korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В (Katz, 1965) показано, что этот класс включает в себя значительное число важных распределений. В актуарной математике распределения этого класса могут служить моделями распределения количества договоров в портфеле или страховых исков при различных значениях первых двух моментов случайной величины N , рассчитанныхпо имеющейся статистике.
Известно много расширений и обобщенийкласса Каца–Панджера, в том числе класс Сундта–Джуэлла, отличающийся от класса Каца–Панджера значением вероятности P(N = 0), атакже многочисленные другие обобщения (см. обзор в (Ambagaspitiya,1995)). Однако мы ограничимся рассмотрением класса распределенийКаца, который определяется наиболее простым образом (являясь двупараметрическим) и в то же время включает в себя как биномиальноеи пуассоновское распределения, так и некоторое семейство из класса обобщенных пуассоновских распределений.
Имеет место следующееутверждение.Теорема 5.1.1 (Katz, 1965), (Panjer and Willmot, 1992). КлассКаца–Панджера включает в себя только следующие типы распределений:– пуассоновское с параметром b – при a = 0, b ≥ 0;– биномиальное (с распределениемP {N0 = k} = CNk 0 sk (1 − s)N0 −k ,k = 0, 1, . . . ,где s = −a/(1 − a), N0 = −b/a − 1) – при a < 0, b > 0 и при условии,что b/a – целое;– отрицательное биномиальное распределение (о.
б. р.), называемоетакже распределением Пойя, с распределениемP {N = k} =Γ(ρ + k) ³ 1 ´ρ ³ β ´k,Γ(ρ)k! 1 + β1+βk = 0, 1, . . . ,где β = a/(1 − a), ρ = 1 + b/a – при 0 < a < 1, b > −a.Если a ≥ 1, или b ≤ −a, или 0 < −a < b (за исключением случаев,когда b/a – целое число), то распределений, удовлетворяющих (5.1.2),не существует.5.1. Модели объема страхового портфеля229Отметим, что в число распределений, перечисленных в Теореме5.1.1, входит и распределение, сосредоточенное в 0 (как частный случайпуассоновского при b = 0 или биномиального при b = −a > 0). Однаковырожденные распределения, сосредоточенные в ненулевых точках, вчисло таких распределений не входят.Отрицательное биномиальное распределение является частным случаем обобщенного пуассоновского распределения (см., например, раздел 1.6.1).
Если случайная величина N имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами ρ и β, то естьP(N = k) =Γ(ρ + k) ³ 1 ´ρ ³ β ´k,Γ(ρ)k! 1 + β1+βk = 0, 1, . . . ,то N = {Πλ , ν}, гдекак и в разделе 1.7.4, Πλ – случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром λ, причем λ = ρ ln (1 + β),а ν является случайной величиной с логарифмическим распределениемP(ν = k) =³ β ´k1,k ln (1 + β) 1 + βk = 1, . .
. ;отметим, чтоEν =β,ln (1 + β)Dν =β (1 + β)β2− 2,ln (1 + β) ln (1 + β)E ν3 =2β 3 + 3β 2 + β.ln (1 + β)Так как класс Каца–Панджера – двупараметрический, то его можно естественным образом параметризовать и с помощью двух первыхмоментов EN = Λ и DN = M 2 соответствующих распределений. В терминах этих параметров Теорема 1 оначает, что в класс Каца–Панджеравходят пуассоновские, биномиальные и отрицательные биномиальныераспределения, причем пуассоновскому распределению с параметромΛ соответствует соотношение Λ = M 2 > 0, биномиальному распределению с параметрами s = (Λ − M 2 )/Λ, N0 = Λ2 /(Λ − M 2 ) соответствуетсоотношение Λ > M 2 и условие, что отношение Λ2 /(Λ − M 2 ) должнобыть целочисленным; отрицательному биномиальному распределениюс параметрами β = (M 2 − Λ)/Λ, ρ = Λ2 /(M 2 − Λ) соответствует соотношение Λ < M 2 .Итак, для всех возможных соотношений между величинами Λ и2M > 0, за исключением ситуации, когда Λ > M 2 , Λ2 /(Λ − M 2 ) –нецелое, можно определить конкретное распределение из класса Каца–Панджера.Класс Каца–Панджера удобен тем, что в его состав, среди прочихраспределений, входит подмножество класса обобщенных пуассоновских распределений – двупараметрическое семейство отрицательных2305.
Модель индивидуального pискабиномиальных распределений. Данное семейство чрезвычайно популярно в актуарно-математической литературе; это связано, видимо,и с тем, что отрицательное биномиальное распределение является нетолько обобщенным пуассоновским распределением, но и смешаннымпуассоновским распределением (Panjer and Willmot, 1992); подробнеео смешанных пуассоновских распределениях и тесно связанных с ними процессах Кокса как моделях процессов поступления страховых исков см.
(Эмбрехтс и Клюппельберг, 1993), (Grandell, 1991), (Bening andKorolev, 2002) и разделы 6 и 8.5.1.3Точность нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с индексом изкласса Каца–ПанджераПерейдем к вопросу о точности нормальной аппроксимации для распределения случайной величины R в предположении, что распределение случайной величины N принадлежит классу Каца–Панджера. Этотвопрос будет рассматриваться в предположении, что EN → ∞. Мы также будем считать, что, вообще говоря, может неограниченно расти иDN = M 2 . В связи с этим далее будет рассматриваться специальныйслучай “схемы серий”, в котором распределение случайной величины ξбудет предполагаться фиксированным, а распределение случайной величины N зависит от номера “серии” n : N = Nn , где n = 1, 2, 3, .
. . ,ENn → ∞ при n → ∞. Будем именовать эту схему основной схемойсерий. Такой подход позволит рассматривать различные варианты соотношений между величинами Λ и M 2 .dПусть ξ = ξi . Обозначим Eξ = a, Dξ = b2 , L(ξ) = E|ξ|3 /(Eξ 2 )3/2 ,L0 (ξ) = L(ξ −Eξ). Отметим, что ER = Λa, DR = Λb2 +M 2 a2 . Обозначимe то есть Re = (R −нормированнуюслучайную величину R символом R,√E R)/ DR. Пусть FRe(x) – функция распределения случайной величиныe ПоложимR.∆ = sup |FRe(x) − Φ(x)|,xгде Φ(x) – стандартная нормальная функция распределения.Символами C с различными индексами будем обозначать абсолютные постоянные.Теорема 5.1.2.
Если рассматривается основная схема серий,EN = Λ → ∞, DN = M 2 > 0, причем M 2 = o (Λ5/4 ), а при M 2 < Λ отношение Λ2 /(Λ−M 2 ) является целым числом, и распределение случайной величины N принадлежит классу Каца–Панджера, то случайная5.1. Модели объема страхового портфеля231величина R имеет асимптотически нормальное распределение, причем имеют место оценки:1) если 0 < M 2 < Λ и Λ2 /(Λ − M 2 ) – целое, то∆ ≤ 4CBEh M2Λ³L(ξ) + 1 −3/2iM2 ´Λ − M2L(ξ);0ΛΛ3/222) если M = Λ, то∆ ≤ CBEL(ξ);Λ1/23) если M 2 > Λ, тоL(ξ) h M 4 M 2 i2−,Λ1/2 Λ2Λгде CBE – постоянная из неравенства Берри–Эссеена, можно положить CBE = 0.7056, (Шевцова, 2006б).Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Если 0 < M 2 < Λ и Λ2 /(Λ−M 2 ) – целое, тораспределение случайной величины N – биномиальное с параметрамиP 0s = (Λ − M 2 )/Λ, N0 = Λ2 /(Λ − M 2 ). В данном случае R = Nk=1 ηk ξk ,где ηk = 1 с вероятностью s и ηk = 0 с вероятностью 1 − s; случайнаявеличина ηk ξk одинаково распределены, и в соответствии с обычнымнеравенством Берри–Эссеена∆ ≤ CBE∆≤N0CBE XE|ηk ξk − sa|3 .(DR)3/2 k=1Так как случайные величины ηk и ξk независимы, все ξk имеют однои то же распределение и |ηk − s| ≤ 1, тоE|ηk ξk −sa|3 ≤ 4[E|ηk −s|3 E|ξ|3 +s3 E|ξ −a|3 ] ≤ 4[s(1−s) E|ξ|3 +s3 E|ξ −a|3 ].Утверждение 1) Теоремы 5.1.2 вытекает из данного неравенства.Очевидно, правая часть оценки утверждения 1) стремится к нулю приΛ → ∞.2) Если M 2 = Λ, то распределение случайной величины N является пуассоновским. В этом случае утверждение теоремы вытекает изТеоремы 1.7.3.3) Если M 2 > Λ, то N имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами β = (M 2 − Λ)/Λ и ρ = Λ2 /(M 2 − Λ).
Как отмечалось выше, N имеет обобщенное пуассоновское распределение. Вразделе 1.7.4 показано, что для случайной величины N , имеющей обобщенное пуассоновское распределение,∆ ≤ CBEE(N − EN )3.Λ3/22325. Модель индивидуального pискаПусть λ = ρ ln (1+β), а ν – случайная величина с логарифмическимраспределением (5.1.3). В силу того, что N = {πΛ , ν}, имеем:Eν 32β 2 + 3β + 12(M 2 /Λ)2 − M 2 /ΛE(N − EN )3===.Λ3/2λ1/2 (Eν)3/2(ρβ)1/2Λ1/2Так как M 2 = o (Λ5/4 ), то ∆ → 0 при Λ → ∞. Теорема доказана.5.1.4Пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины.Нормальная аппроксимация составного распределенияКак уже отмечалось, в классе Каца–Панджера имеются (с точки зрения значений первых двух моментов) значительные пробелы, относящиеся к ситуации, когда дисперсия относительно мала́, то есть M 2 < Λ.Случай M 2 = 0 (при Λ > 0) вовсе не охватывается условием (5.1.2); если же 0 < M 2 < Λ, то соответствующее распределение из данногокласса (это распределение будет биномиальным) может быть найденотолько при целых Λ2 /(Λ − M 2 ), что, конечно, является весьма ограничительным условием.
Поэтому в случае, когда M 2 < Λ, имеет смыслрассмотреть некоторый другой класс распределений, естественно, имеющий соответствующее прикладное значение.Рассмотрим ситуацию, когда случайная величина N имеет распределение, совпадающее с распределением количества успехов при проведении некоторого числа испытаний Бернулли с “переменной” вероятностью успеха, то есть так называемую схему испытаний Пуассона.Иначе говоря,N=N0X(ηk ,где ηk =k=11 с вероятностью sk ,0 с вероятностью 1 − sk .Данная модель, очевидно, описывает вполне естественную ситуацию для всех рассматривавшихся выше примеров и является обобщением “биномиальной” модели, при которой все вероятности sk одинаковы.Параметры N0 , s1 , . .
. , sN0 удовлетворяют соотношениям:Λ = EN =N0X,k=1M 2 = DN =N0Xk=1sk (1 − sk ).5.1. Модели объема страхового портфеляСледуя терминологии, предложенной Ле Камом (Le Cam, 1960),такое распределение случайной величины N будем называть пуассоновско-биномиальным с параметрами {N0 , s1 , . . . , sN0 }. Соответственно, модель распределения случайной величины N назовемпуассоновско-биномиальной моделью.Семейство пуассоновско-биномиальных распределений, естественно, поглощает множество биномиальных распределений, входящих вкласс Каца–Панджера; кроме того, в это семейство входят все вырожденные распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
