korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

. .) и случайная величина N независимы в совокупности. Также предположим, что имеет место “относительная однородность” исков, то есть одинаково распределены и все случайные величины Sj (j = 1, 2, . . .), и все случайные величины Xj (j = 1, 2, . . .).Случайная сумма собранных по страховому портфелю премий равнаZ=NXZj .j=1Cлучайная сумма возмещений (сумма исков) равнаY =NXYj .j=1Пусть начальный резерв равен r. Тогда итоговый страховой фонд (порезультатам работы с данным страховым портфелем) равен (2.2.1)R =r+Z −Y.5.3. Факторизационная модель индивидуальных исков251Первой из задач, возникающих в связи с описанной моделью, является изучение асимптотики распределения случайной величины Rпри известной величине страховой ставки z.

Вторая задача – это определение такого минимального значения z, что результаты страховойдеятельности по данному страховому портфелю в некотором смыслебудут приемлемы для страховщика. Достаточно естественными являются следующие условия определения страховой ставки z:– условие “средней безубыточности”, в соответствии с которым страховая ставка z должна удовлетворять неравенствуz ≥ EXj ;(5.3.2)– условие “итогового неразорения”, в соответствии с которым ставкаz должна определяться так, чтобы выполнялось неравенствоP(R ≥ 0) ≥ Q,(5.3.3)где Q – некоторое заранее заданное число (0 < Q < 1).

Условие (5.3.3)является достаточно традиционным и естественным. В формуле (5.3.3)величина Q представляет собой минимальную допустимую для страховщика вероятность “итогового неразорения” (безубыточности). Предполагается, что величина Q выбирается самим страховщиком в соответствии со степенью его склонности к риску. В прикладной литературевстречаются стандартно рекомендуемые значения Q, равные 0.9, 0.95и т. п. (см., (Методика..., 1994)).Условие (5.3.2) при Q > 0.5 и большом количестве договоров страхования (то есть когда распределение случайной величины R близкок нормальному), естественно, является следствием (5.3.3).

Но в общемслучае это не так. Условие (5.3.2) вводится для того, чтобы обеспечитьположительное значение средней разности между собранными страховыми премиями и выплатами страховщика. Отсутствие такого ограничения может привести к нежелательным явлениям, которые могутбыть проиллюстрированы следующим примером. Пусть r = 0, N = 1,S1 = 1, Y1 = 1 с вероятностью 1 − Q и Y1 = 0 с вероятностью Q. Тогда R = z − Y1 , и очевидно, что условие (5.3.3) выполняется даже приz = 0, что, конечно, неприемлемо для страховщика. Введение ограничения (5.3.2) приводит в данном примере к естественному результатуz = 1−Q. С другой стороны, использование при большом числе рисковтолько условия (5.3.2) очевидным образом приводит при большом числе договоров страхования к также неприемлемому для страховщиказначению вероятности “итогового неразорения”, близкому к 0.5.Если ставка страховой премии обеспечивает одновременное выполнение условий (5.3.2) и (5.3.3), то можно сказать, что она “достаточна”2525.

Модель индивидуального pискаили удовлетворяет условию “достаточности”. Наряду с условием “достаточности” можно ввести условие “умеренности”, которое означает,что ставка страховой премии равна числу z0 , точной нижней гранивеличин z, удовлетворяющих условию “достаточности”, то есть обеспечивающих одновременное выполнение условий (5.3.2) и (5.3.3). Ставку,удовлетворяющую условию “умеренности”, естественно называть минимально допустимой. Такую величину будем называть оптимальнойстраховой ставкой (ставкой страховой премии).5.4Основные предположения и обозначения в рамках Φ-моделиПеред тем как перейти к формулировке результатов, приведем некоторые дополнительные обозначения и предположения, которые будутиспользоваться в последующем изложении.Для упрощения записей будем считать, что случайная величина Sраспределена так же, как и случайная величина Sj , случайная величина X – так же, как и случайная величина Xj .

Пусть случайная величинаS имеет не менее двух конечных моментов (очевидно, что случайнаявеличина X имеет все моменты). Распределения случайных величин Xи S обозначим, соответственно, FX и FS .Пусть A = EX, B 2 = DX. Коэффициент вариации случайной величины S обозначим символом V ,V2 =DSES 2=− 1.(ES)2(ES)2Пусть задана некоторая ставка z. Положим d = d(z) = z − A. Величинаd является “рисковой” или “страховой надбавкой” (в иностранной литературе используются термины “security loading” или “safety loading”,поэтому в русской страховой дитературе величину d иногда называютнагрузкой безопасности), то есть той надбавкой к средней величинеотносительного убытка, которая должна обеспечивать поставленныеусловия на вероятность “неразорения” (еще раз отметим, что “в состав”страховой ставки z и рисковой надбавки d не включается компонента,относящаяся к расходам “на ведение дела” страховщика).Положим Hj = Sj (z − Ij Kj ), причем случайные величины Hj независимы и одинаково распределены.

Тогда в соответствии с (2.2.1)R=r+NXj=1Hj ,5.4. Основные предположения Φ-моделии для любого rµXNP(R < x) = P¶Hj < x − r .j=1Для упрощения записей введем случайную величину H, которая распределена так же, как и случайные величины Hj . Имеющихся свойствслучайных величин {Sj , Xj } достаточно для подсчета среднего и дисперсии случайной величины H (зависящих от d):h = EH = ESd,g 2 = DH = DSd2 + (ES)2 (1 + V 2 )B 2 .Пусть γ 2 = EH 2 = h2 + g 2 .Предположим, что (вообще говоря) случайное число договоровстрахования N , включаемых в страховой портфель, имеет не менеедвух конечных моментов: Λ = EN , M 2 = DN . Отметим, что при этомER = r + Λh,DR = Λg 2 + M 2 h2 .Пусть w = V 2 + M 2 /Λ.Как и ранее, символом Φ(x) будем обозначать стандартную нормальную функцию распределения, а символом Ψ(y) – функцию, обратную к функции Φ(x).

Кроме того, символом ϕ(x) будем обозначатьплотность стандартного нормального распределения.Напомним, что для не вырожденной в нуле случайной величиныξ, имеющей три конечных первых момента, отношением Ляпунова мыназываем величину Λ(ξ) = E|ξ|3 /(Eξ 2 )3/2 (при этом L(ξ − Eξ) является“классической” дробью Ляпунова, присутствующей, например, в неравенстве Берри–Эссеена (см. раздел 1.7). Положим L0 (ξ) = L(ξ − Eξ).Если случайная величина χ имеет обобщенное пуассоновское расP λпределение, тто есть χ распределена как Πk=1 ξk , где Πλ – случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром λ, а {ξk }∞k=1– одинаково распределенные случайные величины, причем случайныевеличины Πλ и {ξk }∞k=1 независимы в совокупности, то мы, как и ранее,будем пользоваться обозначением χ = {Πλ , ξ1 }.Символами C с индексами и без них будем обозначать абсолютныеконстанты.

Символами вида C(. . .) – величины, зависящие только отпараметров, указанных в скобках.2532545.55. Модель индивидуального pискаПростейшая формула для страховойставки, учитывающая два момента распределения иска, в условиях факторизационной моделиЧтобы наиболее простым образом продемонстрировать специфику результатов, получаемых в условиях Ф-модели, приведем (для сравненияс формулами п. 4.2) простейшую формулу, получаемую в этих условияхформулу для страховой ставки (в статической модели страхования) принеслучайном объеме страхового портфеля (Шоргин и Сурков, 1993).Пусть в формуле (2.2.1) r = 0, N – постоянная величина, случайныеPвеличины Yj удовлетворяют (5.3.1).

Тогда R = Nj=1 Hj . Предположим,что число N достаточно велико для того, чтобы распределение слуPчайной величины Nj=1 Hj можно успешно аппроксимировать соответствующим нормальным законом. Тогда можно выписать следующуюасимптотически (при N → ∞) верную формулуµXN¶µ¶x − N dESPHj ≤ x ∼ Φ.gN 1/2j=1Следовательно (также асимптотически при N → ∞),µP(R ≥ 0) ∼ Φ¶dES· N 1/2 .gЕсли потребовать, чтобы для вероятности “итогового неразорения”P(R ≥ 0) выполнялось неравенство (5.3.3), то естьµ¶dESΦ· N 1/2 ≥ Q,g(5.5.1)то после решения квадратичного неравенства, к которому сводится(5.5.1), получаем, что (5.5.1) имеет место в случае, когда значение страховой ставки z не меньше оптимальной ставки z0 , для которой справедлива асимптотическая формулаz0 ∼ A +B[1 + V 2 ]1/2 Ψ(Q).[N − V 2 Ψ2 (Q)]1/2Данный результат очевидным образом сводится к (5.2.1) при V = 0, тоесть при постоянной (неслучайной) величине S.5.6. Асимптотические оценки страховых премий5.6255Асимптотические оценки страховыхпремий, основанные на нормальной аппроксимации распределения итоговогострахового фондаБольшинство результатов данной главы основывается на том, что распределение итогового страхового фонда R может аппроксимироваться нормальным законом.

Данный факт является вполне естественным,например, в случаях, когда объем страхового портфеля N являетсянеслучайной возрастающей величиной, а также если N – пуассоновская случайная величина с возрастающим параметром.Возможны и другие ситуации, когда распределение случайной величины R асимптотически нормально. Так, к примеру, представляетзначительный теоретический и прикладной интерес случай, когда N –случайная величина, имеющая обобщенное пуассоновское распределение (см. раздел 2.3). Причиной этого является то, что в ряде ситуацийпроцесс поступления (заключения) новых договоров страхования может быть описан целочисленным случайным процессом с независимыми приращениями, который представляет собой семейство случайныхвеличин, имеющих безгранично делимое распределение, сосредоточенное на множестве неотрицательных целых чисел.

Как мы уже отмечалив разделе 1.6.3, класс таких распределений совпадает с классом обобщенных пуассоновских распределений, сосредоточенных на множественеотрицательных целых чисел. Тем самым предположение о том, чтообъем страхового портфеля имеет обобщенное пуассоновское распределение, является вполне естественным. При получении асимптотическихоценок оптимальных страховых ставок для такого распределения объема страхового портфеля используются оценки точности нормальнойаппроксимации для обобщенных пуассоновских распределений, приведенные в разделе 1.7.4.Основой для построения асимптотических оценок оптимальныхстраховых ставок и их погрешностей является приводимая в настоящем разделе Теорема 5.6.1, содержащая соответствующие результатыдля произвольного распределения объема страхового портфеля с известными двумя первыми моментами при условии, что случайная величина R асимптотически нормальна.Кроме того, мы рассмотрим три частных случая, в которых задано конкретное распределение случайной величины N .

Характеристики

Список файлов книги