korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 38
Текст из файла (страница 38)
разделы 1.7 и 2.10). Этот подход примени́мтогда, когда заранее известно число потенциальных клиентов страховой фирмы, но неизвестно предпочтение каждого клиента, которыйможет либо заключить контракт, либо воздержаться, например, отдавпредпочтение услугам другой компании.В данном разделе мы рассмотрим подход, который можно условно2232245. Модель индивидуального pисканазвать эмпирическим. В рамках этого подхода подгонка распределения осуществляется на основе статистической информации о значенияхнекоторых числовых характеристик моделируемой случайной величины, в частности, о ее моментах.Как мы видели в первой главе, наряду с самой случайной величинойN довольно часто исследуется случайная сумма видаR=NXξi ,(5.1.1)i=1где {ξi } (i = 1, 2, . . .) — последовательность одинаково распределенныхслучайных величин, независимых в совокупности со случайной величиной N .
В зарубежной литературе в рамках модели (5.1.1) распределение случайной величины R называется “составным” (compound);например, если N имеет распределение Пуассона, то случайная величина R имеет “составное пуассоновское” (compound Poisson) распределение (см. раздел 1.5). Будем обозначать случайную сумму вида (5.1.1)символом {N, ξ}, где ξ – случайная величина, распределение которойсовпадает с общим распределением случайных величин ξi .Итак, одной из существенных для практики задач является проблема определения приемлемой (соответствующей имеющимся статистическим данным) модели распределения случайной величины N , сиспользованием которой достаточно просто решается и задача о вычислении (если распределение случайной величины ξi известно) илиаппроксимации (если заданы только моменты случайных величин ξi )составного распределения, то есть распределения случайной суммы R.Типичной моделью распределения случайной величины N являетсяпуассоновское распределение.
В такой ситуации случайная величина Rимеет составное (или обобщенное) пуассоновское распределение. Этуситуацию мы довольно подробно рассмотрели в первой главе. В литературе рассматриваются также такие распределения случайной величины N как вырожденное, обобщенное (составное) пуассоновское, смешанное пуассоновское и многие другие дискретные законы. При этом вслучае необходимости исследования распределения случайной суммыR часто постулируется, что распределение случайная величина N относится к некоторому конкретному типу и предполагается, что исследователю известна вся информация относительно рассматриваемых распределений (то есть распределений случайных величин N и ξi ), котораятребуется в соответствующей задаче.
Такой подход вполне естествененс чисто теоретической точки зрения; он оставляет решение вопросово выборе конкретного распределения случайной величины N и оценке необходимых его параметров исследователю, который для решения5.1. Модели объема страхового портфеля225этих вопросов может воспользоваться широчайшим набором методоврешения подобных задач, известным в математической статистике.В данном разделе мы рассмотрим довольно частную постановку задачи выбора модели распределения случайной величины N в условияхограниченной информации относительно этого распределения, а именно, при наличии оценок только двух первых моментов этой случайнойвеличины.С теоретической точки зрения, наиболее простой ситуацией является та, при которой значение величины N заранее известно (что приводит, естественно, к рассмотрению вырожденного распределения случайной величины N ); если же величина N неизвестна и полагается случайной, то наиболее простым и чаще всего применяемым на практикеметодом является оценка по имеющейся статистике среднего значенияE N = Λ, а затем принятие предположения о том, что случайная величина N имеет пуассоновское распределение с параметром Λ.Как отмечается в (Panjer and Willmot,1992), пуассоновское предположение обычно делается, исходя из соображений удобства и в случаеотсутствия противопоказаний или свидетельств против него.
Очевидным свидетельством против пуассоновости может являться сильное отличие вычисленной по той же статистике оценки дисперсии DN = M 2от значения Λ. Далее будет рассматриваться ситуация, в которой полученные оценки Λ и M 2 , вообще говоря, не дают возможности ограничиться ни вырожденной, ни пуассоновской моделями распределенияслучайной величины N .
Возникает задача выбора подходящей моделираспределения с учетом имеющейся статистической информации.Как уже отмечалось, помимо задачи выбора модели распределенияслучайной величины N , важной задачей является вычисление распределения “составного” распределения случайной величины R. Поэтому,следуя логике раздела 1.7, здесь мы также изучим вопрос о точности нормальной аппроксимации распределения случайная величина Rв рамках рассматриваемых моделей распределения N . Отметим, что врамках актуарной трактовки рассматриваемой проблематики возможность нормальной аппроксимации распределения случайной величиныR автоматически влечет существование асимптотических оценок оптимальных (минимально допустимых) страховых тарифов (см. ниже).2265.1.25.
Модель индивидуального pискаВыбор модели распределения из класса Каца–Панджера и нормальная аппроксимация составного распределенияЗдесь мы не ставим задачу подробного изучения вопроса о том, какимобразом математическая статистика позволяет выбирать модель распределения целочисленной случайной величины. Этот вопрос подробнорассмотрен в большинстве пособий по математической статистике, укажем, например, (Айвазян, Енюков, Мешалкин, 1983). Отметим лишь,что естественным подходом является построение, прежде всего, непараметрических моделей и состоятельных оценок функций распределения произвольного вида. Дальнейшая детализация связана с выборомпараметрической модели, что связано с применением того или другогокритерия согласия.Мы уделим основное внимание вопросу о том, какую информациюо целочисленном распределении могут дать исследователю значенияпервых двух моментов рассматриваемой случайной величины в ситуации, когда тип распределения уже идентифицирован (то есть соответствующий статистический анализ, в том числе с помощью критериевсогласия, уже считается выполненным), и этот тип относится к некоторым вполне определенным, естественным (и описываемым ниже) классам.
Оказывается также, что знание двух первых моментов распределения целочисленной случайной величины позволяет в рассматриваемых предположениях выписывать также явные (вычислимые) оценкиточности нормальной аппроксимации для соответствующих составныхраспределений.Отметим также, что значения указанных выше моментов на практике вычисляются с помощью имеющихся статистических методов, прежде всего, посредством их аппроксимации выборочными моментами.Естественно, эта аппроксимация приводит к появлению дополнительной погрешности, но здесь мы не будем исследовать вопрос о величинеэтой дополнительной погрешности.Итак, будет рассматриваться ситуация, когда распределение случайной величины N априори относится к некоторому специальномуклассу дискретных распределений. Вопросы практического выбора такого класса в настоящее время очень подробно изучаются в актуарноматематической литературе.
Классы дискретных распределений такогорода формируются, как правило, путем задания определенных рекуррентных соотношений для вероятностей вида P(N = k) или дифференциальных (или интегро-дифференциальных) уравнений для соответствующей производящей функции, причем в этих соотношениях и5.1. Модели объема страхового портфеля227уравнениях фигурируют несколько параметров, которые могут выбираться произвольным образом в рамках некоторых ограничений. Обычно эти классы включают в себя некоторые “стандартные” семейства целочисленных распределений, например, пуассоновские, биномиальныераспределения и т.
п.Существенный вклад в данную методику внесен Г. Панджером, Г. Уиллмотом и другими авторами (Ambagaspitiya, 1995)(Ambagaspitiya and Balakrishnan, 1993) (Chan, 1984), (Goovaerts andKaas, 1991), (Kling and Goovaerts, 1993), (Panjer, 1980), (Panjer,1981),(Panjer and Willmot, 1992), (De Pril, 1989), (Stroter, 1985), (Sundtand Jewell, 1981), (Sundt, 1992), (Willmot, 1988), (Willmot and Panjer,1987).
Подробный обзор широкого множества дискретных распределений, используемых для моделирования распределения случайной величины N , содержится в (Johnson, Kotz and Kemp, 1992); см. такжебиблиографию в (Ambagaspitiya, 1995). Общие принципы выбора стохастических моделей такого рода, используемые, в частности, Панджером, обсуждаются в (Linhart and Zucchini, 1986).
Материал данногораздела основан на статье (Шоргин, 1997).В данном подразделе мы рассмотрим класс распределений случайной величины N , введенный Л. Кацем (Katz, 1965) и использованныйдля моделирования распределения случайного числа страховых исковГ. Панджером в (Panjer, 1980) и последующих работах. Вопрос о подборе распределения случайной величины N из класса Каца–Панджераполностью решен в цитированных выше работах. Мы приведем здесьосновные результаты, относящиеся к этому вопросу, а затем более подробно рассмотрим вопрос о точности нормальной аппроксимации распределения случайной величины R при условии, что распределение Nотносится к указанному классу.Класс Каца–Панджера является двупараметрическим и может бытьопределен либо посредством задания производящей функции распределений этого класса:ψ(s) =³ 1 − a ´1+b/a1 − as,либо с помощью рекуррентного соотношения, которое мы и примем вкачестве определения этого класса.Определение 5.1.1.
Классом распределений Каца–Панджера назовем множество распределений неотрицательных целочисленных случайных величин N , удовлетворяющих при всех k = 1, 2, . . . условиямP(N = k)b=a+ ,P(N = k − 1)k(5.1.2)2285. Модель индивидуального pискагде a, b – некоторые параметры, определяющие распределение.Данный класс был использован Г. Панджером (Panjer, 1980) дляупрощения процедуры расчета распределений случайных величин N иR. Дальнейший анализ, проведенный, в частности, в (Ambagaspitiya,1995), (Panjer, 1980), (Panjer, 1981),(Panjer and Willmot, 1992), (Sundtand Jewell, 1981), (Sundt, 1992), (Willmot, 1988), (Willmot and Panjer,1987), показал, что этот класс имеет существенное прикладное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
