korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если, например, предполагать, что приращение полезности пропорциональноне абсолютному, а относительному изменению дохода, то естьdu(x) =kdx,xтоu(x) = k log(x) + const.Наряду с упомянутыми также используются функции полезностивида−xu(x) = xα , x ≥ 0, α > 0;u(x) = −ee .4.3. Функции полезности211Заметим, что из соотношения (4.3.1) следует, что если u(x) – функцияполезности, то для любых a > 0 и b функцияau(x) + bтакже является функцией полезности, то есть функция полезностиопределена с точностью до линейного преобразования. Этим фактоммы воспользуемся при описании эмпирического алгоритма построенияфункции полезности.Отметим также здесь, что при описании петербургского парадоксанеявно предполагалось (см. (4.2.2)), что для клиента функция полезности имеет вид u(x) = ax + b, a > 0. Естественное разрешение петербургского парадокса состоит в изменении функции полезности.
Так,например, если считать, что функция полезности – логарифмическая,то есть u(x) = log x, то никакого парадокса не наблюдается, так как вэтом случае имеемEX = log 2∞Xk=1k1= 2 log 2,2kи в рамках такой модели вместо участия в игре (4.2.3) клиент готовполучить величину y ≥ 2 log 2.Выше было отмечено, что возрастание функции полезности является естественным требованием.
При этом характер роста функции полезности характеризует отношение клиента к риску. Для пояснения этого факта напомним хорошо известное неравенство Иенсена. Если функция полезности u(x) выпукла вниз, то есть для любыхx1 x2 , α ∈ (0, 1) имеет место неравенствоu(αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αu(x1 ) + (1 − a)u(x2 ),то справедливо неравенство Иенсена (доказательства см., например,(Де Гроот, 1974), стр.
103)Eu(X) ≥ u(EX);(4.3.3)если же функция полезности вогнута (выпукла вверх), тоEu(X) ≤ u(EX).(4.3.4)Пусть клиент страховой компании обладает функцией полезности u(x),которая вогнута (выпукла вверх), и ему предлагают принять участиев игре со случайным доходом X. Тогда неравенство (4.3.4) показывает,чтоX ¹ EX,2124. Сравнение рисковых ситуацийто есть клиенту всегда лучше получить неслучайную величину EXвместо участия в этой игре со случайным выйгрышем X, и, значит,здесь наблюдается нежелание клиента участвовать в рисковых ситуациях (risk averse).Если же клиент имеет функцию полезности, выпуклую вниз, то аналогично предыдущему с использованием неравенства (4.3.3), имеемX º EX,(4.3.5)то есть в клиенту с такой функцией полезности всегда лучше вместополучения неслучайной суммы EX участвовать в игре со случайнымвыйгрышем X и, значит, здесь имеется тенденция клиента к рисковымситуациям (risk lover).По-видимому, в общем случае функция полезности u(x) должна1) в зоне умеренных доходов быть близкой к линейной;2) в зоне больших доходов быть существенно “пологой” (эффект насыщения);3) в зоне большого ущерба резко возрастать по абсолютной величине, а затем, возможно, переходить в почти постоянную функцию, что побуждает к уменьшению вероятности срыва, разорения(и что означает, в частности, отказ от ориентации на среднее значение).Рассмотрим теперь простейшие модели страхования, использующиефункции полезности.4.4Страхование с точки зрения клиентаПредположим, что клиент страховой компании имеет функцию полезности u(x), которая описывает его отношение к доходам и начальныйкапитал S.
Пусть клиент страдает от случайных потерь X, за предотваращение которых он готов застраховаться у страховой компании. Пустьклиент готов заплатить страховой компании страховой взнос G. Этоозначает, что для клиента выполнено соотношениеS − X ¹ S − G.В рамках подхода (4.3.1) это означает, чтоEu(S − X) ≤ u(S − G).(4.4.1)4.5. Страхование со стороны страховой компании213Считая функцию полезности u(x) непрерывной, из правой части соотношения (4.4.1) мы получаем, что существует максимальное G = Gmaxтакое, чтоEu(S − X) = u(S − Gmax )(4.4.2)и при любомG ≤ Gmax(4.4.3)клиент готов участвовать в страховании.Отметим здесь, что возможна следующая модификация этой модели. Клиент платит величину G за частичное предотвращение потерь,описываемое функцией I(X) ≤ X, которую клиенту предлагает страховая компания. В этом случае имеем соотношенияEu(S − X) ≤ E(S − G − I(X))и Gmax такое, чтоEu(S − X) = E(S − G − I(X)).Отметим также здесь, что если функция полезности клиента u(x) выпукла вверх, то соотношения (4.3.4) и (4.4.2) приводят к неравенствамu(S − Gmax ) = Eu(S − X) ≤ u(S − EX).(4.4.4)Так как функция полезности u(x) монотонно возрастает, то из неравенства (4.4.4) следует, что (здесь нужна строгая монотонность)EX ≤ Gmax .(4.4.5)Аналогично, если функция полезности клиента u(x) выпукла вниз, тоEX ≥ Gmax .4.5(4.4.6)Страхование со стороны страховой компанииРассмотрим теперь страхование с точки зрения страховой компании.Пусть страховая компания имеет начальный капитал SI , функцию полезности uI (x) и готова страховать случайные потери клиента X.
Обозначим через HI цену страхового полиса, который страховая компанияпредлагает клиенту за предотвращение случайных потерь X.Со стороны страховой компании страхование имеет смысл, еслиSI ¹ SI − X + HI ,2144. Сравнение рисковых ситуацийили (см. (4.3.1)) еслиuI (SI ) ≤ EuI (SI − X + HI ).(4.5.1)Считая функцию полезности uI (x) непрерывной, из неравенства (4.5.1)мы получаем, что существует минимальное значение цены страховогополиса HImin такое, чтоuI (SI ) = EuI (SI − X + HImin ),(4.5.2)и страхование для страховой компании возможно, еслиHI ≥ HImin .(4.5.3)Аналогично предыдущему, предполагая, что функция полезности страховой компании uI (x) выпукла вверх, из соотношений (4.3.4) и (4.5.2)имеем неравенстваuI (SI ) = EuI (SI − X + HImin ) ≤ u(SI − EX + HImin ).(4.5.4)Так как функция полезности uI (x) монотонно возрастает, то из неравенства (4.5.4) следует, чтоEX ≤ HImin .(4.5.5)Аналогично, если функция полезности страховой фирмы uI (x) выпукла вниз, тоEX ≥ HImin .(4.5.6)Теперь, рассматривая страхование как со стороны клиента страховойкомпании, так и со стороны самой страховой компании, получаем (см.соотношения (4.4.3) и (4.5.3)), что страхование возможно, еслиGmax ≥ HImin .(4.5.7)Такая ситуация вполне возможна.
Так, например, из неравенств (4.4.5)и (4.5.6) следует неравенство (4.5.7), то есть страхование возможно,если функция полезности клиента страховой компании u(X) выпуклавверх, а функция полезности самой страховой компании uI (X) выпуклавниз. Аналогично, из неравенств (4.4.6) и (4.5.5) следует, что страхование возможно только в случаеGmax = HImin .(4.5.8)4.6. Эмпирическое определение функции полезности4.6Эмпирическоеполезностиопределение215функцииРассмотрим теперь задачу определения функции полезности клиентастраховой компании.
С очевидными изменениями этом алгоритм примени́м и к построению функции полезности страховой компании. Мыприведём здесь простейший метод, допускающий модификации, и позволяющий в принципе (например, с помощью компьютера) сколь угодно точно построить эту функцию полезности на произвольном интервале изменения возможных доходов клиента.Итак, пусть клиент страховой фирмы обладает неизвестной функцией полезности u(X) (отметим, что здесь мы предполагаем, что у клиента такая функция существует хотя на самом деле её существование,вообще говоря, ниоткуда не следует).
Для её приближённого определения необходимо иметь возможность наблюдать за поведением клиента в различных рисковых ситуациях или искусственно создавать ихи следить за его поведением. Пусть мы хотим приближённо построитьфункцию полезности u(X) на отрезке [0, S], S > 0. Поскольку функцияполезности u(X) определена с точностью до линейного преобразования,то её можно нормировать в точках 0 и S, то есть можно подобрать числа a > 0 и b так, чтобы(au(0) + b = 0au(S) + b = 1,то естьa=1> 0,u(S) − u(0)b=u(0).u(0) − u(S)Таким образом, мы можем с самого начала предполагать, чтоu(0) = 0 и u(S) = 1.(4.6.1)Предположим, что клиенту предлагают на первом шаге “купить лотерейный билет” (так мы называет рисковую ситуацию или случайнуювеличину) вида X1P(X1 = 0) = p1 ,P(X1 = S) = 1 − p1 ,p1 ∈ (0, 1),то есть с известной для нас вероятностью p1 , которая является параметром, выбираемым нами, по лотерейному билету выгрыш равен нулю,а с вероятностью 1 − p1 выгрыш равен S.
Предположим, что клиент2164. Сравнение рисковых ситуацийсообщает, что за обладание этим билетом он готов заплатить величинуx1 . Это означает, что для него выполнена эквивалентностьX1 ∼ x1или в рамках нашей модели (см. (4.3.2))Eu(X1 ) = u(0)p1 + u(S)(1 − p1 ) = u(x1 ),поэтому с учётом формул (4.6.1), имеемu(x1 ) = 1 − p1 .(4.6.2)Таким образом на первом шаге определено значение u(x1 ).На втором шаге клиенту предлагают “купить лотерейный билет”вида X2P(X2 = 0) = p2 ,P(X2 = x1 ) = 1 − p2 ,p2 ∈ (0, 1),то есть с известной для нас вероятностью p2 , которая является параметром, выбираемым нами, по лотерейному билету выгрыш равен нулю,а с вероятностью 1 − p2 выгрыш равен x1 . Пусть клиент за обладаниеэтим билетом готов заплатить величину x2 .
Это означает, что для неговыполнена эквивалентностьX2 ∼ x2илиEu(X2 ) = u(0)p2 + u(x1 )(1 − p2 ) = u(x2 ),поэтому с учётом формул (4.6.1) и (4.6.2), имеемu(x2 ) = (1 − p1 )(1 − p2 ).(4.6.3)Таким образом, на втором шаге определено значение u(x2 ).На следющих шагах клиенту следует предложить “лотерейные билеты” вида X3 , X4P(X3 = x1 ) = p3 ,P(X3 = x2 ) = 1 − p3 ,p3 ∈ (0, 1);P(X4 = x1 ) = p4 ,P(X4 = S) = 1 − p4 ,p4 ∈ (0, 1)и так далее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
