korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Отметим, чтоER = r + Λh,DR = Λg 2 + M 2 h2 .Пусть w = V 2 + M 2 /Λ. Введем также “нормированную” величинуначального капитала: ρ = r/µ.Напомним определение оптимальной или минимально допустимойстраховой ставки для статической модели страхования из раздела 4.3:минимально допустимой страховой ставкой называется величинаz0 = inf{z z ≥ A, P(R ≥ 0) ≥ Q},2712725. Модель индивидуального pискагде R – итоговый страховой фонд, а Q – допустимая для страховщикавероятность “неразорения”.В данном разделе будет рассмотрена задача вычисления гарантированной (верхней) границы для минимально допустимой страховойставки , то есть отыскания такой величины z 0 , что z0 ≤ z 0 .Всюду ниже будем пользоваться обозначением d = z − A.
Поискминимально допустимой страховой ставки z0 эквивалентен поиску величины d0 = z0 − A.Для получения гарантированной оценки минимально допустимойстраховой ставки z 0 будет использован, в отличие от предыдущего раздела, не аппарат центральной предельной теоремы, а другой классрезультатов теории вероятностей – экспоненциальные оценки больших уклонений. Для того чтобы можно было воспользоваться оценками этого класса, нужно, чтобы распределение случайных страховыхсумм удовлетворяли некоторым дополнительным условиям. Из разнообразных условий, рассматриваемых в теории (см., например, (Bennett,1962), (Hoeffding, 1963), а также обзор (Nagaev, 1979)), наиболее естественным в рамках рассматриваемой нами Φ-модели и имеющим очевидное прикладное значение является условие равномерной ограниченности величин Sj ; иначе говоря, предполагается, что Sj ≤ C с вероятностью 1.Отметим, что предположение о равномерной ограниченности случайных величин Sj не является существенно ограничительным в рассматриваемой нами “страховой” тематике, так как обычно в страховойпортфель включаются достаточно “однородные” объекты страхованиякак с точки зрения вероятностных характеристик убытков, так и с точки зрения страховых сумм.
Так, например, при страховании автомобилей в страховой портфель включаются объекты примерно одного класса (скажем, только “иномарки” определенной фирмы или несколькихфирм), и разброс страховых сумм при этом невелик, причем страховщик может достаточно точно оценить максимальную страховую сумму,которая может возникнуть в договорах данного страхового портфеля. Кроме того, предположение о равномерной ограниченности страховых сумм может быть обосновано, аналогично (Beard, Pentikainenand Pesonen, 1978), тем, что на практике риски страховщика обычноограничиваются за счет перестрахования; по этому поводу см. также(Шоргин, 1996).5.8.
Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифов5.8.2Верхние оценки страховой ставки для детерминированного объема страхового портфеляПриводимое ниже известное Утверждение 5.8.1 является основнымтеоретико-вероятностным результатом, используемым в данном разделе для построения гарантированных оценок страховой ставки.
Отметим, что существуют и более точные оценки типа неравенства Бернштейна (Бернштейн, 1946) (см., например, (Булинская, 2001), но онисправедливы только при определенных ограничениях на соотношениевеличин x и N (в некоторых “зонах” значений x относительно N ); поскольку для решения задачи оценки страховой ставки необходима оценка, справедливая при всех x и N , мы будем опираться именно на Утверждение 5.8.1.Утверждение 5.8.1. (неравенство Хёффдинга (Hoeffding, 1963))Если ξ1 , . . .
, ξN – независимые случайные величины, удовлетворяющиеусловиямN1 XEξj = 0, ξj ≤ L, G2 =Eξ 2 ,N j=1 jто для любого t, 0 ≤ t ≤ L,P(ξ1 + · · · + ξN ≥ N t) ≤≤ expn N (G2 + Lt)L2 + G2³ln 1 +Lt ´ N L(L − t) ³t ´o−ln1−,G2L2 + G2L(5.8.1)если t = L, то неравенство (5.8.1) остается справедливым с заменойправой части на ее предел при t → L, т. е.P(ξ1 + · · · + ξN ≥ N T ) ≤hG2 iN;L2 + G2если t > L, то, очевидно, P(ξ1 + · · · + ξN ≥ N t) = 0.ПустьW =R−r =NXHjj=1есть случайный доход страховщика по данному страховому портфелю,то есть разность между собранными страховыми премиями и страховыми выплатами. Отметим, что EW = N h, DW = N g 2 , ER = r + N h,DR = N g.Вероятность итогового разорения по данному страховому портфелюравна P(R < 0) = P(W < −r).
Так как Hj ≥ −C(1 − A) (и эта граница2732745. Модель индивидуального pискадостигается при Sj = C, z = A, Xj = 1), то W ≥ −N C(1 − A) свероятностью 1, т. е. P(W < u) = 0 при u < −N L, где L = C(1 − A).Очевидно, чтоP(W < u) = PµXN¶Hj − N h < u − N h = PµXN¶ξj ≥ −u + N h ,j=1j=1где ξj = h − Hj . УсловиеP(R ≥ 0) ≥ Q,(5.8.2)входящее в определение минимально допустимой страховой ставки,сводится к следующему:µXNP(R < 0) = P¶ξj ≥ r + N h < 1 − Q,j=1Случайные величины ξj имеют нулевые средние. Кроме того, очевидно, чтоξj = Sj (Xj − z) + µ(z − A) ≤ Sj (1 − z) + µ(z − A).Правая часть последнего неравенства является линейной функциейот z, принимающей значения Sj (1 − A) при z = A, µ(1 − A) при z = 1.Значит, ξj ≤ L = C(1 − A).
Отметим, что h ≤ L.Применяя к построенной последовательности случайных величин{ξj } Утверждение 5.8.1, получаем (учитывая, что величина G, определяемая в соответствии с условием Утверждения 5.8.1, совпадает с g)следующую оценку.Теорема 5.8.1. Если N (h − L) ≤ u ≤ N h, тоP(W < u) ≤n≤ exp −Lt ´ N L(L − t) ³t ´oN (1 + Lt) ³ln1+−ln1−,L2 + g 2g2L2 + g 2L(5.8.3)где t = h − u/N, L = C(1 − A). Если u < N (h − L), то P(W < u) = 0.Так как P(R < 0) = P(W < −r) и h > 0, то справедливо следующееутверждение.Следствие 5.8.1.
Если 0 ≤ r ≤ N (L − h), тоP(R < 0) ≤n≤ exp −Lt ´ N L(L − t) ³t ´oN (1 + Lt) ³ln1+−ln1−,L2 + g 2g2L2 + g 2L5.8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифовгде t = h + r/N, L = C(1 − A). Если r > N (L − h), то P(R < 0) = 0.Данное неравенство является в определенном смысле аналогомклассического неравенства Лундберга (оценка вероятности разоренияв динамической модели страхования) (см. раздел 7.7.1) для данной задачи, то есть для статической модели страхования с неслучайным числом договоров страхования при равномерно ограниченных страховыхсуммах.Отметим, что Теорема 5.8.1 имеет и самостоятельное значение, поскольку дает гарантированную оценку вероятности того, что итоговый доход (разность между суммой премий и суммой исков) окажетсяменьше заданного числа и, в частности, оценку вероятности разорения.Применение центральной предельной теоремы позволяет формальнозаменить оценку (5.8.3) на асимптотическую формулу³u − Nh´P(W < u) ∼ ΦgN 1/2.(5.8.4)Последняя формула дает более низкие значения вероятности, приведенной в левой части неравенства.
Но формула (5.8.4), будучи асимптотической, верна только “в пределе” при N , стремящемся к бесконечности, в то время как (5.8.3) верно для любых конечных N , удовлетворяющих условию Теоремы 5.8.1.Перейдем к получению гарантированных оценок минимально допустимой страховой ставки.Введем при y > 0 и 0 ≤ x < 1/y функциюnU (x, y) = exp −oy(x + y) ³ x + y ´ 1 − xyln−ln(1−xy),1 + y2y1 + y2(5.8.5)значение U (1/y, y) определим по непрерывности как y 2 /(1 + y 2 ), а значение U (x, 0) аналогичным образом определим как 1 (для всех x ≥ 0).Из (5.8.5) очевидно, что функция U (x, y) при любом фиксированном yмонотонно убывает при изменении x от x = 0 (U (0, y) = 1) до x = 1/y;нетрудно показать, что эта функция убывает и по y (см.
Лемму 5.8.1 вразделе 5.8.4).Из приведенных выше свойств функции U (x, y) вытекает, в частности, что U (x, y) < 1.Определим формально функцию S(p, y) как решение уравненияU (S(p, y), y) = p.В силу монотонности функции U (x, y) функция S(p, y) однозначноопределена при y 2 /(1 + y 2 ) ≤ p ≤ 1. Отметим, что S(1, y) = 0 (таккак U (0, y) = 1).2752765.
Модель индивидуального pискаБудем в дальнейшем считать функцию S(p, y) заданной (ее значения нетрудно определить с помощью компьютера, используя любойметод обращения функции U (x, y)). Нетрудно показать, что функцияS(p, y) при фиксированном y убывает по p, а при фиксированном pубывает по y (см. Лемму 5.8.2 в разделе 5.8.4).Теорема 5.8.2.
Пусть q = N S((1 − Q)1/N , g0 /L). Если объем страхового портфеля удовлетворяет условиюN > maxnoln(1 − Q),Vq,ln(g02 /(L2 + g02 ))(5.8.6)то минимально допустимая страховая ставка z0 удовлетворяетнеравенству z0 ≤ z 0 = min{A + d0 , 1}, где величина d0 при ρ2 ≤q 2 (1 + V 2 )B 2 определяется какd0 =[(N 2 − q 2 V 2 )q 2 (1 + V 2 )B 2 + q 2 V 2 ρ2 ]1/2 − ρ,N 2 − q2V 2d0 = 0 при ρ2 > q 2 (1 + V 2 )B 2 (то есть в этом случае минимальнодопустимая страховая ставка равна A).Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы приводится в разделе 5.8.4.Теперь следует выяснить, насколько ограничительным являетсяусловие (5.8.6) на количество договоров страхования N . Отметим, чтопервая величина в фигурных скобках в правой части (5.8.6) является постоянной по N .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
