2.08Λ2.Λ(5.1.5)Теорема 5.1.6 (Deheuvels and Pfeifer, 1987, 1988). Если Λ → ∞ иΛ2 /Λ → 0, тоΛ21· .ε00π ∼ √2πe ΛТеорема 5.1.7 (Deheuvels and Pfeifer, 1988).
Имеет место оценкаε00π ≤h8iΛ2+ e4C1 Λ2 (C1 − 1)2 Λ3 + 8C1 (C1 − 1)Λ22 + 8(C1 − 1)Λ3 , (5.1.6)2Λ3где C1 < 4.7.2385. Модель индивидуального pискаТеорема 5.1.8. Справедливо неравенствоεφ ≤ √CE.Λ − Λ2Утверждение Теоремы 5.1.8 вытекает из неравенства Эссеена.Приведем также некоторые результаты, связанные с уточнениемрассмотренных выше аппроксимаций с использованием первых членов соответствующих асимптотических разложений. Отметим, что в(Deheuvels and Pfeifer, 1988) первый член асимптотического разложения при сближении с пуассоновским законом выписан в явном виде(5.1.4), но, как отмечалось выше, данная величина не может быть явно выражена через моменты случайной величины N (или параметрыΛ, Λ2 , Λ3 , .
. .). В (Hipp, 1986) и (Čekanavičius, 1995) рассмотрено асимптотическое разложение, при котором дополнительные члены не прибавляются к пуассоновскому закону, а выписываются в показателе экспоненциального представления соответствующей меры (или соответствующей производящей функции). (Примеры поправок подобного типа мыпривели в разделе 1.3, когда обсуждали пуассоновскую аппроксимациюв схеме Бернулли.) Ограничимся случаем “первой поправки” к пуассоe – обобщенная мера, имеющая преобразовановскому закону.
Пусть Πλние Фурьеexp{Λ(eit − 1) − Λ2 (e2it − 1)/2}, t ∈ IR.Положимe k.εe00π = kFN − GΛТеорема 5.1.9 (Hipp, 1986). Если maxi si ≤ 1/2, то½ε00π ≤ exp¾N08X4s3i− 1.3 i=1 (1 − 2si )Теорема 5.1.10 (Čekanavičius, 1995). Если maxi si ≤ s ≤ 1/4, тосуществуют такие абсолютные постоянные C2 и C3 , чтоεe00π ≤ C2 s3 exp {C3 Λ3 }.Пусть ϕ(x) – стандартная нормальная плотность. Что касается“уточнений” нормальной аппроксимации, то в соответствии с разложением Эджворта–Крамера (см. раздел 1.8) в качестве аппроксимирующей функции следует рассмотретьΓ(x) = Φ(x) +h1 − x2Λ2 − Λ3 iϕ(x)1−.6(Λ − Λ2 )1/22(Λ − Λ2 )5.1.
Модели объема страхового портфеляПустьεeφ =supm=0,±1,±2,...239¯µ¶¯¯m + 1/2 − Λ ¯¯¯FN (m) − Γ¯¯.1/2(Λ − Λ2 )Теорема 5.1.11 (Deheuvels, Puri and Ralescu, 1989). Существуеттакая абсолютная постоянная C4 , чтоεeφ ≤C4.Λ − Λ2Очевидно, что пуассоновская аппроксимация (в том числе “уточненная”) имеет смысл в ситуации, когдаΛ2 /Λ = 1 − M 2 /Λ → 0,(5.1.7)а нормальная (в том числе “уточненная”) – приM → ∞.(5.1.8)Условие (5.1.8) является более общим, нежели (5.1.7). Очевидно,что как о пуассоновской, так и о нормальной аппроксимации можноговорить только при условии M → ∞.
Нормальная аппроксимацияпуассоновско-биномиального распределение может применяться в данной ситуации при любом Λ > M 2 , а для пуассоновской аппроксимациинеобходимо дополнительное условие (Λ − M 2 )/Λ → 0, то есть порядокроста дисперсии должен быть таким же, как и порядок роста среднегозначения N . В некоторых работах проводится сравнение точности нормальной и пуассоновской аппроксимаций, см., например, (Deheuvels,Puri and Ralescu, 1989). Здесь мы не будем рассматривать этот (принципиально несложный и хорошо исследованный ранее) вопрос.Результаты Теорем 5.1.8 и 5.1.11, относящиеся к нормальной аппроксимации, характеризуются “правильным” порядком погрешностии удобным видом как аппроксимирующего выражения, так и оценкипогрешности; они вполне могут использоваться на практике (отметим,что для применения результата Теоремы 5.1.11 необходимо знать величину Λ3 , то есть третий момент случайной величины N ).Что касается пуассоновской аппроксимации, то результат Теоремы5.1.6 показывает, что оценка из Теоремы 5.1.5 имеет правильный порядок и вполне приемлемое (с учетом асимптотики) значение абсолютнойпостоянной.
Однако “чисто пуассоновская” аппроксимация в ситуации,когда априори известно, что M 2 < Λ, явно может быть уточнена сучетом значения второго момента. В то же время приведенные вышерезультаты (Deheuvels and Pfeifer, 1988), (Hipp, 1986), (Čekanavičius,2405. Модель индивидуального pиска1995) характеризуются или слишком сложным видом “поправочногочлена”, или существенными ограничениями на параметры si , а также присутствием в оценках величин, принципиально не выражаемыхчерез моменты, и величин, которые могут неограниченно возрастатьпри росте Λ, типа exp{CΛ3 }.
В силу приведенных выше рассужденийприкладное значение таких результатов ограничено. Поэтому далее вданном параграфе мы рассмотрим такое асимптотическое разложениедля пуассоновско-биномиального распределения, все члены которогополностью определяются моментами случайной величины N , а оценкипогрешности при “обрывании” асимптотического разложения на некотором члене выражаются через величины вида Λ2 /Λ.
При этом расстояния между распределениями будут вычисляться в равномерной метрике, которая, конечно, является более слабой, чем расстояние по вариации, но вполне достаточна для любых приложений.ПустьπΛ (m) = Λm e−Λ /m!, m = 0, 1, 2, . . . ;при m = −1, −2, . . . положим πΛ (m) = 0. При любом целочисленном mположим∆πΛ (m) = πΛ (m) − πΛ (m − 1), . . . ,∆k+1 πΛ (m) = ∆πΛk (m) − ∆πΛk (m − 1),k = 1, 2, . . .Если α(m) – некоторая функция целочисленного аргумента, то символом α(x) будем обозначать ступенчатую функцию, совпадающую сα(m) при m ≤ x < m+1.
Функции распределения будем считать непрерывными справа. Пусть ζ = Λ2 /Λ.Теорема 5.1.12 (Шоргин, 1977). При любом ν = 0, 1, . . .FN (x) = Πλ (x) +νX(a2k ∆2k−1 πΛ (x) + a2k+1 ∆2k πΛ (x)) + ων (x),k=1гдеµa2 = −Λ2 /2, a3 = −Λ3 /3, . . . , ar = −и|ων (x)| ≤ C0√где C0 =1+2π/2r−2X1Λr +ak Λr−krk=2¶ζ ν+1,1−ζ< 1.13.Следствие 5.1.1. Справедливо неравенствоε0π ≤ 1.13Λ2 /Λ.1 − Λ2 /Λ(5.1.9)5.1.
Модели объема страхового портфеляСравнивая результат данного следствия с Теоремой 5.1.5, убеждаемся, что при Λ2 /Λ ≤ 0.45 правая часть (5.1.9) меньше правой части(5.1.5). Отметим, что при Λ2 /Λ > 0.45 правая часть (5.1.9) превышает0.936, то есть в этой области пуассоновская аппроксимация не работает. “Главный” член в правой части оценки (5.1.6) содержит постоянную, лучшую, чем в (5.1.5) и (5.1.9), но “добавочный” член в (5.1.6) прибольших значениях Λ2 и Λ3 может серьезно испортить оценку.
(Конечно, при таком сравнении нельзя забывать, что оценки (5.1.5) и (5.1.6)получены в более сильной метрике.)Теореме 5.1.12 можно придать несколько другую форму – без группировки членов с a2k и a2k+1 .Теорема 5.1.13. При любом r = 1, 2, . . .FN (x) = Πλ (x) +rXak ∆k−1 πΛ (x) + ωr (x),k=2где при нечетных r|ωr (x)| ≤ C0а при четных r³ζ (r+1)/2,1−ζ|ωr (x)| ≤ C0 ζ (r+1)/2 +ζ r/2+1 ´.1−ζД о к а з а т е л ь с т в о.
При нечетных r утверждение Теоремы5.1.13 совпадает с утверждением теоремы 5.1.12.Пусть r = 2ν. В силу Теоремы 5.1.12FN (x) = Πλ (x) +νX(a2k ∆2k−1 πΛ (x) + a2k+1 ∆2k πΛ (x)) + ων (x),k=1ν+1где |ων (x)| ≤ C0 ζ1−ζ . Значит,FN (x) = Πλ (x) +· ν−1X(a2k ∆2k−1 πΛ (x) + a2k+1 ∆2k πΛ (x))+k=1¸+a2ν ∆2ν−1 πΛ (x) + a2ν+1 ∆2ν πΛ (x) + ων (x) == Πλ (x) +rXak ∆k−1 πΛ (x) + ωr (x),k=2где ωr (x) = a2ν+1 ∆2ν πΛ (x) + ων (x). Из Теоремы 5.1.12 следует, что|ων (m)| ≤ C0 ζ ν+1 /(1 − ζ) = C0 ζ (r/2)+1 /(1 − ζ).2412425. Модель индивидуального pискаВ (Шоргин, 1977) показано, что|a2ν+1 ∆2ν πΛ (m)| ≤ C0 ζ (2ν+1)/2 = C0 ζ (r+1)/2 ,откуда следует утверждение теоремы.Наконец, результаты, относящиеся к “первой поправке”, выпишем вболее детальном виде. Пустьεe0π = sup |FN (x) − Πλ (x) − a2 ∆πΛ (x)|.xПри r = 2 из Теоремы 5.1.13 вытекает следующее утверждение.Следствие 5.1.2.
Имеет место оценкаhεe0π ≤ C0 ζ 3/2 +ζ2 i.1−ζКроме того, можно сформулировать еще один результат.Теорема 5.1.14. Справедливо неравенство¸· √ζ22 2 Λ30· 3/2 +.εeπ ≤ C03e Λ1−ζД о к а з а т е л ь с т в о вытекает из оценки√22 Λ3|a3 ∆2 πΛ (m)| ≤ C0·,3e Λ3/2которая является следствием леммы 4 (Шоргин, 1977) и того, что a3 =−Λ3 /3.Итак, при необходимости построить аппроксимацию пуассоновскобиномиального е распределения исследователь располагает следующими возможностями: если он владеет информацией о значениях Λ, Λ2 ,Λ3 и т. д.
в достаточном количестве для определения членов разложения из Теорем 5.1.12 – 5.1.14 и для вычисления оценки соответствующего остаточного члена, то он может воспользоваться указаннымитеоремами (если, конечно, погрешность, задаваемая оценкой остаточного члена, является приемлемой). В частности, если имеется только информация о трех моментах случайной величины N (из которойэлементарным образом можно получить значения Λ2 и Λ3 ), то можно построить “уточненную” аппроксимацию в соответствии с Теоремой5.1.14; если же учитываются только два момента случайной величиныN , то можно воспользоваться Следствием 5.1.2.5.1. Модели объема страхового портфеляНаконец, в ситуации, когда пуассоновская или уточненная пуассоновская аппроксимация не дает приемлемой точности, но дисперсия M 2велика, может использоваться нормальная или уточненная нормальнаяаппроксимация (Теоремы 5.1.8 и 5.1.11; последний результат имеет существенный недостаток, связанный с отсутствием оценки постояннойC4 ).5.1.6Обобщенная пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины.
Аппроксимация распределенийсумм случайного числа случайных индикаторовВ этом разделе мы вернемся к задаче, рассматривавшейся в разделе2.11. Эта задача связана с поиском асимптотической аппроксимациидля распределения сумм случайного числа случайных индикаторов.Однако в отличие от схемы одинаково распределенных индикаторов,рассмотренной в разделе 2.11, здесь мы сосредоточим внимание на более общей схеме (схеме Пуассона), когда суммируемые индикаторы могут иметь различные распределения.Рассмотрим последовательность серий {ξn,j }j≥1 , n = 1, 2, .
. ., случайных величин следующего вида:(ξn,j =0, с вероятностью 1 − pn,j ,1, с вероятностью pn,j .Пусть {Nn }n≥1 - неотрицательные целочисленные случайные величинытакие, что для каждого n ≥ 1 с.в. Nn , ξn,1 , ξn,2 , . . . независимы. Дляцелых k обозначимSn,k = ξn,1 + . . . + ξn,k .Прежде всего рассмотрим асимптотическое поведение случайныхвеличин Sn,Nn . При s ∈ [0, 1] символ ln (s) будет означать максимальнуюs-квантиль случайной величины Nn . Символ =⇒, как обычно, будетобозначать сходимость по распределению.Следующее утверждение, являющееся обобщением Теоремы 2.11.1на схему Пуассона, можно считать обобщенным вариантом классической теоремы Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
