korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 35
Текст из файла (страница 35)
раздел1.5). Поэтому естественно сравнивать случайные доходы по их математическим ожиданиям, что и оправдывает подход (4.2.2).Заметим, что точно такой же формальный подход может быть применен к определению более или менее предпочтительную рисковую ситуацию с точки зрения клиента страховой компании.Однако подход (4.2.2) далеко не безупречен. Чтобы пояснить этоприведём пример, известный как петербургский парадокс, показывающий, что подход (4.2.2) может, вообще говоря, приводить к абсурднымрезультатам.Рассмотрим выбор более или менее предпочтительной рисковой ситуации клиентом страховой компании. Предположим, что клиент оказался в следующей ситуации.
Ему предлагают либо принять участие вигре, описываемой случайной величиной X видаP(X = 2k ) =1,2kk = 1, 2, . . . ,(4.2.3)то есть клиент с вероятностью 2−k получает 2k , например, долларов, либо ему выплачивают некоторую фиксированную сумму денег y. Спрашивается, на какую фиксированную сумму согласится клиент, чтобыне участвовать в описанной игре, не связываясь с проявлением случайности? Ясно, что практически для каждого разумного человека такаявеличина существует и конечна. Посмотрим, к чему же приводит здесьподход (4.2.2).
Таким образом, мы ищем вырожденную случайную величину YP(Y = y) = 1такую, чтоX¹YилиX ¹ y.Если принять подход (4.2.2), то последнее соотношение эквивалентнотому, чтоEX ≤ EY = y,(4.2.4)2064. Сравнение рисковых ситуацийноEX =∞Xk=12k∞X1=1 = ∞,2k k=1то есть неравенство (4.2.4) не выполняется ни при каком конечном y.Но это явно противоречит реальности, поскольку, как мы отметиливыше, любой здравомыслящий человек всегда готов получить некуюконечную сумму (возможно большую) вместо участия в стохастическойигре (4.2.3).Вместо подхода (4.2.2) к упорядочиванию рисковых ситуаций (тоесть случайных величин и/или вероятностных распределений) используются также некоторые другие, подходы, которым посвящены следующие разделы.Задача сравнения или упорядочивания рисков формально сводитсяк введению на множестве случайных величин или множестве функцийраспределения отношения (частичного) порядка.
Напомним некоторыеформальные определения2 .Множество X, состоящее из каких угодно элементов, называетсячастично упорядоченным, если в нем установлено отношение частичного порядка, то есть для некоторых пар x1 , x2 его (различных) элементов известно, что один из них предшествует другому, например, x1предшествует x2 , что записывается как x1 ¹ x2 или x2 º x1 .Если в частично упорядоченном множестве X отношение порядкаустановлено для любых двух различных элементов, то есть для любыхдвух различных элементов x1 , x2 верно одно и только одно из двухотношений x1 ¹ x2 или x1 º x2 , то такое частично упорядоченноемножество X называется вполне упорядоченным.Перечислим некоторые наиболее естественные отношения (частичного) порядка на множестве случайных величин.Порядок “почти наверное” или “с вероятностью единица”Обозначим соответствующее отношение символом ¹as .
Тогда по определению запись X ¹as Y означает, что P(X ≤ Y ) = 1. Ясно, что далеконе все случайные величины можно упорядочить с помощью такого отношения. Таким образом, порядок “почти наверное” является частичным.2П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. “Наука”, Москва, 1977.4.2. Сравнение рисковых ситуацийСтохастический порядокСлучайная величина X по определению стохастически не превосходитслучайной величины Y (мы будем обозначать это символом X ¹st Y ),если для любого x ∈ IR выполнено неравенствоP(X < x) ≥ P(Y < x).Довольно очевидна импликация X ¹as Y =⇒ X ¹st Y , то есть,если случайная величина X почти наверное не превосходит случайнойвеличины Y , то X не превосходит Y и стохастически.В отличие от порядка “почти наверное”, стохастический порядокпозволяет сравнивать случайные величины, изначально заданные наразных вероятностных пространствах.
Более того, если X ¹st Y , тонайдутся вероятностное пространство (Ω, A, P) и заданные на нем слуddчайные величины X 0 и Y 0 такие, что X 0 = X, Y 0 = Y и X 0 ¹as Y 0 (см.,например, (Булинская, 2001)).Можно показать, что X ¹st Y тогда и только тогда, когдаEf (X) ≤ Ef (Y )для всех монотонно неубывающих функций, для которых соответствующие интегралы существуют.Отсюда, в частности, вытекает, что, если X ¹st Y и математическиеожидания EX и EY существуют, то EX ≤ EY .Если X и Y – дискретные случайные величины, причем существует число c такое, что P(X = x) ≥ P(Y = x) для x < c иP(X = x) ≤ P(Y = x) для x > c.
Тогда X ¹st Y . Аналогично, еслиX и Y – абсолютно непрерывные случайные величины с плотностямиpX (x) и pY (x), соответственно, причем существует число c такое, чтоpX (x) ≥ pY (x) для x < c и pX (x) ≤ pY (x) для x > c. Тогда X ¹st Y(см., например, (Булинская, 2001).Порядок стоп-лосс (стохастический порядок второй степени)Для произвольного действительного числа y обозначим y + = max{y, 0}.Говорят, что случайная величина X не превосходит случайной величины Y в смысле порядка стоп-лосс, и обозначают это X ¹s−l Y ,если для любого d ≥ 0 выполнено неравенство E(X − d)+ ≤ E(Y − d)+ .Так как для любой случайной величины XZ∞+E(X − d) =Z∞(x − d)dFX (x) =d(1 − FX (x))dxd2072084. Сравнение рисковых ситуаций(в этом легко убедиться, интегрируя по частям), то отношение X ¹s−lY эквивалентно тому, что для любого d > 0Z∞Z∞(1 − FX (x))dx ≤d(1 − FY (x))dx,dгде FX (x) и FY (x) – функции распределения случайных величин X иY соответственно.
Таким образом, риски (случайные величины), распределения которых имеют более легкие хвосты, предпочтительнее всмысле порядка стоп-лосс. При этом из соотношения (1.3.3) мы получаем, что если X и Y – неотрицательные случайные величины, то изX ¹s−l Y вытекает, что EX ≤ EY в предположении, что эти математические ожидания существуют.Отношение X ¹s−l Y эквивалентно тому, что для любого d > 0E max{d, X} ≤ E max{d, Y }.Справедливы следующие результаты.Утверждение 4.2.1.
Пусть X1 , X2 , . . . , Y1 , Y2 , . . . – независимыеодинаково распределенные случайные величины. Предположим, чтоцелочисленные неотрицательные случайные величины N и M таковы, что случайная величины N независима от последовательностиX1 , X2 , . . ., а случайная величины M независима от последовательности Y1 , Y2 , . . ., причем N ¹s−l M . ТогдаNXXj ¹s−lj=1MXYj .j=1Доказательство см.
в (Булинская, 2001).Пусть Λ – положительная случайная величина. Распределение целочисленной случайной величины N , задаваемое соотношениямиZ∞e−λP(N = k) =0λkdP(Λ < λ),k!k = 0, 1, 2, . . . ,называется смешанным пуассоновским (см. разделы 2.2 и 7.6). Приэтом случайная величина Λ называется структурной. Примеры смешанных пуассоновских случайных величин приведены в разделе 7.6. Вчастности, там показано, что отрицательное биномиальное распределение является смешанным пуассоновским (ему соответствует гаммараспределенная структурная случайная величина)4.3.
Функции полезностиУтверждение 4.2.2. Пусть X1 , X2 , . . . – независимые одинаковораспределенные случайные величины. Предположим, что целочисленные неотрицательные случайные величины N и M имеют смешанныепуассоновские распределения со структурными случайными величинами ΛN и ΛM соответственно, причем N и M независимы от последовательности X1 , X2 , .
. .. Предположим, что ΛN ¹s−l ΛM . ТогдаNXj=1Xj ¹s−lMXXj .j=1Доказательство см. в (Булинская, 2001).Можно показать, что если N1 , N2 и N3 – случайные величины соответственно с биномиальным, пуассоновским и отрицательным биномиальным распределениями, причем EN1 = EN2 = EN3 , тоN1 ¹s−l N2 ¹s−l N3(см., например, (Булинская, 2001)). Таким образом, на основанииутверждения 4.2.1 мы можем заключить, что в смысле порядка стоплосс портфель, содержащий случайное число N однородных контрактов, в котором N имеет биномиальное распределение, менее рискован,нежели аналогичный портфель с пуассоновски распределенным числомконтрактов, который, в свою очередь, менее рискован, чем аналогичный портфель с отрицательно биномиально распределенным числомконтрактов.Эти и другие способы упорядочения рисков и их свойства подробноперечислены в книге (Булинская, 2001).4.3Функции полезностиЕще один из возможных способов разрешения петербургского парадокса и, соответственно, определения отношения (более) полного порядкана множестве случайных величин состоит, например, в изменении соотношения (4.2.2), точнее его правой части.Рассмотрим общепринятый (по крайней мере в зарубежной литературе, см., например, (Фон Нейман и Моргенштерн, 1970), (Де Гроот 1974), (Фишберн 1978)) подход, основанный на предположении, чтостраховая компания или ее клиент выбирают более или менее предпочтительную для них рисковую ситуацию в соответствии с имеющимисяу них функциями полезности (utility functions).2092104.
Сравнение рисковых ситуацийПусть, к примеру, клиент страховой компании упорядочивает своислучайные риски в соответствии с функцией полезности u(x), действуяпо правилу (см. (4.2.2))X ¹ Y ⇐⇒ Eu(X) ≤ Eu(Y ),(4.3.1)то есть случайный доход Y считается более “предпочтительным”, нежели случайный доход X, если его средняя полезность Eu(Y ) не меньшесредней полезности Eu(X) дохода X. При этом, естественно, X и Yэквивалентны, если эти средние полезности равны:X ∼ Y ⇐⇒ Eu(X) = Eu(Y ).(4.3.2)Трактуя числа x, y, . . . как вырожденные случайные величины X, Y, . .
.,из (4.2.1) мы немедленно получаем, чтоX ¹ Y ⇐⇒ x ≤ y ⇐⇒ Eu(X) ≤ Eu(Y ) ⇐⇒ u(x) ≤ u(y),то есть естественное требование к функции полезности – её неубывание.Отметим, кстати, здесь, что функция полезности u(x) не обязана бытьнеотрицательной.Перечислим типы обычно используемых аналитических моделейфункций полезности. Во-первых, это – линейная функция полезностиu(x) = ax + b,a > 0.Однако теория линейной полезности не всегда реалистична. А именно, в большинстве ситуаций “полезность” или “удовлетворение, испытываемое индивидуумом” от детерминированного дохода x возрастаетне пропорционально x, но его можно измерить некоторой нелинейнойфункцией u(x). Так, индивидуум с капиталом в один миллион доллароввряд ли испытывает то же удовлетворение от дополнительного доходав один доллар, что и индивидуум с капиталом в один доллар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
