korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Пусть Bn (p) – биномиально распределенная случайная величина с параметрами n и p ∈ (0, 1). Если k ∈ {0, 1, . . . , n}таково, чтоk − npxk = q= O(1)np(1 − p)(n → ∞),(5.10.16)то справедливо соотношениеµP(Bn (p) ≤ k) = Φ xk+1/2 +(2p − 1)(x2k+1/2 − 1)q6 np(1 − p)+³ 1 ´(5 − 14p(1 − p))x3k+1/2 + 2(p(1 − p) − 1)xk+1/2 ¶++ O 3/2 . (5.10.17)72np(1 − p)n2965. Модель индивидуального pиска5.10.2Основные результаты.В этом разделе мы построим асимптотические разложения α-необходимого резервного капитала Sn,α и приведем соответствующие формулыдля приближенного вычисления Sn,α как в общем (неоднородном), таки в однородном случае. Квантиль порядка β ∈ (0, 1) стандартного нормального распределения обозначим uβТеорема 5.10.1.

Предположим, что выполнены условия регулярности (5.10.4) и (5.10.5). ТогдаSn,α = mn + σn u1−α ++σn κ3,n 2√ (u− 1)+6 n 1−α·¸³ 1 ´σn u1−α κ23,nκ4,n 2(5 − 2u21−α ) +(u1−α − 3) + O 3/4 .12n32n(5.10.18)Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая определение величины Sn,α ,леммы 5.10.1 и 5.10.2, мы получаем·Sn,α = mn + σn u1−α −+Q1,n (u1−α )√+nϕ2 (u1−α )Q1,n (u1−α )(ϕ0 (u1−α )Q1,n (u1−α ) + ϕ(u1−α )Q01,n (u1−α ))−nϕ3 (u1−α )³ 1 ´ϕ3 (u1−α )Q2,n (u1−α ) + 12 ϕ2 (u1−α )Q22,n (u1−α )ϕ0 (u1−α ) ¸−+O.nϕ3 (u1−α )n5/4Далее, используя формулу ϕ0 (u1−α ) = −u1−α ϕ(u1−α ) и вид полиномовQ1,n и Q2,n (см.

(5.10.14) и (5.10.15)), после несложных преобразованийполучаем утверждение теоремы. Теорема доказана.Из Теоремы 5.10.1 вытекает приближенная формулаSn,α ≈ mn + σn u1−α +·σn κ3,n 2√ (u− 1)+6 n 1−α¸³ 1 ´σn u1−α κ23,nκ4,n 2(5 − 2u21−α ) +(u1−α − 3) + O 3/4 ,12n32nкоторой можно пользоваться на практике.Теперь рассмотрим однородный случай, определяемый условиями(5.10.2).Теорема 5.10.2. Предположим, что выполнены условия (5.10.2),так что Dn = Bn (p), причем 0 < p < 1. Тогда+·Sn,α = aq(2p − 1)(1 − u21−α )1+ np + u1−α np(1 − p) ++265.10. Резерв компании, обслуживающей неоднородные контракты 297+u1−α [u21−α (2p(p − 1) − 1) − 14p(p − 1) − 2]q72 np(1 − p)¸+O³1´n.(5.10.19)Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть k = k(a, α, n) определяется условиемSn,α = ak. Если(2p − 1)(x2k−1/2 − 1)qxk−1/2 ++6 np(1 − p)³ 1 ´(5 − 14p(1 − p))x3k−1/2 + 2(p(1 − p) − 1)xk−1/2+= u1−α + O 3/2 ,72np(1 − p)nто по Лемме 5.10.3 мы имеемP(Dn ≥ Sn,α ) = P(Bn (p) ≥ k) = 1 − P(Bn (p) ≤ k − 1) = α + O(n−3/2 ).Отсюда после несложных преобразований мы получаем утверждениетеоремы.

Теорема доказана.Из Теоремы 5.10.2 вытекает приближенная формула·Sn,α = a+q(2p − 1)(1 − u21−α )1+ np + u1−α np(1 − p) ++26u1−α [u21−α (2p(p − 1) − 1) − 14p(p − 1) − 2]q72 np(1 − p)¸,которой можно пользоваться на практике в однородной ситуации.5.10.3Примеры.Пример 5.10.1. Рассмотрим “симметричный” случай pn,j ≡ 12 . Тогдаκ3,n = 0 (см. (5.10.9)), и аппроксимация (5.10.17) принимает видSn,α = mn + σn u1−α +σn u1−α κ4,n (u21−α − 3)+ O(n−3/4 ).24n(4.1)Если, более того, an,j = j/n, то, как легко видеть,mn =n+1,2σn2 =(n + 1)(2n + 1),24nκ4,n = −12[3n(n + 1) − 1],5[n(2n + 3) + 1]и формула (5.10.18) показывает, чтоqSn,αn+1=+4(n + 1)(2n + 1)[3n(n + 1) − 1]u1−α (3 − u21−α )√+20 6n3/2 [n(2n + 3) + 1]2985.

Модель индивидуального pиска+O(n−3/4 ).Пример 5.10.2. Если мы рассмотрим нормированные суммарныепотери Dn∗ = (Dn − mn )/σn страховой компании, то асимптотическоеповедение при n → ∞ нормированного α-необходимого резервного ка∗питала Sn,α, который определяется как (1−α)-квантиль распределенияслучайной величины Dn∗ , описывается соотношением∗Sn,α·¸u1−α κ23,nκ4,n 2κ3,n 22= u1−α + √ (u1−α − 1) +(5 − 2u1−α ) +(u1−α − 3) +6 n12n 32+O(n−5/4 ).В “симметричном” случае pn,j ≡наиболее простой вид∗Sn,α= u1−α +12последняя формула приобретаетu1−α κ4,n 2(u1−α − 3) + O(n−5/4 ).24nПример 5.10.3. Если Dn = aBn (p), p = 12 , то из Теоремы 5.10.2 мысразу получаем, что√·¸1 + n + u1−α n u1−α (1 − u21−α )√Sn,α = a++ O(n−1 ).224 nГлава 6Дискретная динамическаямодель коллективного риска6.1Понятие о дискретной динамическоймодели страхованияВ главе 5 рассматривалась модель индивидуального риска (статическая модель страхования). Рассмотрение этой модели давало возможность ввести предположение о факторизуемости исков, которое требуетизучения множества именно договоров страхования, а не “абстрактных” исков, не связываемых с конкретными договорами и, соответственно, с конкретными премиями (такие задачи будут рассмотреныв следующих главах, темой которых будут общие динамические модели страхования).

В таком контексте материал данной главы как быявляется переходным от статических к общим динамическим моделямстрахования.В настоящем разделе мы продолжаем использовать идею факторизации исков, но переходим в рамках данной идеи от статики к динамике. Здесь будет рассмотрен вопрос о том, какого рода задачи могутбыть рассмотрены и какие результаты могут быть получены в условиях факторизационной модели для постановок, типичных для динамической модели и прежде всего связанных с вероятностью неразорениястраховщика на “бесконечном” интервале времени.Забегая вперед, обратимся к классической динамической модели Лундберга–Крамера (см., например, (Эмбрехтс и Клюппельберг,1993)):N (t)R(t) = r + ct −Xi=1299Yi ,(6.1.1)3006.

Дискретная динамическая модель коллективного рискагде R(t) – остаток средств страховой компании (surplus), r – начальныйкапитал, c – коэффициент, характеризующий интенсмивность процесса поступления страховых премий, N (t) – точечный процесс моментоввыплат, Yi (i = 1, 2, . . .) – сумма, выплачиваемая в i-й момент скачкапроцесса N (t) (чаще всего предполагаемая неотрицательной).Ограничимся в нашем рассмотрении случаем, когда N (t) являетсяпростым процессом восстановления.

Тогда½N (t) = max n > 0 :nX¾Ti ≤ t ,i=1где {Ti } — последовательность одинаково распределенных случайныхвеличин, независимых в совокупности со случайными величинами {Yi }.При этом предположении величина R(t) в моменты {ti = T1 + · · · + Ti }может быть записана какR(ti ) = R(ti−1 ) + cTi − Yi(6.1.2)(i = 1, 2, . . . ; t0 = 0, R(t0 ) = r). Эта запись демонстрирует тот факт, чтопо сути последовательность Ri = R(ti ) представляет собой случайноеблуждание, порождаемое величинами cTi − Yi , и традиционная задача классической теории риска – изучение вероятности разорения, тоесть величины P(mini Ri < 0) = ψ(r) – является задачей о вероятностипересечения случайным блужданием {Ri } нулевого уровня.Нетрудно убедиться, что представление (6.1.2), принципиально относящееся к динамической модели, не может быть использовано в ситуации, когда иски факторизуемы, так как процесс поступления премий в (6.1.1), как, впрочем, и в рассматриваемых в литературе болееобщих моделях, всегда считается независимым от отдельных выплат,что, естественно, не имеет места в случае, когда премия по каждому отдельному договору и выплата по нему не являются независимыми случайными величинами, а именно это – существенный признак Φ-модели.Возможным путем обобщения представления (6.1.1)–(6.1.2) является рассмотрение не обязательно положительных исков, то есть изучение вместо (6.1.2) представления Ri = Ri−1 + Hi , где случайные величины Hi имеют смысл разности суммы поступивших за время (ti−1 , ti ]премий и величины выплат в момент ti .

Отметим, что предположение,что страховые выплаты могут быть не обязательно положительными,также рассматривалось в классической теории риска. Однако в “обычной” ситуации, когда под процессом N (t) понимается точечный процессмоментов выплат по отдельным договорам страхования, случайные величины Hi и Ri−1 для ситуации факторизуемых исков оказываются6.1. Понятие о дискретной динамической моделизависимыми, поскольку Hi зависит от страховой суммы S по договору, для которого выплата произошла в момент ti , однако и в составвеличины Ri−1 входит премия по этому же договору, естественно, также зависящая от S. Независимость случайных величин Hi и Ri−1 прифакторизуемости исков достигается лишь в том случае, когда в суммуRi−1 входят только премии по договорам, как бы не имеющим отношения к выплате в момент ti .

Это возможно, в свою очередь, тольков том случае, когда после каждого момента выплат ti действие ранеезаключенных договоров страхования считается завершенным, и суммуHi образуют премии и выплаты по договорам, заключенным в интервале (ti−1 , ti ]. Итак, “вложить” статическую модель с факторизуемымиисками в динамическую модель удается, если рассматривать в качествеti не моменты выплат по отдельным договорам страхования а некоторые более редкие моменты, относительно которых существует соглашение, что действие всех ранее заключенных договоров прекращается вкаждый из таких моментов, и в очередной период (ti , ti+1 ] страховщик“входит”, имея только накопленную за время (0, ti ] сумму страховогофонда Ri .Тем самым мы приходим к необходимости ограничиться дискретнойдинамической моделью страхования (ДД-моделью), в которой предполагается, что страховщик имеет в начале своей деятельности начальный капитал (фонд) r; в течение некоторого периода времени (называемого тест-периодом; в (Beard, Pentikainen and Pessonen, 1978) – testperiod) длительности T (естественный пример – T = 1 год) в страховойфонд страховщика поступают страховые премии, связанные с заключением договоров страхования, и происходит выплата из этого фондастраховых возмещений.

Считается, что страховщик может при необходимости пользоваться краткосрочным “беспроцентным” кредитом насрок до конца тест-периода, то есть в случае, когда в течение тестпериода (до его окончания) возникает необходимость выплаты возмещения, превышающего имеющийся фонд, разорения не происходит.По итогам работы страховщика за тест-период делается вывод либоо неплатежеспособности (разорении) – если сумма фонда, имевшегосяв начале тест-периода, и собранных за этот тест-период премий оказалась меньше суммы возмещений, выплаченных за тест-период, либо – впротивном случае – о продолжении страховой деятельности на очередной тест-период. Предполагается, что в момент окончания тест-периодавсе имевшиеся ранее договоры страхования являются завершенными,и “перехода” претензий по этим договорам на очередной тест период непроисходит. Такая модель имеет практический смысл в случае, когдадлительность одного договора страхования мала по сравнению с вре-3013026.

Дискретная динамическая модель коллективного рискаменем T , или когда все договоры страхования каждого тест-периодазаключаются одновременно в начале тест-периода на срок T .Вероятностью разорения страховщика в данном случае, как вобычной динамической модели, назовем вероятность того, что неплатежеспособность наступит в результате хотя бы одного тест-периода.Аналогичные модели рассматривались, например, в (Beard, Pentikainenand Pessonen, 1978), (Бенинг и Ротарь, 1993), (Ротарь и Бенинг, 1994);отмечается, что модель такого типа может интерпретироваться такжеследующим образом: требования на выплату возмещений, поступившиев течение тест-периода, оплачиваются в его конце. Тем самым даннаямодель состоит из последовательности “вложенных” в нее статическихмоделей, каждая из которых действует в течение одного тест-периода.Величина минимально допустимой страховой ставки в данной главеопределяется иначе, чем в главе 5.

Характеристики

Список файлов книги