korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Суть его заключается в указании условий, прикоторых распределение случайной суммы неодинаково распределенныхслучайных индикаторов сходится к смешанному пуассоновскому распределению.2432445. Модель индивидуального pискаТеорема 5.1.15. Предположим, что все pn,j строго положительны иmax pn,j → 0(5.1.10)jпри n → ∞. Предположим также, что существует неотрицательная случайная величина Λ такая, чтоpn,1 + .

. . + pn,Nn =⇒ Λ(5.1.11)при n → ∞. Тогда∞lim P (Sn,Nnn→∞1 Z −λ k= k) =e λ dP(Λ < λ),k!k = 0, 1, 2, . . . .0Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку все pn,j строго положительны,максимальная s-квантиль случайной величины pn,1 + . . . + pn,Nn совпадает с числом pn,1 + . . . + pn,ln (s) для любого s ∈ (0, 1). Следовательно,условие (5.1.11) эквивалентно тому, что для почти всех s ∈ (0, 1)pn,1 + .

. . + pn,ln (s) → λ(s)(5.1.12)при n → ∞, где λ(s) – s-квантиль случайной величины Λ. Легко проверить, что функция λ(s) является неубывающей и непрерывной почтивсюду на [0, 1] по мере Лебега. Остающаяся часть доказательства основывается на следующей лемме.Лемма 5.1.2.

Пусть ξ(s), s ∈ [0, 1], – измеримый случайный процесс с независимыми приращениями, а η – случайная величина, не зависящая от процесса ξ(s) и имеющая равномерное распределение на[0, 1]. ЕслиSn,ln (s) =⇒ ξ(s) (n → ∞)для почти всех s ∈ (0, 1), тоSn,Nn =⇒ ξ(η) (n → ∞).Здесь под измеримостью случайного процесса понимается его измеримость относительно декартова произведения σ-алгебры соответствующего вероятностного пространства и борелевской σ-алгебры подмножеств интервала [0, 1]. Доказательство этой леммы (для общего случая, когда Sn,Nn является случайной суммой произвольных независимых случайных величин) приведено в книге (Круглов и Королев, 1990),с.

56-57.5.1. Модели объема страхового портфеля245Для завершения доказательства Теоремы 5.1.15 заметим, что из(5.1.10) и (5.1.12) следует, чтоlim E exp{itSn,ln (s) } = exp{λ(s)(eit − 1)},n→∞t ∈ IR,для любого s ∈ (0, 1) (см., например, (Ширяев, 1989), с. 349-350). ПустьX(s), s ∈ [0, 1], – неоднородный процесс Пуассона с кумулятивной интенсивностью λ(s) (то есть(λ(s))k, k = 0, 1, 2, . . .)P(X(s) = k) = exp{−λ(s)}k!Поскольку функция λ(s) не убывает, процесс X(s) имеет независимыеприращения.

Поскольку функция λ(s) непрерывна почти всюду, процесс X(s) стохастически непрерывен почти всюду на [0, 1]. Следовательно, существует его измеримая версия (см., например, (Дуб, 1956),с. 61). Для упрощения рассуждений, предположим, что процесс X(s)сам является измеримым. Теперь остается применить Лемму 5.1.2 сξ(s) = X(s) и заметить, что в нашем случае ξ(η) = X(η) – это смешанный пуассоновский процесс, такой, чтоZ1lim P (Sn,Nn = k) =n→∞011 Z −λ(s)P(X(s) = k)ds =e(λ(s))k ds =k!0∞1 Z −λ k=e λ dP(Λ < λ),k!k = 0, 1, 2, . .

. .0Теорема 5.1.15 доказана.Теперь приведем некоторые оценки точности аппроксимации распределения случайной суммы случайных индикаторов с помощью смешанного пуассоновского распределения.Пусть случайная величина Λ(n) при каждом n ≥ 1 определяетсяследующим образом:Λ(n) = pn,1 + . .

. + pn,Nn .Предположим, что случайная величина Nn сосредоточена на ограниченном или неограниченном множестве неотрицательных целочисленных значений [0, 1, . . . , Kn ), где Kn ≤ ∞ (при Kn < ∞ это означает, чтомаксимальное значение случайной величины Nn равно Kn − 1).Для m ∈ [0, Kn ) положимλ(n, m) = pn,1 + . . .

+ pn,m ,λ2 (n, m) = p2n,1 + . . . + p2n,m ,2465. Модель индивидуального pискаδn = sup |P (Sn,Nn ≤ x) − Γn (x)|,xгдеZ∞Γn (x) =Πλ (x)dP(Λ(n) < λ),0γn =sup0≤m<Knλ2 (n, m),λ(n, m)ρn = P (Nn ≥ 1) .Из Следствий 5.1.1 и 5.1.2 нетрудно получить следующий результат.Теорема 5.1.16.δn ≤ 1.13ρn γn .Справедливы следующие очевидные оценки для величины γn , которые существенно упрощают формулировку Теоремы 5.1.16 в некоторыхчастных случаях.Если pn,j ≤ βn при всех j, то γn ≤ βn ; если Kn < ∞ и для всех jсправедливо pn,j ≤ pn,j+1 , тоγn ≤5.2λ2 (n, Kn − 1).1 − λ2 (n, Kn − 1)Вероятность разорения в модели индивидуального риска. Классическаяасимптотическая формула для страховых премий в статической моделистрахованияПрежде чем формально описать факторизационную модель иска и привести асимптотические формулы для страховых ставок, которые справедливы в условиях этой модели, приведем общеизвестный результат,справедливый в статической модели страхования в случае, когда страховые премии предполагаются одинаковыми (см., например, (Bowerset al, 1986), (Фалин, 1994)).

Это делается для того, чтобы в дальнейшем сравнить наиболее наглядный результат, получаемый в рамках Фмодели (см. раздел 5.5), с данным – по-видимому, наиболее наглядным– асимптотическим результатом, получаемым в условиях постоянныхстраховых премий.5.2. Классическая асимптотическая формула для страховых премий 247Пусть в формуле (2.2.1) r = 0, N – постоянная величина, Zj = Z длявсех j. Тогда для момента времени, к которому действие всех договоровстрахования данного страхового портфеля уже завершилось,R = ZN −NXYj .j=1Предположим, что существуют конечные моменты случайных величинYj :α = E Yj и β 2 = D Yj ,а число N достаточно велико для того, чтобы распределение случайнойPвеличины Nj=1 Yj можно было аппроксимировать соответствующимнормальным распределением с приемлемой точностью.

Тогда можновыписать следующую асимптотически (при N → ∞) верную формулуµXNP¶µYj ≤ x ∼ Φj=1¶x − αN,βN 1/2где символом Φ(x) обозначена стандартная нормальная функция распределения. Следовательно (асимптотически при N → ∞),µXN¶µ¶Z −α· N 1/2 .P (R ≥ 0) = PYj ≤ ZN ∼ Φβj=1Если потребовать, чтобы вероятность “итогового неразорения”P {R ≥ 0} была не меньше 1 − ε = Q, то нижняя граница Z0 значенийстраховой премии Z, при которых выполняется это условие, удовлетворяет асимптотическому соотношениюZ0 ∼ α +β Ψ(Q),N 1/2(5.2.1)где Ψ(x) – функция, обратная функции Φ(x).Данный результат является тривиальным следствием центральнойпредельной теоремы и содержится в большинстве пособий по страховойматематике. Очевидно, что тогда, когда N является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром λ → ∞, вформуле (5.2.1) следует заменить N на λ, а β на (α2 + β 2 )1/2 (в соответствии со сказанным в разделе 1.7).2485.35.3.15.

Модель индивидуального pискаФакторизационная модель индивидуальных исков и постановка задач, относящихся к статической моделистрахованияФакторизационная модельЗдесь и далее мы будем рассматривать достаточно естественную ситуация, когда стохастическая природа величины выплат страховщикапо отдельному договору страхования связана не только со случайнымхарактером величины ущерба (которая становится известна только после наступления страховых случаев), но и со случайным характеромстраховой суммы, играющей роль “масштаба” риска страховщика поотдельным договорам (и определяемой уже в момент заключения договора).Предполагается, что каждому договору страхования (с номером j)из некоторого страхового портфеля ставится в соответствие положительная для всех элементарных исходов ω случайная величина Sj , называемая страховой суммой, причем для всех ω случайная величинаYj удовлетворяет условию Yj ≤ Sj .

Определим случайную величинуXj = Yj /Sj . Очевидно, что эта случайная величина всегда корректно определена. Величину Xj можно назвать относительным иском(иском, рассчитанным на единицу страховой суммы). Суть Ф-моделисводится к тому, что случайные величины Xj и Sj предполагаютсянезависимыми (ниже приводится обоснование такого предположения).При этом величина иска может быть представлена в виде произведениянезависимых случайных величин:Yj = Xj Sj(5.3.1)(иски, удовлетворяющие этому условию, называются факторизуемыми).Предположим, что для каждого договора страхования данногострахового портфеля страховая премия Zj определяется с учетом случайной страховой суммы (“масштаба” риска) по данному договору страхования Sj какZj = zSj ,где z – некоторая постоянная для всех договоров страхования величина, называемая ставкой страховой премии (или просто ставкой премии или страховой ставкой).

При этом, очевидно, в отличие от имеющихся в литературе постановок, в рассматриваемой модели премии5.3. Факторизационная модель индивидуальных исковявляются случайными величинами, зависящими от Sj . Отметим, чтов силу естественных практических соображений премия Zj не можетпревышать страховой суммы Sj , так что в дальнейшем будем считать,что z ≤ 1.Очевидно, что традиционно рассматриваемая ситуация, когда страховая сумма – постоянная величина, является простейшим частнымслучаем Ф-модели.Более интересным и практически важным примером является пропорциональное страхование совокупности некоторых однородных объектов. При пропорциональном страховании страховая сумма определяется по каждому договору в пределах действительной стоимостикаждого объекта страхования на момент заключения договора страхования (называемой страховой стоимостью). Величина возмещенияравна произведению страховой суммы на отношение реальной стоимости причиненного страховым событием убытка к его страховой стоимости.

Формально, если C – страховая стоимость, S – страховая сумма (S ≤ C), U – реальный ущерб, причиненный объекту страхования(0 ≤ U ≤ C), то сумма возмещения (иск) Y равна (U/C) S (отметим, что U/C и есть величина относительного иска X). Стохастическаянезависимость величин U/C и S может быть обоснована существенноразной природой этих величин: значение X = U/C определяется случайными факторами, порожденными конкретным страховым случаем,а величина страховой суммы определяется в момент начала действиядоговора по соглашению между страховщиком и страхователем и зависит при условии однородности объектов страхования, прежде всего,от финансовых возможностей страхователя: премия по каждому договору страхования определяется как произведение постоянной для всехисков данного страхового портфеля ставки премии на величину страховой суммы данного договора страхования.Еще одним примером является страхование от несчастных случаев,когда осуществляется страхование на некоторую сумму, выплачиваемую либо полностью – при таком серьезном ущербе здоровью, которыйсчитается по условиям договору страхования “максимальным”, либо частично – в соответствии с конкретным видом причиненного ущерба здоровью.

Степень ущерба здоровью определяется соответствующей экспертной комиссией и не зависит от максимальной суммы, на которуюзастрахован клиент, то есть от страховой суммы.Указанные соображения могут быть применены для всех рисковыхвидов страхования. При этом должно выполняться условие однородности страхового портфеля, требующее, что портфель должен формироваться только из достаточно однородных договоров страхования, то2492505. Модель индивидуального pискаесть должны быть исключены ситуации, когда, например, в один страховой портфель, содержащий договоры по страхованию автотранспорта от угона, могут быть включены и “Мерседесы”, и “Запорожцы”.

Ясно, что в последней ситуации случайные величины страховой суммы иотносительного иска становятся существенно зависимыми.Следует также отметить, что одним из авторов проведен математико-статистический анализ имеющейся у некоторых страховых компаний информации по величинам страховых сумм и соответствующихвозмещений. Анализ показал, что, исходя из имеющихся статистических данных, гипотезу о факторизуемости реальных исков можно принять.5.3.2Постановка задачи определения оптимальнойстраховой ставкиВ дальнейшем будем считать, что число договоров страхования N ,включаемых в страховой портфель, вообще говоря, является случайнойвеличиной (в качестве важных частных случаев ниже будут рассматриваться случайная величина N с вырожденным распределением, длякоторой DN = 0, случайная величина N с пуассоновским распределением, для которой E N = DN = Λ, а также случайная величина N собобщенным пуассоновским распределением).Предположим, что все иски Yj факторизуемы, случайные векторы(Sj , Xj ) (j = 1, 2, .

Характеристики

Список файлов книги