korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Таким образом могут быть определены значения функцииполезности в произвольном конечном числе точек, чего обычно достаточно для приближённого построения графика неизвестной функцииполезности u(x).4.7. Модель Эрроу4.7217Модель ЭрроуВ этом разделе мы рассмотрим модель Эрроу, в которой страхованиерассматривается с точки зрения интересов клиента страховой компании.Пусть доход клиента страховой компании зависит от случайныхфакторов, так сказать, “состояний природы”, число которых счетно,и k-е состояние природы возникает с известной вероятностью pk ,∞Xpk = 1,pk ≥ 0,k = 1, 2, · · · .k=1В целях уменьшения риска клиент заключает контракт стоимостью dсо страховой компанией.Обозначим через ak и xk соответственно, доходы клиента до заключения страхового контракта и после его заключения при состоянии природы k.
Пусть ik – страховые выплаты клиенту страховой компании присостоянии природы k, E – среднее значение страховых выплат клиенту,а α = Ed−1 – коэффициент нагрузки.Ясно, что указанные величины связаны соотношениямиxk = ak + ik − d,E=∞Xik pk ,E = αd,α ∈ [0, 1].k=1Пусть u(x) – функция полезности клиента, то есть u(x) – полезностьдохода x.Предметом поиска является значения выплат ik , максимизирующиесреднее значение полезности окончательного дохода клиента при фиксированных значениях E и d. Иначе говоpя, страховая компания заинтересована в стабилизации средних выплат, а в остальном предлагаетклиенту оптимальную для него форму страхования. Таким образом,максимизируется (по ik ) величинаW (d, E) =∞Xpk u(ak − d + ik ).k=1При этом предполагается, чтоu0 (x) > 0,u00 (x) ≤ 0.Можно доказать, что оптимальное решение носит пороговый характери имеет видik = a − ak ,при k ∈ A2184.
Сравнение рисковых ситуацийиik = 0,при k ∈/ A,где множество A имеет видA = {k : ak ≤ a}и a определяется из уравненияPa=k∈Apk ak + EP(A),P(A) =Xpk .k∈AЗаметим, что это решение не зависит от d.Эрроу (Arrow, 1970) исследовал также свойства функции W (d, E)при различных предположениях на функцию полезности u(x) и нашелзначения E и d, максимизирующие W (d, E) при фиксированном α.
Приэтом использовался метод неопределенных множителей Лагранжа итеорема Куна–Таккера.4.8Общие принципы расчета тарифныхставокС формальной точки зрения правила определения величины страхового взноса, основанные на функциях полезности, описанные выше,безупречны. Тем не менее, у них есть больное место: как правило,на практике все же достаточно трудно формализовать предпочтениястраховщика и страхователей. Видимо, по этой причине на практике часто придерживаются иных правил выбора величины страховоговзноса.
Рассмотрим кратко некоторые из них.Пусть D – величина страхового взноса, а X – случайная величинавозможного ущерба, имеющая функцию распределения F (x). Величина D представляет собой функционал, заданный на множестве функций распределения, принимающий действительные значения и, бытьможет, зависящий от некоторой экзогенно заданной характеристики λ,окончательно определяющей правило выбора.Итак, в общем случаеD = Ψ(F, λ).Рассмотрим следующие частные случаи функционала Ψ(F, λ).Принцип ожидаемого значения.D = (1 + λ)EX,λ ≥ 0.4.8.
Общие принципы расчета тарифных ставокВеличину λ в этом случае называют коэффициентом нагрузки – онауказывает, на сколько страховой взнос должен быть выше среднегозначения выплат. При λ = 0 мы приходим к упомянутому выше принципу эквивалентности.Принцип диспеpсии (диспеpсионный пpинцип).D = EX + λDX,λ > 0.Величина λ играет здесь роль весового коэффициента для дисперсии– чем больше λ, тем в большей степени взнос зависит от величиныразброса значений выплат.Принцип стандартного отклонения.√D = EX + λ DX, λ > 0.Смысл λ здесь тот же, что и выше, при этом у слагаемых в пpавойчасти одинаковая размерность.Принцип нулевой полезности.
Пусть u(x) – функция полезностистрахователя с обычными свойствами:u0 (x) > 0,u00 (x) ≤ 0.Если S есть начальный капитал страховой компании, то страховойвзнос D определяется как решение уравненияEu(S + D − X) = u(S),то есть страховой взнос выбирается так, чтобы средняя полезность дои после страхования была одна и та же. В случае, если функция полезности экспоненциальнаu(x) = a−1 (1 − exp{−ax}),a > 0,последнее уравнение имеет явное решение видаD = a−1 log(E exp{aX}).Этот случай называется экспоненциальным принципом.Обобщенный принцип нулевой полезности.
Предположим, что начальный капитал S является случайной величиной. Страховой взнос Dопределяется как решение уравнения видаEu(S + D − X) = Eu(S).2192204. Сравнение рисковых ситуацийЭтот принцип рассматривается как неклассический, поскольку D в общем случае зависит от совместного распределения случайных величинX и S.
Например, в случае экспоненциальной функции полезности,D = a−1 [ log(E exp{a(X − S)} − E exp{−aS})],и для малых значений параметра справедливо приближенное равенствоaD ≈ EX + DX − aCov(X, S),2из которого видно, что D зависит от совместного распределения случайных величин X и S.Принцип Эсшера.D=EX exp{λX},E exp{λX}λ ≥ 0.Этот принцип естественно возникает как Парето-оптимальное решение в модели страхового рынка в случае, если все его участники имеютэкспоненциальные функции полезности и независимые страховые выплаты. Принцип Эсшера также возникает при минимизации среднихпотерь страховой компании в случае, если функция потерь имеет видL(x, D) = (D − x)2 exp{λx}.Заметим также, что величина D является средним значением случайной величины X после умножения плотности X на возрастающую весовую функцию, что, конечно, делает рисковую ситуацию менее привлекательной для страховой компании.
Иначе, если обозначить черезf (x) = F 0 (x),плотность случайной величины X, то вводится новая плотностьÃZ∞fe(x) = exp{λx}f (x)!−1exp{λx}f (x)dx.0ТогдаZ∞D=xfe(x)dx.0параметр Эсшера λ отражает “неприятие риска” страховой компанией,поскольку D = D(λ) возрастает по λ при любой случайной величинеX. ДействительноZ∞0x fe(x)dx −ÃZ∞2D (λ) =00!2xfe(x)dx≥ 0.4.8. Общие принципы расчета тарифных ставокКак следствие получаем, что D мажорирует среднее значениеD ≥ EX,λ ≥ 0.Суисс-принцип (швейцаpский пpинцип).Eg(X − λD) = g((1 − λ)D),λ ∈ [0, 1],где g(x) есть вещественная непрерывная функция, обладающая свойствамиg 0 (x) > 0, g 00 (x) ≥ 0.Заметим, что приλ=0этот принцип переходит в обобщенный принцип среднего значенияD = g −1 (Eg(X)),а приλ=1– в принцип нулевой полезности относительно функции полезности видаu(x) = −g(−x).Еслиg(x) = a−1 (exp{ax} − 1),a > 0,то мы приходим к экспоненциальному принципу, а приλ=1иg(x) = x exp{ax}получаем принцип Эсшера.Принцип Орлича.
В этом случае величина D определяется как решение уравненияEρ(XD−λ ) = ρ(D1−λ )где λ ∈ [0, 1] и ρ(x) – непрерывная стого возрастающая функция. Приλ = 0 получается обобщенный принцип среднего значения.Квантильный пpинцип. Еще один интересный класс примеров,близких к так называемым квантильным мерам риска (Value-at-Risk)в финансовом деле, составляют так называмые квантильные правила(пpинципы). Пусть случайная величина X, характеризующая потери,имеет функцию распределения F . Определим (обобщенную) обратнуюк F функцию соотношениемF ← (x) = inf{x ∈ IR : F (x) ≥ x},0 < x < 1.2212224. Сравнение рисковых ситуацийТогда принцип (1 − ε)-квантили соответствуетD = F ← (1 − ε).При ε ↓ 0 в предположении, что F имеет ограниченный носитель, мыполучаем максимально возможные потери (probable maximal loss).Хотя эта мера риска играет очень важную роль во всех системахуправления риском в финансовом деле, можно показать, что функция D = F ← (1 − ε) мало подходит на роль меры риска, поскольку онане обладает свойством суб-аддитивности, которое, как утверждается вупомянутой работе, должно быть присуще разумным мерам риска.Глава 5Модель индивидуального pиска(статическая модель)5.15.1.1Модели объема страхового портфеляПостановка задачиВ некоторых ситуациях при планировании страховой деятельностиможно считать, что объем страхового портфеля – количество договоров страхования, объединенных, например, типом страхования, сроками действия и/или источником финансирования, является фиксированным.
Однако, как правило, параметры страховой деятельности (например, страховые тарифы) планируются заранее, до начала конкретных действий по заключению договоров в рамках данного портфеля. Втаком случае, как правило, количество заключенных договоров заранее неизвестно. А если страховая компания ведет работу с несколькимипортфелями, то неопределенность объема портфеля разумно считатьпроявлением случайности. В последнем случае объем страхового портфеля естественно считать целочисленной случайной величиной, скажем, N . В такой ситуации ключевой задачей становится правильныйподбор распределения этой случайной величины.При решении этой задачи можно использовать, например, асимптотический подход, основанный на предельных теоремах для сумм случайных индикаторов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
