korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для минимально допустимой страховой ставки имеет место оценкаz0 ≤ z 0 = A + d 0 ,где при N → ∞1 i1/2 (1 + V 2 )1/2 Bd ∼ 2 ln,1−QΛ1/20hОтметим, что эта асимптотика не зависит от r и что порядок величины d0 по Λ является “правильным”, т. е. совпадает с порядком аналогичной величины, соответствующей минимально допустимой страховойставке (см. Следствие 5.6.2 или работу (Шоргин, 1997)).5.95.9.1Доказательства теорем.Доказательство теоремы 5.8.2.Доказательству теоремы 5.8.2 предпошлем следующие две леммы.Лемма 5.9.1. Функция U (x, y) убывает по y.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Очевидно,[ ln U (x, y)]0y = −[2y + x − xy 2 ][ln (1 + x/y) − ln (1 − xy)] − 2x(1 + y 2 ).(1 + y 2 )2Обозначая (1 + x/y)/(1 − xy) = 1 + u, получаем:[ ln U (x, y)]0y = −2u i2y + x − xy 2 hln(1+u)−.(1 + y 2 )22+uТак как 2y + x − xy 2 > 0, а также ln (1 + u) − 2u/(2 + u) > 0 при u > 0, топри x > 0 справедливо неравенство [ln U (x, y)]0y < 0. Лемма доказана.5.9. Гарантированные оценки страховых тарифов. Доказательства 283Лемма 5.9.2.
Функция S(p, y) при фиксированном y убывает по p,а при фиксированном p убывает по y.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. В силу монотонного убывания функцииU (x, y) по x при любом фиксированном y обратная к ней по аргументуx функция S(p, y) также монотонно убывает по p при любом фиксированном y.2. Так как U (S(p, y), y) = p, а функция U (x, y) убывает по x, то знакчастной производной функции S по p совпадает со знаком частной производной функции U (x, y) по y. Как отмечалось выше, U (x, y) убываетпо y и, следовательно, S(p, y) также убывает по y. Лемма доказана.Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 5.8.2.Прежде всего отметим, что величина P(R < 0) убывает с ростом d, и,следовательно, если при некотором d = d0 справедливо (5.8.2), то этонеравенство справедливо и при всех d ≥ d0 .Так как P(R < 0) = P(W < −r), то в силу следствия 5.8.1 и формулы (5.8.5) при 0 ≤ r ≤ N (L − h)P(R < 0) ≤ U N (η, g/L),где η = (r + N h)/(N g).
Если же r > N (L − h), то P(R < 0) = 0. Значит,для справедливости (5.8.2) достаточно, чтобы при 0 ≤ r ≤ N (L − h)U (η, g/L) ≤ (1 − Q)1−N ,(5.9.1)либо чтобы выполнялось неравенство η > L/g.Очевидно, что любая величина z, удовлетворяющая (5.9.1), является верхней оценкой для минимально допустимой страховой ставки.Отметим, что параметры h и g зависят от d.
Поэтому ниже мы заменим неравенство (5.9.1) на несколько усиленное неравенство; любоерешение “усиленного” неравенства, по-прежнему, будет являться верхней оценкой для z0 , при этом результат будет получен в “замкнутом”виде.Из леммы 5.9.1 следует, что замена в левой части (5.9.1) величиныg на ее нижнюю оценку g0 (не зависящую от d) приводит к усилениюнеравенства, т. е. любое z, удовлетворяющее условиюU (η, g0 /L) ≤ (1 − Q)1/N ,(5.9.2)заведомо удовлетворяет и (5.9.1). Это значит, что величина d0 , являющаяся нижней гранью решений (5.9.2), заведомо является верхнейоценкой минимально допустимой страховой ставки.В силу (5.8.6) справедливо неравенство(1 − Q)1/N > g02 /(L2 + g02 )(5.9.3)2845.
Модель индивидуального pискаЗаметим, что в случае, когда (5.9.3) не выполняется, величина (1 −Q)1/N строго меньше минимального значения функции U по η, и неравенство (5.9.2) не имеет решений; это означает, что величина Q выбранаслишком близкой к единице для данных параметров N , g0 , L, или чтоN слишком мало для данных параметров Q, g0 , L.В силу убывания функции S(p, y) по y и условия (5.8.6) неравенство(5.9.2) эквивалентно неравенству η ≥ S((1 − Q)1/N , g0 /L).
Функция Sопределена в точке ((1 − Q)1/N , g0 /L), так как в силу (5.9.3)g02 /L2≤ (1 − Q)1/N .221 + g0 /LИтак, z является верхней оценкой для минимально допустимойстраховой ставки, если выполняется хотя бы одно из неравенств:η ≥ S((1 − Q)1/N , g0 /Λ)(5.9.4)(причем это неравенство можно рассматривать без ограничений на r)иη > L/g.(5.9.5)Так как правая часть (5.9.4) с ростом N стремится к нулю (S(1, y) = 0),то условие (5.9.5) можно опустить.
При этом верхняя оценка ставкиможет, вообще говоря, возрасти, но при достаточно больших N этогоувеличения не происходит. Итак, следует рассмотреть неравенствоr + Nh≥ N S((1 − Q)1/N , g0 /L).g(5.9.6)Так как q = N S((1 − Q)1/N , g0 /L), то неравенство (5.9.6) является квадратным неравенством относительно d, которое можно записать в виде(N − q 2 V 2 )d + 2ρN d + ρ2 − q 2 (1 + V 2 )B ≥ 0.(5.9.7)Сразу отметим, что при ρ2 ≥ q 2 (1+V 2 )B и при d = 0 неравенство (5.9.7)выполняется, то есть в этом случае при d = 0 выполняется (5.8.2). Всилу соображений, приведенных в начале доказательства данной теоремы, это означает, что (5.8.2) выполняется при всех d > 0, то естьвеличина z = A является искомой минимально допустимой страховойставкой.Теперь рассмотрим случай ρ2 < q 2 (1 + V 2 )B 2 .
Пусть∆ = ρN + (N − qV 2 )[q 2 (1 + V 2 )B − ρ2 ] = (N − qV 2 )q 2 (1 + V 2 )B + qV ρ2 .5.9. Гарантированные оценки страховых тарифов. Доказательства 285Величина ∆ пропорциональна дискриминанту квадратного трехчлена, фигурирующего в левой части (5.9.7). Так как N 2 − q 2 V 2 > 0,то старший коэффициент квадратного неравенства (5.9.7) положителен и ∆ > 0. Значит, (5.9.7) имеет место при d ≥ d0 , где d0 =(−ρ + ∆1/2 )/(N 2 − q 2 V 2 ), то есть z 0 = A + d0 является верхней оценкой минимально допустимой страховой ставки. Кроме того, верхнейоценкой минимально допустимой страховой ставки является единица.Тем самым доказательство теоремы завершено.5.9.2Доказательство теоремы 5.8.3.Для того чтобы доказать теорему 5.8.3, нам потребуются некоторыепредварительные результаты.
Среди этих результатов – сформулированная в разделе 5.8.2 лемма 5.8.1; отметим, что утверждение этойлеммы очевидным образом вытекает из приводимых ниже лемм 5.9.3и 5.9.5.Пусть рассматриваемая в формулировке теоремы 5.8.3 случайнаявкличина ξ имеет характеристическую функцию g(t). Пусть n – произвольное натуральное число, h = Λ/n. Рассмотрим случайную величинуS(h), имеющую характеристическую функциюgb(t) = exp {h(g(t) − 1)}.(5.9.8)Так как характеристическая функция случайной величины S(Λ) равнаgbn (t), то случайная величина S(Λ) распределена так же, как сумма ndнезависимых случайных величин ξi0 = S(h). Отметим, что E S(h) =ah = aΛ/n, D S(h) = h(a2 + b2 ) = (a2 + b2 )Λ/n.Отсюда немедленно вытекает следующее утверждение, которое,несмотря на простоту доказательства, играет главную роль при доказательстве теоремы 5.8.3.Лемма 5.9.3.
Пусть распределение случайной величины ξ с характеристической функцией g(t) принадлежит некоторому классу K,причем из этого вытекает, что распределение случайной величиныS(h) − ah с характеристической функцией (5.9.8) при значениях hиз некоторого множества θ принадлежит некоторому другому классу K 0 (h). Если при любом h ∈ θ и n = 1, 2, . . . для всех последовательностей одинаково распределенных случайных величин Z1 , Z2 , .
. . сE Z = 0, общее распределение которых принадлежит классу K 0 (h),имеет место некоторая оценкаµXnPi=1Zi ≥x[n E Z12 ]1/2¶≤ U (x, h, n)2865. Модель индивидуального pиска(при x ∈ Ω{n E Z12 }, где Ω{n E Z12 } – некоторое подмножество неотрицательной полупрямой, зависящее от величины n E (Z12 )), то прилюбых Λ > 0 и x ∈ Ω(G2 )P (S(Λ) − E S(Λ) > Gx) ≤inf U (x, Λ/n, n).n Λ/n∈θД о к а з а т е л ь с т в о.
Для любых x ≥ 0, x ∈ Ω(G2 ) и n таких,dчто h = Λ/n ∈ θ и независимых случайных величин Si (h) = S(h)P³ S(Λ) − E S(Λ)G´µ≥x =P¶n1 X[Si (h) − E Si (h)] ≥ x ≤ U (x, h, n)G i=1(неравенство имеет место, поскольку общее распределение случайныхвеличин Z = Si (h) − E Si (h), i = 1, . . . , n, принадлежит классу K 0 (h), аn E Z12 = G2 ). В силу произвольности параметра n имеет место утверждение леммы.Обозначим моменты случайной величины ξ (при условии их существования) αk = E ξ k (k = 2, 3, . . .).
Очевидно, α2 = a2 + b2 .Лемма 5.9.4. Если конечен n-й момент случайной величины ξ, топри 0 ≤ k ≤ n центральные моменты µk (h) = E [S(h) − ha]k случайнойвеличины S(h) могут быть вычислены по следующим рекуррентнымформулам:·µ0 (h) = 1, µ1 (h) = 0, µk (h) = h α +k−2X¸jCk−1µj (h)αk−jпри k ≥ 2.j=2Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим характеристическую функциюb h), G(t,b h) = exp {h(g(t) − 1 −случайной величины S(h) − ha через G(t,ita)}. Очевидно, чтоiµk (h) ==hk−2Xj=0¯¯dk bdk−1¯0b h)}¯¯G(t,h){[g(t)−ia]G(t,¯=h=t=0t=0dtkdtk−1¯jb h)¯¯Ck−1G(t,t=0k−2¯X jdk−j¯g(t)¯=hCk−1 ij µj (h)ik−j αk−j ,t=0dtk−jj=0откуда следует утверждение леммы.Лемма 5.9.4 дополняет утверждение 2 Теоремы 2.1.2, устанавливающее рекуррентные соотношения для начальных моментов пуассоновских случайных сумм.Лемма 5.9.5.
Если случайная величина ξ удовлетворяет условию(5.8.7) иh ≤ 2/(e − 1) − 1,(5.9.9)5.9. Гарантированные оценки страховых тарифов. Доказательства 287то при k ≥ 2|µk (h)| ≤ µ2 (h)µk−2 [1 + h (k − 1)!].(5.9.10)Д о к а з а т е л ь с т в о проведем по индукции. Очевидно, чтоµ2 (h) удовлетворяет условию леммы. Отметим, что µ2 (h) = hα2 .Пусть утверждение леммы справедливо при j = 2, .
. . , k − 1, k ≥ 3.Отметим, что при j ≥ 2 и h ≤ 2/(e − 1) − 11 + h(j − 1)! ≤ j!/(e − 1).(5.9.11)В силу леммы 5.9.4h−1 |µk (h)| ≤ |αk | +k−2XjCk−1|µj (h)||αk−j |.j=2Используя условие на случайную величину ξ, предположение индукциии (5.9.9)–(5.9.11), имеем·−1h |µk (h)| ≤ α2 mk−2¸Xh k−211 + (k − 1)!≤e − 1 j=2 (k − 1 − j)!≤ αmk−2 [1 + h(k − 1)!] = h−1 µ2 (h)mk−2 [1 + h(k − 1)!].Лемма доказана.Лемма 5.9.6. Если распределение случайной величины Z принадлежит классу K 0 (h, m), то при Gn = n E Z 2 для независимых случайныхdвеличин Zj = Z справедливо неравенствоµXnP¶Zi ≥ Gn x ≤ U (x, h, m, Gn ) = expi=1n p22oG2n Fh (pm) − pGn x ,(5.9.12)где p = p(h) – решение уравненияn³epm − 1 + h 2pm lnp2 m2 ´p4 m4 o1− pm −+= ζ,1 − pm21 − pm(5.9.13)где ζ = xm/G (причем величина p(h) существует и единственна),Fh (v) =³´1ev − 1 − v2+2hln−v−v.v 2 /21−vПри этом правая часть (5.9.12) является возрастающей функцией аргумента h.2885.
Модель индивидуального pискаД о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что при любом s > 0, прикотором существует E exp (sZ),E exp (sZ) = 1 +s2s3E Z2 + E Z3 + · · · .26Условие (5.8.8) позволяет мажорировать правую часть последнего равенства при v = sµ < 1 величиной1+= 1+³´s21 + 2!h1 + 3!h 2E Z 2 1 + 2ms + 2ms + ··· =23!4!h³´³´is21111E Z 2 1 + 2 sm + s2 m2 + · · · + 2h sm + s2 m2 + · · · =23!4!34!2v2he − 1 − v³s1v ´i= 1 + E Z2+2hln−v−=2v 2 /21−v2=1+n s2os2E Z 2 Fh (v) ≤ expE Z 2 Fh (v) .22Пустьs2 2G Fh (sm) − sGn x =2 n³G2n sm1s2 m2 ´2 2= 2 (e − 1 − sm) + s Gn h ln− sm −− sG2n x.m1 − sm2Имеем:P(S(Λ) ≥ Gn x) ≤ [E exp (sZ)]n exp {−sGn x} ≤f (h, s) =≤ expn s2oG2n Fh (sm) − sGn x = exp {f (h, s)}.2Нетрудно убедиться, что минимум функции f (h, s) достигается приs = p(h), где p(h) определяется в соответствии с (5.9.13); так как влевой части (5.9.13) фигурирует функция, монотонно возрастающаяна интервале (0,1) от 0 до ∞, то p(h), очевидно, существует и лежит впределах 0 < p < 1.
Кроме того, отметим, что при любом s функцияf (h, s) возрастает по h и, значит, mins f (h, s) также возрастает по h.Тем самым лемма доказана.Приступим к доказательству теоремы 5.8.3. В соответствии с леммами 5.9.5–5.9.6 и 5.8.1P(S(Λ) − A ≥ Gx) ≤h≥2/(e−1)−1= lim exph→0infn p22expn p22oG2n Fh (pm) − pGn x =oG2n Fh (pm) − pGn x .(5.9.14)5.9. Гарантированные оценки страховых тарифов. Доказательства 289где ζ = xm/G, p = p(h) определяется в соответствии с (5.9.13) (последнее равенство и существование предела вытекают из того, что праваячасть (5.9.12) является возрастающей функцией по h).Обозначим символом q решение уравнения eqm − 1 = ζ, то естьq = ln (1+ζ)/m. Отметим, что всегда имеет место неравенство p(h) < q.Если qm < 1, то есть ζ < e − 1, то p(h)µ < 1 и предел левой части(5.9.13) при h → 0 равен eqm − 1. Значит, в этом случае p(h) → q,Fh (pm) → F0 (qm), и соотношение (5.9.14) приобретает видnζ − ln (1 + ζ)ln (1 + ζ) o−Gx=nm2mn(1 + ζ) ln (1 + ζ) − ζ o= exp − x.(5.9.15)ζ2Если qm ≥ 1, то есть ζ ≥ e − 1, то p(h)m → 1 при h → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
