korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

А именно, от страховой ставки требуется, чтобы она обеспечивала необходимую вероятность неразорениястраховщика не в течение одного тест-периода, как это делалось ранее,а в течение бесконечного числа тест-периодов.Следует отметить, что результаты, обычно получаемые при исследовании вероятности разорения в динамической модели страхования,используют более тонкие характеристики распределения суммы выплат, чем несколько первых моментов.

Как правило, определение коэффициента Лундберга (называемого также характеристическим илиподстроечным коэффициентом – adjustment coefficient), определяющего асимптотическое поведение вероятности разорения, требует решенияхарактеристического уравнения, в котором участвует преобразованиеЛапласа распределения суммы выплат (см., например, (Эмбрехтс иКлюппельберг, 1993). Поскольку в ДД-модели в центре внимания оказывается распределение не индивидуального страхового иска, а величины дохода W , полученного страховщиком за тест-период, возникаетзадача вычисления (или оценки) коэффициента Лундберга для распределения случайной величины W .В данной главе приводятся верхние (гарантированные) оценки минимальной страховой ставки, обеспечивающей заданную вероятностьнеразорения страховщика в рамках описанной выше ДД-модели страхования и Φ-модели страховых исков, для следующих двух ситуаций:1) когда распределение дохода страховщика W за любой тестпериод считается нормальным с заданными моментами (эти моменты естественным образом выражаются через параметры распределения количества договоров страхования N , поступивших за этот тестпериод, значение принятой страховой ставки z и параметры случайныхвеличин S и X);6.2.

Минимально допустимая страховая ставка в ДД-модели3032) без принятия каких-либо предположений о распределении случайной величины W , но в предположении, что все страховые суммыравномерно ограничены.Перейдем к формальной постановке задачи в части, общей для обеих этих ситуаций.6.2Формальная постановка задачи определения минимально допустимой страховой ставки в дискретной динамическоймодели страхованияКоличество договоров страхования (исков), заключаемых в течениетест-периода, как и ранее, обозначается N . Величина N предполагается случайной с известными первыми двумя моментами Λ = EN ,M 2 = DN .Предположим, что портфель всех исков (договоров страхования,заключаемых в течение всех тест-периодов) является портфелем однородных факторизуемых исков (см. главу 5), то есть имеет место представление Yj = Sj Xj . Введем в рассмотрение те же параметры A, B 2 ,V 2 , что и в разделе 5.4: A = EXj , B 2 = DXj ,V2 =ESj2DSj=− 1.(ESj )2(ESj )2Пусть µ = ESj .

Доход страховщика за один тест-период составляетPW = Nj=1 Hj , где случайные величины Hj = Sj (z − Xj ), имеют тот жесмысл, что и в разделе 5.4. Как и ранее, предполагается, что в начальный момент времени страховщик располагает начальным капиталомr = µρ.Если рассматриваются k последовательных тест-периодов, то страховой фонд за это время равенRk = r + Ω k ,(6.2.1)где Ωk = W1 + · · · + Wk , {Wm } – последовательность независимых случайных величин, распределенных так же, как случайная величина W .Случайная последовательность {Ωk } является процессом с независимыми приращениями. Вероятность наступления события “{Rk < 0} ={Ωk < −r} хотя бы для одного значения k = 1, 2, . .

.” является вероятностью разорения страховщика в дискретной динамической модели3046. Дискретная динамическая модель коллективного рискастрахования за бесконечное время и будет обозначаться (при заданной ставке z) ψ(r, z) (см., например, (Beard, Pentikainen and Pessonen,1978)). Отметим, что функция ψ(r, z) при фиксированном r являетсяневозрастающей по z и, значит, в случае, когда для некоторой ставкиz = z 0 выполняется неравенствоψ(r, z) ≤ ²,(6.2.2)то это неравенство будет выполнено и для всех z > z 0 .Задачей данного раздела является получение верхней оценки минимально допустимой страховой ставки z0 . Под минимально допустимойстраховой ставкой в рамках дискретной динамической модели страхования понимается величина z0 = inf {zψ(r, z) ≤ 1−Q, z ≥ A}, где Q < 1есть допустимое для страховщика значение вероятности неразорения.Ниже мы будем использовать обозначением ² = 1 − Q.Приведем утверждение, которое в дальнейшем будет играть основную роль.

Оно аналогично неравенству Лундберга для классическоймодели (6.1.1), но относится к дискретной динамической модели (6.2.1),в которой случайные величины W могут принимать значения различных знаков. Здесь это утверждение приводится в той формулировке, вкоторой оно фактически доказано в (Beard, Pentikainen and Pessonen,1978).Утверждение 6.2.1. Пусть функция U (s) = E exp {−sW } конечна на некотором интервале s ∈ [0, s0 ). Если на этом интервале существует решение s = s0 > 0 уравнения U (s) = 1, то справедлива оценкаψ(r, z) ≤ exp {−s0 r}.Если дополнительно известно, что lims→s0 U (s) > 1, то уравнениеU (s) = 1 заведомо имеет положительный корень.Нам будет достаточно этого простого варианта неравенства Лундберга для случая “знакопеременных” убытков, поскольку в дальнейшем будут рассматриваться модели, в которых функция U (s) =E exp {−sW } существует при всех положительных s.6.3Оценки страховых ставок в дискретнойдинамической модели страхования принормальном распределении дохода затест-периодЕстественно, распределение случайной величины W может быть в точности нормальным только в некоторых достаточно редких случаях, на-6.3.

Оценки страховых ставок в “нормальной” ДД-моделипример, если N – вырожденная случайная величина, а все случайныевеличины Hj нормальны. Известно (см., например, (Kruglov and Titov,1988)), что невырожденная случайная величина W не может иметь нормального распределения в случае, когда N – невырожденная случайнаявеличина. Поэтому предположение о нормальности распределения случайной величины W носит модельный (приближенный) характер. Темне менее, предельные теоремы для сумм и случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин указывают, когдаимеются основания для такого предположения, то есть когда модель,рассматриваемая в дванном разделе может использоваться как асимптотическая аппроксимация.

А именно, следует рассматривать такиераспределения случайной величины N , что случайная сумма любыходинаково распределенных случайных величин с ненулевым средним иконечным третьим моментом, индекс которой распределен так же, какN , имеет асимптотически нормальное распределение с соответствующими моментами при неограниченном возрастании Λ = EN .

Примерами таких случайных величин N являются вырожденная и пуассоновская случайные величины.Использование нормальной аппроксимации для распределения дохода страховщика за один тест-период позволяет существенно упростить проблему вычисления характеристического коэффициента, который при этом естественным образом определяется двумя моментамираспределения дохода, благодаря чему итоговые результаты определяются двумя моментами распределения иска. Такого рода результаты,полученные при условиии постоянства страховых премий (и без факторизации индивидуальных страховых исков), хорошо известны. Новизнаи большая гибкость результатов данного раздела связана именно с учетом факторизуемости исков, которая, как уже отмечалось, позволяетучитывать возможность флуктуаций страховых сумм и, следовательно, премий.Далее в данном разделе мы будем предполагать, что случайная величина W имеет нормальное распределение с моментами α = EW =Λh, β 2 = DW = Λg 2 + M 2 h.Как и ранее, положим w = V 2 + M 2 /Λ.Теорема 6.3.1.

Если W имеет нормальное распределение, то длялюбого фиксированного значения Q, 0 < Q < 1, в случае, если начальный капитал удовлетворяет условиюw(1 − A)2 + (1 + V 2 )B 21rln ,ρ= >µ2(1 − A)²(6.3.1)где ² = 1 − Q, минимальная допустимая страховая ставка z0 удовле-3053066. Дискретная динамическая модель коллективного рискатворяет неравенствуz0 ≤ z 0 = A + d 0 ,(6.3.2)гдеd0 =2(1 + V 2 )B 2,ρx + [ρ2 x2 − 4w(1 + V 2 )B 2 ]1/2x=2,ln (1/²)(6.3.3)причем оценка (6.3.2) дает нетривиальное (меньшее 1) значение минимальной допустимой страховой ставки.Доказательство теоремы 6.3.1 приводится в разделе 6.5.1.Следует заметить, что величина w может считаться ограниченнойтолько в том случае, когда ограниченной является величина M 2 /Λ.Если учесть, что рассматриваемая модель имеет прикладной смыслтолько в случае “растущего” числа договоров страхования, заключаемых на каждом тест-периоде, то указанная выше величина может бытьдостаточно большой, так что условие (6.3.1) может оказаться весьмажестким.

Если же рассмотреть схему серий, в которой от номера серииn зависят Λ = Λn , M = Mn2 , r = rn , причем rn → ∞, величины A, B,µ и V постоянны, а параметры wn = V + Mn2 /Λn и ρn = rn /µ удовлетворяют при всех n условию (6.3.1), то, очевидно, wn = o (ρ2n ), и имеетместо следующая асимптотическая формула.Следствие 6.3.1. В условиях теоремы 6.3.1, если выполняетсяусловие (6.3.1), для минимальной допустимой страховой ставки справедлива оценка z ≤ z 0 = A + d0 , где при r → ∞z0 ∼ A +6.4(1 + V 2 )µB 21ln .2r²Оценки страховых ставок в дискретной динамической модели страхованияпри равномерно ограниченных страховых суммахКак уже отмечалось, применение модели предыдущего раздела, в которой распределение дохода страховщика W за один тест-период является нормальным, оправданно, если количество договоров страхованияN (или среднее значение количества договоров страхования если N является случайной величиной) может считаться “весьма большим”.

Характеристики

Список файлов книги