korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пуассоновско-биномиальное распределениеобъема страхового портфеля часто изучалось в актуарной литературе,см., например, (Kling and Goovaerts, 1993), (Jewell and Sundt, 1981),(Kaas, van Heerwarden and Goovaerts, 1994), (Sundt, 1985), (Kornya,1983), (Hipp, 1986), (Michel, 1986).Итак, в ситуации, когда M 2 < Λ, в качестве модели распределенияслучайной величины N будем рассматривать семейство пуассоновскобиномиальных распределений. Естественно, для этого класса уженевозможно выписать соотношение типа (5.1.2).
В данном подразделе речь идет о том, что для любых допустимых (см. лемму 5.1.1 ниже)значений Λ = EN и M 2 = DN , M 2 < Λ, можно найти хотя бы одно распределение из этого семейства с данными моментами. Более того, зная указанные моменты, можно дать оценку точности нормальнойаппроксимации для составного распределения случайной величины R(при этом информация о точных значениях параметров распределения{N0 , s1 , . .
. , sN0 }, которые в большинстве реальных случаев невозможноопределить, не требуется).Прежде всего, укажем необходимое условие того, что величины Λ иM 2 являются, соответственно, средним и дисперсией некоторой целочисленной случайной величины.Лемма 5.1.1 (Shorgin, 1997). Если первые два момента целочисленной случайной величины N равны EN = Λ, DN = M 2 , то числа Λи M удовлетворяют условиюM 2 ≥ {Λ}(1 − {Λ}),где {·} – дробная часть числа.Итак, если M 2 < {Λ}(1 − {Λ}), то изучение целочисленной случайной величины N с указанными моментами теряет смысл; построитьсоответствующую модель распределения такой случайной величиныневозможно и следует проверить правильность определения указанныхпараметров.Оказывается, что условие M 2 ≥ {Λ}(1 − {Λ}) является и достаточным условием существования целочисленной случайной величины со2332345.
Модель индивидуального pискасредним Λ и дисперсией M 2 . При Λ ≤ M 2 этот факт тривиален, таккак в таком случае неравенство M 2 ≥ {Λ}(1 − {Λ}) заведомо выполняется, а искомое распределение можно найти при любых таких Λ и M 2 ,что Λ ≤ M 2 , например, в классе отрицательных биномиальных распределений. Если же M 2 < Λ, то, как показывает следующая теорема,искомое распределение может быть найдено в семействе пуассоновскобиномиальных распределений.Теорема 5.1.3 (Shorgin, 1997). Если Λ > 0 и M 2 ≥ 0, то случайнаявеличина ξ с пуассоновско-биномиальным распределением такая, чтоEξ = Λ, Dξ = M 2 , существует тогда и только тогда, когда{Λ}(1 − {Λ}) ≤ M 2 < Λ,где {·} – дробная часть числа.Несмотря на то, что распределение случайной величины N не определяется однозначно своими первыми двумя моментами, оценка точности нормальной аппроксимации для составного распределения можетбыть выписана и в данном случае, причем для этой оценки достаточноиметь только информацию о двух первых моментах случайной величины N .
Мы сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.Теорема 5.1.4. Если распределение случайной величины N относится к семейству пуассоновско-биномиальных законов, EN = Λ > 0,DN = M 2 ≥ 0, то допустимыми являются значения Λ, M 2 , удовлетворяющие неравенствам 0 ≤ {Λ}(1 − {Λ}) ≤ M 2 < Λ, и случайнаявеличина R имеет асимптотически нормальное распределение, причем для величины ∆ имеют место оценки:1) если Λ – целое, M 2 = 0, тоL0 (ξ),N 1/22) если 0 < {Λ}(1 − {Λ}) ≤ M 2 , то∆ ≤ CBEiΛ − M2L(ξ)+L(ξ),0Λ3/2Λ3/2где CE – постоянная из неравенства Эссеена для разнораспределенныхслучайных величин, можно положить CE = 0.7915.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Утверждение теоремы для случая целочисленного Λ вытекает из неравенства Берри–Эссеена.Рассмотрим ситуацию, когда 0 < {Λ}(1 − {Λ}) ≤ M 2 . Очевидно, чтов данном случае при Λ → ∞ справедливо условие M = o(Λ). Имеем∆ ≤ 4CEh M2R=N0Xk=1ηk ξk ;5.1. Модели объема страхового портфеляслучайные величины ηk ξk имеют различные распределения, и в соответствии с неравенством Эссеена для сумм независимых разнораспределенных случайных величин∆≤N0CE XE|ηk ξk − sk a|3 ,(DR)3/2 k=1где CE = 0.7915(, 1982).
Так как случайные величины ηk и ξk независимы, все ξk имеют одно и то же распределение и |ηk − sk | ≤ 1, тоE|ηk ξk − sk a|3 ≤ 4[E|ηk − sk |3 E|ξ|3 + s3k E|ξ − a|3 ] ≤≤ 4[sk (1 − sk )E|ξ|3 + s2k E|ξ − a|3 ]иN0XE|ηk ξk − sk a|3 ≤ 4[M 2 E|ξ|3 + (Λ − M 2 )E|ξ − a|3 ].k=1Очевидно, ∆ → 0 при Λ → ∞. Теорема доказана.5.1.5Пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины.Аппроксимация распределенияКак уже отмечалось, в отличие от распределений, входящих в классКаца–Панджера, пуассоновско-биномиальное распределение не определяется имеющимися двумя моментами однозначно. Поэтому возникает проблема аппроксимации указанного распределения с использованием некоторой естественной информации об этом распределении.Данная проблема не возникала при изучении класса Каца–Панджера,так как все распределения этого класса могут быть вычислены точно при заданных двух моментах распределения случайной величиныN . Поскольку точное вычисление пуассоновско-биномиального распределения вероятностей может быть осуществлено только в тех редкихслучаях, когда известны параметры {N0 , s1 , .
. . , sN0 }, вопрос об аппроксимации этого распределения приобретает очевидное значение.Проблема аппроксимации пуассоновско-биномиального распределения является одной из популярных задач теории вероятностей. Существенное влияние на данную тематику оказали работы Ю. В. Прохорова (Прохоров, 1956) и Л. Ле Кама (Le Cam, 1960), (Le Cam,1965). В этих работах, а также в ряде последующих ((Боровков, 1988),(Зайцев, 1983), (Пресман, 1983), (Пресман, 1985), (Barbour and Hall,1981), (Čekanavičius, 1995), (Deheuvels and Pfeifer, 1986a), (Deheuvels2352365.
Модель индивидуального pискаand Pfeifer, 1986b), (Deheuvels and Pfeifer, 1987), (Deheuvels and Pfeifer,1988), (Hipp, 1986), (Kornya, 1983), (Michel, 1986), (Pfeifer, 1985) и др.)изучалась пуассоновская аппроксимация пуассоновско-биномиальногораспределения в смысле расстояния по вариации (в некоторых из перечисленных работ рассматривался частный случай биномиального распределения). В большинстве работ основным аппаратом при этом являлись операторные методы, восходящие к Ле Каму. В работах (Hipp,1986), (Deheuvels and Pfeifer, 1988), (Боровков, 1988), (Čekanavičius,1995) рассматривались уточнения пуассоновской аппроксимации с использованием различных асимптотических разложений (подробнее обэтом см.
ниже).Кроме того, достаточно естественной является задача аппроксимации пуассоновско-биномиального распределения нормальным законом(или “уточненным” нормальным законом). Соответствующие результаты, как правило, получались с помощью стандартных аналитическихметодов или путем непосредственного применения имеющихся общихоценок типа Берри–Эссеена для сумм независимых случайных величин. Существует обширная литература по данному вопросу для частного случая биномиального распределения, которым мы заниматься небудем (биномиальные вероятности могут быть эффективно вычислены и без применения аппроксимации, если только известны параметрыраспределения, например, два первых момента); по поводу же аппроксимации пуассоновско-биномиального распределения отметим работы(Deheuvels, Puri and Ralescu, 1989) и (Михайлов, 1991).
В данной проблеме оценки точности аппроксимаций обычно вычислялись в равномерной метрике.Отметим, что ряд результатов как для пуассоновского, так идля нормального приближения выражаются в терминах параметров{N0 , s1 , . . . , sN0 }. Например, в (Deheuvels and Pfeifer, 1988) выписывается первый (поправочный) член асимптотического разложения дляпуассоновско-биномиального распределения (при сближении с пуассоновским законом), который имеет вид¯¯ N0 h³¯X 2ΠΛ ´2 ΠΛ i¯¯¯− 2 ¯.E¯si 1 −ΛΛ(5.1.4)i=1В (Пресман, 1985) правая часть оценки по вариации отклоненияпуассоновско-биномиального распределения от пуассоновского законаP 0 2 −22выражается через величину Ni=1 si σi , где σi = s1 (1−s1 )+· · ·+si−1 (1−si−1 ) + si+1 + · · · + sN0 .
Во многих случаях в правых частях оценок фигурирует величина maxi si и т. п. (см. примеры в разделе 1.3). Все этирезультаты, конечно, имеют значительное теоретическое значение, но5.1. Модели объема страхового портфеля237определение указанных выше параметров по статистике значений случайной величины N представляется весьма затруднительным. Нас жебудут интересовать аппроксимирующие выражения и оценки точностиприближения, выражаемые через “интегральные” параметры распределений типа моментов, которые могут быть эффективно оценены статистически.Пусть N имеет пуассоновско-биномиальное распределение с параметрами {N0 , s1 , .
. . , sN0 }, FN – распределение случайной величины N ,FN (x) – соответствующая функция распределения; Πλ – распределениеПуассона с параметром Λ, Πλ (x) – соответствующая функция распределения,ε0π = sup |FN (x) − Πλ (x)|, ε00π = kFN − Πλ kx(k · k – полная вариация знакопеременной меры),εφ = sup |FNe (x) − Φ(x)|,xf = (N − Λ)/M . Для k = 2, 3, . . . обозначим Λ =где Λ = EN , NkОчевидно, чтоDN = M 2 = Λ − Λ2 ;PN0i=1ski .остальные моменты случайной величины N также могут быть выражены через параметры Λ, Λ2 , Λ3 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
