korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Нетрудноубедиться, что распределение случайной величины H = S(z − X) в та-2665. Модель индивидуального pискаком случае не может быть рационально-решетчатым (то есть оно илииррационально-решетчатое, или вовсе нерешетчатое; последнее может– в определенных ситуациях – иметь место тогда, когда распределениеFX является иррационально-решетчатым). Нас не интересует вопрос, вкаком случае (в рамках рассматриваемых условий) распределение случайной величины H оказывается иррационально-решетчатым, а в каком – нерешетчатым, так как во всех этих случаях распределение случайной величины R в силу приведенного выше результата (Эль-Саиед,1993) – нерешетчатое. Тем самым мы приходим к выводу о справедливости следующего утверждения.Лемма 5.7.2. Если оба распределения FS и FX решетчатые, причем распределение FS иррационально-решетчатое, то распределениеFH является нерешетчатым или иррационально-решетчатым.Конечно, такое “расширение” класса распределений FS имееттолько теоретическоe значение, поскольку (как отмечалось выше)иррационально-решетчатые распределения страховых сумм на практике не встречаются.Теорема 5.7.2.

Пусть N имеет распределение Пуассона с параметром Λ.I. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS или FX неявляется решетчатым, или что распределение FS является иррационально-решетчатым. ТогдаP(R < r + Λh + xΛ1/2 γ) = Φ(x) +ζ(1 − x2 )ϕ(x) + o(Λ−1/2 )Λ1/2равномерно по z, x и r.II. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS и FX удовлетворяет условию (5.7.1), а также что распределение FS имеетконечный четвертый момент. ТогдаP(R < r + Λh + xΛ1/2 γ) = Φ(x) +ζ(1 − x2 )ϕ(x) + ω(Λ−1 ),Λ1/2где|ω| ≤ C2 (FS , FX ).(5.7.3)Замечание 5.7.1. Вычисление величины C1 (. . .) в правой части(5.7.2) и величины C2 (.

. .) из правой части (5.7.3) связано с принципиальными техническими трудностями: в указанные выражения входитвеличина supz lim sup|t|>t0 |f (t)|, где f (t) – характеристическая функция случайной величины H, практическое отыскание которой весьмазатруднительно. Поэтому неравенства (5.7.1) и (5.7.2) имеют, прежде5.7. Уточненные асимптотические оценки страховых премийвсего, теоретическое значение и позволяют определить порядок малости соответствующих величин по N . При этом конкретные значенияC1 (. . .) и C2 (.

. .) в явном виде не приводятся.Теоремы 5.7.1 и 5.7.2 служат основой для вычисления асимптотикиоптимальной страховой ставки, приводимой ниже в Теоремах 5.7.3 и5.7.4.Теорема 5.7.3. Пусть N – детерминированная величина. Предположим, что задано некоторое Q, 1/2 < Q < 1. Обозначим q = Ψ(Q),U = q + η(1 − q 2 )/N 1/2 , N 0 = N − η 2 V 2 .I. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS или FX неявляется решетчатым. Тогда1) если существует такая абсолютная постоянная C 0 < 1, чтоr/ES ≤ C 0 U (1 + V 2 )1/2 BN 01/2 ,то оптимальная страховая ставка имеет вид z0 = A + d0 + ∆, гдеd0 =U (1 + V 2 )1/2 B r/ES−,N 01/2N0∆ = o(N −1 );2) еслиU (1 + V 2 )1/2 BN 01/2 ≤ r/ES ≤ U (1 + V 2 )1/2 BN 1/2 ,то оптимальная страховая ставка равна z0 = A + ∆;3) если существует такое C 00 > 1, чтоr/ES ≥ C 00 U (1 + V 2 )1/2 BN 1/2 ,то существует такое N3 (зависящее от C 00 ), что при N > N3 оптимальная страховая ставка равна z0 = A.II.

Предположим, что хотя бы одно из распределений FS и FX удовлетворяет условию (5.7.1), а также что распределение FS имеетконечный четвертый момент. Тогда выполняется утверждение I и,кроме того, в случае 1) существует такое N1 (зависящее от C 0 ), чтопри N > N1 для величины ∆, фигурирующей выше в формулировкеданной теоремы, справедлива оценка|∆| ≤C3 (FS , FX , Q),N 3/2а в случае 2) существует такое N2 , что указанная оценка для величины ∆ выполняется при N > N2 .2672685. Модель индивидуального pискаТеорема 5.7.4. Пусть N имеет распределение Пуассона с параметром Λ. Предположим, что задано некоторое Q, 1/2 < Q < 1.Обозначим q = Ψ(Q), U = q + η(1 − q 2 )/Λ1/2 , Λ0 = Λ − η 2 (1 + V 2 ).I. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS или FX неявляется решетчатым, или что распределение FS является иррационально-решетчатым.

Тогда1) если существует такая абсолютная постоянная C 0 > 1, чтоr/ES ≥ C 0 U (1 + V 2 )1/2 BΛ01/2 ,то оптимальная страховая ставка имеет вид z0 = A + d0 + ∆, гдеd0 =U (1 + V 2 )1/2 B r/ES−,Λ01/2Λ∆ = o(Λ−1 );2) еслиU (1 + V 2 )1/2 BΛ01/2 ≤ r/ES ≤ U (1 + V 2 )1/2 BΛ1/2 ,то оптимальная страховая ставка равна z0 = A + ∆;3) если существует такое C 00 > 1, чтоr/ES ≥ C 00 U (1 + V 2 )1/2 BΛ1/2 ,то существует такое Λ3 (зависящее от C 00 ), что при Λ > Λ3 оптимальная страховая ставка равна z0 = A.II. Предположим, что хотя бы одно из распределений FS и FX удовлетворяет условию (5.7.1), а также что распределение FS имеетконечный четвертый момент.

Тогда выполняется утверждение I и,кроме того, в случае 1) существует такое Λ1 (зависящее от C 0 ), чтопри Λ > Λ1 для величины ∆, фигурирующей выше в формулировке данной теоремы, справедлива оценка|∆| ≤C4 (FS , FX , Q),Λ3/2а в случае 2) существует такое Λ2 , что указанная оценка для величины ∆ выполняется при Λ > Λ2 .5.8Гарантированные (верхние) оценкистраховых тарифов в статической модели страхованияВыше мы рассмотрели ситуацию, когда страховые суммы по договорам рассматриваемого страхового портфеля считаются независимыми5.8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифовслучайными величинами, и для анализа этой ситуации была введенафакторизационная модель (Φ-модель) индивидуального иска; построены асимптотические (при неограниченном росте объема портфеля, тоесть среднего числа договоров, включаемых в портфель) оценки минимально допустимых (оптимальных) страховых ставок для различныхраспределений объема портфеля.

Однако указанные результаты, каки любые асимптотические оценки, не дают информации о реальныхвеличинах ставок, гарантирующих выполнение условий, предъявляемых страховщиком, для конкретных распределений объема страховогопортфеля N . Поэтому естественно возникает задача определения гарантированной (верхней) границы для оптимальной страховой ставки(в определенном смысле аналогичная задаче построения оценок больших уклонений для сумм случайных величин).Для решения этой задачи при анализе модели индивидуального риска необходимо наложить на распределение случайного иска некоторыедополнительные условия.

В данном разделе рассматривается наиболее естественное в рамках Φ-модели и имеющее очевидный прикладной смысл условие равномерной ограниченности величины страховойсуммы.Мы приводим оценки оптимальной страховой ставки в двух ситуациях: когда объем страхового портфеля N заранее известен (детерминирован) и когда N имеет распределение Пуассона. В последнем случаеиспользуется оценка типа неравенства С. Н. Бернштейна для большихуклонений обобщенных пуассоновских распределений.Напомним основные понятия, связанные с Φ-моделью.Предполагается, что каждому договору страхования (с номером j)из некоторого страхового портфеля ставится в соответствие положительная для всех элементарных исходов ω случайная величина Sj , называемая страховой суммой, причем для всех ω случайная величинаYj удовлетворяет условию Yj ≤ Sj .

Определим случайную величинуXj = Yj /Sj . Очевидно, что эта случайная величина всегда определена.Величину Xj можно назвать относительным иском (иском, рассчитанным на единицу страховой суммы). Суть Φ-модели сводится к тому,что случайные величины Xj и Sj предполагаются некоррелированными(в разделе 4.3 приводится обоснование такого предположения, точнее,более сильного предположения о независимости указанных случайныхвеличин). При этом величина иска может быть представлена в видепроизведения независимых случайных величин:Yj = Xj Sj(иски, удовлетворяющие этому условию, называются факторизуемыми).2692705.

Модель индивидуального pискаПредположим, что для каждого договора страхования данногострахового портфеля страховая премия Zj определяется с учетом случайной страховой суммы (“масштаба” риска) по данному договору страхования Sj как Zj = zSj , где z – некоторая постоянная для всех договоров страхования величина, называемая ставкой премии (или страховойставкой). При таком подходе, очевидно, премии являются случайными величинами, зависящими от Sj . Отметим, что в силу естественныхпрактических соображений премия Zj не может превышать страховойсуммы Sj , так что в дальнейшем будем считать, что z ≤ 1.Предположим также, что для рассматриваемого страхового портфеля все случайные пары (Xj , Sj ) независимы в совокупности и одинаково распределены.

Более того, если количество N договоров страхования, включаемых в страховой портфель, является случайной величиной, то будем предполагать, что N и все векторы (Xj , Sj ) независимы всовокупности. Страховой портфель, удовлетворяющий этим условиям,называется портфелем однородных факторизуемых исков.Прикладные основания введения Φ-модели можно найти в разделе4.3. Для упрощения дальнейших записей будем считать, что случайнаявеличина S распределена так же, как и случайная величина Sj ; случайная величина X – так же, как и случайная величина Xj .

Пусть случайная величина S имеет не менее двух конечных моментов (очевидно,что случайная величина X имеет все моменты). Введем обозначения:A = EX, B 2 = DX. Пусть µ = ES. Обозначим коэффициент вариациислучайной величины S символом V , то есть V 2 = DS/µ2 .Пусть задана некоторая ставка z. Положим d = d(z) = z − A. Величина d является “рисковой” или “страховой надбавкой” (в иностранной литературе используются термины “security loading” или “safetyloading”), то есть той надбавкой к средней величине относительногоубытка, которая должна обеспечивать поставленные условия на вероятность неразорения (отметим, что в состав страховой ставки z и рисковой надбавки d не включается компонента, относящаяся к расходам“на ведение дела” страховщика).5.8.1Постановка задачиПредположим, что в состав страхового портфеля включаются N договоров страхования, где N может быть известной (детерминированной)величиной или случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с известным параметром Λ.Статическая модель страхования (модель индивидуального риска)в достаточно общем виде может быть формально описана следующим5.8.

Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифовобразом: объектом исследования является распределение случайной величины итогового страхового фонда или остатка средств (surplus) страховой компании по некоторому множеству договоров страхования, тоесть по некоторому страховому портфелюR=r+NXZj −j=1NXYj ,j=1где r – начальный капитал страховщика (страховой компании) по данному страховому портфелю, N – количество договоров страхования,включенных в страховой портфель, Zj – страховая премия, Yj – полные (за все время действия договоров) величины выплат страховщика(индивидуальных исков) по всем договорам портфеля (величина искаможет принимать нулевое значение).В условиях Φ-моделиR=r+NXHjj=1иµXNP(R < x) = P¶Hj < x − rj=1для любого r, где Hj = Sj (z − Xj ), случайные величины N , H1 , H2 , .

. .независимы в совокупности, причем случайные величины Hj одинаково распределены. Для упрощения последующих записей будем считать,что случайная величина H распределена так же, как и случайная величина Hj . Имеющихся свойств случайных величин {Sj , Xj } достаточнодля подсчета среднего и дисперсии случайной величины H (зависящихот d):h = EH = µd, g 2 = DH = µ2 [V 2 d2 + (1 + V 2 )B 2 ];пусть g02 = µ2 (1 + V 2 )B 2 .Предположим, что (вообще говоря) случайное число договоровстрахования N , включаемых в страховой портфель, имеет не менеедвух конечных моментов: Λ = EN , M 2 = DN .

Характеристики

Список файлов книги