korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Обозначимсимволом q 0 величину 1/m. При этом p(h) → q 0 . Так как в этом случаеP(S(Λ) − A ≥ Gx) ≤ exp G2nh³lim h 2pm lnh→01p2 m2 ´p4 m4 i− pm −+= ζ − e + 1,1 − pm21 − pmто1 ´1+=h→01 − pm 1 − pmoh n ln [1/(1 − pm)]= lim2+ 1 = ζ − e + 1.h→0 1 − pm1 − pmОтсюда следует, что³lim h 2 lnhlim h lnh→01p2 m2 i− pm −= 0,1 − pm2lim Fh (pm) = −h→0q0mq 02 m2 /2иlim exph→0n p22G2n Fh (pm)− pGn x = expПоложим ζ 0 = e − 1 = eqпереписать какnexp G2no0mneG2nq 0mo− 1 − q0m0−qGx.nm2 /2− 1. Тогда последнее выражение можноln (1 + ζ 0 )oζ 0 − ln (1 + ζ 0 )−Gx=nm2mnx2 [ζ 0 − ln (1 + ζ 0 )]ln (1 + ζ 0 )o=ζ2ζn(1 + ζ) ln (1 + ζ 0 ) − ζ 0o= exp − x2.(5.9.16)ζ2Объединяя (5.9.15) и (5.9.16), получаем утверждение теоремы.= exp−x2905.9.35.
Модель индивидуального pискаДоказательство теоремы 5.8.5.Для доказательства теоремы 5.8.5 нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.Лемма 5.9.7. При любом фиксированном x функция y 2 F (x/y) монотонно возрастает по y.Д о к а з а т е л ь с т в о. При x/y > e − 1 утверждение леммыочевидно, а при x/y ≤ e − 1 вытекает из того, что[y 2 F (x/y)]0y = (2y+x) ln (1+x/y)−2x = y[(2+x/y) ln (1+x/y)−2x/y] ≥ 0иlim y 2 F (x/y) = 0.y→0Приступим к доказательству теоремы 5.8.5. Так как P(R < 0) =P(W < −r), то в силу следствия 5.8.3nP(R < 0) ≤ exp −oΛ(h2 + g 2 )00[(1+ζ)ln(1+ζ)−ζ],C2где ζ = C (r + Λh)/(Λ(h2 + g 2 )), ζ 0 = min {ζ, e − 1}, и, следовательно,nP(R < 0) ≤ exp −oΛ(h2 + g 2 )F(ζ).C2Так как G2 = Λ(h2 + g 2 ), то ζ = Cη/G, где η = (r + Λh)/G, и, значит,nP(R < 0) < exp −G2 ³ Cη ´oF.C2GЗначит, для выполнения условия (5.8.2) на вероятность “неразорения”достаточно, чтобы выполнялось неравенствоnexp −G2 ³ Cη ´oF≤ 1 − Q.C2G(5.9.17)Из леммы 5.9.7 следует, что замена в левой части (5.9.17) величиныG2 на ее нижнюю оценку (не зависящую от d) G20 = Λg02 приводит кусилению неравенства, то есть любое d, удовлетворяющее условиюnexp −G20 ³ Cη ´oF≤ 1 − Q,C2G0(5.9.18)5.9.
Гарантированные оценки страховых тарифов. Доказательства 291заведомо удовлетворяет и (5.9.17). Это значит, что величина d0 , являющаяся нижней гранью решений (5.9.18), заведомо является верхней оценкой минимально допустимой страховой ставки. Неравенство(5.9.18) эквивалентно следующему:F³ Cη ´Λ1/2 g0≥1C2ln.2Λg0 1 − Q(5.9.19)В свою очередь, в силу возрастания функции F (w) по w неравенство(5.9.19) эквивалентно следующему неравенству:η=r + ΛhΛ1/2 g0 h C 21 i≥lnT.[Λ(h2 g 2 )]1/2CΛg02 1 − Q(5.9.20)Очевидно, неравенство (5.9.20) является квадратным неравенством относительно d:[Λ − q(1 + V 2 )]d + 2ρΛd + ρ2 − q 2 (1 + V 2 )B 2 ≥ 0.(5.9.21)Пусть∆ = ρΛ + (Λ − q(1 + V 2 ))[q 2 (1 + V 2 )B − ρ2 ] =[Λ − q(1 + V 2 )]q 2 (1 + V 2 )B + q(1 + V 2 )ρ2 .Величина ∆ пропорциональна дискриминанту квадратного трехчлена,фигурирующего в левой части (5.9.21).
Из (5.8.11) вытекает, что Λ −q 2 (1 + V 2 ) > 0 и, следовательно, ∆ > 0. Значит, (5.9.21) имеет местопри d ≥ d0 , гдеd0 =−ρ + ∆1/2.Λ2 − q 2 (1 + V 2 )Отметим, что при ρ ≥ q 2 (1 + V 2 )B 2 и при d = 0 неравенство (5.9.21)выполняется, то есть в этом случае при d = 0 выполняется (5.8.2). Аналогично соображениям, приведенным в доказательстве теоремы 5.8.2,это означает, что при всех d ≥ 0 выполняется (5.8.2), то есть величинаz = A является минимально допустимой страховой ставкой. Если жеρ < q 2 (1 + V 2 )B 2 , то условие (5.8.2) выполняется при d ≥ d0 , то естьz = min {1, A+d0 } – верхняя оценка минимально допустимой страховойставки. Доказательство теоремы 5.8.5 завершено.2925.105.
Модель индивидуального pискаАппроксимация необходимого резервного капитала страховой компании,обслуживающей много неоднородныхконтрактовВ этом разделе мы рассмотрим статическую модель страхования с точки зрения страховой компании, обслуживающей n клиентов, то естьпортфель которой содержит n страховых контрактов. Мы будем считать, что число контрактов в портфеле велико, то есть n → ∞. Каждый контракт характеризуется (неслучайной) величиной an,j возможной выплаты по нему и вероятностью pn,j ∈ [0, 1], с которой эта выплатаможет быть осуществлена, j = 1, .
. . , n. Тогда суммарные выплаты порассматриваемому портфелю представляют собой случайную величинуDn =nXan,j Vn,j ,(5.10.1)j=1где V1,n , . . . , Vn,n – случайные величины, принимающие значения 0 и 1с вероятностями pn,j и qn,j = 1 − pn,j соответственно. Другими словами,Vn,j – это индикатор страхового случая по j-му контракту. Мы будемпредполагать, что при каждом n ≥ 1 случайные величины V1,n , . . . , Vn,nнезависимы.Если контракты однородны, тоan,j ≡ a > 0иpn,j ≡ p, j = 1, . . . , n,(5.10.2)и случайная величина Dn имеет видDn = aBn (p),где Bn (p) – случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами n и p.В данном разделе мы уделим основное внимание неоднородной ситуации, то есть такой, в которой нарушаются условия (5.10.2). Мы будемизучать распределение случайной величины Dn .
С формальной точкизрения мы будем иметь дело с суммой взвешенных индикаторов в такназываемой схеме Пуассона бернуллиевых испытаний. Для заданногомалого положительного числа α нас будет интересовать асимптотическое поведение α-необходимого резервного капитала Sn,α , которыйопределяется как (1 − α)-квантиль распределения случайной величиныDn и имеет смысл такого порога, который превышается суммарными5.10.
Резерв компании, обслуживающей неоднородные контракты 293выплатами с малой вероятностью α (или за который суммарные выплаты не выходят с большой вероятностью 1 − α):P(Dn ≥ Sn,α ) ≥ α,P(Dn ≤ Sn,α ) ≥ 1 − α.(5.10.3)Опираясь на результаты работ (Бенинг и Королев, 1998), (Albers, Bickeland Van Zwet, 1976) и (Molenaar, 1970), в данном разделе мы построимасимптотические разложения по n α-необходимого резервного капиталаSn,α и приведем соответствующие формулы для приближенного вычисления Sn,α . Мы также рассмотрим некоторые частные случаи.5.10.1Вспомогательные утверждения.Чтобы построить асимптотические разложения для α-необходимого резервного капитала Sn,α , мы, следуя работе (Albers, Bickel and Van Zwet,1976), вначале сформулируем условия регулярности, которым должныудовлетворять числа an,j и pn,j .1◦ .
Предположим, что существуют положительные абсолютные постоянные c и C такие, чтоn1Xpn,j (1 − pn,j )a2n,j ≥ cn j=1иn1Xa4n,j ≤ C;n j=1(5.10.4)2◦ . Предположим, что существуют положительные абсолютные постоянные δ и ε такие, что для некоторого t ≥ n−3/2 log n справедливо неравенствоλ{x : ∃j : |x − an,j | < t, ε ≤ pn,j ≤ 1 − ε} ≥ δnt,(5.10.5)где символ λ{B} обозначает лебегову меру измеримого множества B.Условие (5.10.5) означает, что среди чисел an,j не должно бытьслишком много одинаковых.
Заметим, что для случая (5.10.2) это условие не выполняется. Условие (5.10.5), например, выполнено, если существует целое k ≥ δn/2 и индексы jm , m = 1, . . . , k, для которыхan,jm+1 − an,jm ≥ 2n−3/2 log nиε ≤ pn,jm ≤ 1 − ε,m = 1, . . . , k.Условия (5.10.4) и (5.10.5) выполнены, к примеру, в случае, когдаpn,j ≡ p > 0,an,j = Ψ(j/n),j = 1, . .
. , n,(5.10.6)а функция Ψ(t) дифференцируема на [0, 1], причем0 < C1 ≤ |Ψ0 (t)| ≤ C2 < ∞,t ∈ [0, 1].(5.10.7)2945. Модель индивидуального pискаУсловия (5.10.4) и (5.10.5) выполнены также и тогда, когда функцияΨ(t) из (5.10.6) не является ограниченной. Например, эти условия выполнены, если Ψ(t) не равна постоянной тождественно, непрерывнодифференцируема на (0, 1) иZ1(Ψ(t))4 dt < ∞,0причем функция Ψ(t) монотонна в некоторых окрестностях точек 0 и1.Обозначим математическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый семиинварианты случайной величины Dn соответственно через mn ,σn2 , κ3,n и κ4,n . Легко видеть, чтоnX(5.10.8)nX√κ3,n = − nσn−3a3n,j pn,j (1 − pn,j )(2pn,j − 1),(5.10.9)an,j pn,j ,σn2 =nXa2n,j pn,j (1 − pn,j ),mn =j=1j=1j=1κ4,n = nσn−4nXa4n,j pn,j (1 − pn,j )(1 − 6pn,j + 6p2n,j ).(5.10.10)j=1Стандартную нормальную функцию распределения и ее плотность обозначим соответственно через Φ(x) и ϕ(x).
В работе (Albers, Bickel andVan Zwet, 1976) доказано следующее утверждение (см. Теорему 2.1там).Лемма 5.10.1. Предположим, что выполнены условия (5.10.4) и(5.10.5). Тогда существует конечная положительная постоянная A,зависящая только от c, C, δ и ε, такая, чтоsup |P(Dn∗ ≤ x) − Fn (x)| ≤ An−5/4 ,xгдеDn − mn,σnµ¶Q1,n (x) Q2,n (x)√Fn (x) = Φ(x) + ϕ(x)+,nnκ3,n 2Q1,n (x) = −(x − 1),6κ2κ4,n 3Q2,n (x) = −(x − 3x) − 3,n (x5 − 10x3 + 15x).2472Dn∗ =(5.10.11)(5.10.12)(5.10.13)(5.10.14)(5.10.15)5.10.
Резерв компании, обслуживающей неоднородные контракты 295Следующее утвеpждение доказано в работе (Бенинг и Королев,1998) (также см. (Бенинг и Королев, 2000a) и (Бенинг и Королев,2000b)). Пусть {Z(t), t ≥ 0} – случайный пpоцесс. Для β ∈ (0, 1) иt ≥ 0 левую β-квантиль случайной величины Z(t) обозначим uβ (t):uβ (t) = inf{x : P(Z(t) < x) ≥ β}.Лемма 5.10.2.
Пpедположим, что для одномеpной функции pаспpеделения случайного пpоцесса Z(t) пpи t → ∞ спpаведливо асимптотическое pазложение видаP(Z(t) < x) = G0 (x) + t−1/2 G1 (x) + t−1 G2 (x) + o(t−1 ),пpичем функции G000 (x), G01 (x) и G2 (x) непpеpывны и G00 (x) > 0. Тогдадля любого β ∈ (0, 1)uβ (t) = wβ −+G1 (wβ ) −1/2·t+G00 (wβ )G00 (wβ )G1 (wβ )G01 (wβ ) − (G00 (wβ ))2 G2 (wβ ) − 21 G21 (wβ )G000 (wβ ) −1·t +(G00 (wβ ))3+o(t−1 ),где G0 (wβ ) = β.С целью изучения однородной ситуации мы будем использовать следующий результат, доказанный в (Molenaar, 1970).Лемма 5.10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
