korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 53
Текст из файла (страница 53)
фактически результат теоремы 6.3.1 может рассматриваться (при определенных условиях) как верхняя асимптотическая оценка минимальной6.4. Оценки страховых ставок в “ограниченной” ДД-моделидопустимой страховой ставки при неограниченном росте EN . Однако,как говорилось выше, предположение о нормальности распределенияслучайной величины W всегда является определенной идеализациейреальной ситуации, и тем самым, особенно при “умеренных” значениях EN , результаты предыдущего параграфа могут иметь заметнуюпогрешностью. Для того чтобы получить оценки страховых тарифов,гарантированно обеспечивающие при любом N (как детерминированном, так и случайном) требуемую вероятность неразорения, необходимо иметь некоторую дополнительную информацию относительно распределения индивидуального иска, помимо двух моментов (значенийкоторых достаточно для получения оценок из предыдущего раздела).Как известно, точное вычисление коэффициента Лундберга требует знания распределения отдельного иска.
В (Beard, Pentikainen andPessonen, 1978) получены, в частности, гарантированные оценки длякоэффициента Лундберга, инвариантные относительно распределенияслучайного иска, в условиях, когда справедливы дополнительные предположения, состоящие в том, что случайный иск равномерно ограничен, а случайная величина W имеет обобщенное пуассоновское распределение. В указанной работе отмечено, что это предположение можетбыть обосновано тем, что на практике риски страховщика обычно ограничиваются за счет перестрахования.В данном ппараграфе, используя факторизуемость исков, мы рассмотрим (аналогично разделу 5.8) условие равномерной ограниченности случайной страховой суммы.
Обоснование этого условия содержится в разделе 5.8. Мы получим нижнюю оценку для коэффициентаЛундберга, использующую только два первых момента указанного распределения и имеющееся ограничение на величину страховой суммы.На основании этой оценки будет построена верхняя оценка для минимальной допустимой страховой ставки.Мы будем пользоваться всеми обозначениями п.
5.3. Предположим,что Sj ≤ C с вероятностью 1 для некоторого числа C ∈ (0, ∞).Перед тем как сформулировать основной результат параграфа,определим функцию E(x) следующим образом:E(x) =ex − 1 − x;xпри x = 0 доопределим функцию E(x) по непрерывности значениемE(0) = 0. Отметим, что при x → 0 имеет место асимптотика E(x) ∼x/2.Функция E(x) строго монотонно и неограниченно возрастает приx ≥ 0.
Значит, функция G(y), обратная функции E(x), однозначно3073086. Дискретная динамическая модель коллективного рискаопределена при всех y ≥ 0. Значения функции G(y) при различныхзначениях y нетрудно найти численно.Теорема 6.4.1. В рамках предположений разделов 6.2 и 6.3 имеютместо следующие утверждения:1. Вероятность разорения при 0 < z < 1 удовлетворяет неравенствуψ(r, z) ≤ exp { − G(v)r/C},(6.4.1)где v = Ch/(h2 + g 2 ).2. Для любого фиксированного значения Q, 0 < Q < 1, в случае,если начальный капитал r удовлетворяет условиюE³Crln1´C(1 − A)<,²µ(1 + V 2 )[(1 − A)2 + B 2 ](6.4.2)где ² = 1−Q, гарантированная оценка минимальной допустимой страховой ставкиимеет вид z ≤ z 0 = A + d0 , гдеd0 =2(1 + V 2 )B 2,ρq + [ρ2 q 2 − 4(1 + V 2 )2 B 2 ]1/2hq = C µE³Crln1 ´i−1,²(6.4.3)причем величина z 0 = A + d0 , где d0 определяется в соответствии с(6.4.3), является нетривиальной (меньшей 1) верхней оценкой минимальной допустимой страховой ставки.Доказательство теоремы 6.4.1 приводится в разделе 6.5.2.Так как правая часть (6.4.2) зависит от параметров, считающихсяв данном разделе постоянными, то это условие заведомо выполняется,начиная с некоторого значения r; при r → ∞ из (6.4.3) и поведенияфункции E(x) получаем следующую асимптотику.Следствие 6.4.1.
В условиях теоремы 6.3.1 для минимальной допустимой страховой ставки справедлива оценка z ≤ z 0 = A + d0 , гдепри r → ∞(1 + V 2 )µB 21z0 ∼ A +ln .2r²Замечание 6.4.1. Асимптотика, определяемая в следствии 6.4.1(при r → ∞) для гарантированной оценки минимальной допустимой страховой ставки при равномерно ограниченных страховых суммах совпадает с соответствующей асимптотикой, полученной в следствии 6.3.1 при условии нормальности распределения дохода страховщика за тест-период.
Это означает, что с ростом начального капитала rразница между моделями, рассмотренными в пп. 6.3 и 6.4, “стирается”(естественно, при выполнении условия (6.3.1)). При этом конкретное6.5. Доказательства теорем309значение ограничения C в ситуации, когда r → ∞, не имеет значения.Совпадение указанных асимптотик очевидным образом связано с тем,что в обоих случаях при всех s > 0 существует функция E exp{−sH},где H – случайная величина, имеющая смысл “дохода” страховщика поотдельному договору (в модели, рассматриваемой в п. 6.3, величину Hможно определить, исходя из того, что случайная величина W с нормальным распределением представляется в виде любого числа n независимых одинаково распределенных слагаемых, имеющих нормальноераспределение с соответствующими моментами). Более подробное рассмотрение этого вопроса лежит за пределами постановок, рассматриваемых в данной главе, и может явиться предметом дальнейших исследований.6.56.5.1Доказательства теоремДоказательство теоремы 6.3.1.Пусть U (s) = E exp{−sW }.
Так как W имеет нормальное распределение с параметрами α и β, то U (s) = exp{(β 2 s2 − 2αs)/2}; функцияU (s) существует при всех s. Пусть s0 – положительный корень уравнения U (s) = 1. Очевидно, s0 = 2α/β 2 . Параметр s0 является коэффициентом Лундберга; в соответствии с утверждением 6.2.1 имеет местонеравенство ψ(r, z) ≤ exp{−s0 r}. Отсюда следует, что для выполнения неравенства (6.2.2) достаточно, чтобы выполнялось неравенствоs0 ≥ ln (1/²)/r, илиαln(1/²)>.(6.5.1)β22rВоспользуемся имеющимися выражениями для величин α и β 2 .
Неравенство (6.5.1) принимает вид f (d) = wd2 − xd + (1 + V 2 )B 2 ≤ 0. Если функция f (d) строго положительна при всех d, то, очевидно, данным методом найти оценку для минимальной допустимой страховойставки нельзя. Это происходит при “достаточно малых” r, точнее, приρ < 2w1/2 (1 + V 2 )1/2 B/x.Пусть выполняется неравенствоρ ≥ w1/2 (1 + V 2 )1/2 B ln (1/²).(6.5.2)В этом случае минимальное значение d, при котором f (d) = 0, определяется из (6.3.3); это значение равно d0 .В силу сделанных выше замечаний неравенство (6.2.2) выполняетсяпри всех z ≥ z 0 = A + d0 и, значит, z0 ≤ z 0 .
Следует учесть, что формула3106. Дискретная динамическая модель коллективного риска(6.3.3) дает нетривиальный результат только в случае, когда d0 < 1 − A(в силу того, что величина иска по договору страхования не превышаетстраховой суммы, при z = 1, то есть при d = 1 − A, для любых r ≥ 0имеет место ψ(r, z) = 0). Нетрудно убедиться, что d0 < 1 − A в случае,когда выполняется (6.3.1).Итак, если (6.3.1) не выполняется, то формула (6.3.3) не имеет практического смысла, поскольку дает значение d0 , превышающее заведомоприемлемое значение 1 − A.
Очевидно, что условие (6.3.1) является более сильным, чем (6.5.2) (так как из неравенства (6.3.1) следует, чтоf (1 − A) < 0, и, значит, уравнение f (d) = 0 имеет решения).6.5.2Доказательство теоремы 6.4.1.Введем величину Θ = inf{x : P(X ≤ x) = 1}. Очевидно, что: Θ ≤1; X ≤ Θ с вероятностью 1; A < Θ (так как случайная величина Xневырожденна), а также ψ(r, Θ) = 0. Кроме того, при любом ζ < Xсуществуют такие положительные числа ω и γ, что P(X > z+ω) = γ, тоесть P(S(z −X) < −Sω) = γ; значит, случайная величина H = S(z −X)принимает с положительной вероятностью отрицательные значения.Предположим, что z < Θ.
Пусть Ue (s) = E exp{−sH}. Отметим, чтоданная функция существует при всех s, так как|Hj | = S|z − Xj | ≤ C.(6.5.3)Производящую функцию случайной величины N обозначим η(t):η(t) = EtN .Эта функция заведомо определена при |t| ≤ 1. Поэтому при Ue (s) ≤ 1можно задать функцию U (s) = η(Ue (s)).
Нетрудно видеть, что в области {s : Ue (s) ≤ 1} справедливо равенство U (s) = E exp{−sW }. Рассмотрим такое s0 , что Ue (s0 ) = 1. Существование s вытекает из утверждения 6.2.1, так как (см. выше) существуют такие положительныевеличины θ и γ, что P(H < −θ) > γ; значит, Ue (s) ≥ γ exp{sq} → ∞при s → ∞. Очевидно, что U (s0 ) = η(Ue (s0 )) = η(1) = 1, то есть sявляется решением и уравнения Ue (s0 ) = 1.Итак, значение коэффициента Лундберга в рассматриваемых условиях зависит только от распределения случайной величины H и не зависит от распределения числа договоров страхования. Для построенияоценки величины s воспользуемся условием равномерной ограниченности величины страховой суммы.
В силу (6.5.3) при k ≥ 2E|H|k ≤ C k−2 EH 2 = C k−2 (h2 + g 2 ).6.5. Доказательства теорем311Очевидно, что при всех sUe (s) = 1 − s EH +s2s2EH 2 − EH 3 + · · · ≤26his2 2sC (sC)2(h + g 2 ) 1 +++ ··· =2312sCe − 1 − sC= 1−sh + s(h2 + g 2 ).(sC)2≤ 1−sh +Значит, s удовлетворяет неравенствуh≤или, иначе,1 2es0 C − 1 − s0 C(h + g 2 ),Cs0 CCh≤ E(s0 C).h2 + g 2(6.5.4)В соответствии с утверждением 6.2.1 имеем ψ(r, z) ≤ exp (−s0 r). Отметим, что из последнего неравенства и (6.5.4) вытекает гарантированнаяверхняя оценка вероятности разорения (6.4.1).
Эта оценка доказана приz < Θ. Однако при z ≥ Θ справедливо равенство ψ(r, z) = 0, то есть(6.4.1) также имеет место (6.4.1).Переходя к решению основной задачи (оценка ставки премии), из(6.4.1) получаем, что для выполнения условия (6.2.2) на вероятностьнеразорения достаточно, чтобы выполнялось неравенство³CCh1´≥Eln,h2 + g 2r²или qµh ≥ h2 + g 2 .
Последнее неравенство можно переписать в видеf (d) = (1 + V 2 )d − qd + (1 + V 2 )B ≤ 0.(6.5.5)Осуществляя элементарный анализ неравенства (6.5.5) аналогично рассуждениям из доказательства теоремы 6.2.1, получаем вторую частьутверждения теоремы 6.4.1.3126. Дискретная динамическая модель коллективного рискаГлава 7Модели коллективного pиска(динамические модели)7.1Пpоцессы риска Спарре Андерсена.Классический пpоцесс pискаРассмотpим текущий pезеpв стpаховой компании.
Он складывается изначального капитала u и стpаховых пpемий, внесенных каждым из клиентов, заключивших контpакт в течение интеpвала вpемени [0, t], завычетом стpаховых выплат по стpаховым случаям в течение этого интеpвала. Пусть ζi – стpаховой взнос i-го клиента. Тогда доход стpаховойкомпании за вpемя [0, t] pавенN+ (t)R+ (t) =Xζi ,i=1где N+ (t) – количество контpактов, заключенных за вpемя [0, t].Пусть Ti и Xi , i ≥ 1, – последовательности моментов и размеровстpаховых выплат соответственно (0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ .
. .). ПоложимN− (t) = max{n : Tn ≤ t}, то есть N− (t) – количество стpаховых выплатза вpемя [0, t]. Тогда суммаpные потеpи стpаховой компании за вpемя[0, t] будут pавныN− (t)R− (t) =XXi ,i=1так что “динамическая компонента” pезеpва стpаховой компании в момент вpемени t pавнаN+ (t)Rd (t) = R+ (t) − R− (t) =Xi=1313N− (t)ζi −Xi=1Xi .(7.1.1)3147. Модели коллективного pискаПусть u – начальный капитал страховой компании.Определение 7.1.1. Процесс R(t) = u + Rd (t), где Rd (t) определяется соотношением (7.1.1), будем называть процессом риска.Определим момент разорения τ какτ = inf{t : R(t) + u < 0}.Поскольку процесс R+ (t), а также величины Ti и Xi , i ≥ 1, предполагаются случайными, то и процесс риска R(t), и момент разоренияτ также случайны, причем в задачах, представляющих практическийинтерес, случайная величина τ является несобственной в том смысле,что P(τ < ∞) < 1.Определение 7.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
